확장성
Extensionality논리학, 확장성, 또는 확장적 평등에서 사물이 동일한 외부 특성을 가지고 있을 경우 동등하다고 판단하는 원칙을 말한다. 물체의 내부적 정의가 동일한지 여부를 걱정하는 인텐시티 개념과 대조적이다.
예
다음과 같이 정의된 f와 g를 자연수에서 및 자연수로 매핑하는 두 가지 함수를 고려하십시오.
- f(n)를 찾으려면 먼저 5를 n에 추가한 다음 2를 곱하십시오.
- g(n)를 찾으려면 먼저 n에 2를 곱한 다음 10을 더한다.
이러한 함수는 확장적으로 동일하다. 동일한 입력값을 부여하면 두 함수는 항상 동일한 값을 산출한다. 그러나 함수의 정의는 같지 않고, 그 강도적인 의미에서는 함수가 같지 않다.
마찬가지로 자연어에도 내력은 다르지만 확장적으로 동일한 술어(관계)가 많이 있다. 예를 들어, 마을에 조라는 한 사람이 있다고 가정해 보자. 조는 마을에서 가장 나이가 많은 사람이다. 그렇다면, "조"라고 불리는 두 술어와 "이 마을에서 가장 나이가 많은 사람"이라는 두 술어는 장적으로는 구별되지만, 이 마을의 (현재의) 인구와 연장적으로는 동일하다.
수학에서는
앞에서 논한 함수 평등의 확장적 정의는 수학에서 흔히 사용된다. 때로는 명시적 코드인 등 추가적인 정보가 함수에 첨부되기도 하는데, 이 경우 두 함수가 모든 값에 동의해야 할 뿐만 아니라 동일하기 위해 동일한 코도메인을 가져야 한다(대조적으로 수학에서 함수의 통상적인 정의는 동일한 함수가 동일한 영역을 가져야 한다는 것을 의미한다).
유사한 확장적 정의는 보통 관계에 채택된다: 두 가지 관계는 동일한 확장성을 가진 경우 동등하다고 한다.
집합 이론에서 확장성의 공리는 두 집합이 동일한 원소를 포함하는 경우에만 동일하다고 말한다. 집합 이론으로 공식화된 수학에서는 위에 언급한 바와 같이 관계(가장 중요한 것은 기능)를 연장으로 식별하는 것이 일반적이어서 같은 연장의 두 관계나 기능이 구별되는 것은 불가능하다.
다른 수학적 객체도 "평등"이라는 직관적인 개념이 설정 수준의 확장적 평등과 일치하도록 구성된다. 따라서 동일한 순서 쌍은 동일한 원소를 가지며 동등성 관계에 의해 관련되는 집합의 원소는 동일한 동등성 등급에 속한다.
수학의 유형이론적 기초는 이런 의미에서 일반적으로 확장성이 없으며, 세토이드는 강도적 평등과 보다 일반적인 동등성 관계(일반적으로 구성성이나 결정성 특성이 좋지 않음)의 차이를 유지하기 위해 흔히 사용된다.
