설정된 ID 및 관계 목록

이 글에는 조합, 교차로 및 보완의 이론적 운영과 세트 평등 및 세트 포용의 관계를 포함하는 수학적 특성 및 세트 법칙이 나열되어 있다.또한 이러한 연산 및 관계를 포함하는 표현을 평가하고 계산을 수행하기 위한 체계적인 절차를 제공한다.

세트 유니언${\displaystyle }$set$$union, \$displaystyle$$cup }$ )과 교차점$({\displaystyle \cap$ $\})$의 이진 연산은 많은 정체성을 만족시킨다.이러한 신분이나 "법령"들 중 몇몇은 잘 확립된 이름을 가지고 있다.

표기법

Throughout this article, capital letters such as ${\displaystyle A,B,C,L,M,R,S,}$ and ${\displaystyle X}$ will denote sets and ${\displaystyle \wp (X)}$ will denote the power set of ${\displaystyle X.}$ If it is needed then unless indicated otherwise, it should be assumed that ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$는 우주 세트를 나타내며$$, 이는 공식에 사용되는 모든 세트가 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$ 특히$$, $세트{\displaystyle }$ L$${\$displaystyle$L}의 보어는 ${\displaystyle L^{}}$ C ${\$ L$^{C}$로 표시되며$$, 여기서$$ 달리 표시되지 않는 한 ${\displaystyle L^{}}$ $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$displaysty}라고 가정해야 한다.$\displaystyle L^{C}}$는 (우주) $X{\displaystyle .}${\$displaystyle X.}$에 $있는{\displaystyle }$ L ${\displaystyle$L}의 보어를 의미한다$$.

일반적으로 $집합{\displaystyle }$ L$${\$displaystyle L}$은(는) L eft most set, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) M $set$, R {\displaystyle $R}$은(는) R icg most set를 나타낸다$$.

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 및$$ $R{\displaystyle }$, ${\displaystyle R,}$ 집합에 대해 다음을 정의하십시오$$.

그리고

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$과(와) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 대칭적인 차이는 다음과$$ 같다.^[1][2]

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 일부 다른 $집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 하위 집합으로 이해되는 집합인 경우(문맥에서 또는 명확하게 명시되어 있기 때문에) 집합$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 보수는 다음과 같이 나타낼 수 있다$$.$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{\operatorname {C} }=X\setminus L}$의 정의는 상황에 따라 달라질 수 있다$$.For instance, had ${\displaystyle L}$ been declared as a subset of ${\displaystyle Y,}$ with the sets ${\displaystyle Y}$ and ${\displaystyle X}$ not necessarily related to each other in any way, then ${\displaystyle L^{\operatorname {C} }}$ would likely mean ${\displaystyle Y\setminus L}$$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle L}$. ${\displaystyle X\setminus L.}$ 대신

정확히 많은 집합과 집합의 대수

A family ${\displaystyle \Phi }$ of subsets of a set ${\displaystyle X}$ is said to be an algebra of sets if ${\displaystyle \varnothing \in \Phi }$ and for all ${\displaystyle L,R\in \Phi ,}$ all three of the sets ${\displaystyle X\setminus R,\,L\cap R,}$ and ${\displa$$ystyle L\cup R}$은(는) $\phi {\displaystyle \mathrm{}.}$ ${\displaystyle \Phi.}$ 이 항목에 대한 기사에는^[3] 이 세 가지 작업에 대한 세트 ID 및 기타 관계가 나열되어 있다.

모든 집합의 대수학도 집합의^[3] 링과 π-system이다.

집합 집합 집합에서 생성된 대수

}X의 하위 집합,{X\displaystyle,}이 세트의 X{X\displaystyle}에서 유일한 smallest[노트 1]대수 S다.{\displaystyle{{S\mathcal}}.}[3]은 가정 S{\displaystyle{{S\mathcal}}을 감안할 때 그것은 대수 S{\displaystyle{{S\mathcal}에 의해}생성된 디렉터리이골 것이다. b이 나타내다Y $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$. ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}.$ 이$$ 대수학은 다음과 같이 구성할 수 있다.^[3]

1. $S{\displaystyle \mathcal{}}$= $∅{\displaystyle {\mathcal {S}=\varnothing}}$이면 ${\displaystyle {\phi S}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle \varnothing }$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \Phi \{\mathcal{S}=\\\\varnothy,$X\}} 그러면$$ 끝이다.Alternatively, if ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is empty then ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ may be replaced with ${\displaystyle \{\varnothing \},\{X\},{\text{ or }}\{\varnothing ,X\}}$ and continue with the construction.
2. $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$을(를) 보완물과 함께$$ $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있는 모든 세트의 패밀리가 되도록$$ 한다($X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}).$
3. $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$}을 $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}_{0}$에 있는 세트의 가능한 모든 유한 교차로 패밀리가 되도록$$ 한다.$}$^{[note 2]}
4. 그러면 $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$S}$에 의해 생성된 대수는 ${\displaystyle S_{\mathrm{}}}$ $1{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$.${\displaystyle$ $\Phi _{\mathcal{S}}$에서 세트의 가능한 모든 유한 결합으로 구성된$$ 집합 ${\displaystyle {setS}_{}}$ ${\$ ${\mathcal}{S}}이다.$$}$

하나의 하위 집합이 관련됨

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle L\subseteq X.}$을(를) 가정해 보십시오.

ID:^[4]

그렇지만따라서 so$$= $L$인 $\text{경우}$및 $L$인 $\text{경우}$에만 .${\textstyle \varnote \setminus$ L=$L{\text{{}인 경우$및$}$

Idempotence^[4] 및 Nilpotence:

지배:^[4]

그렇지만$따라서$ $L\setminus$=$\varnothing$인 $\text{경우}$에만$\mathrm{\varnothing .}$ ${\textstyle L\setminus \varnothing =\varnothing{{}}}$

이중 보완 또는 비자발적 법칙:

^[4]

^[4]

기타 속성:

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 설정된 경우 다음 사항이 동일함:

1. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$이(가) 비어 있지 않음(${\displaystyle }$ $∅$ {\$displaystyle L\neq$ \$varnothing$}) 즉,$$ ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle \mathrm{}}$x ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle x}$ $∉$ L${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}${\$displaysty \lnot [\forall$ x $(x\in L)]]}).$
2. (클래식 수학에서) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(${\displaystyle 가}$) 거주하고 있으며$$, 의미는 $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ x${\displaystyle }$( x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \exists$ x $(x\in$ L$)}$이다.
   • 건설 수학에서 "비지 않음"과 "거처됨"은 동등하지 않다: 모든 거주 세트는 비어 있지 않지만 그 반대는 항상 보장되지 않는다. 즉, 건설 수학에서 비어 있지 않은 세트$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$을(의 정의에 따르면 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은 비어 있음)"은 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \notin }$ L )$${}을 의미한다.$\displaystyle \forall x(x\not \in L)}$이(가) 참일 수 있음(${\displaystyle x}$는 x${\displaystyle }$${\$$displaystyle$$$$x\in$ L$}).$
3. ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ ${\displaystyle \mathrm{세트}}$ $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$L$\not \subseteq$ R$}$에 대한$$ L ⊈${\$$displaystyle R}$

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 설정된 경우 다음 사항이 동일함:

1. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$이(가) 비어 있음($$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle$ L${\displaystyle =\backslash }$$varnothing }),$ 즉$,$x${\displaystyle }$($x\not \in$ L$)}$
2. ${\displaystyle \mathrm{모든}\mathrm{세트}}$ $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle L\cup R\subseteq$ R}에$$ 대해 $L$set${\displaystyle }$R {\$displaystyle R}$
3. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 세트 $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle L\subseteq R}$에 대한 L ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\$$displaystyle R}$
4. ${\displaystyle L}$ every ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\subseteq R\setminus L}$의 $일부{\displaystyle }$/매$$세트 R {\$displaystyle$ R$}$에 대한 L ${\displaystyle \subseteq }$ R }.
5. ${\displaystyle \varnothing /L=L}$

2세트 포함

다음 ID의 왼쪽에서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) L eft 가장 많이 설정되고 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 가장 많이 설정된다.${\displaystyle \text{L}}$과 ${\displaystyle R}$ ${\$$displaystyle$ L${\text{$및$}}R}$이(가) 일부 우주$$ $집합$의 $하위$ 집합이라고 가정하십시오$.$

기본 작동 특성

다음 ID의 왼쪽에서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) L eft 가장 많이 설정되고 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 가장 많이 설정된다.Whenever necessary, both ${\displaystyle L{\text{ and }}R}$ should be assumed to be subsets of some universe set ${\displaystyle X,}$ so that ${\displaystyle L^{C}:=X\setminus L{\text{ and }}R^{C}:=X\setminus R.}$

두 집합과 관련된 속성

드 모건의 법칙:

$L{\displaystyle }$, ${\displaystyle Rr}$ X${\displaystyle }$: ${\displaystyle L,R\subseteq X:}$

흡수 법칙:

동시성:^[4]

셋트 뺄셈은 서로 맞지 않는다.단, ${\displaystyle \mathrm{세트}}$ ${\displaystyle 뺄셈}$의 정류율은 (L ${\displaystyle \setminus }$ R${\displaystyle }$)${\displaystyle }({\displaystyle }$ ${\displaystyle (R}$ ${\displaystyle \setminus }$ L${\displaystyle }$) =${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle (L\,\setminus \,R)\cap (R\,\setminus \,L)=\var$ nothing $}$에서 다음과 같은 특성을 나타낼 수 있다.

Said differently, if distinct symbols always represented distinct sets, then the only true formulas of the form ${\displaystyle \,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,=\,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,}$ that could be written would be those involving a single symbol; that is, those of the form: ${\displaystyle S\setminus S=S\setminus S.}$${\displaystyle S\,\setminus \,S=S\,\setminus \,S.}$ But such formulas are necessarily true for every binary operation ${\displaystyle \,\ast \,}$ (because ${\displaystyle x\,\ast \,x=x\,\ast \,x}$ must hold by definition of equality), and so in this sense, set subtraction is as diametrically opposite to being c이항 연산을 위해 가능한 한 ommutative.Set subtraction is also neither left alternative nor right alternative; instead, ${\displaystyle (L\setminus L)\setminus R=L\setminus (L\setminus R)}$ if and only if ${\displaystyle L\cap R=\varnothing }$ if and only if ${\displaystyle (R\setminus L)\setminus$$L=R\setminus(L\setminus L).$$}$ 셋 뺄셈은$$ 준확정적이며 요르단 정체성을 만족시킨다.

기타 속성

• Given any ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \quad x\not \in L\setminus R\quad {\text{ if and only if }}\quad x\in L\cap R{\text{ or }}x\not \in L.}$
• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle L\cap$ R$=\varnothing }$인 경우 ${\displaystyle \text{L}}$= ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle L=R{\text{{}$인 경우 및 }}}{{{{$L=\varnothy$= $R인 경우$에만 L = R$.$$}$
• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\subseteq R}$인 경우:
  • $L\displaystyle L\,\triangle \,R=R\setminus L}$

다음 문장은 동일하다.

1. $L=R}$
2. $\displaystyle L\,\triangle \,R=\varnothing }$
3. $L\\displaystyle L\,\setminus \,R=R\,\setminus \,L}$

부분집합포함

다음 문장은 $L{\displaystyle }$, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$에 대해 동일하다${\displaystyle :}$ ${\displaystyle L,R\subseteq$ X$:}$

1. $L\subseteq R}$
2. $L\displaystyle L\cap R=L}$
3. $L\cuperstyle L\cup R=R}$
4. $L\displaystyle L\,\triangle \,R=R\setminus L}$
5. $L\displaystyle L\,\triangle \,R\subseteq R\setminus L}$
6. $L\setminus R=\varnothing }$
7. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle L}$ ${\$ X$\subseteq$ X$\setminus L\qquad }($$즉{\displaystyle {}^{}}$, R ${\displaystyle C^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $^{C}\subseteq$ L$^{C$

다음 문장은 $L{\displaystyle }$, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$에 대해 동일하다${\displaystyle :}$ ${\displaystyle L,R\subseteq$ X$:}$

1. $\displaystyle L\not \subseteq R}$
2. $L$\setminus R${\displaystyle .}$에 L${\displaystyle l}$ ${\displaystyle L.}$ {.$${\$displaystyle l\in$ = L$\setminus R.}$이(가) 있다.

미팅, 조인트 및 격자 특성

포함은 부분 순서: 명시적으로, 이는 이진 연산인 포함 ${\displaystyle ,}$ , ${\$\,\$subseteq ,\}$이(가) 다음과 같은 세 가지 속성을 가지고 있음을 의미한다.^[4]

• 반사율: $L$ $\subseteq$ L ${\textstyle$ L$\subseteq L}$
• 대칭: ( $L$ $\subseteq$R $\text{및}$ $R$ $\subseteq$ $\text{L}$) $L$= $R$ ${\textstyle(L\subseteq R{\text}$및$}}R\subseteq$ L$){\text}{{{{}}}}.$
• Transitivity: $L$ $\subseteq$ $\text{M}$과 $M$ $\subseteq$ $\text{R이면}$ $L$ $\subseteq$ R ${\textstyle {\textyle{$$}}{}L\subseteq M{\text{} 및 }M\subseteq R{\text{{}L\subseteq R}인 경우$

다음 명제는 $S{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle S,}$ 집합에 대해 포함에 의해$$ $정렬$된 S${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle S,}$의 전원$$ 집합은 경계 격자이며, 따라서 위의 분배 및 보완 법칙과 함께 부울 대수임을 나타낸다.

