초산술 이론

재귀 이론에서, 하이퍼 산술 이론은 튜링 계산성의 일반화이다.이것은 2차 산술에서의 정의 가능성 및 크립케-플레이텍 집합론과 같은 약한 집합론 체계와 밀접한 관련이 있다.그것은 효과적인 서술 집합 ^[1]이론에서 중요한 도구이다.

초산술 이론의 중심 초점은 초산술 집합으로 알려진 자연수의 집합이다.집합의 이 클래스를 정의하는 데는 세 가지 동등한 방법이 있습니다; 이러한 다른 정의들 사이의 관계에 대한 연구는 초산술 이론을 연구하기 위한 하나의 동기입니다.

초산술 집합 및 정의 가능성

하이퍼 산술 집합의 첫 번째 정의는 분석 계층을 사용합니다.자연수 집합은 존재하는 집합 수량자만 있고 다른 집합 수량자는 없는 2차 산술 공식으로 정의할 수 있는 경우 이 계층의 레벨 $\Sigma _{1}^{1}$ 1(\ $displaystyle \Sigma$ _ ${1}^1})$ 로 $\Sigma _{1}^{1}$ 분류된다.집합은 범용 집합 정량자만 있고 다른 집합 정량자는 없는 2차 산술 공식으로 정의할 수 있는 경우에는 해석 계층의 $\Pi _{1}^{1}$ $\Pi _{1}^{1}$ 1 $(\displaystyle$ \ $Pi _{1$ }^1 $})$ 로 $\Pi _{1}^{1}$ 분류된다. $\Sigma _{1}^{1}$ $\Sigma _{1}^{1}$ \ $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { $1}^1}$ 1 $\Sigma _{1}^{1}$ 1 $\Delta _{1}^{1}$ it $\Pi _{1}^{1}$ \ $\Pi _{1}^{1}$ $Delta$ _ { $}^1$ } $\Delta _{1}^{1}$ $\Pi _{1}^{1}$ 1 \ $displaystyle$ \ $Pi _$ { }^1} $\Pi _{1}^{1}$ a is is is is $\Delta _{1}^{1}$ a1 { displaystyle \ Pi _ { }^1}하이퍼 산술 세트는 정확히 $\$ _ ${1}^{1$ } 세트입니다.

하이퍼 산술 집합과 반복 튜링 점프: 하이퍼 산술 계층

$\Delta _{1}^{1}$ \ $displaystyle\Delta_{1}^{$ 1}의 $\Delta _{1}^{1}$ 하이퍼산술 집합의 정의는 계산성 결과에 직접 의존하지 않습니다.두 번째 동등한 정의는 무한 반복 튜링 점프를 사용하여 초산술 집합을 정의할 수 있다는 것을 보여준다.이 두 번째 정의는 또한 하이퍼 산술 집합이 산술 계층을 확장하는 계층으로 분류될 수 있음을 보여줍니다. 하이퍼 산술 집합은 정확히 이 계층에서 순위가 할당된 집합입니다.

하이퍼 산술 계층의 각 레벨은 계수 가능한 서수(ordinal)에 대응하지만, 모든 계수 가능한 서수가 계층의 레벨에 대응하는 것은 아니다.위계에 의해 사용되는 서수는 서수에 대한 구체적이고 효과적인 설명인 서수 표기법을 가진 서수입니다.

서수 표기법은 자연수로 계산 가능한 서수를 효과적으로 기술한 것입니다.하이퍼 산술 계층을 정의하기 위해서는 순서 표기 시스템이 필요하다.서수 표기법이 가져야 하는 기본적인 특성은 서수를 작은 서수로 효과적으로 묘사한다는 것이다.다음 유도 정의는 일반적인 것으로, 쌍함수 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $「」({displaystyle\langle\$ cdot $,\cdot\rangle$ 를 사용합니다.

