일반 집합론

일반 집합 이론(GST)은 공리 집합 이론 Z의 파편을 가리키는 조지 볼로스의 (1998년) 이름이다. GST는 무한 집합을 요구하지 않는 모든 수학에 충분하며, 이론에 페아노 공리가 포함된 가장 약한 것으로 알려진 집합 이론이다.

온톨로지

GST의 온톨로지(Ontology)는 ZFC의 온톨로지(Ontology)와 동일하므로 철저히 규범적이다. GST는 하나의 원시적 존재론적 개념, 집합적 존재론적 개념과 하나의 존재론적 가정, 즉 담론의 우주에 있는 모든 개인(모든 수학적 물체)이 집합적이라는 것을 특징으로 한다. 설정된 멤버쉽이라는 하나의 원시적 이진 관계가 있다. 집합 a가 집합 b의 멤버라는 것은 ∈ b(일반적으로 "a는 b의 요소"라고 읽음)라고 쓰여 있다.

공리

아래의 상징적 공리는 볼로스(1998:196), 집합이 어떻게 행동하고 상호작용하는지를 지배한다. Z와 마찬가지로 GST의 배경논리는 아이덴티티를 가진 첫 번째 순서논리다. 실제로 GST는 유니언, 파워셋, 초등세트(본질적으로 페어링) 및 인피니티 공리를 생략한 다음 공리로 Z의 정리인 애드준션을 취함으로써 얻은 Z의 단편이다. 공리의 자연어 버전은 직관을 돕기 위한 것이다.

1) 확장성의 공리: x와 y 세트는 멤버가 같을 경우 같은 세트다.

$\displaystyle \forally x[\forall z[z\in x\frontrightarrow z\in y]\rightarrow x=y]}$

이 공리의 역행은 평등의 대체 속성에서 따온 것이다.

2) Axiom Schema of Specification(또는 분리 또는 이해 제한): z가 집합이고 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi}$이(가) z의 모든 요소, 일부 또는 그 어떤 요소도 만족시킬 수 없는 속성인$$ $경우{\displaystyle }$, z의 부분 집합 y가 존재하며, elements ${\displaystyle \phi }$ 특성을 만족한다$.$ russell의 역설과 그 변형을 피하기 위해 z에 대한 제한이 필요하다. 좀 더 공식적으로, $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi (x)}$을(를) GST 언어의 공식으로$$ 삼으십시오. 이 공식은 x가 자유롭게 발생할 수 있지만 y는 그렇지 않을 수 있다. 그러면 다음과 같은 스키마의 모든 인스턴스가 공리다.

$(x\displaystyle \forall z\forall y\forall x[x\in y\land \phi(x)]).}$

3) 부록의 공리: x와 y가 세트인 경우, x와 y의 부속물인 세트 w가 존재하며, 이들의 멤버는 y와 x의 멤버일 뿐이다.^[1]

$\displaystyle \forall y\forall z[z\in w\lor z=y]]}$

부절은 두 세트의 초등적 연산을 의미하며, 범주 이론을 포함하여 수학에서 그 용어를 다른 곳에서 사용하는 것과 관련이 없다.

ST는 규격의 공리 스키마가 빈 집합의 공리로 대체된 GST이다.

토론

변성학

사양은 공리 스키마라는 점에 유의하십시오. 이 공리들에 의해 주어진 이론은 정확히 공리화할 수 없다. 몬태규(1961년)는 ZFC가 정밀하게 공리화할 수 없다는 것을 보여주었고, 그의 주장은 GST로 넘어간다. 따라서 GST의 모든 공리화에는 적어도 하나의 공리 스키마가 포함되어야 한다. GST는 단순한 공리로 러셀, 부랄리-포르티, 칸토어의 세 가지 반증에도 면역이 된다.

GST는 GST 공리의 어떤 부분도 3개 이상의 정량자의 범위에 있지 않기 때문에 관계 대수에서 해석할 수 있다. 이것은 타르스키와 기반트(1987년)에 주어진 필요하고도 충분한 조건이다.

