집합론의 역설

이 글에는 세트 이론의 역설에 대한 논의가 담겨 있다. 대부분의 수학적 역설과 마찬가지로, 그들은 일반적으로 현대의 공리적인 집합 이론 안에서 실제의 논리적 모순보다는 놀랍고 반직관적인 수학적 결과를 드러낸다.

기본 사항

기수

게오르크 칸토르가 구상한 세트 이론은 무한대의 존재를 가정한다. 이 가정은 첫 번째 원리로부터 증명될 수 없기 때문에 자연수의 집합 N의 존재를 주장하는 무한의 공리에 의해 자명 집합 이론에 도입되었다. 자연수로 열거할 수 있는 모든 무한 집합은 N과 같은 크기(카디널리티)이며, 셀 수 있다고 한다. 셀 수 없을 정도로 무한대의 집합의 예로는 자연수, 짝수, 소수, 소수, 그리고 모든 합리적인 수, 즉 분수 등이 있다. 이러한 집합에는 N = ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$알프-내포)이라는 기본 번호가 공통적으로 있는데, 이는 모든 자연수보다 큰 숫자다.

기수의 숫자는 다음과 같이 정의할 수 있다. 두 집합이 동일한 크기를 갖도록 정의하십시오. 두 집합 사이에 편차가 존재함(요소 간 일대일 대응). 그러면 기수 번호는 정의상 같은 크기의 모든 세트로 구성된 클래스다. 크기가 같은 것은 동등성 관계이고, 기수 숫자는 동등성 등급이다.

서수

집합의 크기를 설명하는 카디널리티 외에 순서 집합도 집합 이론의 주제가 된다. 선택 공리는 모든 세트가 잘 정렬될 수 있음을 보장하며, 이는 모든 비어 있지 않은 부분 집합이 그 순서와 관련하여 첫 번째 요소를 갖는 것과 같은 요소들에 전체 순서가 부과될 수 있음을 의미한다. 순서가 잘 잡힌 집합의 순서는 순서 번호로 설명된다. 예를 들어, 3은 일반적인 순서가 0 < 1 < 2>인 집합 {0, 1, 2}의 순서형 번호로, Ω은 일반적인 방법으로 순서가 정해진 모든 자연수 집합의 순서형 번호다. 순서를 무시한 채 N = Ω = = ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 추기경 번호를 남긴다.

순서 번호는 기수 번호에 사용되는 방법과 동일한 방법으로 정의할 수 있다. 순서와 관련하여 두 집합 사이에 편차가 존재하며, 작은 원소는 작은 원소에 매핑된다. 그 다음 순서 번호는 정의에 따라 동일한 주문 유형의 모든 정렬된 집합으로 구성된 클래스다. 동일한 순서 유형을 갖는 것은 잘 정렬된 집합의 클래스에 대한 동등성 관계이며, 순서 번호는 동등성 등급이다.

같은 주문 유형의 두 세트는 카디널리티가 동일하다. 무한 집합에 대해서는 일반적으로 정반대되는 것이 아니다: 다른 서수 숫자를 발생시키는 자연수 집합에 서로 다른 순서가 부여될 수 있다.

서수에는 자연적인 순서가 있는데, 그 자체가 순서가 잘 되어 있다. 모든 서수 α를 주어진다면, 모든 서수들의 집합을 α보다 작은 것으로 간주할 수 있다. 이 집합은 순서 번호 α를 가지고 있는 것으로 밝혀졌다. 이 관측치는 서수가 모든 더 작은 서수의 집합과 동일시되는 다른 방법으로 서수를 도입하는 데 사용된다. 따라서 이 서수형 번호는 이전 형태의 등가 등급을 표준적으로 나타낸다.

전원 세트

집합 S의 모든 하위 집합(모든 가능한 요소 선택)을 구성함으로써 전원 집합 P(S)를 얻는다. 게오르크 칸토어는 동력 집합이 항상 집합보다 크다는 것을 증명했다. 즉, P(S) > S. 칸토어의 정리의 특별한 경우는 모든 실수 R의 집합이 자연수로 열거될 수 없다는 것을 증명한다. R은 계산할 수 없다: R > N.

