보렐 세트

수학에서 보렐 집합은 계산 가능한 조합, 계수 가능한 교차점 및 상대 보완점 연산을 통해 열린 집합(또는 닫힌 집합에서 동등하게)에서 형성될 수 있는 위상학적 공간에 있는 집합이다. 보렐 세트는 에밀 보렐의 이름을 따서 지어졌다.

위상학적 공간 X의 경우 X에 설정된 모든 보렐 집합은 보렐 대수 또는 보렐 σ-알지브라로 알려진 σ-알지브라( forms-algebra)를 형성한다. X의 보렐 대수학(Borel 대수학)은 모든 오픈 세트(또는 동등하게 모든 닫힌 세트)를 포함하는 가장 작은 σ-알지브라이다.

보렐 집합은 측정 이론에서 중요하다. 왜냐하면 어떤 공간의 열린 집합 또는 닫힌 집합에 정의된 모든 측정은 또한 그 공간의 모든 보렐 집합에도 정의되어야 하기 때문이다. 보렐 세트에 정의된 모든 측정값을 보렐 측정값이라고 한다. 보렐 집합과 관련된 보렐 계층 구조도 서술 집합 이론에서 근본적인 역할을 한다.

어떤 맥락에서 보렐 세트는 열린 세트가 아니라 위상학적 공간의 컴팩트 세트에 의해 생성되도록 정의된다. 이 두 가지 정의는 모든 하우스도르프 σ-콤팩트 공간을 포함하여 많은 얌전한 공간에 대해 동일하지만, 보다 병적인 공간에서는 다를 수 있다.

보렐 대수 생성

X가 미터법 공간인 경우, 첫 번째 의미에서의 보렐 대수학(Borel 대수학)은 다음과 같이 생성적으로 설명할 수 있다.

X 하위 집합의 T 집합(즉, X의 전원 집합 P(X)의 하위 집합에 대해)의 집합 T의 경우 다음과 같이 하십시오.

• ${\displaystyle T_{}}$ ${\$은(는) 모두 T 요소들의 조합이다.
• ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\$은(는) 모두 T 원소의 교차점이다.
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }}$

이제 transfinite 유도로 다음과 같은 방식으로 시퀀스^m G를 정의하십시오. 여기서 m은 서수 번호임:

• 정의의 베이스 케이스의 경우, G ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$을 X의 오픈 서브셋의 집합으로$$ 한다.
• 만약 내가 한계 서수가 아니라면, 바로 앞의 서수 i - 1. let
  $${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }}$$

  
• 한계 서수인 경우, 설정
  $${\displaystyle G^{i}=\빅컵 _{j<i}G^{j}}}$$

  

보렐 대수학(Borel 대수학)이 G라는^ω₁ 주장인데, 여기서 Ω은₁ 최초의 헤아릴 수 없는 서수 숫자다. 즉, 연산을 반복하여 열린 집합의 등급에서 보렐 대수학을 생성할 수 있다.

최초의 무수한 서수까지

이 주장을 입증하기 위해 메트릭 공간에서 열린 집합은 닫힌 집합의 증가 순서의 조합이라는 점에 유의하십시오. 특히, 세트 보완은 어떤 한계 서수 m에 대해서도 G를^m 그 자체로 매핑한다. 더욱이 m이 계산할 수 없는 한계 서수인 경우, G는^m 카운트 가능한 조합에 의해 닫힌다.

각 보렐 세트 B에 대해 α에_B 대한 연산을 반복하여 B를 얻을 수 있는 계수 가능한 서수 α가_B 있다는 점에 유의한다. 그러나 B가 모든 보렐 집합에 걸쳐 변화함에 따라, α는_B 모든 카운트 가능 서수들에 걸쳐 변화하게 되며, 따라서 보렐 집합이 모두 획득되는 첫 번째 서수는 Ω₁, 첫 번째 헤아릴 수 없는 서수이다.

예

특히 확률론에서 중요한 예는 실수의 집합에 대한 보렐 대수학이다. 보렐 측정이 정의되는 대수다. 확률 공간에 정의된 실제 랜덤 변수를 고려할 때, 확률 분포는 정의에 따라 보렐 대수 측도 된다.

Reals에 있는 보렐 대수학은 R에서 모든 간격을 포함하는 가장 작은 smallest-알게브라이다.

트랜스핀라이트 유도에 의한 구조에서, 각 단계에서 세트 수는 기껏해야 연속체의 카디널리티임을 알 수 있다. 따라서 보렐 집합의 총 수가 다음보다 작거나 같음

실제로 보렐 세트 컬렉션의 카디널리티는 연속체의 그것과 동일하다(존재하는 르베그 측정 가능한 세트 수와 비교해서 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$㎛ $[\$ 2$^{2^{\aleph _{0}}}}}).$

표준 보렐 공간과 쿠라토프스키 이론

X를 위상학적 공간이 되게 하라. X와 연관된 보렐 공간은 쌍(X,B)이며, 여기서 B는 보렐 X의 σ-알지브라 세트다.

조지 맥키는 보렐 공간을 다소 다르게 정의하면서 "보렐 세트라고 불리는 하위 집합의 저명한 σ 필드와 함께 세트"라고 썼다.^[1] 그러나, 현대적인 용어는 구별되는 하위-알지브라를 측정 가능한 집합과 그러한 공간을 측정 가능한 공간이라고 부르는 것이다. 이러한 구별을 하는 이유는 보렐 세트가 (위상학적 공간의) 오픈 세트에 의해 생성되는 σ-알지브라인 반면, 맥키의 정의는 임의의 σ-알지브라가 장착된 세트를 참조하기 때문이다. 기초 공간의 토폴로지를 선택할 수 있도록 보렐 공간이 아닌 측정 가능한 공간이 존재한다.^[2]

측정 가능한 공간은 형태론이 측정 가능한 공간들 사이에서 측정 가능한 기능인 범주를 형성한다. $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$X →${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$f$:X\rightarrow Y}$ 함수는 측정 가능한 세트를 다시 가져올 경우 측정할 수 있다$$. 즉, Y의 모든 측정 가능한 집합에 대해 $설정$된 f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}B}$) ${\displaystyle$ f$^{-1}(B)$은 X에서 측정할 수 있다.

