수학적 오류

수학에서, 수학적 오류라고 불리는 개념의 삽화로서 어떤 종류의 잘못된 증거가 종종 제시되고, 때로는 수집된다.증명에 있어서의 단순한 실수와 수학적 오류의 구별이 있다.증거에서의 실수가 무효한 증명으로 이어지는 반면, 수학적 오류의 가장 잘 알려진 예에서는 증거의 제시에서 은폐 또는 기만의 요소가 있다.

예를 들어, 유효성이 실패하는 이유는 대수 표기법에 의해 숨겨진 0으로 나눗셈하기 때문일 수 있다.수학적 오류에는 특정한 특성이 있다: 전형적으로 제시된 것처럼, 그것은 불합리한 결과를 초래할 뿐만 아니라 교활하거나 영리한 ^[1]방법으로 그렇게 한다.그러므로, 교육학적 이유로, 이러한 오류들은 보통 명백한 모순의 가짜 증거의 형태를 취한다.증거는 결함이 있지만, 오류는 일반적으로 설계에 의해 비교적 미묘하거나 특정 단계가 조건부이며 규칙의 예외인 경우에는 적용되지 않음을 보여주기 위해 설계됩니다.

수학적 오류를 나타내는 전통적인 방법은 유효한 단계와 혼합된 잘못된 추론 단계를 제공하는 것입니다. 그래서 오류의 의미는 논리적 오류와 약간 다릅니다.후자는 일반적으로 논리의 유효한 추론 규칙을 따르지 않는 논쟁 형식에 적용되는 반면, 문제가 되는 수학적 단계는 일반적으로 암묵적인 잘못된 가정에 적용되는 올바른 규칙이다.교육학을 넘어, 오류의 해결은 주제에 대한 더 깊은 통찰로 이어질 수 있습니다. (예를 들어, 그래프 이론의 오색 정리인 유클리드 ^[2]기하학의 파쉬 공리의 도입).유클리드가 ^[3]잃어버린 가짜 증거의 고대 서적인 유사리아를 만들었다.

수학적 오류는 수학의 많은 분야에 존재한다.초등 대수학에서 전형적인 예는 0으로 나눗셈을 수행하는 단계, 루트가 잘못 추출되는 단계, 또는 보다 일반적으로는 다중값 함수의 다른 값이 동일해지는 단계를 포함할 수 있다.잘 알려진 오류는 또한 초등 유클리드 기하학과 ^[4][5]미적분에도 존재한다.

하울러

잘못된 추론 행에 의해 도출된 수학적으로 올바른 결과의 예가 존재합니다.그러한 주장은 결론이 아무리 사실로 보이더라도 수학적으로 무효이며 일반적으로 하울러로 알려져 있다.다음으로 비정상적인 취소를 수반하는 하울러의 예를 나타냅니다.

여기, 비록 결론은16/64 = 1/4이 맞습니다. 중간 ^{[note 1]}단계에서 잘못된 취소가 있습니다.고함소리의 또 다른 고전적인 예는 특성 다항식의 스칼라 변수를 행렬로 간단히 대체함으로써 케일리-해밀턴 정리를 증명하는 것이다.

맥스웰은 잘못된 논리나 연산에도 불구하고 정확한 결과를 도출하기 위해 만들어진 가짜 증명, 계산 또는 추리를 "고함"이라고 불렀다.^[2]수학 분야 밖에서는 하울러라는 용어는 다양한 의미를 가지며, 일반적으로 덜 구체적이다.

0으로 나누기

0에 의한 나눗셈 오류는 많은 변형을 가지고 있다.다음 예제에서는 0으로 위장한 나눗셈을 사용하여 2 = 1인 "나눗셈"을 사용하지만, 임의의 숫자가 다른 숫자와 같다는 것을 증명하도록 수정할 수 있습니다.

1. a와 b를 0이 아닌 양으로 하자.

   ${\displaystyle a=b}$

2. a를 곱하다

   ${\displaystyle a^{2}=ab}$

3. b를² 빼다

   ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}$

4. 양쪽 요인: 왼쪽 요인은 제곱의 차이로, 오른쪽 요인은 두 항에서 b를 추출하여 인수분해합니다.

