원통대수학

수학에서 알프레드 타르스키가 발명한 원통형 대수학의 개념은 평등을 가진 1차 논리학의 대수화에서 자연스럽게 생겨난다.이것은 부울 알헤브라가 명제적 논리를 위해 하는 역할과 견줄 만하다.원통형 알헤브라는 정량화와 평등을 모델링하는 추가적인 원통형 알헤브라를 갖춘 부울 알헤브라스다.그들은 후자가 평등을 모델로 하지 않는다는 점에서 폴리아디드 알헤브라와 다르다.null

원통형 대수학 정의

치수의 원통 대수 α{\displaystyle \alpha}(어디 α{\displaystyle \alpha}은 번호 순서)는 대수적 구조(A,+, ⋅, −, 0,1, cκ, dκ λ)κ,λ<>α{\displaystyle(A,+,\cdot ,-,0,1,c_{\kappa},d_{\kappa \lambda})_{\kappa ,\lambda<>\alpha}} 같은(A,+,.⋅, −${\displaystyle (A,+,\cdot ,-,0,1)}$ is a Boolean algebra, ${\displaystyle c_{\kappa }}$ a unary operator on ${\displaystyle A}$ for every ${\displaystyle \kappa }$ (called a cylindrification), and ${\displaystyle d_{\kappa \lambda }}$ a distinguished element of ${\displaystyle A}$모든 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$ 및$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }($대각선이라고 함)에 대해 다음과 같이 보류한다.

(C1) c ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle 0}$= 0 ${\displaystyle c_{\kappa }0=0}$

(C2) x ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ x$\leq c_{\cappa }x}$

($C3$) c ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$⋅$$ ${\displaystyle {}_{}}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ c ${\displaystyle y_{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$ { { { { { { ${$ { { { { { { { { { { { {($x\cdot c_{\kappa }y)=c_{\cappa }$

(C4) c ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{\cappa }c_{\lambda }x=c_{\lambda }c_${\c_${\cappa }x}$

$($C5) d ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d_{\kappa \kappa }=1$}

(C6) If ${\displaystyle \kappa \notin \{\lambda ,\mu \}}$, then ${\displaystyle d_{\lambda \mu }=c_{\kappa }(d_{\lambda \kappa }\cdot d_{\kappa \mu })}$

(C7) If ${\displaystyle \kappa \neq \lambda }$, then ${\displaystyle c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot x)\cdot c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot -x)=0}$

함수 기호가 없는 1차 로직을 제시한다고 가정할 때 $연산자{\displaystyle {}_{}}$ c ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle c_{\$$cappa$}$x}$는 변수 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한 실존적 정량화를 $모델화$하고 $연산자{\displaystyle {}_{}}$ d d ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$은 v의 동일성을 모델한다$$.$display$ {\displaystyle \$kappa$$$} $display$ {\displaystyle \$lambda$}. 따라서 이 공리는 다음과 같이 판독된다.

(C1) ∃ ${\displaystyle \kappa \mathit{}.}$ ${\displaystyle \mathit{f}}$ a s ${\displaystyle \mathit{e}}$ ${\displaystyle ⟺}$ ${\displaystyle \mathit{f}}$ ${\displaystyle \mathit{e}}$ ${\$${\mathit {false}\iff {\mathit {false}}$

(C2) x ${\displaystyle ⟹}$ ${\displaystyle \exists \mathrm{}\kappa }$ . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\implies \exists \kappa .x}$

(${\displaystyle \mathrm{C3}}$) ∃ ${\displaystyle \exists }$ . ( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$∃ . ${\displaystyle y}$)${\displaystyle ⟺}$ ( ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle .}$ . ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \{}$( { \${\displaystyle \kappa }$. ${$ ) \$displaystyle \exists \kappa .y)\iff (\exists \cappa .x)\wedge (exists$ \exists $\kappa.$

(C4) ∃ ∃ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mathrm{.}}$. . ${\displaystyle x\mathrm{}\lambda }$ ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ . . .${\displaystyle }${ { { { { { {$display$ \\\\$exists \lambda .x\f \exists \lambda \exists \kappa$ .$x}$

(C5) κ${\displaystyle }$=${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle t\mathit{}}$ t ${\displaystyle \mathit{u}}$ u u ${\displaystyle \mathit{u}}$ u u u u ${\displaystyle \mathit{u}}$ \ \ $\$ \$displaystyle \cappa =\kappa \iff {\mathit {true}}}}$

(C6) If ${\displaystyle \kappa }$ is a variable different from both ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle \mu }$, then ${\displaystyle \lambda =\mu \iff \exists \kappa .(\lambda =\kappa \wedge \kappa =\mu )}$

