관계 대수

Relation algebra
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수학 및 추상대수학에서 관계대수는 converse라고 불리는 무의식적으로 확장된 잔여 부울대수학, 단항 연산이다. 관계 대수학의 동기부여 예로는 세트 X에 있는 모든 이진 관계, 즉 데카르트 제곱2 X의 하위 집합의 대수X² 2가 있는데, R•S는 이항 관계 R과 S의 일반적인 구성으로 해석되고, R의 반향은 역관계로 해석된다.

관계 대수학은 아우구스투스 드 모건과 찰스 페어스의 19세기 작품에서 등장했는데, 이 작품은 에른스트 슈뢰더의 대수 논리로 정점을 찍었다. 여기서 취급된 관계 대수학의 등위 형식은 1940년대부터 알프레드 타르스키와 그의 제자들에 의해 개발되었다. 타르스키와 기반트(1987)는 세트 이론에 근거한 수학 자체가 변수 없이 실행될 수 있다는 함축과 함께, 관계 대수학을 자명적인 세트 이론의 가변 없는 처리에 적용했다.

정의

한 관계 대수(L, ∧, ∨, −, 0,1, •, 나는, ˘)는 대수적 구조 접속사 x∧y, 괴리 x∨y고, 부정 x−, 부울 상수 0과 1, 작문 x•y과 대화를 나누다 x˘를 합리적 운영 그리고는 상대적인 끊임 없는 내가, 이 작전 및 상수를 특정 equat을 충족하는의 부울 작전을 갖고 있다.하와이 말똥가리ns 관계의 미적분학의 공리화를 구성하는 것. 대략 관계 대수학은 빈 (0), 완전한 (1), 정체성 (I) 관계를 포함하는 집합의 이진 관계 시스템에 해당하며, 집단은 ID 순열을 포함하는 집합의 순열 시스템에 해당하고 구성과 역에 따라 폐쇄된다. 그러나, 관계 알헤브라의 첫 번째 순서 이론은 그러한 이항 관계의 시스템에 대해 완전하지 않다.

Jonsson과 Tsinakis(1993)에 이어 추가 연산을 xyy = x•y˘, 그리고, dallally x-y = x˘•y. Jonsson과 Tsinakis는 i◁x = x ▷I, 둘 다 x▷과 동일하다는 것을 나타내었다. 따라서 관계 대수학은 대수 구조(L, ∧, ∨, ∨, , 0, 1, • I, ,, ▷, ▷)로 동등하게 정의될 수 있다. 일반적인 것에 비해 이 서명의 이점은 관계 대수학을 단순히 Ixx가 비자발적인, 즉 I◁(I◁x) = x인 잔류 부울 대수로서 완전히 정의할 수 있다는 것이다. 후자의 조건은 보통의 산술적 역수에 대해 방정식 1/(1/x) = x의 관계적 대응으로 생각할 수 있으며, 일부 저자는 역수를 역의 동의어로 사용한다.

남아 있는 부울 알헤브라는 많은 정체성과 공리화 되어 있기 때문에, 관계 알헤브라는 공리화 되어 있다. 따라서 후자는 관계 알제브라들의 다양성 RA를 형성한다. 위의 정의를 방정식으로 확장하면 다음과 같은 유한 공리화가 발생한다.

공리

아래의 공리 B1-B10은 지반트(2006:283)로부터 개작되어 있으며, 타르스키가 1948년에 처음으로 설정하였다.[1]

L은 이항분리, ∨, 단항보완 ():−

B1: A ∨ B = B ∨ A
B2: A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C
B3: (A− ∨ B)− ∨ (A− ∨ B−)− = A

부울 대수의 이러한 공리화는 헌팅턴(1933년) 때문이다. 묵시적 부울대수의 만남은 (만일 만남처럼 ∨에 걸쳐 분포함에도 불구하고) • 연산자가 아니며, 부울대수의 1도 I 상수가 아니라는 점에 유의한다.

