루카스 수열

수학에서 루카스 시퀀스 ${\displaystyle {Un}_{}}$(${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ 및$$ ${\displaystyle {Vn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}P}$, ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$은 재발 관계를 만족시키는 일정한 반복 정수 시퀀스다.

${\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}}$

$여기$서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ 및$$ Q ${\displaystyle Q}$은 고정 정수임.이 반복 관계를 만족하는 모든 시퀀스는 Lucas 시퀀스 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ 및$$ ${\displaystyle V_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$의 선형 결합으로 나타낼 수 있다$.$

보다 일반적으로 Lucas $시퀀스{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Un}_{}}$(${\displaystyle P}$, Q$$) {\$displaystyle U_{n}(P$,Q$)}$ 및$$ ${\displaystyle {Vn}_{}}$(${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle V_{n}(P,Q)$은 정수 계수를 $가진$ P ${\displaystyle$ $P$$}$ 및 Q ${\displaystyty$ Q$}$의 다항식의 시퀀스를 나타낸다$$.

루카스 수열의 유명한 예로는 피보나치 수, 메르센 수, 펠 수, 루카스 수, 제이콥스탈 수, 페르마 수위의 초대가 있다.루카스 시퀀스는 프랑스의 수학자 에두아르 루카스의 이름을 따서 명명되었다.

재발관계

두 개의 정수 매개변수 P와 Q가 주어지면, 제1종 U_n(P,Q)와 제2종 V_n(P,Q)의 루카스 시퀀스는 재발 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\reasoned}U_{0}(P,Q)&=0,\U_{1}(P,Q)>1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{{{{{n}({n>1,\liged}}})$

그리고

${\displaystyle {\reasoned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1.\end{정렬}}}$

> ${\displaystyle n>0}$에 대해,을 나타내는 것은 어렵지 않다.

${\displaystyle {\reasoned}U_{n}(P,Q)&={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\\V_{n}(P,Q)&={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\end{정렬}}}$

위의 관계는 다음과 같이 매트릭스 형태로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}U_{n}(P,Q)\\U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\be{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\\\\\\U_{n}(P,Q)\end{bmatrix},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{n}(P,Q)\\V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}V_{n-1}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\bmatrix}U_{n}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P/2&1/2\\(P^{2}-4Q)/2&P/2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\V_{n-1}(P,Q)\end{bmatrix}}.}$

예

Lucas 시퀀스 U_n(P,Q)와 V_n(P,Q)의 초기 용어는 표에 제시되어 있다.

${\displaystyle {\property{array}{r l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}^{2}^{5}-5{P}^{3}Q+5}^{3}Q+5P}^{2}}^{2}\\6&{P}^{5}-4}Q}^{3}Q+3}Q+3P{{Q}^{2}&{P}^{6}-6}-{P}^{4}Q+9{P}^{{{Q}-2}^{Q}^{3}\end{array}}}}}}}}}}$

명시적 표현

Lucas 시퀀스 ${\displaystyle {Un}_{}}$( ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ 및$$ $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}P}$, ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$에 대한 반복 관계의 특성 방정식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}$

D${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$와 루트를 $가지고{\displaystyle }$ 있다.

${\displaystyle a={\p+{\sqrt{D}}{2}}:\quad {\text{and}}\quad b={\p-{\sqrt{D}}}},}$

따라서 다음과 같다.

$(\displaystyle a+b=P\...)$

${\displaystyle ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\...}$

${\displaystyle a-b={\sqrt{D}\,}$

${\displaystyle n^{}}$ ${\$ ${\displaystyle {시퀀스}^{}}$ b$$n {\$displaystyle$b^{$n}$도 재발 관계를$$ 만족한다는 점에 유의하십시오.그러나 이것들은 정수 순서가 아닐 수도 있다.

고유뿌리

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D\neq 0}$이$($가) 있을 때 a와 b가 구별되며 빠르게 검증한다.