   ${\displaystyle (a-b)(a+b)=b(a-b)}$

5. 나누기(a - b)

   ${\displaystyle a+b=b}$

6. a = b인 것을 관찰한다.

   ${\displaystyle b+b=b}$

7. 왼쪽의 유사항 결합

   ${\displaystyle 2b=b}$

8. 0이 아닌 b로 나누다

   ${\displaystyle 2=1}$

Q.E.D.^[6]

오류는 5행에 있습니다. 4행에서 5행으로의 진행은 a - b로 나눗셈을 수반합니다. a = b 이후로는 0입니다.0으로 나누기가 정의되어 있지 않기 때문에 인수는 유효하지 않습니다.

분석.

변화와 한계에 대한 수학적 연구로서의 수학적 분석은, 적분과 미분의 특성이 무시되면 수학적 오류를 초래할 수 있습니다.예를 들어, 부품별 적분을 단순하게 사용하면 0 =^[7] 1이라는 잘못된 증거를 제시할 수 있습니다. u = 1/log x 및 dv = dx/x라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle\int {x,\log x},flac=1+\int {x,\log x},flac}$

그 후, 반파생물은 0 = 1로 상쇄될 수 있다.문제는 반파생물은 상수까지만 정의되며 1 또는 실제로 임의의 수만큼 이동할 수 있다는 것입니다.임의의 적분 한계 a와 b를 도입하면, 에러가 밝혀집니다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x,\log x}}{{a}{b}{\frac {1}{x,\log x}}{b}{\frac = 0+\int _{a}{b}{\frac {x}{x}{\log x}{b},\int x}{a}{\frac int int}{a}{a}{a}{a}}_}{a}$

상수 함수의 두 값 사이의 차이가 사라지기 때문에 방정식의 양쪽에 동일한 유한 적분이 나타납니다.

다중값 함수

많은 함수에는 고유한 역이 없습니다.예를 들어, 숫자의 제곱은 고유한 값을 제공하지만, 양수의 제곱근은 두 개일 수 있습니다.제곱근은 다중값입니다.하나의 값을 주 값으로 선택할 수 있습니다. 제곱근의 경우, 음이 아닌 값이 주 값이지만, 숫자의 제곱근의 주 값으로 주어진 제곱근이 원래 숫자와 같다는 보장은 없습니다(예를 들어 -2의 제곱근은 2).이것은 n번째 루트에 대해서도 마찬가지입니다.

양근과 음근

등식의 양변 제곱근을 구할 때는 주의해야 한다.그렇지 않으면 5 = 4의 "증명"이^[8] 됩니다.

실증:

시작점

${\displaystyle -20=-20}$

이것을 다음과 같이 써 주세요.

${\displaystyle 25-45=16-36}$

로 고쳐 쓰다

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}$

양쪽에 81/4을 추가합니다.

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}$

완벽한 정사각형입니다.

$\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^2}$

양변의 제곱근을 구합니다.

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}$

양쪽에 9/2를 추가합니다.

${\displaystyle 5=4}$

Q.E.D.

오류는 마지막 줄의 두 번째 줄에 있습니다. 여기서² a² = b는 a와 b의 부호가 같을 경우에만 a = b를 의미하지만 여기서는 그렇지 않습니다.이 경우, 이는 a = – b를 의미하므로 방정식은 다음과 같아야 한다.

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)}$

이 값은 양쪽에 9/2를 더하면 5 = 5로 올바르게 감소합니다.

방정식의 양쪽 제곱근을 취하는 것의 위험을 보여주는 또 다른 예는 다음과 같은 기본적인^[9] 동일성을 포함한다.

$\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}$

그것은 피타고라스 정리의 결과로 유지된다.그리고 제곱근을 취함으로써

${\displaystyle \cos x=snarrt {1-\sin ^{2}x}}$

x = ,일 때 이 값을 평가하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle-1=syslogrt {1-0}}$

또는

${\displaystyle-1=1}$

틀렸습니다.

이 예들의 오류는 기본적으로 어떤 형태의 방정식이든

${\displaystyle x^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \S }$ 0$(\displaystyle$ a$\neq$ 0$)$에는 다음 두 가지 솔루션이 있습니다.