L은 이항 구성(•) 및 무효 ID I:

B4: A•(B•C) = (A•B)•C
B5: A•I = A

단교역()은 구성과 관련하여 비자발적인 것이다.

B6: A˘˘ = A
B7: (A•B)˘ = B˘•A˘

Axiom B6는 변환을 비자발적인 것으로 정의하고 있는 반면, B7은 구성과 관련된 변환의 반분배적 특성을 나타낸다.[2]

컨버스 및 구성은 분리되어 배포된다.

B8: (A∨B)˘ = A˘∨B˘
B9: (A∨B)•C = (A•C)∨(B•C)

은 아우구스투스 드 모건이 발견한− 타르스키의 동등한 형태의 사실로서 •B− ↔ ↔ ↔ {{ { { \ \ \ \ \ \ \ • • ↔ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \.

B10: (A˘•(A•B)−)∨B− = B−

이러한 공리는 ZFC의 이론이다. 순수 부울 B1-B3에게는 이 사실이 사소한 것이다. Suppes 3장(1960년)에 해당하는 정리의 수를 각각 나타낸 후, ZFC의 설명: B4 27, B5 45, B6 14, B7 26, B8 16, B9 23.

RA에서 이진 관계의 속성 표현

다음 표는 이항 관계의 통상적인 속성 중 얼마나 많은 것이 간결한 RA 평등이나 불평등으로 표현될 수 있는지를 보여준다. 아래에서는 A ≤ B 형식의 불평등이 부울 방정식 A bB = B의 속칭이다.

이러한 성격의 가장 완전한 결과 집합은 카르나프 (1958)의 C장인데, 여기서 표기법은 이 항목의 그것과 다소 거리가 있다. Suppes의 3.2장(1960년)은 ZFC 이론으로 제시되고 이 항목의 이론과 더 유사한 표기법을 사용하는 더 적은 결과를 포함한다. Carnap과 Suppes 모두 이 항목의 RA를 사용하거나 동등하게 결과를 공식화하지 않았다.

R은 다음과 같은 경우에만:
기능적 R˘•R ≤ I
레프트 토털 I ≤ R•R˘ (R˘은 굴절적임)
함수 기능적 총계적
주입식
 R•R˘ ≤ I (R˘는 기능적임)
굴욕적인 I ≤ R˘•R (R˘은 왼쪽 합계)
바이어싱 R˘•R = R•R˘ = I(주사적 굴절 함수)
타동사 R•R ≤ R
반사적 I ≤ R
코어플렉스 R ≤ I
불변성 R ∧ I = 0
대칭 R˘ = R
비대칭 R ∧ R ˘ I
비대칭 R ∧ R˘ = 0
강하게 연결됨 R ∨ R˘ = 1
연결된 I ∨ R ∨ R = = 1
idempotent R•R = R
프리오더 R은 전이적이고 반사적이다.
등가성 R은 대칭 사전 주문이다.
부분순서 R은 대칭 사전 순서다.
총순번 R은 강하게 연결되어 있고 부분적인 순서가 있다.
엄격한 부분 순서 R은 전이적이고 회복 불능이다.
엄격한 총계순서 R이 연결되어 있고 엄격한 부분 순서가 있다.
밀도 R ∧ I− ≤ (R ∧ I−)•(R ∧ I−).

표현력

RA의 변광성은 타르스키와 기반트(1987년), 기반트(2006년)에서 상세히 논한다.

RA는 균일한 대체만을 사용하여 조작한 방정식과 등가 대등하게 대체하는 것으로 구성된다. 두 규칙 모두 일반적으로 학교 수학이나 추상 대수학에서 온전히 친숙하다. 따라서 RA 증명들은 일반적으로 수학 논리학의 경우와 달리 모든 수학자들에게 친숙한 방식으로 수행된다.

