이론적 위상 설정

정수의 공간은 카디널리티

\aleph _{0}

\aleph _{0}

{\

이 있는 반면

\aleph _{0}

실제 숫자는 카디널리티

2^{\aleph _{0}}

2^{\aleph _{0}}

2^{\aleph _{0}}

{\

이 있다

2^{\aleph _{0}}

두 공간의 토폴로지는 카디널리티 2

2^{\aleph _{0}}

2^{\aleph _{0}}

{\

을(를) 가지고 있다

2^{\aleph _{0}}

이것들은 기본 함수의 예로서, 설정-이론적 토폴로지의 주제다.

수학에서 세트이론 위상은 세트이론과 일반 위상이 결합된 과목이다. 제르멜로-프란켈 세트 이론(ZFC)과 무관한 위상학적 질문에 초점을 맞춘다.

이론상 설정 위상에서 연구된 객체

다우커 공간

일반 위상의 수학적 분야에서 다우커 공간은 T이지만₄ 헤아릴 수 없을 정도로 파라콤팩트한 위상학적 공간이다.

다우커는 다우커 공간이 없다고 추측했고, 1971년 엠에어 루딘이 하나를^[1] 건설할 때까지 그 추측이 풀리지 않았다. 루딘의 counterexample은 매우 넓은 공간(카디닌성 $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}$ $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}$ $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}$ $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}$ {\ $displaystyle \aleph _$ {\omega $}^{\aleph _{$ 0 $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}$ 이며, 일반적으로 행동이 단정하지 않다. 졸탄 발로흐는 루딘의 것보다 더 얌전한 작은 (심박 연속체)의 사례를 ZFC에 최초로 건설했다^[2]. PCF 이론, M. Kojman과 S. 셸라는 루딘의 다우커 공간인 카디널리티 $\aleph _{\omega +1}$ + 1 ${\$ 1}의 $\aleph _{\omega +1}$ 아공간을 구성했는데^[3], 이것도 $\aleph _{\omega +1}$ 다우커다.

일반 무어 공간

유명한 문제는 일반적인 무어 우주 문제인데, 이것은 강도 높은 연구의 주제였던 일반적인 위상에서의 질문이다. 정상적인 무어 우주 문제에 대한 답은 결국 ZFC와는 무관하다는 것이 증명되었다.

기본 함수

기본 함수는 위상에서 다양한 위상학적 특성을 설명하기 위한 도구로 널리 사용된다.^[4]^[5] 다음은 몇 가지 예다. (:일부 저자들은"이 일반적인 토폴로지에 한정된 기수다"[6]은 추기경 기능들이 값으로 한정된 기수 차지한다 결코 아래 열거된 것을 정의하는 것을 선호한다고 주장하고;이것은 다소 내린 정의는 아래에 제시된, 예를 들어 수정을 요구한다. t.에"+0{\displaystyle\와 같이^;+\, \aleph_{0}일 경우ℵ}"를 첨가하여습니다he 정의의 우측 등)

