초한 유도

\omega ^{\omega }

까지의 서수 표현

(\

\obega

^{\obega

\omega

Spiral의 각 회전수는

{\

의 1제곱을 나타내며, 초한유도에서는 베이스케이스(0)와 후계케이스(전대가 있는 서수에 사용), 리미트케이스(서수에 사용)를 증명해야 한다.전임자가 없습니다.)

초한 귀납은 순서 있는 집합, 예를 들어 서수 집합이나 기수 집합으로 수학적 귀납을 확장한 것입니다.그것의 정확성은 ZFC의 정리이다.^[1]

사례별 유도

$)$ { $displaystyle$ P $(\alpha$ $)}$ 를 $P(\alpha )$ 모든 $\alpha$ α $(\displaystyle$ \alpha $\alpha$ 에 대해 정의된 속성으로 합니다. $P(\beta )$ β $)$ { $displaystyle$ \ $beta$ 가 $P(\beta )$ 모든 $\beta <\alpha$ 에 대해 true이고 $)$ { $displaystyle$ $\beta <\alpha$ P $(\alpha)}$ 도 $P(\alpha )$ ^[2]true라고 가정합니다.그리고 초무한 유도는 모든 서수에 대해P $(\displaystyle$ P)가 참임을 나타냅니다.

일반적으로 증거는 세 가지 경우로 분류됩니다.

대소문자 없음: $P(0)$ ( $P(0)$ ) { $display P$ ( $0$ ) $P(0)$ } 이 참임을 증명합니다.
후계자 케이스:모든 후속 $\alpha +1$ + 1 $(\displaystyle \alpha + 1$ 에 대해 $P(\alpha )$ P $P(\alpha +1)$ ( $+$ 1) (\ $displaystyle$ P $P(\alpha +1)$ $(\$ alpha + $1)$ ( $\beta <\alpha$ 에 $따라$ $\beta <\alpha$ $P(\beta )$ ( $P(\beta )$ $)\displaystyle$ P $(\alpha$ $\beta <\alpha$ 가 $P(\beta )$ 이어지는 $P(\alpha +1)$ 것을 증명합니다 $.$
제한 대소문자: $\beta <\lambda$ $<\displaystyle \beta$ \lambda $\beta <\lambda$ 에 대해 P $P(\lambda )$ $displaystyle$ P $(\lambda)$ 가 $P(\lambda)$ $P(\beta )$ P $)$ 에서 $이어지는$ 것을 증명합니다.

세 가지 경우 모두 고려된 서수의 유형을 제외하고 동일하다.그것들은 공식적으로 따로 고려할 필요는 없지만, 실제로는 증빙이 너무 달라서 별도의 제시가 필요하다.0은 때때로 한계 서수로 간주되고, 그 후 한계 서수와 같은 경우 증명에서 처리될 수 있다.

초무한 재귀

초무한 재귀는 초무한 귀납과 유사하지만, 모든 서수에서 무언가가 유지된다는 것을 증명하는 대신, 우리는 각 서수마다 하나씩 일련의 물체를 구성합니다.

한 예로,(아마 5)벡터 공간을 위한 기초}벡터 v0{\displaystyle v_{0}선택 및 각 서수 α}는 매개 곤충의 일생{vβ ∣ β<>α}{\displaystyle\와 같이{{\betav_}\mid \beta<>에 없는 벡터, \alpha\와 같이}선택에 의해. 없을 때 벡털 수 있기 때문 과정을 만들 수 있습니다.chosen을 클릭합니다.

보다 공식적으로, 우리는 다음과 같이 초한재귀정리를 말할 수 있다.

초한재귀정리(버전 1)클래스^[3] 함수 G: V → V(여기서 V는 모든 집합의 클래스)일 때, 다음과 같은 고유한 초한계수 F: Ord → V(여기서 Ord는 모든 서수의 클래스)가 존재한다.

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

서수α에 대해

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

F (

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

(

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

\

displaystyle

F (\

alpha

)

= G

(

F\upharpoonright

\alpha ) （ \

displaystyle \upharpoonright

\

alpha

）。여기서

{\

{\displaystystyle \upharpoonright

\upharpoonright

}는

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

\upharpoonright

F의 영역을 서수에 제한한다.