RA는 3개 이하의 변수를 포함하는 1차 논리(FOL) 공식을 (그리고 논리적 동등성까지 정확하게) 표현할 수 있다. (특정 변수는 여러 번 정량화할 수 있으므로 "재사용" 변수에 의해 임의로 깊이 내포될 수 있다.)[citation needed] 놀랍게도, FOL의 이 단편은 Peano 산술과 지금까지 제안된 거의 모든 자명한 집합 이론들을 표현하기에 충분하다. 따라서 RA는 사실상 거의 모든 수학의 대수화 방법이며, FOL과 그 결합체, 정량자, 개찰구, 모드 폰과 함께 분사한다. RA는 페아노 산술과 세트 이론을 표현할 수 있기 때문에 괴델의 불완전성 이론이 적용된다; RA는 불완전하고 불완전하며 해석할 수 없다.[citation needed] (N.B) RA의 부울 대수 파편은 완전하고 해독 가능하다.)

클래스 RRA를 구성하는 대표 가능한 관계 알헤브라는 어떤 집합의 이진 관계로 구성된 어떤 관계 대수학과의 이형성 관계 알헤브라스 관계이며, RA 운영의 의도된 해석에 따라 종결된다. 예를 들어 가성계급의 방법을 사용하는 경우, RRA가 보편적인 혼 이론에 의해 공리화할 수 있는 준동성(quasivariety)이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 1950년, 로저 린든은 RA에서 보유하지 않은 방정식의 존재를 증명했다. 따라서 RRA에 의해 생성된 품종은 품종 RA의 적절한 하위 변종이다. 1955년에 알프레드 타르스키는 RRA 자체가 다양하다는 것을 보여주었다. 1964년 도널드 몽크는 RRA가 정의에 의해 정밀하게 공리화된 RA와 달리 유한한 공리화가 없다는 것을 보여주었다.

Q-관계 알헤브라스

RA는 B1-B10 외에 다음과 같은 A와 B가 존재하는 경우 Q-관계 대수(QRA)이다(Tarski 및 Givant 1987: §8.4).

Q0: A˘•A ≤ I
Q1: B˘•B ≤ I
Q2: A˘•B = 1

본질적으로 이러한 공리들은 우주가 (비굴절적) 쌍을 이루는 관계를 가지고 있다는 것을 암시하는데, 그 관계는 투영된 A와 B이다. 모든 QRA가 RRA(Proof by Maddux, Tarski & Givant 1987: 8.4(iii) 참조)라는 것이 정리다.

모든 QRA는 대표적이다(Tarski와 Givant 1987). 모든 관계 대수학이 표현 가능한 것이 아니라는 것은 RA가 QRA와 Boolean Algebras와 다른 근본적인 방법이며, 이 방법은 스톤이 Boolean Algebras에 대한 표현 정리에 의해 항상 조합, 교차점 및 보완점 아래에 닫힌 어떤 집합의 하위 집합으로 표현될 수 있다.