최소 요소 및 최대 요소의 존재:

조인/초기화 존재함:^[4]

${\displaystyle \mathrm{조합}}$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ R ${\displaystyle L\cup R}$은 다음과$$ 같은 이유로$display$ {\displaystyle$$\,\$subseteq \}$에 $대한$ L ${\displaystyle L}$ $및$ R ${\\displaystytle$ R$}$의 결합/중복이다$$.

1. ${\displaystyle L}$$$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\subseteq L\cup R}$ 및$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle$ R$\subseteq L\cup$ R$,}$ 및
2. $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \subseteq }$ Z ${\displaystyle L\subseteq Z}$ 및 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ Z ${\displaystyle R$${\displaystyle \backslash }$$subseteq$ $Z$$}$와 같은$$집합인 경우 L if$$$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle Z.}$ {\$displaystystyle L\cup R\seteq$ Z$.$$}$

교차로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\cap R}$은(는$)$ ${\displaystyle \supseteq .}$ ${\$$displaystyle L}$ 및 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 결합/중복이다${\displaystyle .}$ {\$displaystyle \,\supsetq .\,}$

미팅/최소값 존재:^[4]

교차로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\cap R}$은 $다음$과 같은 이유로$$because$$$$ {\$displaystyle \,\subseteq \}$에 대한 L ${\displaystyle L}$ 및$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ R$}$의 $충족$/최소값이다$$.

1. $L{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ L ${\displaystyle L\cap R\subseteq L}$ 및$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle L\cap R\subseteq$ R$,}$ 및
2. $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$ Z$\subseteq L}$ $및{\displaystyle }$ Z ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\$$displaystyle$ Z$\$$subseteq L\cap R}$과(가$$$$) 같은 집합인 경우$,$ $l$ L.

$조합{\displaystyle }$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ R ${\displaystyle$ L$\cup R}$은(는$)$ ${\displaystyle \supseteq .}$ ${\$$displaystyle L}$ 및$$ R ${\displaystyle R}$과(와)의 조합이다. {\$displaystyle \,\supsetq .\,}$

기타 포함 속성:

• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\subseteq X}$ $및$ R ${\displaystyle \subseteq }$ Y ${\displaystyle R\subseteq Y}$일 경우 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L\timeeseq$ X$\times Y}$
• ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ x$\not \in L\setminus R}$의 경우 또는 x ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x\not \in L}$ $또는{\displaystyle }$ x \ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x\in L\cap R}$인 경우에만 해당됨

3세트 포함

다음 ID의 왼쪽에서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) L eft most set, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) Middle 세트, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) Right most set이다.

우선 순위 규칙

기본 세트 사업자의 우선 순위에 대해서는 보편적인 합의가 없다.그럼에도 불구하고, 많은 저자들은 정해진 운영자들에게 우선 순위 규칙을 사용한다. 비록 이 규칙들은 저자에 따라 다르지만 말이다.

One common convention is to associate intersection ${\displaystyle L\cap R=\{x:(x\in L)\land (x\in R)\}}$ with logical conjunction (and) ${\displaystyle L\land R}$ and associate union ${\displaystyle L\cup R=\{x:(x\in L)\lor (x\in R)\}}$ with logical 분리(또는) ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \vee }$ R${\displaystyle }$, ${\displaystyle L\lor$ R$,}$을(를) 한 다음 이러한 논리 연산자(여기서 ${\displaystyle \wedge }$ ${\$은$($는) where${\$$displaystyle$ $\,\$$cap$$$$\,\}$보다 우선하므로$∩.$$.\,}$ So for example, ${\displaystyle L\cup M\cap R}$ would mean ${\displaystyle L\cup (M\cap R)}$ since it would be associated with the logical statement ${\displaystyle L\lor M\land R~=~L\lor (M\land R)}$ and similarly, ${\displaystyle L\cup M\cap R\cup$$Z}$ would mean ${\displaystyle L\cup (M\cap R)\cup Z}$ since it would be associated with ${\displaystyle L\lor M\land R\lor Z~=~L\lor (M\land R)\lor Z.$$}$

때때로 set component (subtraction) ${\displaystyle \setminus }$ ${\$은${\displaystyle (\mathrm{}}$는) 논리적 보완${\displaystyle (}$not), ${\$과도 연관되는데$$, 이 경우 가장$$ 높은 우선 순위를 갖는다.More specifically, ${\displaystyle L\setminus R=\{x:(x\in L)\land \lnot (x\in R)\}}$ is rewritten ${\displaystyle L\land \lnot R}$ so that for example, ${\displaystyle L\cup M\setminus R}$ would mean ${\displaystyle L\cup (M\setminus R)}$ since it would 논리문명 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ∧ ${\displaystyle R}$ {\$displaystyle$ L$\land \land$ \$lot$ R$}$과 $동일$한 L ${\displaystyle \vee }$(${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle R}$)${\displaystyle L\lor (M\land \lot$ R)로 다시 작성한다.$}$ For another example, because ${\displaystyle L\land \lnot M\land R}$ means ${\displaystyle L\land (\lnot M)\land R,}$ which is equal to both ${\displaystyle (L\land (\lnot M))\land R}$ and ${\displaystyle L\land ((\lnot M)\land$$R)~=~L\land (R\land (\lnot M))}$ (where ${\displaystyle (\lnot M)\land R}$ was rewritten as ${\displaystyle R\land (\lnot M)}$), the formula ${\displaystyle L\setminus M\cap R}$ would refer to the set ${\displaystyle (L\setminus M)\cap R=L\cap (R\setminus M);$$}$ moreover, since ${\displaystyle L\land (\lnot M)\land R=(L\land R)\land \lnot M,}$ this set is also equal to ${\displaystyle (L\cap R)\setminus M}$ (other set identities can similarly be deduced from propositional calculus identities in this way).However, because set subtraction is not associative ${\displaystyle (L\setminus M)\setminus R\neq L\setminus (M\setminus R),}$ a formula such as ${\displaystyle L\setminus M\setminus R}$ would be ambiguous; for this reason, among others, set subtraction is often not assigned any precedence at all.

Symmetric difference ${\displaystyle L\triangle R=\{x:(x\in L)\oplus (x\in R)\}}$ is sometimes associated with exclusive or (xor) ${\displaystyle L\oplus R}$ (also sometimes denoted by ${\displaystyle \,\veebar }$), in which case if the order of precedence from highest to lowest is $$${\displaystyle \,\lnot ,\,\oplus ,\,\land ,\,\lor \,}$ then the order of precedence (from highest to lowest) for the set operators would be ${\displaystyle \,\setminus ,\,\triangle ,\,\cap ,\,\cup .}$ There is no universal agreement on the precedence of exclusive disjunction ${\displaystyl$$e$ $\,\oplus \,}$ 다른 논리 연결 장치에 대해 대칭적 차이 -${\$이(가) 종종 우선 순위가 할당되지$$ 않는 이유

연관성

정의:이진 연산자${\displaystyle }$operator${\$는${\displaystyle }$(${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ast }$ M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ast }$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ast }$(${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle R}$ )$displaystyle (L\,\ast \,M$)\$ast \, \ast$ \, \ast \}이$(M\,\,\,\ast,$R)가 항상$$ 유지되는 경우 연상 연산자)라고 한다$$.

다음 집합 연산자는 연관성이 있다.^[4]

집합 감산(set 뺄셈)의 경우, 연상성 대신 항상 다음 사항만 보장된다.

여기서 동등성은 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle L\cap$ R$=\varnothing}$인 경우에만 유지된다(이 조건은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 따라 달라지지 않음).$$$$Thus ${\textstyle \;(L\setminus M)\setminus R=L\setminus (M\setminus R)\;}$ if and only if ${\displaystyle \;(R\setminus M)\setminus L=R\setminus (M\setminus L),\;}$ where the only difference between the left and right hand side set equalities is that the locations of${\displaystyle \text{L}}$과 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L{\text{$및$}}R}$이(가) 교환되었다$$.

분배성

정의:$\ast {\displaystyle }$ 및 ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle\ast {\text{$및$}}\bullet }$이(가) 이진 연산자인 경우,${\displaystyle }$∙ ${\$이(가$$) 왼쪽이 ${\displaystyle \bullet }$ ${\$\,\$bullet \}$에 걸쳐 분포한다.

반면$【\$은(는) ${\displaystyle \bullet }$ ${\$에 오른쪽이 분포되어 있다(는 경우$$).연산자 ${\displaystyle \ast }${\$displaystyle \,\ast \,}$이(가) ${\displaystyle \bullet }$ ${\$\,\$bullet$\,} ${\displaystyle \bullet }$에 왼쪽과 오른쪽이 모두 분산되면${\displaystyle }$∙ . ${\$위의 정의에서$$ 한쪽을 다른 쪽으로 변환하기 위해 가장 안쪽에 있는 연산자( 괄호 안의 연산자)가 된다.자궁근종 연산자와 가장 바깥쪽 연산자가 가장 안쪽 연산자가 된다.

올바른 분배율:^[4]

왼쪽 분포도:^[4]

설정된 감산이 왼쪽 분포에 실패함:

세트 뺄셈은 그 자체에 대한 올바른 분배다.그러나 집합 뺄셈은 일반적으로 다음과 같은 것만이 보장되기 때문에 그 자체에 대한 왼쪽 분배는 아니다.

where equality holds if and only if ${\displaystyle L\,\setminus \,M=L\,\cap \,R,}$ which happens if and only if ${\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\setminus M\subseteq R.}$

For symmetric difference, the sets ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)}$ and ${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\triangle \,(L\,\setminus \,R)=L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)}$ are always disjoint.So these two sets are equal if and only if they are both equal to ${\displaystyle \varnothing .}$ Moreover, ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)=\varnothing }$ if and only if ${\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\subseteq M\cup R.}$

조합 또는 교차로에 대한 집합 뺄셈의 왼쪽 분포도를 조사하려면 De Morgan의 법률에 포함된 집합이 모두 어떻게 관련되는지 고려하십시오.

항상 일반적이지만 평등은 보장되지 않는다.Equality holds if and only if ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\;\subseteq \;L\,\setminus \,(M\,\cup \,R),}$ which happens if and only if ${\displaystyle L\,\cap \,M=L\,\cap \,R.}$

De$$ Morgan의 법률에 대한 이러한 관찰은${\displaystyle }$only ${\$$$or$$${\displaystyle }$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \,\cup$\} 또는 over ${\$에 대해 좌분배되지 않음을 보여준다.

여기서 동일성은 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle inclusion}$ M =${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle L\,\cap \,M=L\,\cap$ \cap \cap \,$R.}$인 경우에만 위의 두 포함 공식 중 하나를 유지(또는 동등하게)한다.

다음 문장은 동일하다.

1. $L\cap M\,=\,L\cap R}$
2. $L\displaystyle L\,\setminus \,M\,=\,L\,\setminus \,R}$
3. ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R);}$ that is, ${\displaystyle \,\setminus \,}$ left distributes over ${\displaystyle \,\cap \,}$ for these three particular sets
4. ${\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R);}$ that is, ${\displaystyle \,\setminus \,}$ left distributes over ${\displaystyle \,\cup \,}$ for these three particular sets
5. $\\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\,=\,L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)}$
6. $L\cap(M\cup R)\,=\,=\,L\cap M\cap R}$
7. $L\cap(M\cup R)~\subseteq ~M\cap R}$
8. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \text{⊆}}$ ${\displaystyle \text{M}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \text{⊆}}$ ${\displaystyle \text{R}}$ ${\displaystyle \;L\cap M~~\subseteq ~R}$
9. $L\setminus(M\setminus R)\,=\,L\setminus(R\setminus M)}$
10. $L\setminus (M\setminus R)\,=\,\,L\setminus (R\setminus M)\,=\,\,L}$

준확률:

항상 가지고 있지만, 일반적으로,However, ${\displaystyle L\setminus (M\setminus R)~\subseteq ~L\setminus (R\setminus M)}$ if and only if ${\displaystyle L\cap R~\subseteq ~M}$ if and only if ${\displaystyle L\setminus (R\setminus M)~=~L.}$

분배성 및 대칭적 차이:

대칭 차이에 걸쳐 분포된 교차점:

연합은 일반적으로 다음 사항만 보장되기 때문에 대칭 차이에 대해 분배하지 않는다.

