하부 구조(수학)

수학적 논리학에서 (유인) 하부구조 또는 (유인) 하부구조물(유인) 하위구조물(유인)은 더 큰 구조물의 하위집합물로서 기능과 관계가 하부구조물의 영역으로 제한되는 구조물이다.아말게브라의 일부 예로는 부분군, 서브모노이드, 서브링, 서브필드, 필드 위에 있는 알헤브라의 아말게브라스 또는 유도 서브그래프가 있다.관점을 바꾸면, 더 큰 구조는 하부 구조의 확장 또는 상부 구조라고 불린다.null

모델 이론에서, "하위 구조"라는 용어는 하위 구조물의 동의어로 자주 사용되는데, 특히 문맥이 두 구조가 모두 모델인 이론을 제안할 때 더욱 그러하다.null

관계(즉, 서명이 기능하지 않는 순서 그룹이나 그래프와 같은 구조물의 경우)가 있는 경우, 약한 하부 구조(또는 약한 하위 구조)의 관계가 큰 구조에서 유도되도록 하위 구조물의 조건을 완화하는 것이 타당할 수 있다.서브그래프는 구별이 중요한 예로서, "하위그래프"라는 용어는 실제로 약한 하부구조를 가리킨다.반면에 주문된 집단은 주문된 집단의 모든 하부 구조가 유도된 하부 구조라는 특수성을 가지고 있다.null

정의

동일한 시그니처 σ의 A와 B의 두 가지 구조로 볼 때, A는 B의 약한 하부구조, 또는 B의 약한 하위구조라고 할 수 있다.

• A의 영역은 B의 영역의 부분집합이다.
• f = n의 모든 n-ari 함수 기호 f에 대해_Aⁿ f
• R ⊆ ${\displaystyle \subseteq }$ $R$ ∩ ${\displaystyle \cap }$ in의 모든 n-arri 관계 기호 R에 $대해$ⁿ A.

A는 B의 하부구조, 즉 B의 하위구조라고 하는데, A가 B의 약한 하위구조, 나아가서는 B의 하위구조라고 한다.

• R = R ∩ ${\displaystyle \cap }$ σ의 모든 n-ari 관계 기호 R에 대해 $A$ⁿ.

A가 B의 하부구조라면 B를 A의 상부구조라 부르거나, 특히 A가 유도 하부구조라면 A의 연장이라고 부른다.

예

이진 함수 +와 ×, 이진 관계 <, 상수 0과 1로 구성된 언어에서 구조(Q, +, ×, ×, <, 0, 1)는 (R, +, ×, ×, <, 0, 1)의 하부 구조다.보다 일반적으로, 순서 있는 필드(또는 필드)의 하위구조는 정확히 그 하위구조가 된다.마찬가지로, 그룹의 언어(×, , 1)에서, 그룹의 하부구조는 그 하위구조가 된다.그러나 모노이드의 언어(×, 1)에서는 집단의 하부구조가 그 하위구조가 된다.그들은 집단이 될 필요가 없으며, 집단이더라도 하위집단이 될 필요가 없다.null

그래프의 경우(하나의 이항 관계로 구성된 서명에서), 서브그래프 및 그 취약한 하위구조는 정확히 서브그래프다.null

하위 개체로

모든 시그니처 σ에 대하여 σ구조의 유도 하부구조는 σ구조의 콘크리트 범주와 강한 동형체(그리고 σ구조의 콘크리트 범주에 있는 하위 객체)이다.σ구조의 약한 하부구조는 통상적인 의미에서 σ구조의 콘크리트 범주에 속하는 하위구조가 된다.null

서브모델

모델 이론에서 이론 T의 모델인 구조 M을 고려할 때, 좁은 의미의 M의 하위 구조는 M의 하위 구조로 T의 모델이기도 하다.예를 들어 T가 서명(+, 0)에 있는 아벨 그룹 이론이라면, 정수 그룹(Z, +, 0)의 하위 구조도 아벨 그룹이다.따라서 자연수(N, +, 0)는 하위구조인 (Z, +, 0)를 이루고 짝수(2Z, +, 0)는 하위조직을 이룬다.null

기타 예:

1. 대수학 번호는 대수학적으로 폐쇄된 장 이론에서 복잡한 숫자의 하위 모델을 형성한다.
2. 합리적인 숫자는 분야 이론에서 실수의 하위모델을 형성한다.
3. 이론 T 모델의 모든 기초 하부 구조는 또한 T를 만족시킨다; 그러므로 그것은 하위 모델이다.

이론의 모델과 그들 사이에 내재된 모델의 범주에서, 모델의 하위 개체는 이론의 하위 개체가 된다.null

참고 항목

• 기초 하부구조
• 끝연장
• 뢰웬하임-스콜렘 정리
• 프라임 모델

참조

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag
• Diestel, Reinhard (2005) [1997], Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 173 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-26183-4
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6