등식(수학)

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수학에서 등식은 두 수 또는 더 일반적으로 두 수식 사이의 관계이며, 수량이 같은 값을 가지거나 두 수식이 같은 수학적 개체를 나타낸다고 주장한다.A와 B의 등식은 A = B로 표기되며 A는 ^[1]B로 발음된다.기호 "="를 "부호"라고 합니다.같지 않은 두 물체는 구별된다고 한다.

예를 들어 다음과 같습니다.

• ${\displaystyle }$x ${\displaystyle =}$(\$displaystyle$ x$=y)$는 x와 y가 동일한 ^[2]개체를 의미함을 의미합니다.
• 아이덴티티$({\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$1) 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle 2}$x +$$ {{$displaystyle (x+1)^2$$}=x^{2}+2x+$1$$}은 x가 임의의 숫자일 경우 두 식이 동일한 값을 갖는다는 것을 의미합니다.이는 등호 두 변이 같은 함수를 나타낸다는 의미로 해석될 수도 있다.
• ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \}}$${\displaystyle P}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \}}$ $=$ { ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}Q}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \}}$=\{$x\mid$ Q$(x$)\}$$=\{$x\mid$ Q$(x)\}$ P$$${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \iff }$ Q${\displaystyle (x)}$인 경우$.\display style$ P$(x)\leftarrow$Q($x$)\} 표기법을 사용하는 경우.$),$ \$displaystyle$ Q$(x)$ 및 \displaystyle Q(x)를$$ 사용하여 동일한 세트를 정의합니다.이 속성은 종종 "같은 요소를 가진 두 집합은 같다"로 표현됩니다.그것은 확장성의 ^[3]공리라고 불리는 집합론의 일반적인 공리 중 하나이다.

어원학

이 단어의 어원은 라틴어 "equal", "like", "comparable", "simplicious"에서 유래한 것으로, "equal", "level", "fair", "just"에서 유래했다.

기본 속성

이러한 마지막 세 가지 특성은 동등성을 동등성 관계로 만듭니다.그것들은 원래 자연수에 대한 페아노 공리에 포함되어 있었다.대칭 및 전이 특성은 종종 기본 속성으로 보여지지만, 대체 및 반사 특성으로부터 추론할 수 있다.

술어로서의 평등

A와 B가 완전히 지정되지 않았거나 일부 변수에 종속되어 있는 경우 등식은 제안이며, 일부 값에서는 참이고 다른 값에서는 거짓일 수 있습니다.평등은 인수로부터 진실값(거짓 또는 참)을 생성할 수 있는 이진 관계(즉, 두 개의 인수 술어)입니다.컴퓨터 프로그래밍에서 두 식에서 계산되는 것을 비교라고 합니다.

아이덴티티

A와 B를 일부 변수의 함수로 볼 수 있을 때, A = B는 A와 B가 동일한 함수를 정의한다는 것을 의미한다.이러한 기능의 동일성을 동일성이라고 부르기도 합니다.예를 들어${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle 2}$x + ${\displaystyle 1}$.$$\ $displaystyle \$ left ($x$ +$1$ \$right$ ) \$left$ ($x$ +$1$ \ $right$ ) =$x^{2}$ + $2x +$$1$ 입니다.} ${\displaystyle \mathrm{가끔<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash left(x+1\backslash right)\backslash left(x+1\backslash right)=x^\{2\}+2x+1.\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/020af575ae05a41115a6085b2b9a1664f49e43b7"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:30.135ex;\; height:3.176ex;">}}$ (${\displaystyle x}$ +${\displaystyle }$1) ${\displaystyle (\mathrm{x}}$+ 1) ($x$ + 1)${\displaystyle {}^{}x}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ 2 +${\displaystyle }$2 x${\displaystyle \mathrm{}}$+$$1 . \$displaystyle$ \$left ( x$+ 1 \ right ) \ $left$ ( x +$1$\ right ) \ $equiv$x {$2$+$2x$+ 1${\displaystyle }$。$}$

방정식

방정식은 지정된 등식이 참인 미지 변수라고 불리는 일부 변수의 값을 찾는 문제입니다."등식"이라는 용어는 관심 있는 변수의 값에 대해서만 만족하는 평등 관계를 나타낼 수도 있다.예를 들어 x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 $=$ {\$displaystyle$ x$^{2}+y^{2}=1$}은 단위 원의 방정식입니다.

방정식을 등식 또는 등식 관계의 다른 용도와 구별하는 표준 표기법은 없습니다. 표현과 문맥의 의미로부터 적절한 해석을 추측해야 합니다.특정 도메인 내의 모든 변수 값에 대해 동일성이 참이라고 주장됩니다."등식"은 때때로 항등식을 의미할 수 있지만, 대개 변수 공간의 부분 집합을 방정식이 참인 부분 집합으로 지정합니다.

근사 등식

평등의 개념이 없는 논리체계가 있다.이는 정수, 기본 산술 연산, 로그 및 지수 함수를 포함하는 공식에 의해 정의된 두 실수의 동일성의 결정 불가능성을 반영합니다.즉, 이러한 동등성을 결정하는 알고리즘은 존재할 수 없습니다.

2진수 관계(기호${\$ { $displaystyle$\ $about$로 표시됨)는 더 정확하게 정의되더라도 추이적이지 않습니다(많은 작은 차이가 더 큰 것이 될 수 있기 때문입니다).하지만, 거의 모든 곳에서 평등은 과도적이다.