대칭적 차이는 그 자체로 분산되지 않는다.

and in general, for any sets ${\displaystyle L{\text{ and }}A}$ (where ${\displaystyle A}$ represents ${\displaystyle M\,\triangle \,R}$), ${\displaystyle L\,\triangle \,A}$ might not be a subset, nor a superset, of ${\displaystyle L}$ (and the same is true for ${\displaystyle A}$$$).

뺄셈 복잡성 설정:세트 뺄셈을 수반하는 많은 아이덴티티를 관리하기 위해, 이 절은 세트 뺄셈 동작과 괄호가 아이덴티티 좌측에 위치하는 위치에 근거하여 나뉜다.${\displaystyle \cup ,}$∩, ${\displaystyle \cap ,}$∩, {\$displaystyle$\,\$cup,\cap ,},$${,$ {, {, \, \, {, {\$displaystyle \triangle ,\,}$세트 감산은$$$$ 연관성이 없거나 공통적이지 않으며, over에 대한 분배도 않다는 사실에 부분적으로 기인한다.${\displaystyle \cup ,}$ ${\displaystyle \cap ,\mathrm{}}$△,${\displaystyle }$△, {, {, $\displaystyle$\,\$cup$,\cap,\$cap,$ },$$}, }, }, }, }, 또는$$

두 측정 시스템 모두 감산이 설정됨

• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \text{M이면}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle (M}$ ${\displaystyle \setminus }$ R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\subseteq$ M${\text{}}{}L\setminus (M\setminus$ R$)=$$L\cap R}$
• $$${\displaystyle L}$ $\setminus$($M$ $\setminus$ $R$) $\subseteq$ $(L$ $\setminus$ M$$) $\cup$ $R$ ${\textstyle L\setminus (M\setminus$ $R$$)\subseteq (L$$\setminus$ $M)\cup$ R$}$의 경우와 동일한 경우에만$$ 동등하게 L ${\displaystyle \cup .}$

왼쪽에 감산 설정

왼쪽 괄호

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\cap R&=(&&L\cap R)\setminus (M\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap R)\setminus M\\&=&&L\cap (R\setminus M)\\\end{alignedat}}}$^[5]

오른쪽 괄호

오른쪽에 감산 설정

왼쪽 괄호

오른쪽 괄호

${\displaystyle {\reasonedat}{4}L\cap (M\setminus R)&=(&&L\cap M)&&\setminus (L\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap M)&&\setminus R\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\\end{alignedat}}}$^[5]

세 연산자

형식$({\displaystyle L}$ ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \ast }$( ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle R}$) ${$ (\ $displaystyle (L\bullet M)\ast (M\bullet$ R$)}$의 연산$:$

형식$({\displaystyle L}$ ${\displaystyle \bullet }$ M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ast }$(${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle M}$) { (R ∖ M ) ${\displaystyle (L\bullet$ M$)\ast (R\,\setminus \,M$

양식$({\displaystyle L}$ ${\displaystyle \setminus }$ M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ast }$(${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \setminus }$ R${\displaystyle }$) { (L ∖ R ) ${\displaystyle (L\,\setminus \,M)\ast (L\,\setminus \,R$

기타 속성:

• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\subseteq M}$일 경우 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle R}$= L ${\displaystyle \cap }$(${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle L\setminus R=L\cap (M\setminus R)$$}$^[5]
• $[\displaystyle L\time (M\,\setminus R)=(L\time M)\,\setminus (L\time R)}}$
• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\subseteq R}$인 경우 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle M\seteminus$R$\seteq M\setminus L.}$
• ${\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing }$ if and only if for any ${\displaystyle x\in L\cup M\cup R,}$ ${\displaystyle x}$ belongs to at most two of the sets ${\displaystyle L,M,{\text{ and }}R.$$}$

임의 집합 패밀리

Let ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J},}$ and ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ be families of sets.가정할 때마다 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ $및{\displaystyle }$ J$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle J}$과 같은 모든 인덱싱 세트가 비어 있지 않은 것으로 가정한다$$.

정의들

임의 결합 정의

${\displaystyle \bigcup _{i}L_{i}~~\colon =~\x~{x~{\text{{}}}}}}}}}}{{\text{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}이(가) 있는 }i\i\inside가 있다.$[4]

(화면 1)

If ${\displaystyle I=\varnothing }$ then ${\displaystyle \bigcup _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ there exists }}i\in \varnothing {\text{ such that }}x\in L_{i}\}=\varnothing ,}$ which is somethings called the nullary union convention (관례라고 불렸음에도 불구하고, 이 평등은 정의로부터 따른다.

임의 교차점 정의

만약 $내$가 ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle I\neq \varnothing}$을(를) \다면$$^[4],

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}L_{i}~~\colon =~\{x~:~x\in L_{i}{\text{ for every }}i\in I\}~=~\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in I{\text{ then }}x\in L_{i}\}.}$

(Def.2)

무효 교차로

$I{\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle I=\varnothing }$인 경우

where every possible thing ${\displaystyle x}$ in the universe vacuously satisfied the condition: "if ${\displaystyle i\in \varnothing }$ then ${\displaystyle x\in L_{i}}$". Consequently, ${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x:{\text{ true }}\}}$ cons우주 만물의 섬들

$따라서{\displaystyle }$ I${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle I=\varnothing }$ 및$$:

1. if you are working in a model in which there exists some universe set ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~x\in L_{i}{\text{ for every }}i\in \varnothing \}~=~X.$$}$
2. otherwise, if you are working in a model in which "the class of all things ${\displaystyle x}$" is not a set (by far the most common situation) then ${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }L_{i}}$ is undefined because ${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }L_{i}}$ consists of ever$\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle L_{}}$ i ${\$\bigcap $_{i\in \varnothing }L_{i}}}$을(를) 세트가 아닌 적절한 클래스로 만든다$$.

가정:따라서 공식이 임의 교차점이 잘 정의되기 위해 일부 인덱싱 세트를 비워두지 않아야 할 때마다, 이는 언급 없이 자동으로 가정될 것이다.

이에 따른 가정/정의는 다음과 같다.

집합의 유한 교차점 또는 정밀하게 많은 집합의 교차점은 하나 이상의 집합의 유한 집합의 교차점을 말한다.

일부 저자들은 집합의 빈 교차점이 어떤 표준 집합과 같다는 소위 무효 교차점 규약을 채택한다.특히 모든 세트가 특정 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 집합인 경우 일부$$ 작성자는 이들 집합의 빈 교차가 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$}$과 같다고 선언할 수 있지만$$, 무효 교차로 규약은 무효 조합 규약만큼 일반적으로 받아들여지지 않으며 이 조항은 이를 채택하지 않는다(이는 다음과 같다).빈 조합과 달리 $빈{\displaystyle }$ 교차로 값은 X ${\displaystyle X}$에 따라 달라지기 때문에$$ 고려 중인 집합이 여러 개 있으면 빈 교차로 값이 모호해질 위험이 있다.

다중 인덱스 세트

동시성과 연상성

동시성:^[4]

조합 및 교차로 교차로:^[4]

${\displaystyle \left(\bigcup _{i_{i}\오른쪽)\\cup \lift(\bigcup _{j\in J}R_{j}\오른쪽)\\\\\\bigcup_{\lackreline J}\}\{j}\li}오른쪽)\cupput}$[4]

(Eq. 2a)

${\displaystyle \left(\bigcap _{i_{i}\오른쪽)\cap \left(\bigcap _{j}R_{j}\right)\cap \cap \{dackrel {i\in J}\i}\{j}\rig}\rig}\right}\cap \right}$[4]

(Eq. 2b)

${\displaystyle I}$ =${\displaystyle }$J ${\displaystyle$ I=$J}$인 경우$$:^{[note 3]}

$\displaystyle \left(\bigcup _{i_{i}\right)\cup \lift(\bigcup _{i_{i}\bigcup _{i}\ipt(L_{i}\cup R_{i}\ri}\ri}\rig)\right}$[4]

(Eq. 2c)

${\displaystyle \left(\bigcap _{i_{i}\오른쪽)\cap \left(\bigcap _{i_{i}\right)\cap \{i}\bigcap _{i}\right}$[4]

(Eq. 2d)

유니언 및 교차로 분산

임의 유니언의 이진 교차점

$\displaystyle \left(\bigcup _{i}\right)\cap R~=~\bigcup _{i}\lift(L_{i}\cap R\right)}$

(Eq. 3a)

${\displaystyle \left(\bigcup _{i_{i}\오른쪽)\cap \left(\bigcup _{j}R_{j}\오른쪽)\cap \cap \lift(L_{i}\cap }오른쪽)\cap \copeft.$[5]

(Eq. 3b)

• If all ${\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ are pairwise disjoint and all ${\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J}}$ are also pairwise disjoint, then so are all ${\displaystyle \left(L_{i}\cap R_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J$$}}$ (that is, if ${\displaystyle (i,j)\neq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ then ${\displaystyle \left(L_{i}\cap R_{j}\right)\cap \left(L_{i_{2}}\cap R_{j_{2}}\right)=\varnothing }$).

• 중요한 것은 $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I=J}$ 그러면 일반적으로
  $$\displaystyle ~\좌(\bigcup _{i}\우)\cap \좌(\bigcup _{i}R_{i}\우)~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}}{}}~\빅컵 _{i}\왼쪽(L_{i}\cap R_{i}\오른쪽)~}$$

  
  (예는 이 각주를^{[note 4]} 참조하십시오).우측의 단일 결합은 모든 쌍$i$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \times }$ I${\displaystyle }$: ${\displaystyle ($i$,j)\$in I$\time$ I$:}$ 위에 있어야 한다.
  $$\displaystyle ~\좌(\bigcup _{i}\우)\cap \좌(\bigcup _{i}R_{i}\우)~~=~\빅컵 _{\stackrel {i\in I,}{j\}\왼쪽(L_{i}\cap R_{j}\오른쪽).~}$$

  
  일반적으로 두 가지(잠재적으로 관련이 없는) 색인 $세트{\displaystyle }$ I ${\displaystyle I}$ 및 $J$ ${\displaystyle$ J$}($예: Eq. 4b 또는 Eq. 7g^[5])에 의존하는 다른 유사한 비경쟁 집합 동등성 및 관계도 동일하다.두 가지 예외는 Eq. 2c(조합의 유니언)와 Eq. 2d(교차로 구간)이지만, 이 두 가지 모두 설정 평등의 가장 사소한 것에 속하며, 더욱이 이러한 평등의 경우에도 여전히 증명되어야 할 것이 있다.^{[note 3]}

임의 교차로 바이너리 결합

$\displaystyle \left(\bigcap _{i}\right)\cup R~=~\bigcap _{i}\left(L_{i}\cup R\right)}$

(Eq. 4a)

${\displaystyle \left(\bigcap _{i_{i}\right)\cup \lift(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)\\\\bigcap _{\in J}\}\{j}\li}\rig}\right}\cupt}\cup}\cup \cup \cup}$[5]

(Eq. 4b)

임의 교차점 및 임의 결합

순순히 교환하는 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{apping}}\underset{}{}}$i ${\displaystyle \underset{}{\{}}$ I $displaystyle \;\bigcup _{i\in I}\;}$ 및$$${\displaystyle \underset{}{}}$⋂ ${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ J $displaystyle \;\bigcap _{j\in J}\};}$은(는) 다른 세트를 생성할 수 있다$$.

다음 포함은 항상 유지된다.

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\왼쪽(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\오른쪽)~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}}{}~\bigcap _{j\j}\좌측(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\오른쪽)}}$

(폐쇄 1 ∪∩은 ∩∪의 하위집합)

일반적으로, 평등, 게다가 지켜지지 않아도 되는 어떻게, 각각을 위한 내 ∈ 고정에,{\displaystyle i\in 나는,} 따라 세트(S나는, j)j∈ J{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{j\in J}}이 레이블(예를 보면 이 footnote[노트 5] 보)과 유사한 성명은 또한 사실 좌측. 뿐만 아니라.. Equality can hold under certain circumstances, such as in 7e and 7f, which are respectively the special cases where ${\displaystyle S_{i,j}\colon =L_{i}\setminus R_{j}}$ and ${\displaystyle \left({\hat$${S}}_{j,i}\right)_{(j,i)\in J\times I}\colon =\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)_{(j,i)\in J\times I}}$ (for 7f, ${\displaystyle I}$ and ${\displaystyle J}$ are swapped).분배 법칙을 확장하는 올바른 공식의 경우$∪{\displaystyle \cup }$과(와)$\$ {\$displaystyle \cap }$을(를) 전환하는$$ 것 이외의 접근법이 필요하다$$.

