고유도 수량화

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수학과 논리학에서 '독특성'이라는 용어는 특정한 조건을 만족시키는 유일하고 유일한 물체라는 속성을 말한다.^[1]이러한 종류의 계량화는 고유성 계량화 또는 고유한 실존적 계량화라고 알려져 있으며, 흔히 "∃!"^[2] 또는 "∃!"₌₁라는 기호로 표시된다.예를 들어, 공식 문장은

${\displaystyle \exists !n\in \mathb {N} \,(n-2=4)}$

"$n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n}$과(와) 같은 자연수 n {\displaystyle n}이(가$)$ 정확히 한 개 있다$.$$$

고유성 입증

특정 객체의 고유한 존재를 증명하는 가장 일반적인 기법은 우선 원하는 조건을 가진 실체의 존재를 입증한 다음, 그러한 실체(예: $[\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $a}$와 b ${\displaystyle b$가 서로 같아야 한다는 것을 증명하는 것이다($예{\displaystyle }$: a${\displaystyle }$= b = ${\displaystyle a=b}).$null

예를 들어, 방정식 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$= 5 ${\displaystyle x+2=5}$이(가) 정확히 하나의 해법이 있다는$$ 것을 보여주기 위해 먼저 하나 이상의 해법이 존재한다는 것을 입증하는 것으로 시작할 것이다. 즉, 3; 이 부분의 증명은 단순히 아래 방정식이 가지고 있는 검증이다.

$3+2=5.}$

솔루션의 고유성을 확립하기 위해서는 두 가지 해결책,$$$즉{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$+ 2 = $[\displaystyle x+2=5}$을$($를$)$ 만족하는 솔루션이 있다고 가정하여 진행하게 된다$.$ 즉,

${\displaystyle a+2=5{\text{ 및 }}b+2=5.}$

평등의 전이성에 의해,

$[\displaystyle a+2=b+2).}$

양쪽에서 2를 빼면 산출된다.

$a=b.}$

3이 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle$ x$+2=5}$의 고유한 솔루션이라는 증거를 완성한다$.$

일반적으로 주어진 조건을 만족하는 물체가 정확히 하나 존재한다고 결론짓기 위해서는 존재(최소한 하나의 물체가 존재함)와 고유성(최소한 하나의 물체가 존재함)이 모두 입증되어야 한다.null

고유성을 증명할 수 있는 다른 방법은$$ 조건을 만족하는$$물체 $a$가 존재한다는 것을 증명하고 그 조건을 만족하는 모든 물체가 ${\displaystyle a}$과 같아야 한다는 것을 증명하는 것이다$.$

일반적 실존적 및 보편적 계량화에 대한 감소

고유성 정량화는 ${\displaystyle \mathrm{pred}!}$ x P ( x ) {\$displaystyle \exist!xP(x)}$라는 공식을 정의함으로써$$ 술어 논리의 실존적 및 보편적 정량자의 관점에서 표현될 수 있다$.$

$\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x),}$

와 논리적으로 동등한.

$[\displaystyle \exists x\, (P(x)\wedge \forall y\, (P(y)\to y=x)]).}$

존재와 고유성의 개념을 간결함을 희생하여 두 절로 구분하는 등가 정의는 다음과 같다.

$\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z)\to y=z]}$

간결하다는 장점을 가진 또 다른 등가 정의는 다음과 같다.

$[\displaystyle \exists x\,\forall y\, (P(y)\왼쪽 오른쪽 화살표 y=x).}$

일반화

고유성 계량화는 계수 계량화(또는^[3] 수치 계량화)로 일반화할 수 있다.여기에는 "...와 같은 개체가 실제로 존재한다"는 형식뿐만 아니라 "...와 같은 개체가 무한히 많이 존재한다"와 "...와 같은 개체가 미세하게만 존재한다"라는 형식의 정량화가 포함된다.이 중 첫 번째 형태는 일반 정량자를 사용하여 표현할 수 있지만, 후자의 두 형태는 일반적인 1차 논리로는 표현할 수 없다.^[4]null

고유성은 평등이라는 개념에 달려 있다.이것을 일부 더 강한 동등성 관계로 완화하면 그 동등성까지 고유성을 계량화할 수 있다(이 프레임워크에서 규칙적인 고유성은 "평등에 대한 고유성"이다).예를 들어, 범주 이론의 많은 개념들은 이소모르피즘에 이르기까지 독특한 것으로 정의된다.null

느낌표${\displaystyle }$ ${\displaystyle!}$ )는 별도의 정량 기호로도 사용할 수 있으므로 (${\displaystyle \exists !}$ ${\displaystyle x}$ .${\displaystyle P}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$£${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$↔! ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$↔ ( x ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle (!}$ )${\displaystyle p}$( x . P ) ${$ ( ) {\$displaystyle (\exist!x$!x$)$ !!$P(x)\왼쪽 화살표(\exists x.P(x)\land(!x)).$$P($${\displaystyle x}$$)\}\},$ 여기서 ${\displaystyle (!}$ ${\displaystyle x}$. P${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle :=}$( ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle a\mathrm{\forall }}$ b . ${\displaystyle P}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle a}$= b${\displaystyle }$) ${\displaystyle (!x).$$P(x)):=(\all a\all b)$$P(a)\land P(b)\오른쪽$ 화살표 $a=b$ 예: ${\displaystyle \exists !}$ ${\displaystyle \exist!}$ 대신 교체 공리에 안전하게 사용할 수 있다$.$

참고 항목

• 본질적으로 고유함
• 원핫
• 싱글톤(수학)
• 고유성 정리

참조

참고 문헌 목록

• Kleene, Stephen (1952). Introduction to Metamathematics. Ishi Press International. p. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). An introduction to mathematical logic and type theory to truth through proof (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. p. 233. ISBN 1-4020-0763-9.