시험 대상 문제의 동일성은 δ 기호를 사용하여 나타낼 수 있다.

등가, 합치 및 동형과의 관계

관계로 볼 때, 평등은 집합에서의 동등성 관계의 보다 일반적인 개념의 원형이다: 반사적이고 대칭적이며 전이적인 이진 관계.항등관계는 등가관계입니다.반대로 R을 등가관계로 하고 x R z와 같은 모든 요소 z로 이루어진 x의 등가 클래스를 x로^R 나타내자.그러면 x R y 관계가 x^R = y와^R 같습니다.따라서 동등성은 모든 집합 S에서 가장 작은 동등성 클래스를 갖는 관계라는 점에서 가장 미세한 동등성 관계입니다(모든 클래스는 단일 요소로 감소합니다).

어떤 맥락에서 평등은 등가나 ^[5]동형사상과 뚜렷이 구별된다.예를 들어, 분수와 유리수를 구별할 수 있으며, 분수의 등가 클래스는 분수로 구분됩니다. $분수{\displaystyle \mathrm{}}$1/$(표시$ 스타일 1$/2$)와 2$(표시 스타일 2$/4$)$는 분수로 구분되지만(다른 기호 문자열로서) 같은 유리수(숫자 줄의 같은 점)를 "표시"합니다.이 구별은 지수 집합의 개념을 낳는다.

마찬가지로 세트는

$}$$A}},{\text{$$B}},{\text{$$C}}\}$ 및$$${\displaystyle }${${\displaystyle 1,2}$, 3$}({displaystyle \$1$, 2,$ 3$\})$

는 균등한 집합이 아닙니다.첫 번째 집합은 문자로 구성되어 있는 반면 두 번째 집합은 숫자로 구성되어 있습니다.다만, 이 두 집합은 모두 3개의 요소로 구성되어 있기 때문에, 동형이며, 그 사이에 분사가 있는 것을 의미합니다.예를들면

$디스플레이 스타일A}}\mapsto1,{\text{B}}\mapsto 2, {\text {C}}\mapto 3.}$

그러나, 동형의 다른 선택들이 있다.

$디스플레이 스타일A}}\mapsto 3, {\text{B}}\mapsto 2, {\text {C}}\mapsto 1,}$

이러한 세트는 이러한 선택을 하지 않으면 식별할 수 없습니다. 즉, "식별 선택에 따라 결정"되는 문장이어야 합니다.평등과 동형사이의 이러한 구분은 범주 이론에서 근본적으로 중요하며 범주 이론의 발전을 위한 하나의 동기이다.

어떤 경우에는 고려 중인 특성과 구조에 대해서만 동등한 두 개의 수학적 객체를 동일하게 간주할 수 있다.단어 일치(및 관련 기호 "\$displaystyle\cong$는 이러한 종류의 평등에 자주 사용되며 객체 간의 동형성 클래스의 몫 집합으로 정의됩니다.예를 들어 기하학에서 하나의 기하학적 형상이 다른 형상과 일치하도록 움직일 수 있을 때 2개의 기하학적 형상이 같거나 일치한다고 하며, 등/일치 관계는 형상 간의 등형성 클래스이다.집합의 동형사상과 유사하게, 성질과 구조를 가진 이러한 수학적 객체들 사이의 동형사상과 동일성/일치성의 차이는 호모토피 유형 이론과 일가의 기초뿐만 아니라 범주 이론의 발전을 위한 하나의 동기였다.

논리적 정의

라이프니츠는 평등의 개념을 다음과 같이 특징지었다.

임의의 x와 y가 주어졌을 때, x = 임의의 술어 P가 주어졌을 때, P(x)가 P(y)인 경우에만 y이다.

집합론에서의 등식

집합의 평등은 집합론에서 두 가지 다른 방식으로 공리화되는데, 공리는 1차 언어에 기초하는지 여부에 따라 달라집니다.

1차 논리와 동등성을 바탕으로 동등성 설정

등식을 갖는 1차 논리에서는 확장성의 공리는 동일한 요소를 포함하는 두 집합이 동일한 ^[6]집합임을 나타냅니다.

• 논리 공리: x = y ⇒ z , z, (z x x ⇔ z ∈ y)
• 논리 공리: x = y ⇒ z , z, (x y z z y z z)
• 설정 이론 공리: (θz, (z x x z z y y) x x = y

작업의 절반을 1차 논리에 통합하는 것은 Levy가 지적한 바와 같이 단순한 편의상의 문제로 간주될 수 있다.

"우리가 평등과 함께 1차 술어 미적분을 채택하는 이유는 편리성의 문제이기 때문입니다. 이를 통해 우리는 평등을 정의하고 그 모든 속성을 증명하는 노력을 덜 수 있습니다. 이 부담은 이제 ^[7]논리에 의해 가정됩니다."

등식이 없는 1차 논리에 따라 등식 설정

동일하지 않은 1차 논리에서는 두 집합이 동일한 요소를 포함하는 경우 동일하도록 정의됩니다.확장성의 공리는 두 개의 동일한 집합이 동일한 집합에 ^[8]포함된다는 것입니다.

• 집합 이론 정의: "x = y"는 "z", (z x x z z y y)를 의미합니다.
• 설정 이론 공리: x = y ⇒ z z, (x ∈ z y y z z)

「 」를 참조해 주세요.

• 확장 기능
• 호모토피형 이론
• 불평등
• 수학 기호 목록
• 논리적 평등
• 비례성(수학)

메모들

레퍼런스

외부 링크

• "Equality axioms", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]