정리. X를 폴란드 공간, 즉 X의 위상을 정의하고 X를 완전한 분리 가능한 메트릭 공간으로 만드는 메트릭 d가 X에 존재하는 위상학적 공간이라고 하자. 그 다음 보렐 공간으로서의 X는 다음 중 하나에 이형화된다.

1. R,
2. Z,
3. 유한한 공간

(이 결과는 마하람의 정리를 연상시킨다.)

보렐 공간으로 간주되는 실제 선 R, 계수 가능한 집합과 R의 결합, R은ⁿ 이형성이다.

표준 보렐 공간은 폴란드 공간과 연관된 보렐 공간이다. 표준 보렐 공간은 카디널리티에 의해 이형성까지 특징지어지며,^[3] 헤아릴 수 없는 표준 보렐 공간은 연속체의 카디널리티를 가진다.

폴란드 공간 부분 집합의 경우, 보렐 세트는 폴란드 공간에 정의된 연속 주입 맵의 범위인 집합으로 특성화할 수 있다. 그러나 연속 비주사 지도의 범위는 보렐이 아닐 수 있다는 점에 유의하십시오. 분석 세트를 참조하십시오.

표준 보렐 공간의 모든 확률 측정은 표준 확률 공간으로 변한다.

비보렐 세트

루신(Lusin)으로 인해 보렐(Borel)이 아닌 실제의 하위 집합의 예가 아래에 설명되어 있다.^[4] 대조적으로, 측정할 수 없는 세트의 예는 그 존재는 증명될 수 있지만 전시될 수 없다.

모든 불합리한 숫자는 무한 연속 분수에 의한 고유한 표현을 가지고 있다.

${\displaystyle x=a_{0}+{\properac {1}{a_{1}+{1}{a_{2}+{\properac {1}{a_{3}+{\properac {1}{1}{\ddots \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 0 ${\$은 일부 정수이고 ${\displaystyle {다른}_{}}$ 모든 $숫자$는 양수 정수인$$ k ${\$ Let ${\displaystyle A}$ be the set of all irrational numbers that correspond to sequences ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$ with the following property: there exists an infinite subsequence ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$ such that each element 다음 원소의 단점이다. 이 $세트{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$은(는) Borel이 아니다$$. 사실, 그것은 분석적이며 분석 집합의 종류에서 완전하다. 자세한 내용은 기술 집합 이론과 케크리스의 책, 특히 209페이지의 연습(27.2), 169페이지의 정의(22.9), 14페이지의 연습(3.4)(ii)을 참조하십시오.

유의할 점은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) ZF에서 구성할 수 있지만$$, ZF에서만 보렐이 아닌 것으로 증명할 수는 없다는 점이다. $사실{\displaystyle \mathbb{}}$, $R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R}}$은(는) 카운트할 수 있는 집합의 조합이므로$$,$$R {\$displaystyle \mathb$ {$R}$의 하위 집합은 보렐 집합이라는$$ 것은 ZF와 일치한다.^[5]

Another non-Borel set is an inverse image ${\displaystyle f^{-1}[0]}$ of an infinite parity function ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$. However, this is a proof of existence (via the axiom of choice), not an explicit example.

대체 비균등 정의

폴 할모스에 따르면,^[6] 모든 콤팩트 세트가 포함된 가장 작은 σ-링에 속할 경우 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 위상학적 공간의 부분집합을 보렐 세트라고 부른다.

노르베르크와 베르바트는 토폴로지 $공간{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle X}$의 보렐 대수학을 $오픈{\displaystyle }$ 서브셋과 콤팩트 포화 서브셋에서 생성된 compact {\$displaystyle \sigma }$–algebra로 재정의한다$$. 이 정의는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff가 아닌$$ 경우 애플리케이션에 적합하다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 두 번째로 계산할 수 있거나 모든 소형 포화 부분 집합이 닫힌 경우(특히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}이$($가) 하우스도르프인 경우) 일반적인$$ 정의와 일치한다.

참고 항목

• 베이어 세트
• 원통형 σ-알지브라
• 폴란드 공간
• 서술 집합론
• 보렐 계층 구조

메모들

참조

• 1981년 Springer-Verlag C*-algebras 초대장 William Arveson. (폴란드 위상에 대한 훌륭한 설명은 3장 참조)
• 리차드 더들리, 진짜 분석과 가능성. 워즈워스, 브룩스 앤 콜, 1989년
• Halmos, Paul R. (1950). Measure theory. D. van Nostrand Co. 특히 51장 "보렐 세트 및 바이어 세트"를 참조한다.
• Halsey Royden, Real Analysis, 프렌티스 홀, 1988년
• 알렉산더 S. 케크리스, 고전적 서술 집합 이론, 스프링거-베를라크, 1995 (수학에서의 대학원 텍스트, 156권)

외부 링크

• "Borel set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 미자르 시스템에서 보렐 세트의 공식 정의와 그에 대해 공식적으로 증명된 2020-06-01 웨이백 머신에 보관된 정리 목록.
• Weisstein, Eric W. "Borel Set". MathWorld.