무한대의 역설

세트 이론은 '확대할 수 없는 것'이나 '범주 없이 증가'와 같은 모호한 설명에 의존하는 대신 '모든 자연수의 집합은 무한하다'와 같은 구문에 모호하지 않은 의미를 부여하기 위해 무한 집합이라는 용어에 대한 정의를 제공한다. 유한 집합에 관해서와 마찬가지로, 이론은 한 집합이 "보다 더 큰" 것인지, "보다 작은" 것인지 또는 "다른 집합과 같은 크기"인지에 관해서 두 개의 무한 집합을 일관되게 비교할 수 있는 추가적인 정의를 만든다. 그러나 유한 집합의 크기에 관한 모든 직관이 무한 집합의 크기에 적용되는 것은 아니며, 열거, 크기, 측정 및 순서와 관련하여 명백하게 모순적인 결과를 초래한다.

열거의 역설

세트 이론이 도입되기 전에는 세트 크기의 개념에 문제가 있었다. 그것은 갈릴레오 갈릴레이와 버나드 볼자노에 의해 논의되었었다. 열거 방법에 의해 측정했을 때 자연수의 제곱만큼 많은 자연수가 있는가?

• 답은 그렇다, 왜냐하면 모든 자연수 n에는 제곱수 n이² 있고, 마찬가지로 그 반대도 있기 때문이다.
• 대답은 '아니오'이다. 왜냐하면 정사각형은 자연수의 적절한 부분집합이기 때문이다. 모든 정사각형은 자연수지만 2와 같이 자연수의 제곱은 아니다.

세트의 카디널리티 측면에서 세트의 크기에 대한 개념을 정의함으로써, 문제를 해결할 수 있다. 관련된 두 세트 사이에 편차가 있기 때문에, 이것은 사실 세트의 카디널리티의 정의에서 직접적으로 나타난다.

열거의 패러독스에 대한 자세한 내용은 그랜드 호텔의 힐버트의 패러독스를 참조하십시오.

제레 vois, mais je ne crois pas.

칸토르는 리차드 데데킨드에게 "나는 그것을 보지만 믿지 않는다"고 썼다. 칸토르는 사각형의 점 세트가 사각형의 단지 가장자리에 있는 점들과 같은 카디널리티를 가지고 있다는 것을 증명하고 나서, 리차드 데데킨드에게 썼다.

이것은 카디널리티에 의해 정의되는 세트의 "크기"만이 세트를 비교하는 유용한 방법이 아니라는 것을 보여준다. 측정 이론은 길이와 면적이 크기의 양립할 수 없는 척도라는 우리의 직관에 부합하는 보다 미묘한 크기 이론을 제공한다.

그 증거는 칸토어가 그 결과 그 자체로 꽤 자신만만했다는 것과 데데킨드에 대한 그의 언급이 대신 그 증거의 타당성에 대해 그 당시 계속되어 온 그의 우려를 언급하고 있음을 강력히 시사한다.^[1] 그럼에도 불구하고 칸토어의 이 말은 또한 그의 뒤를 잇는 많은 수학자들이 처음 그렇게 직관에 반하는 결과를 경험했을 때의 놀라움을 표현하는 데 도움이 될 것이다.

질서정연한 역설이

1904년 에른스트 제르멜로는 모든 세트가 잘 정돈될 수 있다는 것을 (이 때문에 소개된) 선택의 공리를 통해 증명했다. 1963년 폴 J. 코헨은 선택의 공리 없이 제르멜로-프렌켈 집합론에서는 실수의 순서가 잘 되어 있다는 것을 증명할 수 없다는 것을 보여주었다.

