보편적 수량화

보편적 수량화

유형	수량자
들판	수리논리
진술	${\displaystyle }$$x의$모든 $값$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ P${\displaystyle (}$x$)$ {$displaystyle$$\backslash$$forall xP($x)}가 true이면 x P$x)$ {$displaystyle$P$(x$)}가$$$$ $true$입니다${\displaystyle \mathrm{.}}$
기호문	$\displaystyle \forall xP(x)}$

수학 논리학에서, 보편적 수량화는 수량화의 한 종류로, "모든 것을 위해" 또는 "모든 것을 위해"로 해석되는 논리 상수이다.그것은 술어가 담화 영역의 모든 구성원에 의해 충족될 수 있다는 것을 표현한다.즉, 도메인의 모든 구성원에 대한 속성 또는 관계의 술어입니다.범용 수량화 범위 내의 술어는 술어 변수의 모든 값에 대해 참이라고 단언합니다.

이것은 보통 술어 변수와 함께 사용될 때 범용 수량자("xx", "((x), 또는 때로는 "(x") 단독으로)라고 불리는 변환된 A( operator) 논리 연산자 기호로 표시됩니다.보편적 수량화는 속성 또는 관계가 도메인의 적어도 한 구성원에 대해서만 유지된다고 주장하는 실존적 수량화("존재")와 구별됩니다.

일반적으로 정량화는 정량화(논리)에 관한 기사에서 다루어진다.유니버설 수량자는 Unicode에서 U+2200 for FOR ALL 로 부호화되어 다음과 같이 부호화됩니다.\forallLaTeX 및 관련 공식 편집기에서 확인할 수 있습니다.

기본

라고 가정해 보자.

2·0 = 0 + 0 및 2·1 = 1 + 1, 2 · 2 = 2 + 2 등

"and"를 반복적으로 사용하므로 이는 논리적인 결합으로 보일 수 있습니다.단, "etc"는 형식 논리에서의 결합으로 해석할 수 없습니다.대신 다음 문구를 바꿔 써야 합니다.

모든 자연수 n에 대해 1은 2·n = n + n이다.

이것은 범용 정량화를 사용한 단일 문장입니다.

이 진술은 원본보다 더 정확하다고 할 수 있다."etc"는 비공식적으로 자연수를 포함하지만, 이것은 엄격하게 주어지지 않았다.한편, 보편적 수량화에서는 자연수가 명시적으로 언급된다.

어떤 자연수라도 n을 대체할 수 있고 "2·n = n + n" 문장이 참이기 때문에 이 특별한 예는 사실이다.그에 반해서,

모든 자연수 n에 대해 1은 2·n > 2 + n이다.

는 false입니다.n이 예를 들어 1로 치환되어 있으면 "2·1 > 2 + 1"이라는 문장이 false이기 때문입니다."2·n > 2 + n"이 대부분의 자연수 n에 대해 참이라는 것은 중요하지 않다. 단 하나의 반례의 존재도 보편적 양자가 거짓임을 증명하기에 충분하다.

한편, 모든 합성수 n에 대해 2·n > 2 + n을 갖는 것은 참이다. 왜냐하면 어떤 반례도 합성수가 아니기 때문이다.이것은 n이 ^{[note 1]}취할 수 있는 값을 지정하는 담화 영역의 중요성을 나타낸다.특히 담론의 영역이 특정 술어를 만족시키는 개체로만 구성되도록 제한되는 경우, 보편적 수량화를 위해서는 논리적 조건이 필요하다는 점에 주목한다.예를들면,

모든 복합번호 n에 대해 1은 2·n > 2 + n 입니다.

논리적으로 와 동등하다

모든 자연수 n에 대해, n이 합성일 경우, 2·n > 2 + n이다.

여기서 "만약..."은then" construction은 논리적인 조건을 나타냅니다.