유도의 경우와 마찬가지로, 우리는 다른 유형의 서수를 따로 취급할 수 있다.초한 재귀의 또 다른 공식은 다음과 같다.

초한재귀정리(버전 2)집합₁ g와 클래스 함수₂ G, G가₃ 주어지면, 다음과 같은 고유한 함수 F: Ord → V가 존재한다.
F(0) = g₁,
F(α + 1) = G₂(F(α)), 모든 α δ Ord에 대해
$F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ ( $F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ ) $F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ $F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ 3 $F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ ( $F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ $){$ $displaystyle$ F ( \ $lambda$ ) = $G$ _ {3} $( F$ \ $upharpoonright$ \ $slambda$ ) $F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ 。모든 제한 0 0 。

G, G의₃ 도메인은₂ 위의 속성을 의미 있게 하기 위해 충분히 넓어야 한다는 점에 유의하십시오.이러한 특성을 만족시키는 시퀀스의 고유성은 초한 유도를 사용하여 입증될 수 있다.

보다 일반적으로는, 충분히 근거 있는 관계 R에 대해서 무한 재귀에 의해서 오브젝트를 정의할 수 있습니다.(R은 집합일 필요는 없습니다.이것은 집합과 같은 관계라면 적절한 클래스일 수 있습니다.즉, 임의의 x에 대해서는 yRx가 집합이 되도록 모든 y의 집합입니다.)

선택 공리와의 관계

유도와 재귀를 사용하는 증명이나 구성은 종종 선택 공리를 사용하여 초한 유도로 처리할 수 있는 잘 정돈된 관계를 만듭니다.그러나 문제의 관계가 이미 잘 정리되어 있다면 선택 ^[4]공리를 호출하지 않고도 종종 초한 유도를 사용할 수 있다.예를 들어, 보렐 집합에 대한 많은 결과는 집합의 서수 순위에 대한 초무한 유도에 의해 증명됩니다. 이러한 순위는 이미 잘 정렬되어 있으므로, 그것들을 잘 정렬하기 위해 선택 공리가 필요하지 않습니다.

Vitali 세트의 다음 구성은 초한 유도에 의한 증명에서 선택 공리를 사용할 수 있는 한 가지 방법을 보여줍니다.

우선, 순서

\langle r_{\alpha }|\alpha <\beta \rangle

r

\langle r_{\alpha }|\alpha <\beta \rangle

< β

\langle r_{\alpha }|\alpha <\beta \rangle

\

displaystyle \langle r_{\alpha } \alpha <\beta \rangle

\langle r_{\alpha }|\alpha <\beta \rangle

(여기서 β는 연속체의 카디널리티와의 순서형)를 부여하면서 실수의 순서를 정합니다.v가 r이라고₀ 하자₀.그런 다음 v가 r이라고_α₁ 하자₁. 여기서₁ α는 r - v가₀ 유리수가 아닌_α₁ 최소값이다.계속합니다. 각 단계에서 지금까지 v 시퀀스로 구성된 요소와 합리적인 차이가 없는 r 시퀀스의 최소 실수 값을 사용합니다.r 시퀀스의 모든 실이 소진될 때까지 계속합니다.마지막 v 시퀀스는 Vitali 세트를 열거합니다.

위의 논거는 실수의 순서를 잘 정하기 위해 첫머리에 필수적인 방법으로 선택 공리를 사용한다.그 후, 선택 공리는 다시 사용되지 않습니다.