숫자 0은 서수 0의 표기법입니다.
n이 순서수 then의 표기법일 경우, $\langle 1,n\rangle$ 1 $\langle 1,n\rangle$ $\langle 1,n\rangle$ {\(\ $displaystyle \langle$ 1, $n\rangle$ }은 $\langle 1,n\rangle$ + + 1의 표기법입니다.
θ가 한계 서수라고 가정합니다.is for $\langle 2,e\rangle$ $\langle 2,e\rangle$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $langle$ 2, $e$ \ $rangle$ 형식의 $\phi _{e}$ 숫자입니다.e는 계산 가능한 함수의 합계 $\phi _{e}$ e $\phi _{e}$ { $displaystyle$ $\phi _{e}(n)$ \ $phi _$ { e } 입니다.여기서 각 n에 $\phi _{e}(n)$ ( $\phi _{e}(n)$ n $)\$ $displaystyle$ \ $phi$ _ { e $}$ 는 순서형보다 $\phi _{e}(n)$ _n 작은 숫자에 대한 표기입니다. $\{\lambda _{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ N $}$ { $displaystyle$ \ { \ $lambda$ _ { $n$ } \ $mid$ n \ $in$ \ $mathbb$ { $N }$ \ $\{\lambda _{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ } 。

각 표기법은 자연수이기 때문에 서수 표기법은 셀 수 없을 정도로 많다.따라서 표기법을 가진 모든 서수의 최상인 셈 가능한 서수가 있다.이 서수는 Church-Kleen 서수로 알려져 $\omega _{1}^{CK}$ , $\omega _{1}^{CK}$ 1 C $\omega _{1}^{CK}$ ( \ $display$ \ $osmega _$ { $1}^{$ CK $\omega _{1}^{CK}$ )로 표기되어 있습니다.이 서수는 아직 셀 수 있으며, 첫 번째 셀 수 없는 $\omega _{1}$ 인 ${\$ $\omega _{1}$ ( \ $display style$ \ $osmega$ _ {1 $\omega _{1}$ )과 유사합니다.서수 표기인 모든 자연수의 집합은 O $(표시 스타일)$ 로 ${\mathcal {O}}$ 표기되며, Kleene $'s$ O ${\mathcal {O}}$ $표시$ 스타일 $)$ 로 불린다.

순서 표기는 반복되는 튜링 점프를 정의하기 위해 사용됩니다.이것들은 $0^{(\delta )}$ 0 $\delta <\omega _{1}^{CK}$ $0^{(\delta )}$ $\delta <\omega _{1}^{CK}$ 1 C K \ $displaystyle$ \ $delta$ < \ $obega$ _ $\delta <\omega _{1}^{CK}$ { $1$ }^{ $\delta <\omega _{1}^{CK}$ CK $\delta <\omega _{1}^{CK}$ $}$ } )으로 $0^{{(\delta )}}$ $0^{(\delta )}$ 된 자연수 세트입니다.의 표기는 e 입니다. $0^{(\delta )}$ ( ${\$ ) { $style$ 0 ^ { ( \ $delta$ ) } 에는 $0^{{(\delta )}}$ 다음과 같이 정의되어 있습니다.

δ = $0^{(\delta )}=0$ 이면 0 $0^{(\delta )}=0$ ) ) $=$ $(\displaystyle$ 0 $^{(\displaystyle$ )}= $0}$ 은 $0^{{(\delta )}}=0$ 빈 집합입니다.
δ = $0^{(\delta )}$ + $0^{(\delta )}$ 이면 $0^{{(\delta )}}$ 0 $0^{(\delta )}$ ( $0^{(\delta )}$ $0^{(\lambda )}$ ) { { $0^{(\lambda )}$ 0 ^ { \ $0^{(\delta )}$ $displaystyle$ 0 $0^{(\lambda )}$ ^ { \ $displayda$ } $0^{(\lambda )}$ } 。 $0'$ 0 $0'$ {\({ $displaystyle$ 0 $')$ $0''$ 0 $″({$ 0 $})$ 은 $0''$ $0^{{(1)}}$ 일반적으로 각각 $0^{(1)}$ 0 ( $1$ $displaystyle$ 0 $^{$ (1)}) 및 $0^{(2)}$ ( $2$ $displaystyle$ 0 $^{$ ( $2$ 에 $0^{(1)}$ 됩니다.
θ가 한계서수일 경우, $\langle \lambda _{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle$ θ $\langle \lambda _{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle$ n $\langle \lambda _{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle$ n $\langle \lambda _{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle$ N ${\$ { $displaystyle \langle \lambda$ _ ${n}\mid$ n $\in \mathbb {N}$ \ $rangle }$ 은 $\langle \lambda _{n}\mid n\in {\mathbb {N}}\rangle$ 표기법 e에서 주어진 θ보다 작은 서수의 수열이다. $세트$ 0 ( " $0^{(\delta )}$ ) $0^{(\delta )}$ { $style$ 0 $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ ^ { \ $display$ $da$ { } $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ { $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ , $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ ( " $n$ ) $}$ { \ $display style$ 0 ^ { } = \ { \ $displaystyle n$ , $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ \ $rangle$ \ $mid$ i \ $in$ 0 ^ { } （ \ $display$ da { n } $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ } } } } $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ } . . . . . $0^{(\delta )}=\{\langle n,i\rangle \mid i\in 0^{(\lambda _{n})}\}$ rule rule rule rule rule rule rule rule by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by $0^{(\lambda _{n})}$ 은 세트 $0^{(\lambda _{n})}$ 0 ( $0^{(\lambda _{n})}$ n $){$ $displaystyle$ 0 $^{\lambda _{n$ 의 유효 결합입니다.