분배법

Suppose that for each ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle J_{i}}$ is a non-empty index set and for each ${\displaystyle j\in J_{i},}$ let ${\displaystyle T_{i,j}}$ be any set (for example, to apply this law to ${\displaystyle \left$$(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}$ use ${\displaystyle J_{i}\colon =J}$ for all ${\displaystyle i\in I}$ and use ${\displaystyle T_{i,j}\colon =S_{i,j}}$ for all ${\displaystyle i\in I}$ and all ${\displaystyle j\in J_{i}=J}$).내버려두다

모든 기능 f의 $집합$으로 해석할 수 있는 데카르트 제품을 나타낸다${\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{I}}$→ ${\displaystyle \text{⋃}\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle J_{}}$ I ${\$ f$~:~$$I~\to ~\빅컵 _{i\in I}J_{i}}$ 그런 $f$ (${\displaystyle i}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{every<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f(i)\backslash in\; J\_\{i\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6538b130bf58b5ade735f9b91adcb082e53475a1"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.821ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="1765">}}$ I${\displaystyle .}${\$displaystyle$ i$\in.}$ 그 다음$$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\왼쪽[\;\bigcup _{j\in J_{i}}}}T_{i,j}\right]=\빅컵 _{f\in \prod J_{\bullet }}}\왼쪽[\;\\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}\right]}}}}$

(Eq. 5 ∩∪ ~ ∪∩)

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\왼쪽[\;\bigcap _{j\in J_{i}}}}T_{i,j}\right]=\빅캡 _{f\in \prod J_{\bullet}}}\왼쪽[\;\\bigcup _{i}T_{i,f(i)}\right]}}}}$

(Eq. 6 ∪∩ ~ ∩∪)

여기서 $\prod {\displaystyle }$ ${\displaystyle \underset{}{J}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}{}_{}}$: =${\displaystyle \text{∏}\underset{}{}}$ I ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~\colon =~\prod _{i\in I}J_{i}.$$}$

응용 프로그램 예:특히 $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Ji}_{}}${\$displaystyle J_{i}$가 동일한$$ 경우($즉{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {Ji}_{}}$= ${\displaystyle {{Ji\mathrm{}}_{}}_{}}$ 2 ${\$$J_{i_{2}}}$ for all ${\displaystyle i,i_{2}\in I,}$ which is the case with the family ${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}$ for example), then letting ${\displaystyle J}$ denote this common set, the Cartesian product will be ${\displaystyle \prod J_{\bullet }:}$${\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~\colon =~\prod _{i\in I}J_{i}=\prod _{i\in I}J=J^{I},}$ which is the set of all functions of the form ${\displaystyle f~:~$$I~\to ~J.}$ 위의$$ 설정 등가 Eq. 5 ∩∪은 ∩∩, Eq. 6 ∪ to은 ∪∪은 각각 다음과 같이 된다.

• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\왼쪽[\;\bigcup _{j\S_{i,j}\right]=\bigcup _{f\in J^}I}}\왼쪽[\;\빅캡 _{i,f(i)}\right]}$^[4]

• ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\왼쪽[\;\bigcap _{j}S_{i,j}\right]=\bigcap _{f\in J^}I}}\왼쪽[\;\빅컵 _{i}S_{i,f(i)}\오른쪽]}}$^[4]

포함 1 ∪∩과 결합할 경우 ∪ subset의 하위 집합은 다음을 함축한다.

어디에

• 왼쪽에서 ${\displaystyle \text{f}}$와 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f{\text{}$및$}i}$의 범위가$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {JI}^{}}$ ${\displaystyle \text{및}{}^{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ {\$displaystyle f\in J^{$$I}{\text{ and }}i\in I}$ (so the subscripts of ${\displaystyle S_{i,f(i)}}$ range over ${\displaystyle i\in I{\text{ and }}f(i)\in f(I)\subseteq J}$)
• on the right hand side, the indices ${\displaystyle g{\text{ and }}j}$ range over ${\displaystyle g\in I^{J}{\text{ and }}j\in J}$ (so the subscripts of ${\displaystyle S_{g(j),j}}$ range over ${\displaystyle j\in J{\text{ and }}g(j)\i$$n g(J)\subseteq I}$ $$.

응용 프로그램 예:$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 경우에 일반 수식을 적용하려면$_{k\in K}}$ and ${\displaystyle \left(D_{l}\right)_{l\in L},}$ use ${\displaystyle I\colon =\{1,2\},}$${\displaystyle J_{1}\colon =K,}$${\displaystyle J_{2}\colon =L,}$ and let ${\displaystyle T_{1,k}\colon =C_{k}}$ forall ${\displaystyle k\in J_{1}}$ and let ${\displaystyle T_{2,l}\colon =D_{l}}$ for all ${\displaystyle l\in J_{2}.}$ Every map ${\displaystyle f\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }~\colon =~\prod _{i\i$$n I}J_{i}=$$J_{1}\times J_{2}=K\times L}$ can be bijectively identified with the pair ${\displaystyle \left(f(1),f(2)\right)\in K\times L}$ (the inverse sends ${\displaystyle (k,l)\in K\times L}$ to the map ${\displaystyle f_{(k,l)}\in {\textstyle \prod }J_{\b$${\displaystyle \mathrm{ullet}}$ $}{{\displaystyle 1\$mapsto $k}$ 및$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ l; {\$displaystyle 2\mapsto l;}$에 의해 정의된$$ $ullet$ }은(는) 기술적으로 표기법 변경에 불과하다.Eq. 5 ∩ to에서 ∩ was까지의 것이었음을 상기하라.

왼쪽 측면의 확장 및 단순화그리고 오른손에 같은 행동을 하는 것은 다음을 제공한다.

따라서 일반적 정체성 Eq. 5 ∩∪ ~ ∪∩는 이전에 주어진 설정 평등 Eq. 3b로 감소한다.

빼기 분배

$\displaystyle \left(\빅컵 _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;;R~=~\빅컵 _{i\in I}\왼쪽(L_{i}\;\setminus \;R\오른쪽)}$

(Eq. 7a)

$\displaystyle \left(\bigcap _{i}\right)\;\setminus \;;R~=~\bigcap _{i\in I}\왼쪽(L_{i}\;\setminus \;R\오른쪽)}$

(Eq. 7b)

${\displaystyle L\;\setminus \;\left(\bigcup _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(L\;\setminus \;R_{j}\right)}$ (De Morgan's law)[5]

(Eq. 7c)

${\displaystyle L\;\setminus \;\left(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{j\in J}\left(L\;\setminus \;R_{j}\right)}$ (De Morgan's law)[5]

(Eq. 7d)

위의 등가 7a - 7d에서 다음과 같은 등가값을 추론할 수 있다(다음 등가들이 비정형인 이유는 이 참고 참조).

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\left(\bigcup _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)}$

(EQ 7E)

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\left(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{j\in J}\left(\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)~=~\bigcap _{i\in I}\left(\bigcup _{j\in J}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)}$

(Eq. 7f)

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\left(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)}$

(eq. 7g)

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\left(\bigcup _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)}$

(Eq. 7시간)

상품들

제품의 교차점

$({\displaystyle {{Si}_{}}_{}}$, ${\displaystyle {j_{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle i_{}}$, j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\$J}}이$$(가) 집합 집합 집합 집합 집합 집합 집합 집합인 경우

${\displaystyle \bigcap _{j\in J}\왼쪽(\prod _{i\in I}S_{i,j}\오른쪽)~~=~\prod _{i\in I}\왼쪽(\빅캡 _{j\in J}S_{i,j}\오른쪽)}$

(EQ 8)

• Moreover, a tuple ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ belongs to the set in Eq. 8 above if and only if ${\displaystyle x_{i}\in S_{i,j}}$ for all ${\displaystyle i\in I}$ and all ${\displaystyle j\in J.}$

$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L_{}}_{}}$) $displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}$ 및$$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {R_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\}\}}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$이 동일한 집합에 의해 색인화된 두 패밀리인 경우$$

예를 들어,그리고

서로 다른 세트로 인덱싱된 제품 교차점

Let${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {I_{}}_{}}$) $displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}$ 및$$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {{RJ}_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\$은 서로 다른 세트로 색인화된 두 패밀리다.

Technically, ${\displaystyle I\neq J}$ implies ${\displaystyle \left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\prod _{j\in J}R_{j}\right)=\varnothing .}$ However, sometimes these products are somehow identified as the same set through some bijection or one of these products는 주입 지도를 통해 다른 것의 하위 집합으로 식별되며, 이 경우(표기법 남용에 의해) 이 교차점이 다른 일부(일반적으로 비표기법) 세트와 같을 수 있다.

• For example, if ${\displaystyle I:=\{1,2\}}$ and ${\displaystyle J:=\{1,2,3\}}$ with all sets equal to ${\displaystyle \mathbb {R} }$ then ${\displaystyle \prod _{i\in I}L_{i}=\prod _{i\in \{1,2\}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}$ and ${\displaystyle \prod _{j\in J}R_{j}=\prod _{j\in \{1,2,3\}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}}$ where ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cap \mathbb {R} ^{3}=\varnothing }$ unless, for example, ${\displaystyle \p$$rod _{i\in \{1,2\}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}$ is identified as a subset of ${\displaystyle \prod _{j\in \{1,2,3\}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}}$ through some injection, such as maybe ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,0)}$ for instance; however, in this particular case the product ${\displaystyle \prod _{i\in I=\{1,2\}}L_{i}}$ actually represents the ${\displaystyle J}$-indexed product ${\displaystyle \prod _{j\in J=\{1,2,3\}}L_{i}}$ where ${\displaystyle L_{3}:$$=\{0\}.}$
• For another example, take ${\displaystyle I:=\{1,2\}}$ and ${\displaystyle J:=\{1,2,3\}}$ with ${\displaystyle L_{1}:=\mathbb {R} ^{2}}$ and ${\displaystyle L_{2},R_{1},R_{2},{\text{ and }}R_{3}}$ all equal to ${\d$$isplaystyle \mathbb {R} .}$ Then ${\displaystyle \prod _{i\in I}L_{i}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle \prod _{j\in J}R_{j}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,}$ which can both be identified as the same set via the bijection that sends ${\displaystyle ((x,y),z)\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$ Under this identification, ${\displaystyle \left(\prod _{i\in I}{L}_i\right)\cap \left(\prod _{j\in J}{R}_j\right)={\mathbb{R}}^{}}$${\displaystyle \left(\prod_{i\in I}L_{i}\right)\cap \left$$}$

제품조합

조합의 경우 일반적으로 다음 사항만 보장된다.

여기서${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {S_{}}_{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}}$, j${\displaystyle {{}_{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ J ${\$는 집합의$$ 계열이다.

그러나

제품의 감산 설정

$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L_{}}_{}}$I ) ${\displaystyle {}_{}}$ $\$${i\in$ I$}$ 및${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {R_{}}_{}}$) i ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 두 집합인 경우:

예를 들어,

그리고

기능 및 세트

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) 어떤 함수가 되게$$ 한다.

${\displaystyle \text{L}}$과 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L{\text{$및$}}을($를) 완전히 임의의 집합으로 한다$$.$A$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ 및 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle A\subseteq X{\text{$및$}C\subseteq$ Y$.}$라고 가정하십시오.

정의들

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y$$}$을(를) 임의의 함수로$$ 하고, $여기$서 도메인 X의 $도메인$ X$$${\$$displaystyle \operatorname {domain} f}$을$($를) ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ ${\displaystyle ∆}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaysty \operatorname {codomain}$ f}을($으$$)$로 표기한다.

아래의 많은 ID는 $실제로{\displaystyle }$ 집합이 f ${\displaystyle f}$의$$도메인 또는 코드맹($즉{\displaystyle }$, X ${\displaystyle$ X$}$ 또는$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$\})$과 관련될 것을 요구하지 않기 때문에 어떤 종류의 관계가 필요할 때 명확하게 표시된다.이 때문에 $이{\displaystyle }$ 글에서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이$($가) "임의의 집합"으로 선언되고$$ L ${\displaystyle X}$ $또는$ Y ${\displaystyle Y}$과(예를 들어, 부분 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$ 또는$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ Y$}$과) 관계가 있어야 한다고$$ 표시되지 않는다$.$$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 정말로 임의적이라는 것을 의미한다.^{[note 6]}This generality is useful in situations where ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a map between two subsets ${\displaystyle X\subseteq U}$ and ${\displaystyle Y\subseteq V}$ of some larger sets ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V,}$ and where the set ${\displaystyle L}$ might not be entirely contained in ${\displaystyle X=\operatorname {domain} f}$ and/or ${\displaystyle Y=\operatorname {codomain} f}$ (e.g. if all that is known about ${\displaystyle L}$ is that ${\displaystyle L\subseteq U}$); in such a situation it may be useful to know what can and cannot be said about ${\displaystyle f(L)}$ and/or ${\displaystyle f^{-1}(L)}$ without having to introduce a (potentially unnecessary) intersection such as: ${\displaystyle f(L\cap X)}$ and/or ${\displaystyle f^{-1}(L\cap Y).$$}$

세트의 이미지 및 사전 이미지

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 설정된 경우 f ${\displaystyle f}$ 아래의 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 이미지가 다음 세트로 정의된다$$.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 아래에 $있는{\displaystyle }$ L$${\$displaystyle L}$의 사전 이미지는 다음과$$ 같다.여기서 $L{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ L$=\{s\}}$이(가) 싱글톤 집합인$$ 경우, ${\displaystyle f}$ $아래$의 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$의 파일버 또는 프리이미지는$$

${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} 또는$ ${\displaystyle \mathrm{이미지}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {image} f}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyf f:X\to Y}$의 이미지 또는 범위, 즉 다음과 같은 세트로 표시:

포화 세트

다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 충족되는 경우 $A{\displaystyle }$ $집합은$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화$$ 또는 포화 집합이라고 한다$$.