${\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt{D}}{2}}:}$

${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle V\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}{Un}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ ${\$

루카스 시퀀스의 용어는 a와 b의 용어로 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}{\frac {a^{n}-b^{n}}}{\sqrt{D}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle V_{n}=a^{n}+b^{n}\,}$

반복근

사례 $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D=0}$은(는) $일부{\displaystyle }$ 정수 S에 대해$$ $P{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \text{S}}$ 및 ${\displaystyle Q}$= ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$${\displaystyle a}$ =${\displaystyle b}$ = S$${\$displaysty a=b=S}$를 정확히 찾을 때 발생한다$.$

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,}$

${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= V ${\displaystyle n_{}}$( 2 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$ $displaystyle V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n$

특성.

함수 생성

일반적인 생성 기능은

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}};}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}.}$

펠 방정식

${\displaystyle \mathrm{Q}}$=${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle Q=\pm$ 1$\},$ Lucas 시퀀스 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ($,$ Q )$displaystyle U_{n}(P,Q)$ 및$$ $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}P}$, ${\displaystyle Q}$) ${\displaystystyle V_{n}(P,$Q)}}}이 특정 Pell 방정식을 만족하는$$ 경우:

${\displaystyle V_{n}(P,1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,1)^{2}=4,}$

${\displaystyle V_{2n}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n}(P,-1)^{2}=4,}$

${\displaystyle V_{2n+1}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n+1}(P,-1)^{2}=-4.}$

매개 변수가 서로 다른 시퀀스 간의 관계

• 임의의 숫자 c에 대해 다음이$$ ${\displaystyle {있는}_{}}$Un${\displaystyle {(}^{}}$ ${\displaystyle {}^{,}}$ Q${\displaystyle }${$$) {\$displaystyle U_{n}(P',$Q$$') ${\displaystyle {및}_{}}$ $V{\displaystyle {}_{}}$n(${\displaystyle {}^{}{}^{}}$, Q${\displaystyle }${$$) {\$displaystyle V_{n}($P',$Q')$ 순서

${\displaystyle P'=P+2c}$

${\displaystyle Q'=cP+Q+c^{2}}$

${\displaystyle {Un}_{}}$( ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ 및$$ ${\displaystyle {Vn}_{}}$(${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$과 동일한 판별력을 갖는다$.$

${\displaystyle P'^{2}-4Q'=(P+2c)^{2}-4(cP+Q+c^{2}=P^{2}-4Q=D.}$

• 어떤 숫자 c에도, 우리는 또한

${\displaystyle U_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n-1}\cdot U_{n}(P,Q),}$

${\displaystyle V_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n}\cdot V_{n}(P,Q)}$

기타관계

루카스 수열의 조건은 피보나치 수 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= U ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ $){\displaystyle F_{n}=$ 사이의 관계를 일반화한 관계를 만족시킨다.$U_{n}(1,-1)$및$$ Lucas 번호 ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{V}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( 1,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle L_{n}=V_{n$}(1$,-1$ 예를 들어,

${\displaystyle {\begin{array}{r l}{\text{일반 사례}&(P,Q)=(1,-1)\\hline(P^{2}-4Q)U_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}&5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}}=2L_{n+1}-L_{n}\\V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}&L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}\\U_{2n}=U_{n}V_{n}&F_{2n}=F_{n}L_{n}\\\V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n^{n}=L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n\}U_{m+n}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m-1}U_{n-1}={\frac {U_{m_{n}V_{n}+U_{n}V_{n}}}{2}}&F_{m+n}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{m_}L_{n}+F_{n}L_{m}}{2}}\\V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=DU_{m}U_{n}+Q^{n{}V_{m-n}&L_{m+n}=L_{m}L_{n}-(-1)^{n}L_{m-n}=5F_{m}F_{n}+(-1)^{n}L_{m-n}\\\v_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=4Q^{n}&L_{n}^{n}^{2}=5F_{n}^{2}=4(-1)^{n}\.U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}&F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}\\V_{n}^{2}-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1}&L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1}\\DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}&F_{n}={\frac {L_{n+1}+L_{n-1}}{{5}}\V_{m+n}={\frac {V_{n}V_{n}V_{n}+DU_{m}}}}}}}}}U_{n}}{n1}:{n2}}&L_{m+n}={\frac {L_{m}L_{n}+5F_{m}}}F_{n}}{2}}\\U_{m+n}=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}&F_{n+m}=F_{m}L_{n}-(-1)^{n}F_{m-n}\\2^{n-1}U_{n}={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots &2^{n-1}F_{n}={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots \\2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^{2}+\cdots &2^{n-1}L_{n}=1+5{n \choose 2}+5^{2}}{n \4}+\cdots 선택 \end{array}}}$