$0^{(\delta )}$ ( $0^{(\delta )}$ ) { { $displaystyle$ 0 ^ { \ $delta$ }}의 $0^{(\delta )}$ $0^{(\delta )}$ 은 ,에 대한 고정 표기법에 $0^{(\delta )}$ 하며 각 무한 서수에는 많은 표기가 있지만 Spector의 정리에 따르면 튜링 $0^{(\delta )}$ 0 ( $)$ ) { \ $displaystyle$ 0 ^ { \ $delta$ $0^{(\delta )}$ 은 $0^{{(\delta )}}$ 사용되는 특정 표기법에 의존하지 않고 , $0^{(\delta )}$ 만 의존함을 $0^{(\delta )}$ 수 있다 $0^{(\delta )}$ $0^{(\delta )}$ {\ $displaystyle$ 0 $^{(\delta$ )}}은 $($ 는 $0^{{(\delta )}}$ ) 튜링 수준까지 정의되어 있습니다 $.$

하이퍼 산술적 계층은 이러한 반복된 튜링 점프로부터 정의된다.자연수의 집합 X가hyperarithmetical 계층의 수준 δ에, δ<>는다면 X튜링은 ω 1CK{\displaystyle \delta<>\omega_{1}^{크레아틴 부활소}}, 0(δ){\displaystyle 0^{(\delta)}에}약분할 수 있는 언제나 존재할 것입니다. 적어도 그런 δ 있는 경우,uncomp의 수준을 측정하는 것이 이 적어도 δ 분류된다.utabiLity of X.

상위 유형의 하이퍼 산술 집합 및 재귀

클린에 기인하는 하이퍼 산술 집합의 세 번째 특성화는 더 높은 유형의 계산 가능 함수를 사용한다.유형 2 ${}^{2}E\colon \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N}$ 2 E ${}^{2}E\colon \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N}$ : ${}^{2}E\colon \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N}$ N ${}^{2}E\colon \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N}$ {\ $displaystyle {}^{2}E\colon \mathbb {N}^{\mathbb {N}\to$ \ $mathbb {N}}$ 은 ${}^{2}E\colon {\mathbb {N}}^{{{\mathbb {N}}}}\to {\mathbb {N}}$ 다음 규칙에 의해 정의됩니다.

{}^{2}E(f)=1\quad

(

{}^{2}E(f)=1\quad

)

{}^{2}E(f)=1\quad

{}^{2}E(f)=1\quad

{

style

{ }^

2} E

( f )

= 1

\

Quad }

f

{}^{2}E(f)=1\quad

( i )> 0 이 되는 i 가 있는 경우,

{}^{2}E(f)=0\quad

E ( f

{}^{2}E(f)=0\quad

)

=

{ style { }^

2}

E

(f

)=

0

\

Quad }

f

{}^{2}E(f)=0\quad

(i) > 0 ）

{}^{2}E(f)=0\quad

유형 2 함수에 대한 계산가능성의 정확한 정의를 사용하여, 클린은 자연수 ${}^{2}E$ 이 2 $E에$ 계산 가능한 경우에만 초산술임을 보여주었다 ${}^{2}E$

