공리 스키마

Axiom schema

수학적 논리학에서 공리 스키마(plural: axiom schemata or axiom schema)는 공리의 개념을 일반화한다.

형식 정의

공리 스키마는 하나 이상의 개략적 변수가 나타나는 공리학적 시스템의 금속 언어에 있는 공식이다. 이 변수들은 메타휴지론적 구조로서 특정 조건을 충족시키기 위해 요구되거나 요구되지 않을 수 있는 시스템의 어떤 용어나 보조양식을 의미한다. 종종 그러한 조건들은 특정 변수가 자유롭거나 또는 특정 변수가 보조양식이나 용어에[citation needed] 나타나지 않도록 요구한다.

유한 공리화

개략도 변수 대신 삽입할 수 있는 가능한 보조공식이나 용어의 수가 셀 수 없이 무한하다는 점에서, 공리 스키마는 셀 수 없이 무한의 공리 집합을 의미한다. 이 집합은 보통 반복적으로 정의할 수 있다. 도식화 없이 공리화가 가능한 이론은 정밀하게 공리화되었다고 한다. 정밀하게 공리화할 수 있는 이론은 연역적인 작업에 실용성이 떨어지더라도 조금 더 변형적으로 우아하게 보여진다.[citation needed]

예

공리 스키마타에 대해 잘 알려진 두 가지 예는 다음과 같다.

체스와프 릴-나르체프스키가 페아노 산수를 정밀하게 공리화할 수 없다는 것을 증명했고, 리처드 몬태규는 ZFC를 정밀하게 공리화할 수 없다는 것을 증명했다.[1] 따라서 이러한 이론에서 공리학적 도식을 제거할 수는 없다. 수학, 철학, 언어학 등에서도 꽤 많은 다른 자명론들이 이에 해당한다.

정밀하게 공리화된 이론들

ZFC의 모든 이론은 또한 폰 노이만-베르나이스의 이론이다.괴델은 이론을 세웠으나 후자는 완전히 공리화 될 수 있다. 정해진 이론인 뉴 파운데이션은 완전히 공리화될 수 있지만, 우아함을 약간 상실해야만 가능하다.

고차 논리학에서

1차 논리에서의 개략적 변수는 대개 2차 논리에서는 경미하게 제거될 수 있는데, 개략적 변수는 종종 이론의 개인에 대한 어떤 재산이나 관계에 대한 자리 표시자가 되기 때문이다. 위에서 언급한 유도 및 교체의 도식이 이에 해당한다. 고차 논리는 정량화된 변수가 가능한 모든 특성이나 관계에 걸쳐 범위를 갖도록 허용한다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 체스와프 릴 나르체프스키 1952; 리처드 몬태규 1961.

참조

  • Corcoran, John (2006), "Schemata: the Concept of Schema in the History of Logic", Bulletin of Symbolic Logic, 12: 219–240.
  • Corcoran, John (2016). "Schema". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  • Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7.
  • Montague, Richard (1961), "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I", in Samuel R. Buss (ed.), Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Pergamon Press, pp. 45–69.
  • Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy, Oxford University Press, ISBN 9780199269730.
  • Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "The role of the axiom of induction in elementary arithmetic" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 39: 239–263.