그러나, 어떤 세트를 잘 주문할 수 있는 능력은 역설적이라고 불렸던 어떤 시공들을 수행할 수 있게 한다. 한 예로 바나흐-타르스키 역설(Banach-Tarski paradogram)이 있는데, 이것은 비직관적이라고 널리 여겨지는 정리다. 고정 반지름의 공을 한정된 수의 조각으로 분해한 다음, 일반적인 번역과 회전(스케일링 없음)으로 옮겨 재조립하여 원본 1부로부터 2부를 얻을 수 있다고 기술하고 있다. 이 조각들을 짓기 위해서는 선택의 공리가 필요하다; 조각들은 공의 단순한 영역이 아니라 복잡한 하위 세트들이다.

슈퍼태스크의 역설

세트 이론에서 무한 집합은 "한 개의 원소 추가"와 같은 어떤 수학적 과정에 의해 만들어지는 것으로 간주되지 않으며, 그 후 "무한 횟수"를 수행하게 된다. 그 대신에 특정한 무한 집합(모든 자연수의 집합 등)은 가정이나 공리로서 "fiat에 의한" 이미 존재한다고 한다. 이 무한 집합을 고려할 때, 논리적인 결과로서 다른 무한 집합도 존재한다는 것이 입증된다. 그러나 무수한 이산적 단계를 거쳐 실제로 완성되는 어떤 물리적 행동을 고려하는 것은 여전히 자연스러운 철학적 질문이다; 세트 이론을 이용한 이 질문의 해석은 슈퍼태스크의 역설들을 불러일으킨다.

트리스탐 샨디의 일기

로렌스 스턴의 소설의 주인공 트리스탐 샌디는 자서전을 너무나 양심적으로 써서 하루의 사건을 정리하는 데 1년이 걸린다. 만약 그가 죽는다 해도 그는 결코 종말을 고할 수 없다. 그러나 그가 영원히 산다면, 그의 일기의 어떤 부분도 기록되지 않은 채로 남아 있지 않을 것이다. 그의 생애의 하루하루가 그날의 묘사에 바쳐질 것이다.

로스 리틀우드의 역설

이러한 유형의 역설의 증가된 버전은 무한히 먼 피니시를 유한한 시간으로 이동시킨다. 1번부터 10번까지 열거된 공으로 거대한 저수지를 채우고 1번 공을 떼어낸다. 그런 다음 11번에서 20번으로 열거한 공을 더하고 2번을 떼어낸다. 번호 10n - 9 - 10n으로 열거된 볼을 계속 추가하고 모든 자연 번호 n = 3, 4, 5, ...에 대해 볼 번호 n을 제거하십시오. 첫 번째 거래는 30분 동안 하고, 두 번째 거래는 한 시간 후에 끝내기 위해서, 두 번째 거래는 한 시간 후에 하도록 하라. 분명히 저수지의 공 세트는 구속 없이 늘어난다. 그럼에도 불구하고 한 시간이 지나면 볼 하나당 제거 시간이 알려지기 때문에 저수지가 텅 비게 된다.

제거 순서의 중요성에 따라 역설은 더욱 커진다. 만일 공들을 순서 1, 2, 3, ...에서 제거하지 않고, 1시간 후에 무한히 많은 공들이 저수지를 채우는 경우, 비록 이전과 같은 양의 물질이 이동되었다 하더라도 말이다.

입증과 정의의 역설

무한 집합에 관한 문제를 해결하는 데 있어 그것의 유용성에도 불구하고, 순진한 집합 이론은 치명적인 결함을 가지고 있다. 특히 러셀의 역설로 노출된 것과 같은 논리적 역설의 먹잇감이다. 이러한 역설의 발견은 순진한 집합 이론의 언어로 묘사될 수 있는 모든 집합이 실제로 모순을 일으키지 않고 존재한다고 말할 수 있는 것은 아니라는 것을 밝혀냈다. 20세기는 오늘날 공통적으로 사용되는 ZFC와 NBG와 같은 세트 이론의 다양한 공리화 발전에서 이러한 역설들에 대한 해결을 보았다. 그러나 이러한 이론의 매우 정형화되고 상징적인 언어와 우리의 전형적인 수학 언어의 비공식적 사용 사이의 격차는 다양한 역설적인 상황을 초래하고, 또한 그러한 형식적인 시스템이 실제로 이야기하고자 제안하는 것이 정확히 무엇인지에 대한 철학적 질문을 낳는다.