예: 산술의 진실 집합

모든 산술 집합은 하이퍼 산술 집합이지만, 다른 많은 하이퍼 산술 집합이 있습니다.초산술, 비산술 집합의 예로는 표준 $\mathbb {N}$ N(\ $displaystyle$ $\mathbb$ { $N$ 에 참인 Peano 산술 공식의 Gödel 수의 집합 T가 있습니다. 집합 T는 $0^{(\omega )}$ 0 $(θ)$ 에 상당하는 튜링이며, 따라서 하이 산술 상계수에는 해당되지 않습니다.비록 이것은 타르스키의 불변성 정리에 의해 산술적으로 정의될 수는 없지만.

기본적인 결과

초산술 이론의 기본적인 결과는 위의 세 가지 정의가 자연수 집합의 동일한 집합을 정의한다는 것을 보여준다.이러한 동등성은 클린 때문이다.

완전성 결과 또한 이론의 기본이다.자연수 세트는 해석 계층의 레벨 $({$ $\Pi_{1}^$ $1})$ 인 $\Pi _{1}^{1}$ 경우 $\Pi _{1}^{1}$ $({$ displaystyle $\Pi_{$ $1}^$ 1 $})$ 로 $\Pi _{1}^{1}$ $\Pi _{1}^{1}$ 완전하며, $\Pi _{1}^{1}$ ({ $displaystyle\Pi_{$ 1}^ $1})$ 의 자연수 세트는 여러 개로 축소할 수 있다. $\Pi _{1}^{1}$ 1의 $정의(\displaystyle$ \ $Pi _{1}^{$ 1})는 $\Pi _{1}^{1}$ Baire 공간의 완전한 서브셋( $\$ 과 유사합니다.하이퍼 산술 이론과 관련된 몇 가지 집합은 $\$ }완료입니다 $\Pi _{1}^{1}$ .

순서수의 ${\mathcal {O}}$ 인 자연수의 집합인 클린의 O $(\$
계산 가능한 함수 $\phi _{e}(x,y)$ e $\phi _{e}(x,y)$ ( $\phi _{e}(x,y)$ , $\phi _{e}(x,y)$ $){displaystyle \phi$ _ ${e}(x$ , $y)}$ 가 $\phi _{e}(x,y)$ 자연수의 올바른 순서의 특성 함수를 계산하도록 자연수 집합 e.이것들은 재귀 서수의 색인입니다.
(유효한 $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\cong \mathbb {N} ^{\mathbb {N} \times \mathbb {N} })$ $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\cong \mathbb {N} ^{\mathbb {N} \times \mathbb {N} })$ N $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\cong \mathbb {N} ^{\mathbb {N} \times \mathbb {N} })$ × $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\cong \mathbb {N} ^{\mathbb {N} \times \mathbb {N} })$ 을 사용하여) 자연수 순서의 특징 함수인 바이레 공간의 요소 집합({ $displaystyle \mathbb {N}$ ^{\ $mathbb {N}$ } \ $cong \mathbb {N} ^{\mathbb$ {N} \ $times {N}$ } $）$

이러한 완전성 결과로부터 $\Sigma _{1}^{1}$ 1 \ $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { $1}^1$ }로 $\Sigma _{1}^{1}$ 알려진 결과가 나옵니다.어떤 Σ 들어 11{\displaystyle \Sigma_{1}^{1}}S순서 표기의 설정에 있는α<>에 ω 1CK{\displaystyle \alpha<>\omega_{1}^{크레아틴 부활소}}가 S의 모든 요소는 표기법은 서수 이하α{\displaystyle \alpha}. 예를 들면 어떤 Σ 11{\displaystyle \Sigma_{1}^{1}}부분 집합 TB.aire우물순서의 특성함수만으로 구성된 공간은 T로 표현되는 각 서수가 $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha$ $<\obega$ _ ${1$ }^{ $CK$ $\alpha$ 보다 $\alpha <\omega _{1}^{{CK}}$ 작도록 $\alpha <\omega _{1}^{CK}$ α < $\alpha <\omega _{1}^{CK}$ $\alpha <\omega _{1}^{CK}$ C $\alpha <\omega _{1}^{CK}$ K $\alpha <\omega _{1}^{CK}$ $>$ 가 $\alpha <\omega _{1}^{CK}$ .