표기법

심볼릭 로직에서는 유니버설 수량화 기호 $"\displaystyle\$$forall$"(산세리프 글꼴의 "A" 변환, Unicode U+2200)을 사용하여 유니버설 수량화를 나타냅니다.이는 1935년 게르하르트 젠젠이 실존적 수량화를 위한 주세페 페아노의 표기법$(\display$style \$exists)$과 유추하여 처음 사용되었으며, 이후 버트런드 ^[1]러셀이 페아노 표기법을 사용했다.

예를 들어, P(n)가 "2·n > 2 + n"의 술어이고 N이 자연수의 집합이라면,

$\displaystyle \forall n!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}$

는 (false) 스테이트먼트입니다.

"모든 자연수 n에 대해 1은 2·n > 2 + n"을 갖는다.

마찬가지로 Q(n)가 술어 "n is composite"인 경우,

$\displaystyle \forall n!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\오른쪽 화살표 P(n){\bigr}}$

(참) 스테이트먼트입니다.

"모든 자연수 n에 대하여, n이 합성이면 2·n > 2 + n"이다.

정량화 표기법(모든 양식에 적용됨)의 여러 변형은 Quantifier 문서에서 확인할 수 있습니다.

특성.

부정

보편적으로 정량화된 함수의 부정은 보편적 정량자를 존재적 정량자로 변경하고 정량화된 공식을 부정함으로써 얻어진다.그것은,

$\displaystyle \lnot \;P(x)\quad {text {isquival to that}\quad \exists x\;\lnot P(x)}$

여기서 $"\displaystyle\lnot"$은 부정을 나타냅니다.

예를 들어, 만약 P(x)가 명제 함수 "x is married"라면, 모든 살아있는 인간의 집합 X에 대해, 보편적 수량화

살아 있는 사람 x로 봤을 때 그 사람은 기혼자입니다.

기입되어 있다

$\displaystyle \forall x,P(x)\in X,P(x)}$

이 진술은 거짓이다.사실대로 말하면, 이라고 되어 있다.

살아 있는 사람 x로 보아 그 사람이 결혼한 것은 아니다.

또는 상징적으로 다음과 같습니다.

$x$($x$)$$\$displaystyle$ \ l not \ $forall x$, P ( x )$。$

함수 P(x)가 X의 모든 요소에 대해 참이 아닌 경우 해당 문이 거짓인 요소가 하나 이상 있어야 합니다.즉$,{\displaystyle \mathrm{}}$ "${\displaystyle x"}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ (${\displaystyle }$x$$) {$displaystyle \forall$ x$\in$ X$,P(x)}$의 부정은 논리적으로 "결혼하지 않은 살아있는 x가 존재한다"와 동등합니다.

$\displaystyle \exists x in X,\lnot P(x)}$

「모든 사람이 결혼하지 않았다」(「결혼한 사람이 없다」)와 「모든 사람이 결혼하지 않은 사람이 있는 것은 아니다」(「결혼하지 않은 사람이 있다」)를 혼동하는 것은 잘못이다.

$\displaystyle \lnot \in X,P(x)\equiv \forall x(x)\not \equiv \lnot \forall x(x)\in X,P(x)\equiv \exists x,\lnot P(x)\equiv \forall x(x)\in X,\lnot P(x)\equiv \f.$

기타 접속

다른 오퍼랜드가 영향을 받지 않는 한 유니버설(및 존재) 수량자는 논리 접속 「」, 「」, 「→」, 및 「」간에 변경되지 않고 이동합니다.즉, 다음과 같습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}())\land(\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\land Q(y))\\P())\lor(\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\lor Q(y)),&,{\text{ 같은}}\mathbf{Y})\\P())\to(\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,Q(y)\emptyset \neq.&\equiv)\eXists Q(y)),& \,(P())\to,{\text{ 같은}}{Y}\neq \emptyset \\P())\nleftarrow(\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,Q(y))및 \mathbf, \,(P())\nleftarrow Q(y))(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))및 \\P())\land \equiv)\exists{Y}{y}{\in}\mathbf, \equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\land Q(y)),&,{\text{provid{Y}{y}{\in}\mathbf.는}}\mathb 교육F{Y}\emptyset \neq \\P())\lor(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\lor Q(y))\\P())\to(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\to Q(y))\\P())\nleftarrow(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\nleftarro.wQ(y)),&,{\text{{}\mathbf {Y}\neq \emptyset \end{aligned}}의 경우}$

