토랄프 스콜렘

Thoralf Skolem
토랄프 스콜렘
ThoralfSkolem-OB.F06426c.jpg
태어난(1887-05-23) 1887년 5월 23일
노르웨이, Sandsvér
죽은1963년 3월 23일 (1963-03-23) (75세)
노르웨이 오슬로
국적.노르웨이어
모교오슬로 대학교
로 알려져 있다스콜렘-노에테르 정리
뢰벤하임-스콜렘 정리
과학 경력
필드수학자
기관오슬로 대학교
미켈센 연구소
박사 어드바이저액셀 투
박사과정 학생외이슈타인 광석

토랄프 알베르 스콜렘(Toralf Albert Skolem, 1887년 5월 23일 ~ 1963년 3월 23일)은 노르웨이의 수학자이다.

인생

스콜렘의 아버지는 초등학교 교사였지만 그의 대가족 대부분은 농부였다.스콜렘은 크리스티아니아의 중등학교(나중에 오슬로로 개명)를 다녔고 1905년 대학 입학시험에 합격했다.그 후 그는 수학을 공부하기 위해 Det Kongelige Frederiks Universitet에 입학했고, 물리학, 화학, 동물학, 식물학 과목도 수강했다.

1909년, 그는 전자로 자화된 구를 폭격하고 오로라와 같은 효과를 얻는 것으로 알려진 물리학자 크리스티안 버켈랜드의 조수로 일하기 시작했다. 그래서 스콜렘의 첫 출판물은 버켈랜드와 공동으로 쓴 물리학 논문이었다.1913년, 스콜렘은 국가고시에 우수한 성적으로 합격했고, 논리의 대수학에 관한 연구라는 논문을 완성했다.그는 또한 12궁도의 빛을 관찰하기 위해 버켈랜드와 함께 수단까지 여행했다.그는 1915년 겨울 학기를 괴팅겐 대학에서 보냈는데, 그 당시 스콜렘은 수학 논리, 메타수학, 추상 대수학의 선도적인 연구 센터였고, 그 분야에서 결국 우수했습니다.1916년 그는 Det Kongelige Frederiks University의 연구원으로 임명되었다.1918년, 그는 수학의 도센트가 되었고 노르웨이 과학 및 문학 아카데미에 선출되었습니다.

스콜렘은 처음에 노르웨이에서 박사학위가 불필요하다고 믿고 박사학위 지원자로 정식으로 등록하지 않았다.그는 나중에 마음을 바꿔 1926년에 "특정 대수 방정식과 부등식에 대한 적분 해법에 대한 몇 가지 이론"이라는 논문을 제출했습니다.비록 Thue가 1922년에 사망했음에도 불구하고 그의 개념적인 논문 조언자는 Axel Thue였다.

1927년, 그는 에디트 윌헬마인 하스볼드와 결혼했다.

스콜렘은 1930년까지 Det kongelige Frederiks Universitet에서 가르쳤다. 베르겐에 있는 미켈센 연구소.이 고위직은 스콜렘이 행정 및 교직 없이 연구를 수행할 수 있게 해주었습니다.하지만, 그 직책은 또한 그가 당시 대학이 부족했고 그래서 연구 도서관이 없었던 도시인 베르겐에 거주하도록 요구했고, 그래서 그는 수리 문헌을 따라갈 수 없었다.1938년, 그는 오슬로로 돌아와 대학의 수학 교수로 취임했다.그곳에서 그는 대수학과 수론에서 대학원 과정을 가르쳤고, 가끔 수학 논리학을 가르쳤다.스콜렘의 박사과정 학생 öystein Ore는 미국에서 경력을 쌓았습니다.

스콜렘은 노르웨이 수학 협회 회장을 역임했으며, 수년간 노르웨이 수학 저널(Norsk Matematisk Tidsskrift)을 편집했다.그는 또한 매스매티카 스칸디나비카의 창간 편집장이었다.