상대화 초산술과 초도

O $(\$ 의 ${\mathcal {O}}$ 정의는 자연수의 집합 X와 상대화할 수 있습니다.서수 표기법의 정의에서는 일련의 서수 표기법의 계산 가능한 열거가 X를 오라클로 사용할 수 있도록 서수에 대한 절이 변경됩니다.X에 대한 서수 표기인 숫자 집합은 ${\mathcal {O}}^{X}$ X $(\$ 로 ${\mathcal {O}}^{X}$ 됩니다. ${\mathcal {O}}^{X}$ X $(\$ })로 표현되는 서수의 최상위는 $\omega _{1}^{X}$ X(\ $displaystyle\obe_{1$ }^ $X$ 로 표기되며, 이는 $\omega _{1}^{CK}$ C(\ $displaystyle\obe_{1}^CK$ 보다 작지 않은 계수 가능한 서수이다.

$0^{(\delta )}$ ( $0^{(\delta )}$ ) { $displaystyle$ 0 ^ { ( $delta )$ } 의 $0^{(\delta )}$ $0^{(\delta )}$ 는 임의의 자연수 $집합$ X { \ $displaystyle$ X} 와도 $X$ 상대화할 수 있습니다.정의의 유일한 변경은 X ( $X^{(1)}=X'$ $X^{(0)}$ ) $X^{(0)}$ \ $displaystyle$ X $^{$ ( 0 $X^{(0)}$ ) $X^{(1)}=X'$ } $X^{(1)}=X'$ ${\$ \ $displaystyle$ X $^{$ (1) = $X'$ }가 $X^{{(0)}}$ $X^{{(1)}}=X'$ X의 튜링 점프라는 $X^{(0)}$ 입니다.X에 대한 상대적인 계층은 $\omega _{1}^{CK}$ 1 $\omega _{1}^{CK}$ $(\$ _ ${1$ }^{ $CK})$ 로 $\omega _{1}^{{CK}}$ 끝나는 것이 아니라 $\omega _{1}^{X}$ 1 $(\$ _ ${1$ }^ $X$ 보다 작은 모든 서수를 통과합니다.

상대화 초산술 계층은 초산술적 환원성을 정의하기 위해 사용된다.집합 X, Y점을 감안할 때, X≤ HYPY{\displaystyle X\leq_{HYP은}Y}만일이δ<>, ω 1Y{\displaystyle \delta<>\omega_{1}^{Y}}만약 X≤ HYPY{\displaystyle X\leq_{HYP은}Y}, Y≤ HYPXX가 Y(δ){\displaystyle Y^{(\delta)}로 축소시킬 수}. 튜링은{\di 말한다.벌리다 $스타일$ Y $\leq$ _{HYP $}X$ 는 X와 Y가 초산술적으로 동등함을 나타내기 위해 X $X\equiv _{HYP}Y$ $X\equiv _{HYP}Y$ P $X\equiv _{HYP}Y$ { $displaystyle$ X $\equiv$ _ {HYP $}Y}$ $X\equiv _{HYP}Y$ 을 $X\equiv _{{HYP}}Y$ 사용합니다.이것은 튜링 등가보다 거친 등가 관계입니다. 예를 들어, 모든 자연수 집합은 튜링 점프와 초산술적으로 동등하지만 튜링 등가와는 동등하지 않습니다.초산술적 등가의 등가 클래스는 초도라고 알려져 있다.

${\mathcal {O}}^{X}$ 에서 ${\mathcal {O}}^{X}$ 로 설정되는 함수({ $displaystyle\mathcal {O}}^{X})$ 는 ${\mathcal {O}}^{X}$ 튜링 점프와 유사하게 하이퍼점프라고 합니다.하이퍼점프 및 하이퍼디그레이의 많은 특성이 확립되어 있습니다.특히, 하이퍼 디그리에 대한 Post의 문제는 긍정적인 답을 가지고 있는 것으로 알려져 있습니다: 모든 자연수 집합 X에 $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ X $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ < $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ Y $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ < $H$ $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ X \ $display style$ X < _ $X<_{HYP}Y<_{HYP}{\mathcal {O}}^{X}$ { $HYP}Y <_{$ HYP $}{\mathcal {O}}^{X$