1. $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle A=f^{-1}(R$)와 같은$$ $집합{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$이(가) 있다$.$$}$
   • 이러한 모든 집합 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에는 반드시$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle f(A)}$이(가) 하위 집합으로 포함되어$$ 있다.
2. ${\displaystyle A=f^{-1}(f(A)).}$
3. ${\displaystyle A{}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$A\$supseteq f^{-1}(f(A))}$ $및$ A ${\displaystyle \subseteq }$ 도메인${\displaystyle f}$ f${\displaystyle }$. ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f.}$
   • The inclusion ${\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f\subseteq f^{-1}(f(L))}$ always holds, where if ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f}$ then this becomes ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A)).$$}$

세트 ${\displaystyle$ f$}$ -포화도가$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$f}이(가) 되려면$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$이${\displaystyle }$f.${\displaystyle$A$.$ {\$subseteq \operatorname$ {$domain$} f$.}$이어야 한다$.$

기능의 구성 및 제한

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 맵인$$ 경우 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\circ$ f$}$은 $구성$ 맵을 의미한다.

도메인과 코도메인으로에 의해 정의된.

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$을(를) $L{\displaystyle }$, ${\$$displaystyle$ $l$$,$ {\$displaystyle$ f${\big \vert }_{L}$로 나타내는 제한은 지도 입니다$$.

with ${\displaystyle \operatorname {domain} f{\big \vert }_{L}~=~L\cap \operatorname {domain} f}$ defined by sending ${\displaystyle x\in L\cap \operatorname {domain} f}$ to ${\displaystyle f(x);}$ that is,Alternatively, ${\displaystyle ~f{\big \vert }_{L}~=~f\circ \operatorname {In} ~}$ where ${\displaystyle ~\operatorname {In} ~:~L\cap X\to X~}$ denotes the inclusion map, which is defined by ${\displaystyle \operatorname {In} (s):=s.$$}$

(Pre)단일 집합의 이미지

이미지	프리이미지	추가 가정
${\displaystyle {\begin{aignedat}{4}f(L)&=f(L\cap \operatorname {domain}f)\&=f(L\cap X)\&==\&==&=data.Y~~~~\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\,:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\&=\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\\end{alignedat}}}$	${\displaystyle {\begin{aignedat}{4}f^{-1}(L)&=f^{-1}(L\cap \operatorname {Im}f)\&=f^{-1}(L\cap Y)\end{aignedat}}}}}}}}$	없음
${\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f\subseteq Y}$	${\displaystyle {\begin{ignatedat}{4}f^{-1}(Y)&=X\\f^{1}(\operatorname {Im}f)&=X\end{ignedat}}}}}}$	없음
${\displaystyle {\begin{aignatedat}{4}f(L)&=f(L\cap R~~&\cup ~&(&L\setminus R))\\&=f(L\cap R)~&&\컵 ~f&(&L\setminus R)\end{aignatedat}}}$	${\displaystyle {\begin{aignatedat}{4}f^{-1}(L)&=f^{-1}(L\cap R&\cup&(&L&\setminus &R))\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&(&&L&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}}$	없음
${\displaystyle \operatorname {Im}f=f(X)~~f(L)\컵 f(X\setminus L)}$	${\displaystyle {\begin{aignedat}{4}X&=f^{-1}(L)\컵 f^{-1}(Y&\setminus L)\&=f^{-1}(L)\cupername {im}f&\setminus L)\end{affinedat}}}}}}$	없음
${\displaystyle f{\big \vert }_{L}(R)=f(L\cap R)}$	${\displaystyle \left(f{\big \vert }_{L}\right)^{-1}(R)=L\cap f^{-1}(R)}$	없음
${\displaystyle (g\circle f)(L)~=~g(f(L))}$	${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(L)~=~f^{-1}\왼쪽(g^{-1}(L)\오른쪽)}$	없음(${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g}$은(는) 임의 함수임).
${\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\right)=L\cap \operatorname {Im}f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(L)~\supseteq ~L\cap f^{-1}(\operatorname {Im}f)=L\cap f^{-1}(Y)}$[6]	없음
${\displaystyle f\좌(f^{-1}(Y)\우)=f\좌(f^{-1}(\operatorname {Im}f)\우)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X)=f^{-1}(\operatorname {Im}f)=X}$	없음
${\displaystyle f\left(f^{-1}(f(L)\right)=f(L)}$	${\displaystyle f^{-1}\왼쪽(f\f^{-1}(L)\오른쪽)=f^{-1}(L)}$	없음

영상 및 사전 이미지의 동등성 및 시사점

이미지	프리이미지	집합에 대한 추가 가정
${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\subseteq R}$은(는) $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle f(L)\subseteq f(R)}$을(를) 의미한다$$.	${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\subseteq R}$은(는) ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1 (${\displaystyle }$L ) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$R${\displaystyle }$) ${\displaystyle f^{-1}(L)\subseteq$ f$^{-1}(R)}$을(를) 의미한다$$.	없음
${\displaystyle f(L)\subseteq \operatorname {Im} f\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle L}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(L)=X}($${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ⁡ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f\subseteq L}$인 경우에만 해당됨	없음
${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f(L)=\varnote$domain ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle \varnothing }$ f = $∅$ {\$displaystyle$ L$\cap$ \$operatorname$ {$domain}$f=\$varnote }$인 경우에만$$ 해당됨	${\displaystyle f^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( L${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f^{-1}(L)=\varnothing }$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ 임${\displaystyle \mathrm{im}}$ f${\displaystyle }$=${\displaystyle }$∅ ${\displaystyle$ L$\cap \operatorname {Im}$ f$=\varnothing }$인 경우에만$$ 해당됨	없음
${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f(A)=\varnothing }($A$$${\displaystyle }$=\$displaystyle A=\varnothing }$인 경우에만 해당됨)	${\displaystyle f^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle C}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f^{-1}(C)=\varnothing }$ $만약$ C ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ f ${\displaystyle$C$\subseteq Y\setminus \operatorname {Im}$ f$}$인 경우에만 해당됨	${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및 $C$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$
다음은 이에 해당한다. ${\displaystyle f(L)\subseteq f(R)}$ ${\displaystyle f(L\cup R)=f(R)}$ ${\displaystyle L\cap \operatorname {domain}f~\subseteq ~f^{-1}(f(R))}$	다음은 이에 해당한다. ${\displaystyle f^{-1}(L)\subseteq f^{-1}(R)}$ ${\displaystyle f^{-1}(L\cup R)=f^{-1}$ ${\displaystyle L\cap \operatorname {Im} f\subseteq R}$ If ${\displaystyle C~\subseteq ~\operatorname {Im} f}$ then ${\displaystyle f^{-1}(C)~\subseteq ~f^{-1}(R)}$ if and only if ${\displaystyle C~\subseteq ~R.$$}$	${\displaystyle C\subseteq \operatorname {Im}f}$
$다음$은 C ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle C\subseteq$ Y$:}$일 때 동등하다. $C\subseteq f(R)}$ ${\displaystyle }$${\displaystyle f}$ ( B${\displaystyle )}$= 일부 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ R {\$displaystyle$B\subseteq $R}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ C ${\displaystyle f(B)=C}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= 일부 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B\subseteq R\cap \operatorname {domain} f}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ C ${\displaystyle$ f$(B)=C}$	다음은 이에 해당한다. ${\displaystyle L\subseteq f^{-1}(R)}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(L)\subseteq R}$ 및$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L\subseteq \operatorname {domain} f}$ $다음$은 A ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X:}$ ${\displaystyle A\subseteq$ X$:}$에 해당된다. ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(R)}$ $(\displaystyle f(A)\subseteq R}$	${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및 $C$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$
다음은 이에 해당한다. ${\displaystyle f(A)~\supseteq ~f(X\setminus A)}$ ${\displaystyle f(A)=\operatorname {Im}f}$	다음은 이에 해당한다. ${\displaystyle f^{-1}(C)~\supseteq ~f^{-1}(Y\setminus C)}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)=X}$	${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및 $C$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\right)\subseteq L}$[6] 평등은 다음이 사실인 경우에만 유지된다. ${\displaystyle L\subseteq \operatorname {Im} f.}$[7][8] 평등은 다음 중 하나라도 참일 경우 유지된다. ${\displaystyle }$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L\subseteq Y}$ 및$$ $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$은(는) 굴절적이다.	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\supseteq A}$ 평등은 다음이 사실인 경우에만 유지된다. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화된다$$. 평등은 다음 중 하나라도 참일 경우 유지된다. $[\displaystyle f}$는 주입식이다.[7][8]	$A\subseteq X}$

잡다한

${\displaystyle f(L)\cap R=\varnothing }$ if and only if ${\displaystyle L\cap f^{-1}(R)=\varnothing }$^[6] if and only if ${\displaystyle f^{-1}(f(L))\cap f^{-1}(R)=\varnothing .}$

• $따라서{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ t$,}$
  $${\displaystyle t\not \in f(L)\quad {\text{{}}}}만약에, 그리고 }\quad L\cap f^{-1(t)=\varnot.}$$

  

(Pre)설정 작업 이미지

전체적으로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ $및{\displaystyle }$ R$$ ${\displaystyle R}$을(를) 임의의 집합으로 $하고$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$을(를) 임의의 함수로 한다$$.

요약

아래 표에서 알 수 있듯이, 교차점, 소급 설정 및 대칭 차이의 영상에 대해서만 설정 균등이 보장되는 것은 아니다.

이미지	프리이미지	집합에 대한 추가 가정
${\displaystyle \,~~f(L\cup R)~~=~~f(L)\cup f(R)}$[9]	${\displaystyle f^{-1}(L\cup R)~=~f^{-1}(L)\컵 f^{-1}(R)}$[4]	없음
$${\displaystyle f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\cap f(R)}$$	${\displaystyle f^{-1}(L\cap R)~=~f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)}$[4]	없음
$${\displaystyle f(L\setminus R)~\supseteq ~f(L)\setminus f(R)}$$	${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L)\setminus f^{-1}(R)&=f^{-1}&&(&&L&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}}$[6][4]	없음
$${\displaystyle f(X\setminus R)~\supseteq ~f(X)\setminus f(R)}$$	${\displaystyle {\begin{aignatedat}{4}X\setminus f^{-1}(R)&=f^{1}(&Y&\setminus &&R)\&=f^{1}(&R&R&\cap \operatorname {Im}f]\\&=f^{-1}(&\operatorname {Im}f&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(&&\operatorname {Im}f&\cap \operatorname {Im}f]\end{argedat}}}}}}}$[주 7]	없음
$${\displaystyle f\left(L~~\triangle ~R\riangle ~R\right)~~\supseteq ~f(L)\triangle ~f(R)}$$	${\displaystyle f^{-1}\왼쪽(L~~\triangle ~R\riangle ~R\right)~~=~~f^{-1}$	없음

사전 이미지 보존 세트 작업

모든 기본 세트 작업에 대해 세트의 사전 설정이 올바르게 수행됨:

즉 프리이미지는 조합, 교차로, 세트 뺄셈, 대칭 차이에 걸쳐 분포한다.

이미지는 유니언만 보존한다.

조합의 이미지가 올바르게 표현됨:

그러나 다른 기본 세트 작업의 이미지가 일반적으로 보장되는 것은 아니다.

즉, 이미지는 결합을 통해 분산되지만 반드시 교차점, 뺄셈 설정 또는 대칭적 차이에 걸쳐지는 것은 아니다.

일반적으로 세트 감산 L${\displaystyle }l{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\setminus R}$의 영상이나 다음$$ 두 세트의 차이로 정의할 수 있는 다른 두 개의 기본 세트 연산자의 영상에 대해서는 동등성이 보장되지 않는다.

$L{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=X}$인 경우$$ $f{\displaystyle }$( X ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \supseteq }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle f}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(X\setminus R)\supseteq$ f$(X)\setminus f(R)}$은 더 일반적인 경우처럼 동등성이$$ 보장되지 않는다.If ${\displaystyle f}$ is surjective then ${\displaystyle f(X\setminus R)~\supseteq ~Y\setminus f(R),}$ which can be rewritten as: ${\displaystyle f\left(R^{\operatorname {C} }\right)~\supseteq ~f(R)^{\operatorname {C} }}$ if ${\displaysty$$le$ R$^{\operatorname {C} }:=X\setminus R}$ 및 $f$(R ) ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle :=Yf}$ f${\displaystyle (R).}$ ${\displaystyle f(R)^{\operatorname {C}}:=Y\setminus f(R)$ f(R).$}$

평등을 설정하기 위한 반대 예시

세트에 함유된 함량이 있음을 보여주는 예가 제공될 것이다.