위상학적 공간 X의 가장 단순한 불변성은 위상의 카디널리티와 카디널리티일 수 있으며, 각각 X와 o(X)로 표시된다.
위상학적 공간 X의 무게 w(X )는 X에 대한 베이스의 가능한 최소 카디널리티다. $\leq \aleph _{0}$ (X ) $\leq \aleph _{0}$ ≤ $\leq \aleph _{0}$ 0 {\ $displaystyle \leq \aleph_{$ 0 $}}}$ 공간 X는 두 번째로 셀 수 있다고 한다.
- 공간 X의 $\pi$ $\pi$ -중량은 $\pi$ X의 $\pi$ $\pi$ 베이스 중 $\pi$ 가장 작은 카디널리티(A $\pi$ ${\displaystyle \pi$ } -base는 $\pi$ 슈퍼셋이 모두 열리는 비빈 오픈 세트)의 집합이다.
위상학적 공간 Xat a pointx의 문자는 x에 대한 로컬 베이스의 가장 작은 카디널리티다. 스페이스 X의 성격은 $\displaystyle \chi(X)=\suppy \;\{\chi(X,X):x\in X\}.}$ $\chi (X)\leq \aleph _{0}$ ( $\chi (X)\leq \aleph _{0}$ ) $\chi (X)\leq \aleph _{0}$ $\chi (X)\leq \aleph _{0}$ ${\$ 시공간 $\chi (X)\leq \aleph _{0}$ X는 먼저 셀 수 있다고 한다.
공간 X의 밀도 d(X )는 X의 밀도 부분 집합 중 가장 작은 카디널리티다. ${\rm {{d}(X)\leq \aleph _{0}}}$ ( ${\rm {{d}(X)\leq \aleph _{0}}}$ ) ${\rm {{d}(X)\leq \aleph _{0}}}$ { ${\rm {{d}(X)\leq \aleph _{0}}}$ 0 {\ $displaystyle$ {\ $rm {{d}(X$ )\leq $\aleph _{$ 0}}}}}}}공간 ${\rm {{d}(X)\leq \aleph _{0}}}$ X는 분리 가능하다고 한다.
The Lindelöf number L(X ) of a space X is the smallest infinite cardinality such that every open cover has a subcover of cardinality no more than L(X ). When ${\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}$ the space X is said to be a Lindelöf space.
공간 X의 세포성은 ${\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ ( X ${\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ ) ${\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ = ${\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ { ${\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ : ${\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ ${\$ { $U} :{\mathcal {U}}}$ 은(는) $X\}$ $X\}$ $X\$ 의 서로 분리된 비빈 오픈 하위 집합의 계열이다 ${\rm c}(X)=\sup\{|{\mathcal U}|:{\mathcal U}$ $X\}$
- 유전적 세포성(때로는 확산)은 하위 집합의 세포성 최소 상한이다. $s(X)={\rm {hc}=\supp\{\rm {c}(Y):Y\subseteq X\}$ 또는 $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ ( $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ ) $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ = $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ { $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ : $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ : $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ X ${\displaystyle s(X)=\supp\{ Y :Y$ $\}$ $subseteq X}$ 은 $s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ (는) 별개임 } ${\displaystyle$ $\}$
The tightnesst(x, X) of a topological space Xat a point $x\in X$ is the smallest cardinal number $\alpha$ such that, whenever $x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ for some subset Y of X, there exists a subset Z of Y, with Z ≤ $\alpha$ , 그런 $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ ( Z $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ ) ${\displaystyle x\in {\rm {cl}_{X}(Z$ 상징적으로, $t(x,X)=\supp {\big \{}\min\{Z :Z\subseteq Y\\\\\rm {cl}_{X}(Z)\:Y\subseteq X\ \wedge \x\in {\rm {cl}_{X}(Y){\big \}}.$ 스페이스X의 조임성은 $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ ( $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ ) $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ = $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ { $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ ( $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ , X $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ ) $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ : $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ X $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$ ${\displaystyle t(X)=\t$ (x $, X)\{t(X)\in X$ t(X) = $\aleph _{0}$ 0 ${\$ 0 $\aleph _{0}$ }}}} 공간 X는 셀 수 있을 정도로 생성된다고 한다.
- The augmented tightness of a space X, $t^{+}(X)$ is the smallest regular cardinal $\alpha$ such that for any $Y\subseteq X$ , $x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ there is a subset Z of Y with cardinality less than ${\dis$ $playstyle \$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ $},$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ c $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ ( Z $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)$ ) ${\displaystyle x\in {\rm {cl}_{X}(Z$ 같은 .

마틴의 공리

모든 추기경 k에 대해 MA(k)로 표시된 문구를 정의한다.

Countable 체인 조건(이하 ccc)을 만족하는 부분 순서 P와 D ≤ k와 같은 P의 밀도 집합 D의 경우, P의 필터 F가 있어 D의 모든 D에 대해 F ∩ d가 비어 있지 않다.

MA(c)가 실패하는 것은 ZFC의 정리이므로 마틴의 공리는 다음과 같이 명시된다.

마틴의 공리(MA): 모든 k < c에 대해 MA(k)가 쥐고 있다.

이 경우(ccc의 적용에 대해) 반제(antichain)는 A의 두 개의 뚜렷한 구성원이 양립할 수 없는 P의 부분집합 A이다(두 원소는 두 원소가 모두 부분 순서로 아래에 공통 요소가 있으면 양립할 수 있다고 한다). 이는 예를 들어 나무의 맥락에서 반제(反制)의 개념과는 다르다.

MA( $2^{\aleph _{0}}$ $2^{\aleph _{0}}$ $2^{\aleph _{0}}$ ${\$ )는 거짓이다: [0, 1]은 콤팩트한 하우스도르프 공간으로서, 분리할 수 있고, 그래서 ccc이다. 고립된 포인트가 없어 그 안에 포인트는 어디에도 밀도가 없지만, $2^{\aleph _{0}}$ ㎛ $[\$ 많은 $2^{\aleph _{0}}$ 포인트의 유니온이다.

등가 공식은 다음과 같다: X가 ccc를 만족하는 콤팩트한 하우스도르프 위상학적 공간이라면 X는 k 또는 그 이하의 밀집 하위 집합의 조합이 아니다.

마틴의 공리에는 다른 흥미로운 조합, 분석적, 위상학적 결과들이 많이 있다.

