코도메인

수학에서 함수의 코도메인 또는 목적지 집합은 함수의 모든 출력이 하강하도록 제약되는 집합이다. 표기법 f: X → Y에서 Y로 설정된 것이다. 용어 범위는 때때로 함수의 코도메인 또는 이미지를 지칭하기 위해 모호하게 사용된다.

코도메인은 f가 3중(X, Y, G)으로 정의되는 경우 함수 f의 일부로서 여기서 X는 f의 영역, Y는 코드메인, G는 그래프라고 부른다.^[1] x가 도메인 X의 요소에 걸쳐 있는 f(x) 형식의 모든 요소의 집합을 f의 이미지라고 한다. 함수의 이미지는 코도메인의 하위 집합이므로 함수와 일치하지 않을 수 있다. 즉, 굴절적이지 않은 함수는 그 코도메인에 y요소를 가지고 있는데, f(x) = y 등식이 해답을 가지고 있지 않다.

f가 그래프로만 정의된다면 코도메인은 함수 f의 일부가 아니다.^[2][3] 예를 들어 세트이론에서는 함수의 영역이 적절한 등급 X가 되도록 허용하는 것이 바람직하며, 이 경우 공식적으로 트리플(X, Y, G)과 같은 것은 없다. 그러한 정의 함수의 경우, 일부 저자는 여전히 f: X → Y 형식의 함수를 도입한 후 비공식적으로 그것을 사용하지만 코도메인은 없다.^[4]

예

함수에 대해

${\displaystyle f\colon \mathb {R} \rightarrow \mathb {R}}$

에 의해 정의된.

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle f\back \,x\mapsto$ x$^{2},$ 또는$$ ${\displaystyle \mathrm{동등}}$하게 f${\displaystyle (}x{\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ 2 , ${\displaystyf$ f$(x)\ =\$ x$^{2},}$

f의 코도메인은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이지만$$f는 음수에 매핑되지 않는다. 따라서 f의 이미지는 R ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$ {$R} _{0}^{+}$ ;$$즉, 간격 [0, ∞]이다.

대체 함수 g는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle g\colon \mathb {R} \rightarrow \mathb {R} _{0}^{+}}}$

$\displaystyle g\board \,x\mapsto x^{2}.}$

f와 g는 주어진 x를 같은 숫자에 매핑하지만, 이 관점에서는 서로 다른 코드명을 가지고 있기 때문에 같은 함수가 아니다. 세 번째 함수 h는 다음과 같은 이유를 설명하기 위해 정의할 수 있다.

${\displaystyle h\board \,x\mapsto {\sqrt {x}}.}$

h의 도메인은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 될 수 없지만$$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$로 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle h\colon \mathb {R} _{0}^{+}\오른쪽 화살표 \mathb {R} .}$

그 작문에는 그 작문으로 되어 있다.

$H\displaystyle h\buff f,}$

$H\displaystyle h\put g.}$

점검 결과, h ∘ f는 유용하지 않다. 달리 정의되지 않는 한 f의 이미지를 알 수 없는 것은 사실이며, $이$는 R$${\$displaystyle \textstyle \mathb {R}}$의 부분 집합이라고만 알려져 있다$.$ 이러한 이유로, f로 구성되었을 때 h가 출력이 정의되지 않은 인수를 받을 수 있다 – 음수는 h 도메인의 요소가 아니다 i.s 제곱근 함수

따라서 함수 구성은 구성의 우측에 있는 함수의 코드(함수의 결과물이며 구성 수준에서 알 수 없는 함수의 이미지가 아님)가 좌측에 있는 함수의 영역의 부분집합일 때만 유용한 개념이다.

코도메인은 코도메인이 이미지와 동일한 경우에만 함수가 굴절적이라는 점에서 함수가 추측인지 여부에 영향을 미친다. 이 예에서 g는 추론인 반면 f는 그렇지 않다. 코도메인은 함수가 주사제인지 여부에 영향을 주지 않는다.

코도메인과 영상의 차이에 대한 두 번째 예는 두 벡터 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 사이의 선형 변환으로 입증된다. $특히{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R 2 ${\$부터 그 자체까지의 모든 선형 변환은 실제 계수를 가진 2×2 행렬로 나타낼 수 있다. 각 행렬은 도메인 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} 및$$ 코드메인 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 그러나 이미지는 불확실하다. 일부 변환은 전체 코드 체인과 동일한 이미지를 가질 수 있지만(이 경우 등급 2의 행렬) 많은 변환은 그렇지 않고, 그 대신 더 작은 하위 공간(1등급 또는 0의 행렬)에 매핑된다. 예를 들어, 다음이 제공하는 매트릭스 T를 참조하십시오.

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\1&0\end{pmatrix}}$

점(x, y)을 (x, x)에 매핑하는 선형 변환을 나타낸다. 포인트(2, 3)는 T의 이미지에 있지 않지만, R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$2}}$에서 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \textstyle \mathb{R}$^2$}}$까지의 선형 변환은 명시적으로 관련성이 있으므로$$ 코도메인 것이다. 모든 2×2 행렬과 마찬가지로 T는 그 집합의 멤버를 나타낸다. 영상과 코도메인의 차이를 검사하는 것은 종종 문제의 함수의 속성을 발견하는 데 유용할 수 있다. 예를 들어 T의 이미지가 전체 코도메인보다 작기 때문에 전체 서열이 없다는 결론을 내릴 수 있다.

참고 항목

• 편향 – 1 대 1 및 (수학) 위에 있는 기능
• 형태론#코도메인

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.
• Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
• Forster, Thomas (2003), Logic, Induction and Sets, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the working mathematician (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
• Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory, Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8
• Sharma, A.K. (2004), Introduction To Set Theory, Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
• Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), The foundations of mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4