선택 공리의 다른 용도는 더 미묘하다.예를 들어, 자주 초무한 재귀에 의한 구성에서는 최대 α까지의 시퀀스가 주어지면 A에 대해 고유한_α+1 값을 지정하지 않고 A가 충족해야_α+1 하는 조건만 지정하고 이 조건을 충족하는 세트가 적어도 하나 있다고 주장합니다.각 단계에서 이러한 집합의 고유한 예를 정의할 수 없는 경우, 각 단계에서 그러한 집합을 선택하기 위해 (어떤 형태의) 선택 공리를 호출할 필요가 있을 수 있습니다.계수 가능한 길이의 인덕션 및 재귀의 경우, 의존적 선택의 더 약한 공리로 충분합니다.의존적 선택의 공리를 만족시키지만 완전한 선택 공리를 만족시키지 않는 이론가를 설정하기 위한 관심 집합 이론의 모델이 있기 때문에, 특정 증거가 의존적 선택만을 필요로 한다는 지식은 유용할 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ J. 슐뢰더, 서수 산술2022-03-24에 접속.
^ 여기서 P $P(0)$ ( $P(0)$ ) { $displaystyle$ P( $0)}$ 가 $P(0)$ 참이라고 별도로 가정할 필요는 없습니다.0보다 작은 $\beta$ β(\ $displaystyle\beta$ $)$ 는 $\beta$ $\beta$ 때문에 $\beta <0$ β $\beta <0$ < $\beta <0$ \ $displaystyle$ \ $beta$ < 0 $\beta <0$ } , $P(\beta )$ ( $P(\beta )$ $)$ \ $displaystyle$ P ( \ $beta )$ } true $P(\beta )$ true true true 。
^ 클래스 함수는 왼쪽 클래스의 각 요소를 오른쪽 클래스의 요소에 할당하는 규칙(특히 논리식)입니다.도메인과 코드메인이 설정되어 있지 않기 때문에 함수가 아닙니다.
^ 사실, 관계의 도메인은 집합일 필요도 없습니다.관계 R이 집합과 같은 경우 적절한 클래스가 될 수 있습니다.즉, 임의의 x에 대해 y R x가 집합이어야 하는 모든 y의 집합입니다.

레퍼런스

Suppes, Patrick (1972), "Section 7.1", Axiomatic set theory, Dover Publications, ISBN 0-486-61630-4

외부 링크

Emerson, Jonathan; Lezama, Mark & Weisstein, Eric W. "Transfinite Induction". MathWorld.

[1] J. 슐뢰더, 서수 산술2022-03-24에 접속.

[2] 여기서 P $P(0)$ ( $P(0)$ ) { $displaystyle$ P( $0)}$ 가 $P(0)$ 참이라고 별도로 가정할 필요는 없습니다.0보다 작은 $\beta$ β(\ $displaystyle\beta$ $)$ 는 $\beta$ $\beta$ 때문에 $\beta <0$ β $\beta <0$ < $\beta <0$ \ $displaystyle$ \ $beta$ < 0 $\beta <0$ } , $P(\beta )$ ( $P(\beta )$ $)$ \ $displaystyle$ P ( \ $beta )$ } true $P(\beta )$ true true true 。

[3] 클래스 함수는 왼쪽 클래스의 각 요소를 오른쪽 클래스의 요소에 할당하는 규칙(특히 논리식)입니다.도메인과 코드메인이 설정되어 있지 않기 때문에 함수가 아닙니다.

[4] 사실, 관계의 도메인은 집합일 필요도 없습니다.관계 R이 집합과 같은 경우 적절한 클래스가 될 수 있습니다.즉, 임의의 x에 대해 y R x가 집합이어야 하는 모든 y의 집합입니다.

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 집합론
개요	집합(수학)
악리	부가 선택. 셀 수 있다 의존하는 세계적인 시공성(V=L) 결정성 확장 기능 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니언 마틴의 공리 Axiom 스키마 치환 사양
운용	데카르트 곱 보완(차이 설정) 드 모르간의 법칙 분리 결합 아이덴티티 교차로 전원 세트 대칭차 유니언
개념 방법들	카디널리티 기수(대) 학급 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각 인수 요소 순서쌍 태플 가족 강제 일대일 대응 서수 Set-Builder 표기법 초한 유도 벤도
유형 설정	비정질 카운트 가능 빈 유한(전통적으로) 필터 기초 서브베이스 울트라필터 흐릿하다 무한(데데킨드 무한) 재귀적 싱글턴 서브셋 · 슈퍼셋 추이적 셀 수 없다 유니버설
이론들	대안 자명한 천진난만 칸토르의 정리 체르멜로 일반 프린키피아 매스매티카 새로운 기초 체르멜로프랭켈 폰 노이만-베네이스괴델 모스켈리 크립케-플라텍 타르스키 그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 서슬린 문제 부랄리-포르티 역설
집합 이론가	아브라함 프렝켈 버트런드 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 요한 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코헨 리하르트 데데킨트 토머스 젝 토랄프 스콜렘 윌러드 콰인

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