초기 역설: 모든 집합의 집합

1897년 이탈리아의 수학자 Cesare Burali-Forti는 모든 서수 번호를 포함하는 세트가 없다는 것을 발견했다. 모든 서수 번호는 더 작은 서수 번호 집합에 의해 정의되므로, 모든 서수 번호(존재하는 경우)의 잘 정렬된 집합 Ω은 정의에 적합하며 그 자체도 서수이다. 반면에 서수 번호는 그 자체를 포함할 수 없으므로 Ω은 서수가 될 수 없다. 따라서 모든 서수 번호의 집합은 존재할 수 없다.

19세기 말까지 칸토르는 모든 기수의 집합과 모든 서수의 집합이 존재하지 않는다는 것을 알고 있었다. 데이비드 힐버트와 리처드 드데킨드에게 보낸 편지에서 그는 일관되지 않은 집합에 대해 썼는데, 그 요소들은 모두 함께 있다고 생각할 수 없는 것이고, 그는 이 결과를 모든 일치된 집합이 기본적인 숫자를 가지고 있다는 것을 증명하기 위해 사용했다.

이 모든 것이 끝나고 1903년 베르트랑 러셀이 구상한 '모든 세트의 집합' 역설의 버전은 세트 이론에 심각한 위기를 초래했다. 러셀은 문 x = x가 모든 집합에 대해 참이라는 것을 인식하고, 따라서 모든 집합의 집합은 {x x = x}에 의해 정의된다. 1906년에 그는 몇몇 패러독스 세트를 만들었는데, 그중 가장 유명한 것은 그들 자신을 포함하지 않는 모든 세트들의 세트다. 러셀 자신은 이 추상적인 생각을 아주 구체적인 몇 장의 그림으로 설명하였다. 바버 패러독스로 알려진 한 예는 다음과 같다. 면도를 하지 않는 남자만 모두 면도하는 남자 이발사는 면도를 하지 않는 경우에만 면도를 해야 한다.

세트 이론에서 러셀의 역설과 자연 언어에서 모순을 보여주는 그렐링-넬슨 역설 사이에는 밀접한 유사점이 있다.

언어의 변화에 의한 역설

쾨니히의 역설

1905년 헝가리 수학자 율리우스 쾨니그는 한정된 정의가 셀 수 없이 많다는 사실에 근거하여 역설문을 발표하였다. 만약 우리가 실제 숫자를 잘 정렬된 집합으로 상상한다면, 정밀하게 정의될 수 있는 실제 숫자들은 하위 집합을 형성한다. 따라서 이 순서가 양호한 상태에서는 정확하게 정의할 수 없는 첫 번째 실수 번호가 있어야 한다. 이것은 역설적이다. 왜냐하면 이 실제 숫자는 마지막 문장으로 정확히 정의되었기 때문이다. 이것은 순진한 집합론에서 모순을 초래한다.

이 역설은 자명 집합론에서는 피한다. 집합으로 집합에 대한 명제를 나타내는 것은 가능하지만, 괴델 숫자로 알려진 코드 시스템에 의해 집합 이론의 언어에는$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (,}$ , ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \varphi (a,x)$ 공식이 없으며, 이는 ${\displaystyle a}$이(가) $,$ x, {\$displaystystyle x}$ i에$$ 대한 한정된 명제에 대한 코드인 때를 정확히 유지하고 있다.s 집합이며$,$ {\$displaystyle a}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 고정한다$.$ 이 결과는 타르스키의 불변성 정리라고 알려져 있다; 그것은 집합 이론의 모든 공통적으로 연구된 공리화를 포함한 광범위한 종류의 공식 시스템에 적용된다.