구분성 특성

Among the consequences is that ${\displaystyle U_{km}(P,Q)}$ is a multiple of ${\displaystyle U_{m}(P,Q)}$, i.e., the sequence ${\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}$ is a divisibility sequence.이는 특히 ${\displaystyle {Un}_{}}$(${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$이(가) prime일 때만 prime이 될 수 있음을$$ 암시한다.$또{\displaystyle {}_{}}$ 다른 결과는 큰 n 값에 대한 Un (P ,$){\displaystyle U_{n}(P,Q)}$의 빠른 연산을 허용하는 스퀴어링에 의한 지수의 아날로그다.더욱이 ${\displaystyle gcd(P}$, ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gcd(P,Q)=1$ 그렇다면${\displaystyle }$(${\displaystyle {Um}_{}}$(${\displaystyle P,}$Q${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\${m$\geq$) $1.}}}}}}}}$는 강한 구분 순서다$$.

그 밖의 구별 특성은 다음과 같다.^[1]

• n / m이 홀수인 경우 ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$을(를) V n ${\$로 나눈다$.$
• N을 2Q까지의 비교적 소수 정수가 되게 하라.N이 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$를 나누는 가장 작은 양의 정수 r이 존재한다면$$, N이 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\$를 나누는 n의 집합은 정확히$$ r의 배수 집합이다.
• P와 Q가 짝수일 $경우{\displaystyle {}_{}}$ U ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ n$${\$displaystyle U_{n},V_{n}}$은(는) $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}를 제외하고 항상 짝수인 것이다$.$
• P가 짝수이고 Q가 홀수인 경우 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\$의 패리티는 n과 같고 ${\displaystyle {Vn}_{}}$ ${\$는 항상$$ 짝수다.
• P가 홀수이고 Q가 짝수인 경우, ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $항상{\displaystyle }$ 홀수인 n${\displaystyle }$= 1, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle n=1,2,\ldots }$이다$.$
• P와 Q가 홀수일 경우 ${\displaystyle {Un}_{}}$, V ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 3의 배수일 경우에만 동일하다$$.
• p가 홀수 prime인 경우 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (\frac{D}{}}$ p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{모드}}$ ${\displaystyle p}$) ${\$$V_{p}\equiv P{\pmod{p}}}($레전드르 기호 참조).
• p가 홀수 prime이고 P와 Q를 나눈다면, p는 매 > ${\displaystyle$ $u_{n$$}$에 대해$$ ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\$ $n>1$}을 나눈다
• p가 홀수 prime이고 Q가 아닌 P를 나눈다면, ${\displaystyle p_{}}$는 Un$${\displaystyle U_{n$}$를 나누고, n이 짝수인 경우에만 Un {\$displaysty U_{n$}}.
• p가 홀수 prime이고 P가 아닌 Q를 나누면, $p$는${\displaystyle \mathrm{n}}$ =${\displaystyle }$1, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n=1$,2$,\ldots }$에 대해 ${\displaystyle {Un}_{}}${\$displaystyle U_{n}$를 나누지 않는다$.$
• p가 홀수 prime이고 PQ가 아닌 D를 나누는 경우 p는 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\$를 나누는 경우, p가 n을 나누는 경우에만 분할한다.
• p가 홀수 prime이고 PQD를 나누지 않는 경우$,$ ${\displaystyle p_{}}$는 U l${\$U_${l$},${\displaystyle }여기$서 l${\displaystyle }$= p - ${\displaystyle (\frac{D}{}}$p$$){\$displaystyle$l=$p-\$left$({\tfrac {D$}{p$}}}\오른쪽)}$을 나눈다$.$

마지막 사실은 페르마의 작은 정리를 일반화한다.이 사실들은 루카스에서 사용된다.레머 원시성 검사.페르마의 작은 정리의 정리의 정리의 정리가 성립되지 않기 때문에 마지막 사실의 정반대도 성립되지 않는다.D에 비교적 프라임 n과 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$을 나누는 합성물${\$이 있는데 $여기$서 l${\displaystyle }$= n${\displaystyle }$-${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{\mathrm{Dn}}{}}$ $){\$ {$D}{n}}\right$ 이런 합성물을 Lucas phoprime이라고 한다.