모든 것이 엄격할 수도 있고, 타당할 수도 있다. 즉, 평등이 유지될 필요는 없다.특히 아래 예제는 도메인이 최소 두 개의 (간결함) 점을 포함하는 모든 상수함수에 대해 이러한 동일성이 실패할 수 있음을 보여준다.예를 들어,${\displaystyle }f{\displaystyle }$:${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$, 2${\displaystyle \}}$ → Y ${\displaystyle$ f$:\{1$,${\displaystyle 2}$$\}\to$ Y$}$이(가) 일정하고,${\displaystyle }L{\displaystyle }$ =${\displaystyle }${ 1${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle L=\{1\},$${\displaystyle }R{\displaystyle }$ =${\displaystyle 2\}.}${\$displaystyle$ R$=\{2\}}$이(가)이면 네 가지 모두 적절하다.$$ 따라서 가장 단순한 기능에도 평등이 보장되지 않는다.

Example: Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be any constant function with image ${\displaystyle f(X)=\{y\}}$ and suppose that ${\displaystyle L,R\subseteq X}$ are non-empty disjoint subsets; that is, ${\displaystyle L\neq \varnothing ,R\neq \varnothing ,}$ and ${\displaystyle L\cap R=\varnothing ,}$${\displaystyle L\cap R=\varnothing ,}$ which implies that all of the following sets are non-empty (and so their images under ${\displaystyle f}$ are all equal to ${\displaystyle \{y\}}$) ${\displaystyle L~\triangle ~R=L\cup R,}$ ${\displaystyle \,L\setminus R=L,}$ and ${\displaystyle X\setminus R\supseteq L}$${\displaystyle X\setminus R\setpeseteq L\setminus R.}$

1. 격납 ${\displaystyle f(L}$ ${\displaystyle \setminus }$ R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \text{⊇}}$ ${\displaystyle \text{f}}$( L${\displaystyle }$) ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle R}$) ${\$은(는) 엄격하다$$.
   $${\displaystyle \{y\}~=~f(L\setminus R)~\neq~f(L)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}}=\varnoth }}$$

   
   단어: 함수가 세트 빼기 ${\displaystyle \setminus }$ ${\$에 분산되지 않을 수 있음
2. 격납 ${\displaystyle f(X}$ ${\displaystyle \setminus }$ R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \text{⊇}}$ ${\displaystyle \text{f}}$( X${\displaystyle }$) ∖ ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle \setminus }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$) ${\$은(으) 엄격하다$$.
   $${\displaystyle \{y\}~=~f(X\setminus R)~\neq~f(X)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}}=\varnoth.}$$

   
3. 격납 ${\displaystyle f(L}$=${\displaystyle \text{R})}$ ${\displaystyle \text{⊇}}$ ${\displaystyle \text{f}(L)\mathrm{}}$⊇ f(L) △ f(${\displaystyle R)}$ {(F${\displaystyle )}$ {(R) $\$ ~\$triangle ~f(R)$}}은$$ 다음과 같다.
   $${\displaystyle \{y\}~=~f\왼쪽(L~~\triangle ~R\right)~\neq ~f(L)~\triangle ~f(R)~=~{y\}\triangle \{y\}=\varnoth}}}$$

   
   즉, 함수는 대칭적 차이에 걸쳐 분포되지 않을 수 있다${\displaystyle .\mathrm{}}$ ${\$$이것$은 두 세트의 세트 뺄셈으로 정의할 수 있다${\displaystyle :}$ L${\displaystyle =R}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle L}$cup R )${\displaystyle L\triangle R=(L\cup R)\setminus (L\CAP R)}).$
4. 격납 ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \text{⊆}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle R}$) ${\$은 엄격하다.
   $${\displaystyle \varnothy ~=~f(\varnothy )~=~f(L\cap R)~\neq ~f(L)\cap f(R)~=\{y\}\cap \{y\}=\{y\}}}}}}}}}}$$

   
   즉, 함수는 설정된 교차점 ${\displaystyle \cap }$ ${\$에 분포되지 않을 수 있다($$$L$ ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle L\setminus }$ ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle L\cap R=L\setminus R)}$의 설정 빼기로 정의할 수 있다.$$

이 네 가지 사례의 세트 연산이 공통적으로 갖는 것은, 세트 뺄셈 $\setminus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }($예 (1)과 (2))이거나, 그렇지 않으면 자연스럽게 두 세트(예 (3)과 (4)의 세트 뺄셈으로 정의될 수 있다는 점이다.

니모닉:실제로 평등이 보장되지 않는 위의 4가지 세트 공식 각각에 대해 격납의 방향(즉, ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \text{또는}}$ ${\displaystyle \supseteq ,}${, {, {, \,\$subseteq {\text{ 또는 }}}\supseteq$ $\backslash \},\})$은 $항상{\displaystyle }$ f${\displa)$와 두 세트(${\displaystyle }$ ${\displa$)를$$ 상정한 것으로 상상하여 추론할 수 있다.$ystyle L}$ 및$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$)이(가) 해당 도메인의 비어 있지 않은 분리 하위 집합인 경우.왜냐하면 그러한 기능에서 모든 평등이 실패하고 설정되기 때문이다: 한쪽은 항상 ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothy}$이고 다른 한쪽은 non ${\$의 올바른 선택은 "어느 쪽이 비어 있는가?"라는 대답으로 추론할 수 있다$$.예를 들어${\displaystyle }$? ${\displaystyle ?}$을(를) 에서 결정하려면

또는 ⊇⊆어야 하는가,{\displaystyle \,\subseteq{\text{또는}}\supseteq ,\,}pretend[노트 8]이 f{\displaystyle f}와 f{\displaystyle f}의 도메인의 L△ R{\displaystyle L\triangle R}, R{R\displaystyle} 있사각형 차갑하위 집합 상수입니다. 그리고 왼쪽 아무 것도 아니야(sinc.ef${\displaystyle f(L\triangle R)\setminus f(R)=\{f{\text{'s single value}}\}\setminus \{f{\text{'s single value}}\}=\varnothing }$), which indicates that ${\displaystyle \,?\,}$ should be ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ (the resulting statement is alw(진실을 보증하는 ayes) 왜냐하면 이것이 만들어질 선택이기 때문이다.참. $또는{\displaystyle }$ L =${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle L=\{1\}$과($와{\displaystyle )}$ R ${\displaystyle =}$ {\displaystyle L=\{1$\}$과(와) {${\displaystyle 2\}}$ ${\displaystyle R=\{2\}$의 모든 $상수{\displaystyle }$ f를 ${\displaystyle \mathrm{고려}}$하여$$의${\displaystyle \mathrm{정확}}$한$방향$을 추정할 수도 $있다$$}$

Furthermore, this mnemonic can also be used to correctly deduce whether or not equalities such as ${\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\cap f(R)}$ or ${\displaystyle f^{-1}(L\cap R)=f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)}$ hold in general (although ${\displaysty$$\,\cap \,}$이(가) 여기에 사용되었으며$$, ${\displaystyle \cup ,}$ ${,$ △, △, △, △, △, {, \$setminus ,{\text{ 또는 },\cap }$로 대체될 수 있다.$$이러한 질문에 대한 답은 이전과 ${\displaystyle \mathrm{마찬가지}}$로 이 $상수함수{\displaystyle }$(임의 f , L ,${\displaystyle f,L,}$ $및{\displaystyle }$ R$$ ${\displaystyle$ R$\})$를 고려하여 추론할 수 있다.

평등을 위한 조건

모든 집합에 대해 동일성이 유지되는 경우의 특성:

모든 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :X}$ →${\displaystyle Y}$ , ${\displaystyle f:X\to$ Y$,}$에 대해 다음$$ 문장은 동일하다.

1. ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$은(는) 주입식이다$$.
   • 즉: $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ne }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$ 모든$$ 고유 $x{\displaystyle }$,${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ x$,y\in X.}$
2. ${\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\,\cap \,f(R)\,{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}$ (The equals sign ${\displaystyle \,=\,}$ can be replaced with ${\displaystyle \,\supseteq \,}$).
3. ${\displaystyle f(L\,\setminus R)=f(L)\,\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}$ (The equals sign ${\displaystyle \,=\,}$ can be replaced with ${\displaystyle \,\subseteq \,}$).
4. ${\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,~~~~~R\subseteq X.}$ (The equals sign ${\displaystyle \,=\,}$ can be replaced with ${\displaystyle \,\subseteq \,}$).
5. ${\displaystyle f(L\,\triangle \,R)=f(L)\,\triangle \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}$ (The equals sign ${\displaystyle \,=\,}$ can be replaced with ${\displaystyle \,\subseteq \,}$).
6. 네 개의 문장 중 (b) - (e)가 있지만 "모든 것을 위해"라는 문구와 함께 다음 문장으로 대체되었다.
   1. "모든 싱글톤 서브셋에 대해"
      • In particular, the statement that results from (d) gives a characterization of injectivity that explicitly involves only one point (rather than two): ${\displaystyle f}$ is injective if and only if ${\displaystyle f(x)\not \in f(X\setminus \{x\})\;{\text{ for every }}\,x\in X.}$
   2. "모든 분리형 싱글톤 서브셋에 대해"
      • 문 (d)의 경우, 이는 다음과 같다: "모든 싱글톤 하위 집합에 대하여" (정확히 1 세트로 구성된 모든 가족에 의해 "공중 분리"의 정의가 공허하게 충족되기 때문이다).
   3. "모든 분리 하위 집합에 대해"

특히, 지도가 주입된 후 추가 정보가 없는 것으로 알려져 있다면, (b) - (e) 문장의 동일성이 유지된다는 보장은 없다.

위의 예는 이러한 특성화를 입증하는 데 도움이 될 수 있다.실제로 그러한 증거와 그 사례를 비교한 결과, 그 예가 문장 (b) - (e)에서 이 네 가지 동일성 중 하나가 (즉, 정해진 동일성이 유지되지 않을 때 "잘못되는 것"을 나타내는)을 갖지 못하는 근본적인 이유를 나타낸다.

교차로 이미지

동일성의 특성화:다음 문장은 동일하다.

1. ${\displaystyle f(L\cap R)~=~f(L)\cap f(R)}$
2. ${\displaystyle f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R)}$
3. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R)~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}$
   • The left hand side ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))}$ is always equal to ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L)\cap f(R))}$ (because ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))}$ always holds).
4. ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L)~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}$
5. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R)~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap L}$
6. ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L)~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap R}$
7. ${\displaystyle f(L)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\\setminus \,f(R)}$
8. ${\displaystyle f(R)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(R)\\setminus \,f(L)}$
9. ${\displaystyle f(L\cup R)\setminus f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\\triangle \,f(R)}$
10. 위의 세 가지 조건 중 하나(g) - (i)가 있지만 하위 집합 기호 ${\displaystyle \subseteq }$ ${\$\,\$subseteq \,}$을(를) 사용하여 등호${\displaystyle }$= ${\displaystyle .}$ ${\$로 대체함$$

평등을 위한 충분한 조건: 평등은 다음 중 하나라도 참일 경우 유지된다.

1. $[\displaystyle f}$는 주입식이다.^[10]
2. 제한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\cup }_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$은(는) 주입식이다$$.
3. ${\displaystyle f^{-1}(f(R)~\subseteq ~R}$^[주9]
4. ${\displaystyle f^{-1}(f(L)~\subseteq ~L}$
5. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화됨$$. 즉,${\displaystyle {}^{}}f{\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}f}$ ${\displaystyle (R}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(R))$$=R}$^{[note 9]}
6. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $f}$ -포화됨$$, 즉 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle L}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(L))$$=L}$
7. ${\displaystyle f(L)~\subseteq ~f(L\cap R)}$
8. ${\displaystyle f(R)~\subseteq ~f(L\cap R)}$
9. ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)~\subseteq ~f(L)\setminus \,f(R)}$ or equivalently, ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)~=~f(L)\setminus f(R)}$
10. ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)~\subseteq ~f(R)\setminus \,f(L)}$ or equivalently, ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)~=~f(R)\setminus f(L)}$
11. ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}$ or equivalently, ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}$
12. ${\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq L}$
13. ${\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq R}$
14. $R\subseteq L}$
15. $L\subseteq R}$

또한, 다음은 항상 유지된다.

세트 감산 이미지

동일성의 특성화:다음 문장은 동일하다.^{[proof 1]}

1. ${\displaystyle f(L\setminus R)~=~f(L)\setminus f(R)}$
2. ${\displaystyle f(L\setminus R)~\subseteq ~f(L)\setminus f(R)}$
3. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R)~\subseteq ~R}$
4. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R)~=~L\cap R\cap \operatorname {domain} f}$
5. $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle f}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ y$\in f(L)\cap f(R)}$이(가) 있을 때마다 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle L\cap$ f$^{-1(y)\subseteq R.}$
6. ${\textstyle f(L)\cap f(R)~~\subseteq ~\왼쪽\{y\in f(L):L\cap f^{-1(y)\subseteq R\right\}}$
   • 우측의 ${\displaystyle \mathrm{세트}}$는 항상${\displaystyle }${ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \{y\in f(L\cap$R)과 동일하다$.$$L\cap f^{-1(y)\,\subseteq R\right\}.$$}$
7. 위의 조건(f)이지만 기호가 ${\displaystyle \subseteq }$ ${\$인 경우$$ 등호 부호${\displaystyle }$= ${\$

평등에 필요한 조건(특성화 제외):평등이 유지된다면 다음과 같은 것이 반드시 참이다.