${\displaystyle x=\pm a}$

그리고 이들 솔루션 중 어떤 것이 ^[10]당면한 문제와 관련이 있는지 확인하는 것이 중요합니다.위의 오류에서 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식에서 추론할 수 있도록 한 제곱근은 cos x가 양수일 때만 유효합니다.특히 x가 θ로 설정되어 있으면 제2방정식은 무효가 된다.

음수의 제곱근

파워와 루트를 이용하는 잘못된 증명은 다음과 같은 경우가 많습니다.

${\displaystyle 1=sqrt {1}}=sqrt {(-1)(-1)}=sqrt {-1}{\sqrt {-1}=i\cdot i=-1.}$

이 오류는 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{규칙}}}$ x ${\displaystyle y\sqrt{}}$ $=$ y({$displaystyle {xy$}=\$displayrt {x}}{\displayrt {y}})$는 일반적으로 ^[11]x$({$$displaystyle$$$x})와 y$(실수$ 처리 시) 중 $적어도{\displaystyle }$ 하나가 음수가 아닌 경우에만 유효하다는 것입니다.

또는 가상 루트는 다음과 같이 난독화됩니다.

${{displaystyle i=paramrt {-1}=\left frac {2}{4}=\left(\left faram1\right)^{2}\right)^{\frac {1}=1^{1}{4}=1}$

여기서의 오류는 ${\displaystyle {규칙}^{}}$ a ${\displaystyle b^{}}$ c$=$ (${\displaystyle {}^{}{}^a}$) ${\displaystyle c^{}}$ {\$displaystyle a$^{bc}=($a^{b})$와 같이 세 번째 등식에 있습니다.$^{c}}$은(는) 양의 실수 a와 실수 b, c에만 적용됩니다.

복소 지수

숫자를 복소수 거듭제곱으로 올리면 결과가 고유하게 정의되지 않습니다(검정력 및 로그 ID의 고장 참조).이 속성이 인식되지 않으면 다음과 같은 오류가 발생할 수 있습니다.

${\displaystyle {\pii} e^{2\pii}&=1\left(e^{2\piii}\오른쪽)^{i}&=1^{i}\e^{-2\pi}&=1\end{aligned}}$

여기서 오류는 세 번째 라인으로 갈 때처럼 지수를 곱하는 규칙이 양쪽을 모두 제곱 i에 넣을 때 주 값만 선택되더라도 복잡한 지수에 대해서는 수정되지 않은 채 적용된다는 것입니다.다중값 함수로 처리되면 양쪽에서 동일한 값 집합 {e^2πn n n }. }. }. }이 생성됩니다.

기하학.

기하학의 많은 수학적 오류는 유효한 항등식(예를 들어 주어진 선을 따라 벡터를 추가하거나 평면에서 방향 각도를 추가하는 것)에 관련된 가법적 등식을 사용하는 것으로부터 발생하지만, 이는 이러한 양의 절대값만을 고정시킨다.그리고 이 양을 잘못된 방향의 방정식에 포함시켜 불합리한 결론을 도출한다.이러한 잘못된 방향은 보통 상황의 부정확한 도표를 제공함으로써 암묵적으로 제시되며, 여기서 점이나 선의 상대적인 위치는 주장의 가설에서는 실제로 불가능하지만 명백하지 않은 방식으로 선택된다.

일반적으로 이러한 오류는 주어진 도표와 일부 상대적 위치가 다른 상황을 정확하게 그려냄으로써 쉽게 드러난다.이러한 오류를 피하기 위해 거리 또는 각도의 덧셈 또는 뺄셈을 사용하는 올바른 기하학적 인수는 항상 양이 올바른 방향으로 통합되고 있음을 증명해야 한다.

이등변 삼각형의 오류

이등변 삼각형의 오류는 (Maxwell 1959, 제2장, § 1) 모든 삼각형이 이등변이며, 이는 삼각형의 두 변이 일치한다는 것을 의미한다.이 오류는 루이스 캐롤에게 알려졌고 그에 의해 발견되었을지도 모른다.그것은 ^[12][13]1899년에 출판되었다.