루카스 수열에서 어떤 용어의 초기 항을 분할하지 않는 주요 인자를 원시라고 한다.카마이클의 정리에는 루카스 수열의 거의 대부분의 용어들이 원시적인 원시적인 주요 요소를 가지고 있다고 명시되어 있다.^[2]실제로 Carmichael(1913)은 D가 양성이고 n이 1, 2, 6이 ${\displaystyle {아니면}_{}}$ Un ${\$n}이 원시적인 프라임 인자를 갖는다는$$ 것을 보여주었다.D가 음수인 경우 빌루, 한로, 부티에, 미그노테의^[3] 깊은 결과는 n > 30이면 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\$가 원시적인 프라임 인자를 가지며$$ 모든 케이스 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\\$가 원시적인 프라임 인자를 가지지$$ 않는 것을 보여준다.

특정 이름

P와 Q의 일부 값에 대한 Lucas 시퀀스에는 다음과 같은 구체적인 이름이 있다.

U_n(1,-1) : 피보나치 수

V_n(1,-1) : 루카스 숫자

U_n(2,−1) : Pell numbers

V_n(2,-1) : Pell-Lucas 번호(회사 Pell 번호)

U_n(1,-2) : Jacobsthal 수

V_n(1,-2) : Jacobsthal-Lucas 수

U_n(3, 2) : 메르센 번호ⁿ 2 - 1

V_n(3, 2) : 페르마(Fermat) 번호를^[2] 포함하는 2ⁿ + 1 형식의 번호

U_n(6, 1) : 사각 삼각형 숫자의 제곱근.

U_n(x,-1) : 피보나치 다항식

V_n(x,-1) : 루카스 다항식

U_n(2x, 1) : 체비셰프 제2종 다항식

V_n(2x, 1) : 제1종 다항식 2 곱하기

U_n(x+1, x) : 기준 x 재분할

V_n(x+1, x) : xⁿ + 1

일부 루카스 시퀀스에는 온라인 정수 시퀀스 백과사전에 다음과 같은 항목이 있다.

$'P\displaystyle P\,}$	$Q\\displaystyle Q\,}$	${\displaystyle U_{n}(P,Q)\,}$	${\displaystyle V_{n}(P,Q)\,}$
−1	3	OEIS: A214733
1	−1	OEIS: A000045	OEIS: A000032
1	1	OEIS: A128834	OEIS: A087204
1	2	OEIS: A107920	OEIS: A002249
2	−1	OEIS: A000129	OEIS: A002203
2	1	OEIS: A001477
2	2	OEIS: A009545	OEIS: A007395
2	3	OEIS: A088137
2	4	OEIS: A088138
2	5	OEIS: A045873
3	−5	OEIS: A015523	OEIS: A072263
3	−4	OEIS: A015521	OEIS: A201455
3	−3	OEIS: A030195	OEIS: A172012
3	−2	OEIS: A007482	OEIS: A206776
3	−1	OEIS: A006190	OEIS: A006497
3	1	OEIS: A001906	OEIS: A005248
3	2	OEIS: A000225	OEIS: A000051
3	5	OEIS: A190959
4	−3	OEIS: A015530	OEIS: A080042
4	−2	OEIS: A090017
4	−1	OEIS: A001076	OEIS: A014448
4	1	OEIS: A001353	OEIS: A003500
4	2	OEIS: A007070	OEIS: A056236
4	3	OEIS: A003462	OEIS: A034472
4	4	OEIS: A001787
5	−3	OEIS: A015536
5	−2	OEIS: A015535
5	−1	OEIS: A052918	OEIS: A087130
5	1	OEIS: A004254	OEIS: A003501
5	4	OEIS: A002450	OEIS: A052539
6	1	OEIS: A001109	OEIS: A003499