반대로 논리 연결 ↑, ↓, , 및 ←의 경우 수량자가 바뀝니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}())\uparrow(\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\uparrow Q(y))\\P())\downarrow(\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\downarrow Q(y)),&,{\text{ 같은}}\mathbf{Y}\neq \emptyset \\P())\nrightarrow(\exists{.y}{\in}\matHbf{Y}\,Q(y))&\equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\nrightarrow Q(y)),&,{\text{ 같은}}\mathbf{Y}\neq \emptyset \\P())\gets, \equiv)\exists{Y}\,{y}{\in}\mathbf(P(x라)&\equiv)\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\,(P())\gets Q(y))\\P())\uparrow(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))및(\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\,Q(y))\uparrow Q(y)),&{\text{ 같은}}\mathbf{Y}\neq \emptyset \\P())\downarrow(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))&\,(P())\downarrow Q(y))\\P())\nrightarrow(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))및 \equiv)\exists{Y}{y}{\in}\mathbf, \,(P())\nrightarrow Q(y))(\forall{y}{}\in \mathbf{Y}\,Q(y))&a \\P())\gets \equiv)\exists{Y}{y}{\in}\mathbf.융점, \equiv)\exists {y}{\in}\mathbf {Y},(P(x)\gets Q(y),&{\text{단, }\neq \emptyset \\end{aligned}}}$

추론 규칙

추론 규칙은 가설에서 결론까지의 논리적 단계를 정당화하는 규칙이다.보편적 수량식을 이용하는 몇 가지 추론 규칙이 있다.

보편적 인스턴스화는 만약 명제함수가 보편적으로 참이라고 알려진다면, 그것은 담화세계의 임의의 요소에 대해 참이어야 한다고 결론짓는다.상징적으로 이것은 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle {x}{\in}\mathbf {X},P(x)\to P(c)}$

여기서 c는 담화 세계의 완전히 임의의 요소이다.

보편적 일반화는 명제 함수가 담화 세계의 임의의 요소에 대해 참이라면 보편적으로 참이어야 한다고 결론짓는다.기호적으로 임의의 c에 대해

$\displaystyle P(c)\to \forall {x}{\in}\mathbf {X} \,P(x).}$

요소 c는 완전히 임의적이어야 한다; 그렇지 않으면 논리는 따르지 않는다: 만약 c가 임의적이지 않고, 대신 담화 세계의 특정 요소라면, P(c)는 명제 함수의 존재론적 정량화만을 의미한다.

빈 집합

관례상 공식${\displaystyle \mathrm{}}$x ${\displaystyle x}$ {\ P ( ${\displaystyle x}$) \$displaystyle$\$forall${ $x$} { \ $in$} \ $emptyset ,$ P ($x$ ) }는$$ 공식 P(x)에 관계없이 항상 참입니다.공백한 진실을 참조해 주세요.

유니버설 클로저

공식 is의 보편적 닫힘은 자유변수가 없는 공식으로, ifier의 자유변수마다 보편적 양량자를 더해 구한다.예를 들어, 범용 클로징은

$\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}$

이

$"$ ${\displaystyle z}$ ( ${\displaystyle P}$( y )${\displaystyle \mathrm{\wedge }}$ " ${\displaystyle xQ}$( x${\displaystyle }$,${\displaystyle }$z$$) { $displaystyle$ \ $forall y$ \ $forall z$ ( P $( y$ ) \ $land$ \ $exists$ x$Q$( x ,$z$) } ${\displaystyle \mathrm{。}}$

인접으로서

범주가론 및 초등토포이 이론에서 범용량량자는 멱집합간 함수의 오른쪽 인접, 집합간 함수의 역화상 함수로서 이해될 수 있다. 마찬가지로, 존재량량량자는 왼쪽 ^[2]인접이다.