1. ${\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),}$ or equivalently ${\displaystyle f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).$$}$
2. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~L\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$ or equivalently, ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}$
3. ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L)~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$

평등을 위한 충분한 조건: 평등은 다음 중 하나라도 참일 경우 유지된다.

1. $[\displaystyle f}$는 주입식이다.
2. 제한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\cup }_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$은(는) 주입식이다$$.
3. ${\displaystyle f^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle R}$)${\displaystyle \text{⊆}}$ R ${\displaystyle$ $^{-1}(f(R)~\subseteq ~R}$ 또는$$^{[note 9]} 동등하게, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \mathrm{도메인}f}$f =${\displaystyle {}^{}f}$ - 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle f}$)${\displaysty R\cap \operatorname {domain}$ f$~=~f^{-1}(F($R)})}).
4. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화됨$$. 즉, $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$R=$f^{-1}(f(R)).$
5. ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}$ or equivalently, ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}$

도메인에서 감산된 집합의 이미지

동일성의 특성화:다음 문장은 동일하다.^{[proof 1]}

1. ${\displaystyle f(X\setminus R)~=~f(X)\setminus f(R)}$
2. ${\displaystyle f(X\setminus R)~\subseteq ~f(X)\setminus f(R)}$
3. ${\displaystyle f^{-1}(f(R)\,\subseteq \,R}$
4. ${\displaystyle f^{-1}(f(R)\,=\,R\cap \operatorname {domain} f}$
5. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f}$은(는) f ${\displaystyle f}$ -포화됨$$.
6. $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle$ y$\in f(R)}$이(가) 있을 때마다 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}y}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle$ f$^{-1}(y)\subseteq R.}$
7. ${\textstyle f(R)~\subseteq ~\좌측\{y\in f(R)):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}}$
8. ${\textstyle f(R)~=~\왼쪽\{y\in f(R)):f^{-1(y)\subseteq R\right\}}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ ${\displaystyle }$ f ${\displaystyle R\subseteq \operatorname {domain} f}$이(가) 있는 경우 이 목록을 확장하여 다음을 포함할 수 있다.

9. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화됨$$. 즉, $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$R=$f^{-1}(f(R)).$

평등을 위한 충분한 조건: 평등은 다음 중 하나라도 참일 경우 유지된다.

1. $[\displaystyle f}$는 주입식이다.
2. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화됨$$. 즉, $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$R=$f^{-1}(f(R)).$

대칭 차이의 이미지

동일성의 특성화:다음 문장은 동일하다.

1. ${\displaystyle f\left(L~~\triangle ~R\riangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}$
2. ${\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~~\triangle ~f(R)}$
3. ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)=f(L)\,\setminus \,f(R)}$ and ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)=f(R)\,\setminus \,f(L)}$
4. ${\displaystyle f(L\,\setminus \,R)\subseteq f(L)\,\setminus \,f(R)}$ and ${\displaystyle f(R\,\setminus \,L)\subseteq f(R)\,\setminus \,f(L)}$
5. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$( $f$ (${\displaystyle }$R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$)${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle \text{R}}$ ${\displaystyle$ L$\cap$ f$^{-1}(f($${\displaystyle R}$$)~\subseteq$ ~${\displaystyle R}$$}$및 R ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ )${\displaystyle \text{⊆}}$ ${\displaystyle \text{L}}$ ${\displaystystyle R^{-1(f)~\subseteq$ ~$L}$
   • The inclusions ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))}$ and ${\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~f^{-1}(f(R))}$ always hold.
6. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R)~=~R\cap f^{-1}(f(L))}$
   • If this above set equality holds, then this set will also be equal to both ${\displaystyle L\cap R\cap \operatorname {domain} f}$ and ${\displaystyle L\cap R\cap f^{-1}(f(L\cap R)).$$}$
7. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L\cap R))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$ and ${\displaystyle f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R).$$}$

평등에 필요한 조건(특성화 제외):평등이 유지된다면 다음과 같은 것이 반드시 참이다.

1. ${\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),}$ or equivalently ${\displaystyle f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).$$}$
2. ${\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L\cap R)~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$

평등을 위한 충분한 조건: 평등은 다음 중 하나라도 참일 경우 유지된다.

1. $[\displaystyle f}$는 주입식이다.
2. 제한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\cup }_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$은(는) 주입식이다$$.

영상에 대한 정확한 공식/같음

세트 감산 이미지

모든 함수 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle f:X\to$ Y$}$ 및 모든$$ $집합{\displaystyle }$L {\$displaystyle L}$ 및$$ $R{\displaystyle }$,$${\$displaystyle$ R$,}$에 대해

도메인에서 설정된 감산 이미지

위의 공식에서$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle X}$= ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle$ L$:=X=\operatorname {domain} f}$을(를) 선택하면 다음이 제공된다.

${\displaystyle \mathrm{여기}}$에서 세트${\displaystyle }${ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$: f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$} ${\$ R$\right\}}}$은(는) $R{\displaystyle }$.$${$displaystystystyledesp$에서 $가장{\displaystyle }$ 큰 $}$의$$f}에 따른 이미지와 동일하다$.$

• In general, only ${\displaystyle f(X\setminus R)\,\supseteq \,f(X)\setminus f(R)}$ always holds and equality is not guaranteed; but replacing "${\displaystyle f(R)}$" with its subset "${\displaystyle \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$"평등이 항상 보장되는 공식으로 귀결된다.
  $${\displaystyle f(X\setminus R)\,=\,f(X)\setminus \left\{y\in f:f^{-1(y)\subseteq R\right\}.}$$

  
  이로부터 다음 사항을 따른다.^{[proof 1]}
  $${\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f(R)\quad {\text{ if and only if }}\quad f(R)=\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\quad {\text{ if and only if }}\quad f^{-1}(f(R))\subseteq R.}$$

  
• If ${\displaystyle f_{R}:=\left\{y\in f(X):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$ then ${\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f_{R},}$ which can be written more symmetrically as ${\displaystyle f(X\setminus R)=f_{X}$$\setminus$ ${\displaystyle \mathrm{f\_}}$${R}}($$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$= ${\displaystyle f}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{X}=f(X)}$ 이후).$$

대칭차 이미지

It follows from ${\displaystyle L\,\triangle \,R=(L\cup R)\setminus (L\cap R)}$ and the above formulas for the image of a set subtraction that for any function ${\displaystyle f:X\to Y}$ and any sets ${\displaystyle L}$ and ${\displaystyle R,}$

집합 이미지

함수 $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$ 및 세트$$ $L{\displaystyle }$, ${\displaystyle L,}$에 대한 세트 감산 영상에 대한 위의 공식에서 따옴

이는 $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle y$$\in$ Y$,}$ ${\displaystyle {\mathrm{f<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; y\backslash in\; Y,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/75e1353f0febe9bcf693d849ec82ce8d94e5f7bc"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:6.416ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="1103">}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}^{}}$y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cap }$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f^{-1}($${\displaystyle y}$$)\cap$ L$=\varnot$ $\not$ \in f$(L$인 경우에만$$ 해당된다는 사실의 결과로 보다 쉽게 볼 수 있다$.$$}$

설정된 교차로 이미지

모든 함수 $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ 및$$ 모든 집합 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 및 $R$, ${\displaystyle$ R$,}$에 대해 위의 공식으로 설명된다.

$또한{\displaystyle }$ 모든 y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle y\in$ Y$,}$에 대해

${\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\subseteq L\setminus R~}$ if and only if ${\displaystyle ~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing ~}$ if and only if ${\displaystyle ~R\cap f^{-1}(y)\subseteq R\setminus L~}$ if and only if ${\displaystyle y\notin f(L\cap R).}$$\displaystyle ~y\not \in f(L\cap R).$$}$

위에서$$ 언급한$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 및$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 세트는 특히 $f{\displaystyle (L}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ f${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$(L\cup$R) $,\;\operatorname {Im},$ $또는$ Y ,$${\$displaystystyley Y}$ 중 하나일 수 있다.

설정된 작업 이미지의 사전 이미지 및 사전 이미지 이미지

$L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $L}$ $및{\displaystyle }$ R$$ ${\displaystyle R}$을(를) 임의 집합으로$$, $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$X →${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ f:$X\to$ Y$}$을(를$$) $임의$ 집합으로 하고, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystystyle A\subseteq$ X}$및$ $C$ $⊆$ ${\displaystyle Y}$ {\$subseteq$ Y$\}.$

프리이미지 이미지	이미지의 프리이미지	집합에 대한 추가 가정
${\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cap R\right)=L\cap f(R)}$[6]	${\displaystyle f^{-1}(f(L)\cap R)~~\supseteq ~L\cap f^{-1}(R)}$	없음
${\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cuperatorname {Im}f)\cap f(R)~~\subseteq ~L\cup f(R)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\컵 R)~~\supseteq ~A\컵 f^{-1}(R)}$[11] 평등은 다음 중 하나라도 참일 경우 유지된다. $(\displaystyle f(A)\subseteq R.}$ ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(R).}$	$A\subseteq X}$

Since ${\displaystyle f(L)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$

Since ${\displaystyle f(X)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$

Using ${\displaystyle L:=X,}$ this becomes ${\displaystyle ~f(X)\setminus f(X\setminus R)~=~\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}~}$ and

등등

함수 및 임의로 많은 집합

(Pre)조합 및 교차로 이미지

노조의 이미지와 사전 이미지들은 항상 보존된다.역영상은 조합과 교차점을 모두 보존한다.항상 보존되지 않는 것은 교차로 영상일 뿐이다.

$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {I_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ I$}}}$이(가) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle I\neq \varnothing}$에 의해 인덱싱된 임의 집합의 제품군인$$$$ 경우:^[6]

모든 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이($)$ f {\$displaystyle$ f} -포화되어$$ 있는 경우, ${\displaystyle \bigcap _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$이(가) f$${\$displaysty f}$가 되며$$, 이는 명백하게 다음을 의미한다.

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i}\right)~=~\bigcap _{i}f\left(L_{i}\right)\qquad {\textit {}IF}}\qquad X\cap L_{i}=f^{-1}\왼쪽(f\left(L_{i}\오른쪽)\오른쪽)\quad {\text{{{}모든 }\}$

(조건부 등가 10a)

If ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ is a family of arbitrary subsets of ${\displaystyle X=\operatorname {domain} f,}$ which means that ${\displaystyle A_{i}\subseteq X}$ for all ${\displaystyle i,}$ then Conditional Equality 10a becomes:

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i}\right)~=~\bigcap _{i}f\left(A_{i}\right)\qquad {\textit {}IF}}\qquad A_{i}=f^{-1}\좌측(f\좌측(A_{i}\우측)\우측)\쿼드 {\텍스트{{{}모든 }}에 대해$

(조건부 등가 10b)

데카르트 제품의 프리이미지

This subsection will discuss the preimage of a subset ${\displaystyle B\subseteq \prod _{j\in J}Y_{j}}$ under a map of the form ${\displaystyle F~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}.}$ For every ${\displaystyle k\in J,}$

• ${\displaystyle {\pi k}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}}$$∏$${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }{}_{}}$ $Y$ j${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle \text{k}{}_{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}}$$j}\to$~$Y_{k}}}$에 대한 표준 투영을 나타냄$$$$
• $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle :={}_{}}$ ${\displaystyle \text{π}{}_{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ F${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{Y}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$_{$k}\circle F$~~$X~~~Y_{k}}}}$을(를) 두십시오$.$

so that ${\displaystyle F~=~\left(F_{j}\right)_{j\in J},}$ which is also the unique map satisfying: ${\displaystyle \pi _{j}\circ F=F_{j}}$ for all ${\displaystyle j\in J.}$ The map ${\displaystyle \left(F$_{j}\오른쪽)_{Jj\in}~:~X~\to ~\prod_{Jj\in}Y_{j}}}}이(가)이 지도들의 카트리지안 제품 ∏ JFj{\style \prod_{j\in J}F_{j}}}과(와)혼동해서는 안 된다.

${\displaystyle \prod _{j\in J}F_{j}~:~\prod _{j\in J}X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}}$ defined by sending ${\displaystyle \left(x_{j}\right)_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X\quad {\text$${ ~ }}\quad \좌(F_{j}\좌(x_{j}\우)\우)_{j\in J}$$}$

집합 순서

집합의 순서는 종종 측량 이론에서 발생한다.

정의 및 표기법

전체적으로 ${\displaystyle \text{S}}$와 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S{\text{}, }}은($는) 임의의 $세트$와 S ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ${\$이며, 순서가 되면 이 순서가 어느 하나의 공지로 표시된다.