적용들

• Lucas 시퀀스는 일반적으로 사용되는 Baillie--의 일부인 확률론적 Lucas 가성비 테스트에 사용된다.PSW 원시성 테스트.
• 루카스 시퀀스는 루카스-를 포함한 일부 원시성 입증 방법에 사용된다.Lehmer-Riesel 테스트 및 1975년^[4] 브릴하트-Lehmer-Selfridge와 같은 N+1 및 하이브리드 N-1/N+1 방법
• LUC는 Lucas 시퀀스에^[5] 기반한 공개키 암호 시스템으로, ElGamal(LUCELG), Diffie–의 아날로그를 구현한다.Hellman(LUCDIF) 및 RSA(LUCRSA).RSA 또는 Diffie-에서처럼 모듈식 지수를 사용하는 대신, Lucas 시퀀스의 특정 용어로 메시지 암호화를 계산한다.헬맨.그러나 Bleichenbacher 등의 ^[6]논문에 따르면 모듈형 지수에 기반한 암호시스템에 비해 LUC의 예상 보안상 이점 중 많은 것이 존재하지 않거나, 주장된 것만큼 실질적이지 않다.

참고 항목

• 루카스 가성비
• 프로베니우스 유사성
• 소머-루카스 유사성

메모들

참조

• Carmichael, R. D. (1913), "On the numerical factors of the arithmetic forms αⁿ±βⁿ", Annals of Mathematics, 15 (1/4): 30–70, doi:10.2307/1967797, JSTOR 1967797
• Lehmer, D. H. (1930). "An extended theory of Lucas' functions". Annals of Mathematics. 31 (3): 419–448. Bibcode:1930AnMat..31..419L. doi:10.2307/1968235. JSTOR 1968235.
• Ward, Morgan (1954). "Prime divisors of second order recurring sequences". Duke Math. J. 21 (4): 607–614. doi:10.1215/S0012-7094-54-02163-8. hdl:10338.dmlcz/137477. MR 0064073.
• Somer, Lawrence (1980). "The divisibility properties of primary Lucas Recurrences with respect to primes" (PDF). Fibonacci Quarterly. 18: 316.
• Lagarias, J. C. (1985). "The set of primes dividing Lucas Numbers has density 2/3". Pac. J. Math. 118 (2): 449–461. doi:10.2140/pjm.1985.118.449. MR 0789184.
• Hans Riesel (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics. Vol. 126 (2nd ed.). Birkhäuser. pp. 107–121. ISBN 0-8176-3743-5.
• Ribenboim, Paulo; McDaniel, Wayne L. (1996). "The square terms in Lucas Sequences". J. Number Theory. 58 (1): 104–123. doi:10.1006/jnth.1996.0068.
• Joye, M.; Quisquater, J.-J. (1996). "Efficient computation of full Lucas sequences" (PDF). Electronics Letters. 32 (6): 537–538. Bibcode:1996ElL....32..537J. doi:10.1049/el:19960359. Archived from the original (PDF) on 2015-02-02.
• Ribenboim, Paulo (1996). The New Book of Prime Number Records (eBook ed.). Springer-Verlag, New York. doi:10.1007/978-1-4612-0759-7. ISBN 978-1-4612-0759-7.
• Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. New York: Springer-Verlag. pp. 1–50. ISBN 0-387-98911-0.
• Luca, Florian (2000). "Perfect Fibonacci and Lucas numbers". Rend. Circ Matem. Palermo. 49 (2): 313–318. doi:10.1007/BF02904236. S2CID 121789033.
• Yabuta, M. (2001). "A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors" (PDF). Fibonacci Quarterly. 39: 439–443.
• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 27. Mathematical Association of America. p. 35. ISBN 978-0-88385-333-7.
• 루카스는 수학 백과사전에서 순서를 정했다.
• Weisstein, Eric W. "Lucas Sequence". MathWorld.
• Wei Dai. "Lucas Sequences in Cryptography".