$X$의$$경우 P $(\displaystyle\mathcal {P}}X)$가 파워셋을 $나타냅니다{\displaystyle \mathcal{}}$.$X$와$Y{\displaystyle }$ $사이$의 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$$$f$:$${\displaystyle X\mathcal{}}$$\to$ Y$}$에 대해 역이미지 $펑터{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$δ : ${\displaystyle P}$ Y ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle P}$X {\$displaystyle$ f$^{*}:\mathcal {P}}$가 있습니다.$파워셋$ 간의 Y$~{mathcal {P}}X$$.$ f의 코드메인의 서브셋을 도메인의 서브셋으로 되돌립니다.이 함수의 왼쪽 인접은 존재 수량자${\displaystyle {\mathrm{}}_f}${\$displaystyle \exists$ _${f}},$ 오른쪽$$ 인접은 유니버설 수량자${\displaystyle {\mathrm{}}_f}${\$displaystyle \forall$ _${f$입니다.

${\displaystyle {즉}_{}},{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$: P ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle P}$Y (\$displaystyle$\$displaystyle$ \$display_{$$f}\$$display\mathcal {P}X$$\backslash$$to{mathcal${$P$$}Y})$는 ${\displaystyle \mathrm{서브셋S}}$에 대해 $\subset$$$$X$를 제공하는 펑터입니다.

${\displaystyle\displaystyle_{f}S=\{y\in Y\;\f(x)=y\land\land\in S\}$

f$${\$displaystyle$ f$\}$ $아래$에 있는$$S(\$displaystyle$ S$)$ $이미지$의 $(표시$ $스타일$ y$).$ ${\displaystyle 마찬가지}$로 범용 ${\displaystyle {수량자}_{}}$ifier f : ${\displaystyle P}$ X ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle P\mathcal{}}$(\$display$style \f}\$displaystyle$\f$}\$displaystyle {$P}X\to \$mathcal {$P$$}Y}$$Y)$는 각 S$(\$displaystyle S(\style F)에 대한 함수입니다.${\displaystyle {}_{}}$ S${\displaystyle y}$ Y$$( \ display \ $forall _${ f }S$$\$subset$Y$$ )에 의해 지정됩니다${\displaystyle {\mathrm{.}}_{}}$

$\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;\forall x\in X.\f(x)=y\forl \in S\}.$

f$(\displaystyle$ f$$$)$ $아래$의 prime $이미지$가 S(\$displaystyle$ S$)$에 포함된 y(\$displaystyle$ y$)$입니다.

1차 로직에서 사용되는 보다 친숙한 형태의 정량자는 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f를 고유 함수$!{\displaystyle }$: X ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle !:$따라서$X\to1}$는${\displaystyle }$P$$${\displaystyle (1}$)${\displaystyle =}${ T , $F$} { {$$ , F } { $displaystyle$ { $P$} = \ { T ,$$F \ } true$$ 、 2 자리수의 집합이며, $서브셋$ S는 술어 $S{\displaystyle (x}$ { $displaystyle$ S$(x$$)$ } 、

${\displaystyle {begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {mathcal {P}(1)&\mathcal {P}(X)\\T&\mapsto X\F&\mapsto\{\}\end{array}}$

$\displaystyle \displaystyle _{!}S=\exists x.S(x),}$

이는$$S(\$displaystyle$S)가$$ 비어 있지 않은 $경우$에 해당됩니다.

${\displaystyle\forall_{!}S=\forall x.S(x),}$

S가 X가 아니면 false입니다.

위에 제시된 보편적 및 실존적 수식어는 프리히프 범주로 일반화된다.

「 」를 참조해 주세요.

• 실존 수량화
• 1차 논리
• 로직 기호 목록: Unicode 기호용

메모들

레퍼런스

• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Franklin, J. and Daoud, A. (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.{{cite book}}: CS1 유지: 여러 이름: 작성자 목록 (링크) (2장)

외부 링크

• Wiktionary의 every 사전 정의