여기서 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 자연 숫자를 나타낸다$$.A notation ${\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ indicates that ${\displaystyle S_{\bullet }}$ is a netdirected by ${\displaystyle (I,\leq ),}$ which (by definition) is a sequence if the set ${\displaystyle I,}$ which is called the net's indexing set, 는 자연수($I{\displaystyle }$= ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ I$=\mathb {N$이고 ${\displaystyle \{}${\$displaystyle$\,\$leq$\,}은(는)${\displaystyle }N{\displaystyle \mathbb{}}$ . ${\displaystyle \mathb {N}$의 자연수순이다$.$

분리 및 모노톤 시퀀스

만약 ${\displaystyle {Si}_{}}$i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\varnothing }$ ${\displaystyle S_{i}\cap S_{j}=\varnothing }$ 모든 고유 $지수{\displaystyle }$ i${\displaystyle j}$ j ${\displaystyle i\neq$ j$}$에 대해 S${\displaystyle {}_{}}$∙ ${\$을 쌍절음 또는 단순 절음절이라고 한다$$.${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 지수 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ j${\displaystyle }$, ${\displaystyle i\leq$ j$,}$ ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$resp)의 순서$$ 또는 net $∙{\$)라고 한다.${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$A sequence or net ${\displaystyle S_{\bullet }}$ of set is called strictly increasing (resp. strictly decreasing) if it is non-decreasing (resp. is non-increasing) and also ${\displaystyle S_{i}\neq S_{j}}$ for all distinct indices ${\displaystyle i{\text{ and }}j.}$$$ 비감소나 비증가라면 모노톤(monotone)이라고 하며, 엄격하게 증가하거나 엄격히 감소하고 있으면 엄밀하게 모노톤(monotone)이라고 한다.

만약 S({\displaystyle S_{\bullet}}과 모든 S나의 노조 증가하고 있는 배열하는 S({\displaystyle S_{\bullet}}S으로 증가하고 있는{S\displaystyle,})S∙ ↑ S{\displaystyle S_{\bullet}\uparrow S}[12]또는 S∙ ↗ S,{\displaystyle S_{\bullet}\nearrow S,}에 의해 표시된${\displaystyle S_{i}$는 $S{\displaystyle ;}$ ${\displaystyle$ S$;}$이며, 즉, 다음과$$ 같은 경우

그것은 S가 감소할 결론은,{S\displaystyle,}S∙ ↓ SS}[12]또는 S∙ ↘ S,{\displaystyle S_{\bullet}\searrow S,}{\displaystyle S_{\bullet}\downarrow 표시되면 S({\displaystyle S_{\bullet}}모든 S나는{\displaystyle S_{나는}의 교차점}도 증가하고 있습니다. S{\displaystyl.eS$}$ 즉$$, 다음과 같은 경우

기본 속성

Ruppose that ${\displaystyle L}$ is any set such that ${\displaystyle L\supseteq R_{i}}$ for every index ${\displaystyle i.}$ If ${\displaystyle R_{\bullet }}$ decreases to ${\displaystyle R}$ then ${\displaystyle L\setminus R_{\bullet }:=\left($$L\setminus R_{i}\right)_{i}}$ increases to ${\displaystyle L\setminus R}$^[12] whereas if instead ${\displaystyle R_{\bullet }}$ increases to ${\displaystyle R}$ then ${\displaystyle L\setminus R_{\bullet }}$ decreases to ${\displaystyle L\setminus R.}$

If ${\displaystyle L{\text{ and }}R}$ are arbitrary sets and if ${\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i}}$ increases (resp. decreases) to ${\displaystyle L}$ then ${\displaystyle \left(L_{i}\setminus R\right)_{i}}$ increase (resp. decreases) to${\displaystyle L\setminus R.}$

파티션

Suppose that ${\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is any sequence of sets, that ${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{i}S_{i}}$ is any subset, and for every index ${\displaystyle i,}$ let ${\displaystyle D_i:=\left(S_i\cap S\right)\setminus \bigcup _{m=1}^i}$${\displaystyle D_{i}:$$=\왼쪽(S_{i}\cap S\right)\setminus \bigcup _{m=1}^{i}\left(S_{m}\cap S\right)$$}}$ $그러면$ S$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle D_{}}$ i ${\$ S$=\bigcup$ ^[12]$_{i}}, D$${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ${\displaystyle :=}$ $Di$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$${i=$1}^{$nft.$

Suppose that ${\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is non-decreasing, let ${\displaystyle S_{0}:=\varnothing ,}$ and let ${\displaystyle D_{i}:$=S_{나는}\setminus S_{i-1}}가 나는 1,2,…정도씩 생겨나고 있다.{\displaystyle i=1,2,\ldots.}그리고 ⋃ 나는 S나는 갈⋃ 나는 D나는{\displaystyle \bigcup_{나는}S_{나는}=\bigcup _{나는}D_{나는}}와 D∙:)(Di)나는 갈1∞{\displaystyle D_{\bullet}:=\left(D_{나는}\right)_{i=1}^{\infty}}시퀀스의 쌍별 지리멸렬하게 하다.[12]

패밀리 및 요소별 작업

제품군 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${F}$$Ω$ 이상 세트
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 by ${\displaystyle \,\supseteq }$	$A\cap B}$	$A\컵 B}$	$B\setminus A}$	$\displaystyle \Oomega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\컵 A_{2}\컵 \cdots }$	${\displaystyle \Oomega \in {\mathcal {F}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-시스템
세미닝										결코 하지 않다
세미날게브라 (세미필드)										결코 하지 않다
모노톤급						${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$인 경우에만 해당됨	$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${$${\$displaystyle A_{i}\nearrow }$인 경우에만 해당됨
𝜆-시스템 (Dynkin 시스템				할 때만 $A\subseteq B}$			$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$ 또는$$ 그들은 서로 단절되어 있다.			결코 하지 않다
반지(순서가론)
링(측정 이론)										결코 하지 않다
Δ-링										결코 하지 않다
𝜎-링										결코 하지 않다
대수(필드)										결코 하지 않다
𝜎알게브라 (필드-필드)										결코 하지 않다
이중 이상
필터				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
프리필터 (필터 베이스)				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
필터 서브베이스				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
위상							(임의의 조합도)			결코 하지 않다
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합	상대적 보완물	보완물 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$	셀 수 있는 교차점	셀 수 있는 조합	$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 포함	포함 ${\displaystyle \varnothing }$	유한한 교차로 속성
또한 의미 부여는 모든 보완 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\setminus A$}이(가)${\displaystyle }$F .$${\$displaystyle${\$mathcal {F}$에서 집합의 유한 분리 결합과 동일한 π-시스템이다.$}$ 세미메이지브라(semialgebra)는$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ . {\$displaystyle \Oomega .}$을(를) 포함하는 기호다. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$은(는) $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 임의적인 요소이며$$$$, $≠.{\displaystystyle. {\\f}\neqvarnot.}$라고 가정한다.

정의들

집합의 가족 또는 단순한 가족이란 요소가 집합된 집합이다.$X$ ${\displaystyle X}$ 이상의 패밀리는 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $X}$ $집합$의 전원 집합은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 서브셋 집합$:$

$L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \text{및}}$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\$및$}}{\mathcal {R}}$이(가) 집합 집합이고$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 집합인 경우 다음을 정의하십시오.^[13]

각각 요소별 결합, 요소별 교차점, 요소별 (set) 차이, 요소별 대칭적 차이, $그리고{\displaystyle \mathcal{}}$ L ${\$에서 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.}$까지의 추적/제한은 모두 평상시와 같이 정의되며 ti와 함께 표시된다.r usual notation: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\;\triangle \;{\mathcal {R}},}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}\setminus {\mathcal {R}},}$ respectively.세트 패밀리에 대한 이러한 요소별 연산은 다른 과목 중에서도 세트에서 필터와 프리필터 이론에 중요한 역할을 한다.

$L{\displaystyle \mathcal{}}$ $){\displaystyle {\mathcal {L}\subseteq \wp(X)}$ 계열의$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 위쪽 끝부분이 패밀리$$:

$L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 하향 마감은 다음과$$ 같다.

집합 패밀리 카테고리

가족 나는{\displaystyle{{나는\mathcal}}}동중 성자 핵, ascending거나 L℘(X){\displaystyle{{나는\mathcal}⊆ 위로 X{X\displaystyle}에}폐쇄\wp(X)\subseteq}와 L)L↑ X.{\displaystyle{{나는\mathcal}}={{나는\mathcal}}^{X\uparrow}라고 불린다.}나는{\displaystyle{\mathcal 가족[13].${L}}$은(는) $L{\displaystyle \mathcal{}}$= $style$ . {\$displaystyle {\mathcal{L}={\mathcal{$L}^{\downarrow $}}}$일 경우 아래쪽으로 닫힌다고 한다$$.

$L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 계열은 다음과 같다고 한다$$.

• closed under finite intersections (resp. closed under finite unions) if whenever ${\displaystyle L,R\in {\mathcal {L}}}$ then ${\displaystyle L\cap R\in {\mathcal {L}}}$ (respectively, ${\displaystyle L\cup R\in {\mathcal {L}}}$).
• closed under countable intersections (resp. closed under countable unions) if whenever ${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3},\ldots }$ are elements of ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ then so is their intersections ${\displaystyle \bigcap _$${i=1}^{\inful }L_{i}:$$=L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}\cap \cdots }($resp. 그들의 조합${\displaystyle \underset{so}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle :=}$ L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}\cup }$ \$$\$displaystyle \bigcupty \{i=1$}^\$ft.$$=L_{1}\컵 L_{2$}\컵$L_{3}\컵 \cdots }.$
• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L\mathcal{}}$ ${\$이(가) $X{\displaystyle }$L. {\$displaystyle$X$\setminus$ L$\in$ {\mathcal ${L}$에 대한 보완 하에서 닫힘$$.$}$

$L$ ${\$ 집합의 패밀리 L을 a/an:

• $l-system{\displaystyle \mathcal{}}$L$display${\$displaystyle {\mathcal$ {$L}\neq \$$}$및 L {\$displaystyle {\mathcal$ {L}}이$($가) 유한 교차점에서 닫혀 있는 경우$$.
  • Every non-empty family ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is contained in a unique smallest (with respect to ${\displaystyle \subseteq }$) π−system that is denoted by ${\displaystyle \pi ({\mathcal {L}})}$ and called the π−system generated by ${\displaystyle {\mathcal {L}}.$$}$
• 하위 베이스를 필터링하고 $L$ ${\displaystyle \ne }$ $∅{\displaystyle {\mathcal {\L}\neq$\${\displaystyle \mathrm{varnothing}}$$}$ 및 $\varnothing {\displaystyle }$ ${\displaystyle \notin }$ \ ( ${\displaystyle L).}$ ${\displaysty \varnot \in$ \$in \mathcal {L}$인 경우 유한 교차로 특성을 갖는다고 한다.$}$
• $L{\displaystyle \mathcal{}}$$$${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \varnothing }$ {\$displaystyle {\$displaystyle ${\mathcal {\L}\neq \varnothing$}이(가) X ${\displaystyle X$$}$의 하위 집합 제품군이고${\displaystyle }X{\displaystyle }$ ,$${\$displaystyty$X}에서 위쪽으로 닫혔으며$$, 정의상 빈 집합이 포함되지 않은 경우$$.
• $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X$$}$의 위쪽 닫힘이$$ $X$에 대한 필터인$$ 일부 $집합$의 부분 집합이 비어 있지 않은 경우 프리필터 또는 필터 베이스$.$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 대수 집합은 비어$$ 있지 않은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 하위 집합 계열로$$, 빈 집합을 포함하고 π-system을 $형성$하며,${\displaystyle }$X .$${\$displaystyle$X}에 대한 보완에 따라 닫히기도 한다.
• $X$ ${\displaystyle X}$의 σ-algebra는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 대수로서$$, 계수 가능한 조합(또는 동등하게, 계수 가능한 교차로에서 닫힘)에서 닫힌다.

기본 속성

Let ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}},}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ be families of sets over ${\displaystyle X.}$ On the left hand sides of the following identities, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is the L eft most family, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ is는 M 아이들에서, $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) RIght 가장 많이 설정된다.

동시성:^[13]

연관성:^[13]

ID:

지배:

참고 항목

• 집합 대수 - 집합과 관련된 ID 및 관계
• 보완(설정이론) – 주어진 부분 집합에 포함되지 않는 원소 집합
• 이미지(수학)#속성 – 함수의 모든 값 집합
• 교차로(세트 이론) – 일부 집합에 공통되는 요소 집합
• 수학 정체성 목록 - 위키백과 목록 기사
• 순진한 집합 이론 – 비공식 집합 이론
• 세트(수학) – 수학적 객체 모음
• 집합 대수에서의 간단한 정리
• 대칭차이(set 이론)
• 조합(세트 이론) – 일부 집합의 요소 집합

메모들

인용구

참조

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외부 링크

• ProvenMath에서 세트 작업