폴란드 공간의 무원자 fin-핀라이트 보렐 측정에서 k 또는 그 이하의 null 집합의 조합은 null이다. 특히 르베그 측정값 0의 R 하위 집합 k 이하를 합하면 르베그 측정값도 0이다.
X < 2가^k 있는 콤팩트한 하우스도르프 공간 X는 순차적으로 콤팩트하다. 즉, 모든 시퀀스에는 수렴성 부속성이 있다.
N에 있는 비주임 울트라필터는 카디널리티 <k.
βN\N의 어떤 x에 대해서도 동등하게 우리는 χ(x) ≥ k를 가지고 있다. 여기서 χ은 x의 특성이고, 따라서 β(βN) ≥ k를 가진다.
MA( $\aleph _{1}$ ${\$ 는 ccc 위상학적 공간의 산물이 ccc임을 암시한다(이는 다시 Suslin 라인이 없음을 의미한다).
MA + ¬CH는 자유롭지 않은 화이트헤드 그룹이 존재함을 암시한다. 셀라는 화이트헤드 문제가 ZFC와 무관하다는 것을 보여주기 위해 이것을 사용했다.

강제

강요는 일관성과 독립성 결과를 증명하기 위해 폴 코헨이 발명한 기술이다. 그것은 제르멜로-프란켈 집합 이론으로부터 선택 공리와 연속 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 처음 사용되었다. 강제성은 1960년대에 상당히 재작업되고 단순화되었으며, 세트 이론 내부와 재귀 이론과 같은 수학 논리학 영역 모두에서 매우 강력한 기술이라는 것이 입증되었다.

직관적으로 강제성은 정해진 이론적 우주 V를 더 큰 우주 V*로 확장하는 것으로 구성된다. 예를 들어 이 더 큰 우주에서는 옛 우주에는 없었던 Ω = {0,1,2,...}의 새로운 하위 집합이 많이 생겨 연속체 가설을 위반할 수도 있다. 표면상으로는 불가능하지만, 이것은 무한함에 대한 칸토어의 역설의 또 다른 버전일 뿐이다. 원칙적으로 고려할 수 있다.

V^{*}=V\time \{0,1\}\,

$x\in V$ $x\in V$ $x\in V$ $x\in V$ 과 $x\in V$ $(x,0)$ , 0 $(x,0)$ ) $(x,0)$ 을(를) 식별한 다음, 형식 $(x,1)$ $(x,1)$ 1 $(x,1)$ ) {\ $displaystyle (x,$ 1)의 "new" 집합을 포함하는 확장된 멤버 관계를 도입한다 $(x,1)$ 강제성은 이 아이디어의 보다 정교한 버전이며, 하나의 새로운 세트의 존재로 확장성을 감소시키고, 그리고 미세한 c를 허용한다.팽창된 우주의 성질에 대한 온톨롤

무작위 부동산과 같은 응용 프로그램에 대한 주요 기사를 참조하십시오.

참조

^ M.E. Rudin, X × I가 정상이 아닌 정상적인 공간 X, Fundam. 수학. 73 (1971) 179-186. Zbl. 0224.54019
^ Z. Balogh, "ZFC의 작은 다우커 공간", Proc. 아머. 수학. Soc. 124 (1996) 2555-2560. Zbl. 0876.54016
^ M. 코즈만, S. 쉘라: "ZFC 다우커 공간 $\aleph _{\omega +1}$ + $\aleph _{\omega +1}$ ${\$ : PCF 이론을 위상에 적용", Proc. 아머. 수학. Soc, 126(1998), 2459-2465.
^ Juhász, István (1979). Cardinal functions in topology (PDF). Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-062-2.
^ Juhász, István (1980). Cardinal functions in topology - ten years later (PDF). Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
^ Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3885380064.

추가 읽기

Kenneth Kunen; Jerry E. Vaughan, eds. (1984). Handbook of Set-Theoretic Topology. North-Holland. ISBN 0-444-86580-2.

[1] M.E. Rudin, X × I가 정상이 아닌 정상적인 공간 X, Fundam. 수학. 73 (1971) 179-186. Zbl. 0224.54019

[2] Z. Balogh, "ZFC의 작은 다우커 공간", Proc. 아머. 수학. Soc. 124 (1996) 2555-2560. Zbl. 0876.54016

[3] M. 코즈만, S. 쉘라: "ZFC 다우커 공간 $\aleph _{\omega +1}$ + $\aleph _{\omega +1}$ ${\$ : PCF 이론을 위상에 적용", Proc. 아머. 수학. Soc, 126(1998), 2459-2465.

[4] Juhász, István (1979). Cardinal functions in topology (PDF). Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-062-2.

[5] Juhász, István (1980). Cardinal functions in topology - ten years later (PDF). Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3.

[6] Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3885380064.

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