리차드의 역설

같은 해에 프랑스의 수학자 쥘 리차드는 순진한 집합 이론에서 또 다른 모순을 얻기 위해 칸토어의 대각선 방법의 변형을 사용했다. 모든 유한한 집합의 단어 A를 고려하라. 실수의 모든 유한한 정의의 집합 E는 A의 부분집합이다. A가 셀 수 있듯이 E도 셀 수 있다. p는 세트 E에 의해 정의된 n번째 실수의 n번째 소수점이고, p가 8이나 9가 아니면 n번째 소수점 p + 1을 가진 숫자 N을 형성한다. 이 숫자 N은 정밀하게 정의된 어떤 실수, 즉 n번째 숫자에 의한 n번째 숫자와 다르기 때문에 설정 E에 의해 정의되지 않는다. 그러나 N은 이 단락에서 한정된 수의 단어로 정의되었다. 따라서 세트 E에 있어야 한다. 그것은 모순이다.

쾨니히의 역설과 마찬가지로, 이 역설은 설명이 특정 집합에 적용되는지(또는 동등하게, 공식이 실제로 단일 집합의 정의인지 구별하는)를 알 수 있는 능력을 요구하기 때문에 자명 집합 이론에서 공식화할 수 없다.

뢰웬하임과 스콜렘의 역설

독일 수학자 레오폴트 뢰웬하임(1915년)의 연구를 바탕으로 노르웨이의 논리학자 소랄프 스콜렘은 1922년 세트 이론과 같은 1차 술어 미적분학의 모든 일관된 이론은 아무리 계산 가능한 모델을 가지고 있다는 것을 보여주었다. 그러나 칸토어의 정리는 헤아릴 수 없는 집합이 있다는 것을 증명한다. 이처럼 보이는 역설의 근원은 집합의 카운트 가능성이나 카운트 불가능성이 항상 절대적인 것은 아니지만 카디널리티를 측정하는 모델에 따라 달라질 수 있다는 것이다. 집합은 집합 이론의 한 모델에서 계산할 수 없지만 더 큰 모델에서 계산할 수 있다(카운터빌리티를 확립하는 편차가 더 큰 모델에는 있지만 더 작은 모델은 아니기 때문이다).

참고 항목

• 불가능의 증거
• 베리 역설

메모들

참조

• G. 칸토어: Gesammelte Abhandlungenmatheimchen und 철학적 흡입, E. Zermelo(에드), Olms, Hildesheim 1966.
• H. 메슈코프스키, W. 닐슨: 게오르크 칸토르 - 베를린 스프링거주 브리페
• A. 프라엔켈: 1923년 베를린 스프링거 주 다이의 멘겐레르에 있는 아인레이퉁.
• A. A. 프라운켈, A. 레비: 1976년 암스테르담 북 홀랜드의 추상 집합론.
• F. Hausdorff: 1965년 뉴욕 첼시, 그룬쯔위게 데르 멘겐레흐레.
• B. 러셀: 수학Ⅰ, 케임브리지 1903년의 원리.
• B. 러셀: 트랜스피니트 숫자와 오더 종류 이론의 몇 가지 어려움에 대해, 프락. 런던 수학. Soc. (2) 4 (1907) 29-53.
• P. J. 코헨: 뉴욕 벤자민, 1966년 세트 이론과 연속성 가설.
• S. 왜건: Cambridge University Press, Cambridge 1985년 Banach-Tarski Paradisms.
• A. N. 화이트헤드, B. 러셀: 프린세스 매티카 1세, 케임브리지 유니브. 케임브리지 1910 페이지 64.
• 제르멜로: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung, Math. 앤 65 (1908) 페이지 107-128.

외부 링크

• 프린세스 매머티카
• 티모시 고워스의 정의의 역설
• "Russell's Paradox". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• "Russell-Myhill Paradox". Internet Encyclopedia of Philosophy.