페아노 산수

분리에서 φ(x)를 x≠x로 설정하고 도메인이 비어 있지 않다고 가정하면 빈 집합의 존재를 보장한다. Adjunction implies that if x is a set, then so is ${\displaystyle S(x)=x\cup \{x\}}$. Given Adjunction, the usual construction of the successor ordinals from the empty set can proceed, one in which the natural numbers are defined as ${\displaystyle \varnothing ,\,S(\varnothing ),\$$,S(\varnoth )\,\dots$ $,\}.$ 페아노의 공리를 보라. GST는 Peano 산술과 상호 해석할 수 있다(PA와 동일한 입증-이론적 강도를 갖는다).

ST(그리고 따라서 GST)에 대한 가장 주목할 만한 사실은 이 작은 이론의 조각들이 그러한 풍부한 변성법을 만들어 낸다는 것이다. ST는 잘 알려진 표준 집합론 ZFC와 NBG의 작은 조각이지만, ST는 로빈슨 산술(Q)을 해석하여 ST가 Q의 비경쟁적 변혁을 계승한다. 예를 들어, ST는 Q이기 때문에 본질적으로 해석할 수 없는 것이며, ST 공리를 포함하는 모든 일관된 이론은 또한 본질적으로 해석할 수 없는 것이다.^[2] 이것은 GST와 이것들이 일관된다고 가정하고 생각할 가치가 있는 모든 자명 집합 이론을 포함한다. 사실 ST의 불분명한 것은 1차 로직의 불분명한 논리성을 하나의 이항 술어 문자로 함축하고 있다.^[3]

Q는 괴델의 불완전성 정리라는 의미에서도 불완전하다. ST와 GST와 같이 Q 공리가 포함된 이론도 마찬가지로 불완전하다. 더욱이 GST가 사실상 일관성이 없는 한 GST 자체 내에서 GST의 일관성을 증명할 수 없다.

무한세트

ZFC의 어떤 모델 M을 고려할 때, M에서 유전적으로 유한한 세트의 집합은 GST 공리를 만족시킬 것이다. 따라서 GST는 계산 가능한 무한 집합, 즉 카디널리티가 ℵ인₀ 집합의 존재조차 증명할 수 없다. GST가 카운트다운 무한 세트를 제공했더라도 GST에는 파워 세트의 공리가 없기 때문에 카디널리티가 ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 1${\$}인 세트의 존재를 증명할 수 없었다$.$ 따라서 GST는 그라운드 분석과 기하학을 할 수 없고, 수학의 기초가 되기에는 너무 약하다.

역사

볼로스는 단지 페아노 산수를 해석할 수 있을 정도로 강력한 Z의 조각으로만 GST에 관심이 있었다. 그는 GST에 대해 결코 머뭇거리지 않았으며, 프레지의 그룬들라겐과 그룬들제트의 시스템들과 러셀의 역설을 제거하기 위해 그것들이 어떻게 수정될 수 있는지에 대해 토론하는 몇몇 논문에서만 그것을 간단히 언급하였다. 타르스키와 기반트(1987: 223)의 시스템 Aξ'[Δ₀]은 기본적으로 규격을 대체하는 유도의 공리 스키마를 가진 GST이며, 빈 집합의 존재를 명시적으로 가정한다.

GST는 버지스(2005년), 223페이지에서 STZ라고 불린다.^[4] 버지스의 이론 ST는^[5] 규격의 공리 스키마를 대체하는 빈 세트가 GST이다. "ST"에도 "ST"라는 글자가 나타난다는 것은 우연의 일치다.

각주

참조

• 조지 볼로스(1999) 논리학, 논리학, 논리학. 하버드 유니브 누르다
• 버지스, 존, 2005년 프레지 고치기. 프린스턴 유니브 누르다
• 리차드 몬태규(1961) "인피니즘 방법론"의 "반관적 폐쇄와 비완료적 공리화 가능성. 바르샤바: 45-69.
• 알프레드 타르스키, 안드르제지 모스토프스키, 그리고 라파엘 로빈슨(1953) 불가해한 이론들. 북 홀랜드.
• 타르스키, A, 기반트, 스티븐(1987) 변수 없는 세트 이론 공식화. 프로비던스 RI: AMS 콜로키움 출판사, v. 41.

외부 링크

• 스탠포드 철학 백과사전: 세트 이론—토머스 젝의 책.