1957년 은퇴 후, 그는 미국에 여러 번 여행했고, 그곳의 대학에서 연설하고 가르쳤다.그는 갑작스럽고 예상치 못한 죽음을 맞이할 때까지 지적 활동을 계속했다.

스콜렘의 학구생활에 대한 자세한 내용은 펜스타드(1970)를 참조한다.

수학

스콜렘은 디오판토스 방정식, 군론, 격자 이론, 그리고 무엇보다도 집합론과 수리 논리에 관한 180여 편의 논문을 발표했다.그는 국제 발행부수가 제한된 노르웨이 저널에 주로 발표했고, 그의 결과는 때때로 다른 사람들에 의해 재발견되었다.한 예로 단순 대수의 자기동형을 특징짓는 스콜렘-노에테르 정리가 있다.스콜렘은 1927년에 증거를 발표했지만, 에미 노에터는 몇 년 후에 독립적으로 그것을 재발견했다.

스콜렘은 격자에 대해 쓴 최초의 사람 중 하나였다.1912년 그는 n개의 원소에 의해 생성된 자유분포격자를 최초로 기술했다.1919년, 그는 모든 함축 격자(현재는 스콜렘 격자라고도 함)가 분포적이고, 부분적 역순으로 모든 유한한 분포 격자가 함축적이라는 것을 보여주었다.이러한 결과가 다른 사람들에 의해 재발견된 후, 스콜렘은 격자 이론에서 그의 초기 작품을 조사하면서 1936년 독일어로 된 논문인 "위베르 게위스" "Verbénde" oder 'Lattices"를 발표했다.

스콜렘은 선구적인 모델 이론가였다.1920년, 그는 1915년에 레오폴트 뢰벤하임이 처음으로 증명한 정리의 증명을 크게 단순화하였고, 그 결과 뢰벤하임-스콜렘 정리가 만들어졌는데, 만약 계산 가능한 1차 이론이 무한 모델을 가지고 있다면, 그것은 계산 가능한 모형을 가지고 있다는 것이다.그의 1920년 증명은 선택 공리를 사용했지만, 그는 나중에(1922년과 1928년) 그 공리 대신에 쾨니히의 보조를 사용하여 증명했다.스콜렘은 뢰벤하임과 마찬가지로 그의 동료 선구적인 모델 이론가 찰스 샌더스 피어스와 에른스트 슈뢰더의 표기법을 사용하여 수학 논리와 집합론에 대해 저술한 것이 주목할 만하다.스콜렘(1934)은 산술과 집합론의 비표준 모델 구축을 선도했다.

스콜렘(1922년)은 체르멜로의 "확정한" 속성에 대한 모호한 개념을 1차 논리로 코드화할 수 있는 속성으로 대체함으로써 집합론에 대한 체르멜로의 공리를 다듬었다.결과 공리는 이제 집합론의 표준 공리의 일부가 되었다.스콜렘은 또한 뢰벤하임-스콜렘 정리의 결과가 현재 스콜렘의 역설로 알려진 것이라고 지적했다: 만약 체르멜로의 공리가 일관된다면, 셀 수 없는 집합의 존재를 증명하더라도 셀 수 있는 영역 내에서 만족해야 한다.

완전성

1차 논리의 완전성은 스콜렘이 1920년대 초에 증명하고 스콜렘(1928)에서 논의한 결과의 결과이지만, 아마도 수학자와 논리학자들이 1928년 힐베르트와 아커만의 Pr의 초판이 될 때까지 완전한 완전성을 근본적인 메타수학적 문제로 인식하지 못했기 때문에 그는 이 사실에 주목하지 못했다.수학 논리의 예시는 그것을 명확하게 표현했다.어쨌든, Kurt Gödel은 1930년에 이 완성도를 처음으로 증명했다.