예

  1. 모든 부울대수는 결합을 구성(단조 곱셈 • 단조 곱셈)으로 해석하여 RA로 전환할 수 있다. 즉, x•y는 x definedy로 정의된다. 이 해석에서는 역방향으로 아이덴티티를 해석할 것을 요구하고 있다(수치 = y), 잔차 y\x와 x/y 모두 조건부 y→x(예: ¬yxx).
  2. 관계 대수학의 동기부여 사례는 집합 X에 대한 이항 관계 R의 정의에 따라 다르며, 여기서 X²는 X의 데카르트 제곱이다. X의 모든 이항 관계로 구성된 동력 집합 2는X² 부울 대수다. 2는X² 위의 예 (1)과 같이 R•S = R∧S를 취함으로써 관계 대수학을 만들 수 있지만, •의 표준 해석은 대신 x(R•S)z = ∃y:xRy이다.ySz. 즉, 순서 쌍(x,z)은 (x,y) ∈ R과 (y,z) s S와 같은 y x X가 존재할 때 관계 R•S에 속한다. 이 해석은 모든 x ∈ X에 대해 모든 쌍(y,z)으로 구성된 R\S를 고유하게 결정한다. S/R은 모든 z ∈ X에 대해 yRz인 경우 xSz와 같은 모든 쌍(x,y)으로 구성된다. 그런 다음 번역 = = y(y\)I)는 R의 역 R˘을 (x,y) ∈ R과 같은 모든 쌍(y,x)으로 구성되는 것으로 설정한다.
  3. 앞의 예에서 중요한 일반화는 전원 세트 2이며E 여기서 E ⊆ X²는 집합 X의 동등성 관계다. X² 자체가 동등성 관계, 즉 모든 쌍으로 구성된 완전한 관계이기 때문에 이는 일반화다. 2는E E ≠ X²의 경우 2의X² 하위 게이지가 아니지만(이 경우 X² 대신 상위 요소 1이 E가 되므로), 그럼에도 불구하고 운용의 동일한 정의를 사용하여 관계 대수학으로 변한다. 그것의 중요성은 일부 집합의 동등성 관계 E에 대한 관계 대수 2의E 하위 대수와의 관계 대수 이형성으로서 표현 가능한 관계 대수학의 정의에 있다. 앞의 절에서는 관련 변성법에 대해 자세히 설명한다.
  4. G를 단체로 하자. Then the power set is a relation algebra with the obvious boolean algebra operations, composition given by the product of group subsets, the converse by the inverse subset (), and the identity by the singleton subset . There is a relation algebra homomorphism embedding in which sends each subset to the relation G\G\ h Ag 이 동형식의 이미지는 G에 대한 모든 우경관계의 집합이다.
  5. 만약 그룹 합이나 제품이 구성을 해석하면 그룹 역방향으로 해석하고 그룹 아이덴티티가 I을 해석하며, R이 일대일 대응이므로 R˘•R = R•R = = I,[3] L은 모노이드뿐만 아니라 그룹이기도 하다. B4-B7은 집단 이론의 잘 알려진 이론이 되어, RA는 부울 대수학뿐만 아니라 집단 이론의 적절한 연장이 된다.

역사적 발언

De Morgan은 1860년에 RA를 설립했지만 C. S. Peirce는 그것을 훨씬 더 나아가서 그것의 철학적 힘에 매료되었다. 드모건과 페어스의 작품은 주로 에른스트 슈뢰더가 그의 보를성겐(1890–1905) 제3권에서 준 확장되고 확정적인 형식에서 알려지게 되었다. 프린세스 매티매티카는 슈뢰더의 RA에 대해 강하게 그림을 그렸지만, 슈뢰더의 표기법을 발명한 사람으로만 인정했다. 1912년 앨윈 코르셀트는 정량자가 4개의 깊이에 중첩된 특정 공식에 RA 등가물이 없다는 것을 증명했다.[4] 이 사실은 타르스키(1941)가 그것에 대해 쓰기 시작할 때까지 RA에 대한 흥미를 잃게 했다. 그의 제자들은 오늘날까지 계속해서 RA를 발전시켜 왔다. Tarski는 Steven Givant의 도움으로 1970년대에 RA로 돌아왔다; 이러한 협력은 Tarski와 Givant(1987년)의 모노그래프를 만들었고, 이 주제에 대한 결정적인 언급이었다. RA의 역사에 대한 자세한 내용은 Maddux(1991, 2006)를 참조하십시오.

소프트웨어

참고 항목

각주

  1. ^ Alfred Tarski(1948) "추상: Algebras와의 관계에 대한 표현 문제", AMS 54: 80.
  2. ^ Chris Brink; Wolfram Kahl; Gunther Schmidt (1997). Relational Methods in Computer Science. Springer. pp. 4 and 8. ISBN 978-3-211-82971-4.
  3. ^ 타르스키, A. (1941) 페이지 87.
  4. ^ Korselt는 그의 발견을 발표하지 않았다. 이 책은 레오폴드 로웬하임(1915) "위버 뫼글리히케이텐 임 상대브칼킬," Matheatische Annalen 76: 447–470에 처음 출판되었다. 1967년 장 반 헤이제노르트에서 "친족 미적분학의 가능성"으로 번역되었다. 수학논리의 출처, 1879-1931. 하버드 유니브 프레스: 228–251.

참조

외부 링크