일반화

초산술 이론은 α-재귀 이론에 의해 일반화되는데, 이것은 허용 서수의 정의 가능한 부분 집합의 연구이다.초산술 이론은 $\omega _{1}^{CK}$ 가 1 $\omega _{1}^{CK}$ K $이하$ 인 특수한 경우이다 $\omega _{1}^{CK}$

다른 계층과의 관계

라이트페이스		굵은 글씨
σ⁰ ₀⁰ ₀ = π⁰ ₀ = δ (때로는 δ과⁰ ₁ 동일)		σ⁰ ₀⁰ ₀ = π⁰ ₀ = δ (정의되어 있는 경우)
δ = 재귀적⁰ ₁		δ = clopen(닫힘⁰ ₁)
δ = 재귀 열거 가능⁰ ₁	δ = 공칭 열거형⁰ ₁	δ = G = 열림⁰ ₁	δ = F = 닫힘⁰ ₁
Δ⁰ ₂		Δ⁰ ₂
Σ⁰ ₂	Π⁰ ₂	δ⁰ ₂_σ = F	δ⁰ ₂_δ = G
Δ⁰ ₃		Δ⁰ ₃
Σ⁰ ₃	Π⁰ ₃	δ⁰ ₃_δσ = G	δ⁰ ₃_σδ = F
⋮		⋮
σ⁰ _<ω⁰ _<ω = π⁰ _<ω = δ¹ ₀ = σ¹ ₀ = π = met¹ ₀ = 산술		σ⁰ _<ω⁰ _<ω = π⁰ _<ω = δ¹ ₀ = σ¹ ₀ = π¹ ₀ = face = 굵은 글씨 산술
⋮		⋮
δ⁰ _α(α 재귀)		δ⁰ _α (α 계수 가능)
Σ⁰ _α	Π⁰ _α	Σ⁰ _α	Π⁰ _α
⋮		⋮
σ⁰ _ω^CK ₁⁰ _ω^CK ₁ = π⁰ _ω^CK ₁ = δ¹ ₁ = δ = 초산술		σ⁰ _ω₁⁰ _ω₁ = π⁰ _ω₁ = δ¹ ₁ = δ = B = Borel
δ = 라이트페이스 분석¹ ₁	δ¹ ₁ = 라이트페이스 코분석	δ¹ ₁ = A = 분석	δ = CA = 공동분석¹ ₁
Δ¹ ₂		Δ¹ ₂
Σ¹ ₂	Π¹ ₂	σ¹ ₂ = PCA	π¹ ₂ = CPA
Δ¹ ₃		Δ¹ ₃
Σ¹ ₃	Π¹ ₃	σ¹ ₃ = PCPCA	δ¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
σ¹ _<ω¹ _<ω = π¹ _<ω = δ² ₀ = σ² ₀ = π = tical = 분석² ₀		σ¹ _<ω¹ _<ω = π¹ _<ω = δ² ₀ = σ² ₀ = π = δ² ₀ = P = 투사형
⋮		⋮

레퍼런스

H. 로저스 주니어, 1967년재귀함수와 유효계산성의 이론, 1987년 제2판, MIT Press. ISBN0-262-68052-1(페이퍼백), ISBN0-07-053522-1
G. 색스, 1990년상위 재귀 이론, 스프링거-벨락.ISBN 3-540-19305-7
S. Simpson, 1999.2차 산술 서브시스템, 스프링거-버래그.
C. J. Ash, J. F. Knight, 2000년계산 가능한 구조와 초산술 계층, 엘세비어.ISBN 0-444-50072-3

^ https://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/logik/Skripte/pohlers._computability_theory_of_hyperarithmetical_sets.pdf^{[베어 URL PDF]}

외부 링크

설명 집합론입니다.시카고 일리노이 대학의 데이비드 마커에 의한 메모.2002.
수학 논리 II.2005년 오슬로 대학 Dag Normann의 비고.
안토니오 몬탈반:캘리포니아 대학교 버클리 및 YouTube 콘텐츠 제작자

[1] ttps://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/logik/Skripte/pohlers._computability_theory_of_hyperarithmetical_sets.pdf^{[베어 URL PDF]}

[1]

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