(C7) If ${\displaystyle \kappa }$ and ${\displaystyle \lambda }$ are different variables, then ${\displaystyle \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge x)\wedge \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge \neg x)\iff {\mathit {false}}}$

원통형 세트 알헤브라스

치수 α{\displaystyle \alpha}의 원통 집합 대수는 대수 구조(A, ∪, ∩, −, ∅, Xα, cκ, dκ λ)κ,λ<>α{\displaystyle(A,\cup ,\cap ,-,\emptyset ,X^{\alpha},c_{\kappa},d_{\kappa \lambda})_{\kappa ,\lambda<>\alpha}}가⟨ Xα, A⟩{\displaystyle \langle. X^{\al$pha },A\rangle }$ is a field of sets, ${\displaystyle c_{\kappa }S}$ is given by ${\displaystyle \{y\in X^{\alpha }\mid \exists x\in S\ \forall \beta \neq \kappa \ y(\beta )=x(\beta )\}}$, and ${\displaystyle d_{\kappa \lambda }}$ is given by ${\displaystyle \{x\in X^{}}$α ∣)(κ)))(λ)}{\displaystyle\와 같이{x\in X^{\alpha}\mid x(\kappa)=x(\lambda)\}}그것은 필연적으로 가장 공리 C1–C7 원통 대수의 유효한 것으로, ∪과{\displaystyle \cup}보완을 대신 +{+\displaystyle},∩{\displaystyle \cap}대신⋅{\displaystyle \cdot}, 보완, e. .[1]mpty가 0으로, $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ X$^{\alpha }}$ 단위로$$, $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq$}이$$(가) 아닌 $display$ {\$displaystyle$ \subseteq $}$로 설정$.$ 집합 X를 base라고 한다.null

원통형 대수의 표현은 그 대수에서 원통형 집합 대수까지의 이형성이다.모든 원통형 대수학이 원통형 집합 대수로서 대표성을 갖는 것은 아니다.^{[2][example needed]}원통형 집합 대수학에서 1차 서술형 논리의 의미학을 연결하는 것이 더 쉽다. (자세한 내용은 § 추가 판독 참조)null

일반화

원통형 알헤브라는 많은 종류의 논리(칼리로와 곤살베스 2006)의 경우에 일반화되어 1차 공식과 용어 사이의 이중성을 더 잘 모델링할 수 있게 되었다.null

모나치 부울 대수와의 관계

$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha =$1$}$및$$ $\kappa {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle$ $\$$kappa ,\$$lambda$ $}}$이(가) 0으로 제한되면$$, $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\$$displaysty c_{\$$displaystysty$ \$exists$이 되고, 대각은 제외될 수 있으며, 다음과 같은 정리(핀터 1973).null

${\displaystyle c_{\kappa }(x+y)=c_{\kappa }x+c_{\kappa }y}$

공리가 되다

$\displaystyle \cHB(x+y)=\cHB x+\cHB y}$

모나치 부울 대수의공리(C4)가 중퇴(tautology)가 된다.따라서 단일 부울대수는 원통형 대수를 하나의 변수 사례로 제한하는 것으로 볼 수 있다.null

참고 항목

• 추상 대수 논리학
• 람다 미적분 및 결합 논리—정량화 모델링 및 변수 제거에 대한 기타 접근법
• 하이퍼돔은 원통형 알헤브라의 범주형 공식이다.
• 관계 알헤브라스(RA)
• 폴리아디치 대수
• 원통대수분해

메모들

참조

• Charles Pinter (1973). "A Simple Algebra of First Order Logic". Notre Dame Journal of Formal Logic. XIV: 361–366.
• 레온 헨킨, J. 도날드 몽크, 알프레드 타르스키(1971) 원통형 알제브라스, 제1부.노스홀랜드.ISBN 978-0-7204-2043-2
• 레온 헨킨, J. 도날드 몽크, 알프레드 타르스키(1985) 원통형 알제브라스, 파트 2노스홀랜드.
• 로빈 허쉬와 이안 호드킨슨 (2002) 게임에 의한 관계 알헤브라스 논리학과 수학의 기초, 노스홀랜드
• Carlos Caleiro, Ricardo Gonçalves (2006). "On the algebraization of many-sorted logics" (PDF). In J. Fiadeiro and P.-Y. Schobbens (ed.). Proc. 18th int. conf. on Recent trends in algebraic development techniques (WADT). LNCS. Vol. 4409. Springer. pp. 21–36. ISBN 978-3-540-71997-7.

추가 읽기

• Imieliński, T.; Lipski, W. (1984). "The relational model of data and cylindric algebras". Journal of Computer and System Sciences. 28: 80–102. doi:10.1016/0022-0000(84)90077-1.

외부 링크

• planetmath.org에서 CWoo에 의한 원통형 대수 예제