삼각형 △CJB가 주어지면 AB = AC:

1. A를 이등분하는 선을 그어라.
2. 점 D에서 BC를 이등분하는 세그먼트 BC의 수직 이등분선을 그립니다.
3. 이 두 선이 점 O에서 만나도록 합시다.
4. AB에 수직인 선 또는 AB에 수직인 선, AC에 수직인 선 OQ를 그립니다.
5. OB와 OC를 그립니다.
6. AAS별로 △RAO ≅ △QAO (orORA = oOQA = 90°)ra RAO = q QAO 、 AO = AO (공통측).
7. RHS ^{[note 2]}기준, △ROB △ △QOC (θBRO = θCQO = 90°)BO = OC(사용 중), RO = OQ(다리).
8. 따라서 AR = AQ, RB = QC, AB = AR + RB = AQ + QC = AC이다.

Q.E.D.

결론적으로 AB = BC 및 AC = BC를 같은 방식으로 나타내면 모든 삼각형이 등변임을 보여줄 수 있다.

증명서의 오류는 점 O가 삼각형 안에 있다는 다이어그램의 가정입니다.실제로, O는 항상 △δ의 원주 위에 있습니다(AO와 OD가 일치하는 이등변 삼각형 및 등변 삼각형 제외).또한 AB가 AC보다 길면 R은 AB 내에 있고 Q는 AC 외부에 있고 그 반대도 마찬가지라는 것을 알 수 있다(실제로 충분히 정확한 기기로 그려진 다이어그램은 위의 두 가지 사실을 검증한다).따라서 AB는 여전히 AR + RB이지만 AC는 실제로 AQ - QC이므로 길이가 반드시 동일하지는 않다.

인덕션에 의한 증명

기본 케이스 또는 유도 단계 중 하나가 올바르지 않은 유도에 의한 잘못된 증거가 몇 가지 있습니다.직관적으로 귀납에 의한 증명은 어떤 경우에 진술이 참이면 다음 경우에 참이고, 따라서 이를 반복 적용함으로써 모든 경우에 참임을 증명할 수 있다.다음 "증명"은 모든 말이 같은 ^{[14][note 3]}색깔이라는 것을 보여준다.

1. N개의 말들은 모두 같은 색깔이라고 합시다.
2. 말 한 마리를 그룹에서 제거하면 같은 색의 N - 1마리 그룹이 됩니다.말을 한 마리 더 추가하면 N마리 그룹이 하나 더 생기게 됩니다.이전의 가정으로는, 이 새로운 그룹의 말은 모두 같은 색을 띠고 있습니다. 왜냐하면 N마리의 말들이 모여 있기 때문입니다.
3. 따라서 N - 1마리는 공통으로 모두 같은 색깔의 N마 두 그룹을 구성했습니다.이 두 그룹은 공통의 말을 가지고 있기 때문에, 두 그룹은 서로 같은 색깔을 가지고 있어야 한다.
4. 따라서 사용된 말들을 모두 합치면 N+1마리의 같은 색깔의 말들이 있습니다.
5. 따라서 N마 모두 같은 색이면 N마 + 1마도 같은 색입니다.
6. 이는 N = 1에 대해 명백하게 적용된다(즉, 말 한 마리는 모든 말의 색깔이 같은 그룹이다).따라서 유도에 따라 N 말은 모든 양의 정수 N에 대해 동일한 색이다. 즉, 모든 말은 동일한 색이다.

이 증명의 오류는 3행에서 발생합니다.N = 1의 경우, 두 말 그룹의 공통점은 N - 1 = 0 말이며, 따라서 서로 색깔이 같을 필요는 없으므로 N + 1 = 2 말 그룹의 색이 모두 동일한 것은 아니다."모든 N마리의 색이 같으면 N + 1마리의 색이 같다"는 의미는 모든 N> 1에 적용되지만, N = 1일 때는 해당되지 않는다.기본 대소문자는 맞지만 유도 단계에는 근본적인 결함이 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 비정상적인 취소 – 산술 오류의 종류
• 0으로 나누기 – 수식의 클래스
• 불완전한 증거 목록
• 수학적 일치 – 수학의 일치
• 패러독스 – 명백히 모순되는 진술
• 협박에 의한 증명– 주장을 명백하거나 사소한 것으로 표시

메모들

레퍼런스

외부 링크

• Cut-the-knot에서의 잘못된 교정(문헌 참조 포함)
• 토론이 있는 고전적인 오류
• AhaJokes.com에서 더 많은 잘못된 증명
• 잘못된 증거를 포함한 수학 농담