스콜렘은 완성된 무한을 불신했고 수학에서 유한론의 창시자 중 한 명이었다.스콜렘(1923)은 계산 가능한 함수의 이론에 대한 매우 초기의 기여인 원시 재귀 산수를 무한대의 소위 역설들을 피하는 수단으로 제시한다.여기서 그는 먼저 원시 재귀에 의해 물체를 정의하고, 그 다음 첫 번째 시스템에 의해 정의된 물체의 특성을 증명하기 위해 다른 시스템을 고안함으로써 자연수의 산수를 개발했다.이 두 가지 체계를 통해 그는 소수를 정의하고 상당한 양의 수 이론을 정립할 수 있었다.이들 시스템 중 첫 번째 시스템이 오브젝트를 정의하는 프로그래밍 언어로 간주되고 두 번째 시스템이 오브젝트에 대한 특성을 증명하는 프로그래밍 로직으로 간주될 수 있다면 스콜렘은 자신도 모르게 이론 컴퓨터 과학의 선구자로 간주될 수 있다.

1929년, Presburger는 곱셈이 없는 페아노 산수가 일관되고, 완전하며, 결정 가능하다는 것을 증명했다.이듬해, 스콜렘은 덧셈 없이 페아노 산술에서도 마찬가지라는 것을 증명했습니다.그것은 그를 기리는 스콜렘 산술이라는 이름의 체계입니다.괴델의 유명한 1931년 결과는 (더하기와 곱하기 둘 다 포함) 페아노 산술 자체가 불완전하기 때문에 후자를 결정할 수 없다는 것이다.

Hao Wang은 Skolem의 작품을 다음과 같이 칭찬했다.

스콜렘은 구체적인 예를 들어 일반적인 문제를 다루는 경향이 있습니다.그는 종종 그것을 발견했을 때와 같은 순서로 증거를 제시하는 것처럼 보였다.그 결과, 새로운 정보를 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 일관성이 없어집니다.그의 많은 논문들은 진척 보고서로 하나를 공격한다.그러나 그의 생각은 종종 임신하고 잠재적으로 광범위하게 적용될 수 있다.그는 매우 자유로운 정신이었다: 그는 어느 학교에도 속하지 않았고, 그는 자신의 학교를 설립하지 않았으며, 그는 알려진 결과를 잘 활용하지 않았다.그는 매우 혁신가였고 그의 논문의 대부분은 특별한 지식이 없어도 읽고 이해할 수 있다.만약 그가 오늘날 젊었다면, 논리는...그에게 호소하지 않았을 것이다." (Skolem 1970: 17-18)

스콜렘의 업적에 대한 자세한 내용은 Hao Wang(1970)을 참조하십시오.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

기본적인

  • Skolem, Thoralf (1934). "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in German). 23 (1): 150–161. doi:10.4064/fm-23-1-150-161.
  • 스콜렘, T. A., 1970년논리학 분야 작품 선정, 펜스타드, J.E., ed. Oslo: 스칸디나비아 대학 도서.독일어 22건, 영어 26건, 프랑스어 2건, 원래 노르웨이어로 발행된 기사의 영어 번역본 1건, 완전한 참고 문헌 목록이 수록되어 있습니다.

영어 번역문

  • 장 반 하이제노르트, 1967년From Frege to Gödel: 수학논리학의 소스북, 1879–1931.하버드 대학교누르다.
    • 1920. "수학 명제의 충족 가능성 또는 증명 가능성에 대한 논리-공역적 조사:뢰벤하임의 정리 단순 증명"252–263.
    • 1922. "공리화된 집합론에 대한 일부 발언", 290-301.
    • 1923. "초급 산수의 기초", 302-33.
    • 1928. "수학적 논리에 대하여", 508-524.

이차적인

  • 브래디, 제럴딘, 2000년피어스에서 스콜렘까지북네덜란드
  • 펜스타드, 옌스 에릭, 1970, 스콜렘의 "추억의 토랄프 알베르 스콜렘"(1970: 9-16).
  • Hao Wang, 1970, 스콜렘의 "논리에서의 스콜렘 작업 조사"(1970: 17-52)

외부 링크