정량자 제거

양자화 제거는 수리 논리, 모델 이론 및 이론 컴퓨터 과학에서 사용되는 단순화의 개념입니다.비공식적으로 "x${\displaystyle \mathrm{}}$ ($x)$ (${\displaystyle x}$) ($x$) $(\backslash {\displaystyle }$displaystyle $\exists$ x$)$ $(\$displaystyle $\ldots$ (\displaystyle \ldots )" (\$displaystyle \ldots$ $)"{\displaystyle }$ (\displaystyle x$)$ (\$displaystyle$ \ldots$?)$ (\dots?)$$ (\displaystyle x가$$ $있는{\displaystyle }$ 경우$)$ (\dots?) (\dots?) (\displaystyle x가 있는 경우)^[1]로 표시됩니다.

수식을 분류하는 한 가지 방법은 수량화입니다.정량자 교대의 깊이가 낮은 공식은 보다 단순한 공식으로 간주되며, 정량자 없는 공식은 가장 단순한 공식으로 간주됩니다.이론은 모든$공식α$에 대해 $다른{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {공식\alpha }_{}}$ Q$$ \$displaystyle \alpha$$$_${Q$}가$$존재하는 경우 양자화 소거를 갖는다.F$}}$에 해당하는 정량자가 없는 경우(이 이론의 모듈화).

예

고등학교 수학의 한 예는 단변수 2차 다항식의 판별식이 ^[1]음이 아닌 경우에만 실수 근을 갖는다고 말합니다.

$\displaystyle \mathbb {R} . ( a \ neq 0 \ displaystyle 0 \ bx + c = 0 ) \ \ Long left arrow \ a \ neq 0 \ neq 0 \ b^ { 2 }-4ac \ geq 0 }$

여기서 왼쪽 문장은 수량자${\displaystyle \mathrm{}\delta }$ X${\displaystyle \delta \mathbb{}}$ R$$\ $displaystyle$\ $exists$x \$in$ \ $mathbb { R$ $\}$ 를 포함하지만 오른쪽 문장은 포함하지 않습니다.

이론의 결정할 수 있는 기호 제거를 사용하여 보여 왔다 예로는 Presburger arithmetic,[2][3][4][5][6]대수적으로 닫혀 필드, 정말 fields,[6]을 닫[7]atomless 부울 algebras, 용어 algebras, 빽빽한 선형 orders,[6]abelian groups,[8]무작위로 그래프, 뿐만 아니라 가 대통령으로와 부울 논리 연산 대수와 같은 조합을 많이 사용한다.버거 산술, 임기큐가 있는 대수학

순서 가법군으로서의 실수의 이론에 대한 양자화 소거제는 푸리에-모츠킨 소거이며, 실수의 장 이론의 경우 타르스키-세이덴베르크 정리이다.^[6]

양자화 제거는 "결합" 결정 가능한 이론이 새로운 결정 가능한 이론으로 이어진다는 것을 보여주기 위해서도 사용될 수 있다.

알고리즘과 결정 가능성

이론이 양자화 소거를 갖는 경우, 다음과 같은 특정 질문을 제기할 수 있습니다.$각{\displaystyle }$α에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ Q F$(\$$displaystyle \alpha$ _${QF$$\})$를 $결정$하는 방법이 있습니까? 이러한 방법이 있다면 정량자 제거 알고리즘이라고 합니다.만약 그러한 알고리즘이 존재한다면, 이론의 결정 가능성은 양자화 없는 문장의 진실성을 결정하는 것으로 감소한다.양자화 없는 문장은 변수가 없기 때문에 주어진 이론에서 유효성을 계산할 수 있는 경우가 많아 양자화 제거 알고리즘을 사용하여 문장의 유효성을 결정할 수 있다.

관련 개념

다양한 모델 이론 아이디어는 정량화 제거와 관련이 있으며 다양한 동등한 조건이 있다.

양자화 소거가 있는 모든 1차 이론은 모델 완성입니다.반대로, 보편적 결과의 이론이 합병 특성을 갖는 모델-완전 이론은 양자화 ^[9]제거가 있다.

$T의$$$보편적 결과 이론의 모형은 정확히$T$의$$^[9]$모형{\displaystyle }$ 하위 구조이며, 선형 차수 이론은 수량화 제거가 없다.그러나 그것의 보편적 결과 이론은 합병 특성을 가지고 있다.

기본 아이디어

이론이 계량자 제거를 갖는다는 것을 건설적으로 보여주기 위해, 그것은 우리가 리터럴의 결합에 적용되는 실존적 계량자를 제거할 수 있다는 것을 보여주는 것으로 충분하다. 즉, 형식의 각 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle x.\bigwedge_{i=1}^{n}L_{i}$

$여기$서 각 $(\$는 리터럴이며, 정량자 없는 공식과 동일합니다.실제로, 우리가 리터럴의 결합에서 계량자를 제거하는 방법을 알고 있다고 가정하면$,$ F {\$displaystyle$ F$}$가 계량자 없는 $공식$이라면, 우리는 그것을 분리 정규 형식으로 쓸 수 있다.

${{displaystyle \bigvee _{j=1}^{m}\bigwedge _{i=1}^{n}L_{ij}}$

그리고 그 사실을 이용한다.

${\displaystyle x.\bigvee_{j=1}^{m}\bigwedge_{i=1}^{n}L_{ij}$

와 동등하다

${\displaystyle \bigvee _{j=1}^{m}\bigwedge _{i=1}^{n}L_{ij}.}$

마지막으로, 범용 수량자를 제거한다.

$(\displaystyle\forall x).F}$

$여기$서$$F(\$displaystyle$F)는$$ 정량자가 없는$$F$(\displaystyle\lnot$ F$)$를 분리 정규 형식으로 변환하고${\displaystyle \mathrm{}\theta }$x.$$F(\$displaystyle\forall$ x$)$라는 ${\displaystyle \mathrm{사실}}$을 사용합니다.F$}$는 $displaystyle\$$lnot x.\lnot$ F에 해당합니다.$}$

결정성과의 관계

초기 모델 이론에서, 정량자 제거는 다양한 이론이 결정성과 완전성과 같은 특성을 가지고 있다는 것을 증명하기 위해 사용되었다.일반적인 기법은 이론이 양자를 제거할 수 있다는 것을 먼저 보여주고 그 후에 양자가 없는 공식만을 고려함으로써 결정 가능성 또는 완전성을 증명하는 것이었다.이 기술은 프레스버거 산술이 결정 가능하다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다.

이론들은 결정될 수 있지만 수량자 제거를 인정하지 않는다.엄밀히 말하면, 가법 자연수의 이론은 정량자 제거를 인정하지 않았지만, 가법 자연수의 확장이 결정 가능한 것으로 나타났다.이론이 결정될 수 있고,^{[citation needed]} 유효한 공식의 언어가 계산될 수 있을 때마다, 계량자 제거를 위해 셀 수 있을 정도로 많은 관계를 가진 이론을 확장할 수 있다.

예:대수적으로 닫힌 필드 및 차등 닫힌 필드의 ^{[clarification needed]}Nullstellensatz입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 원통형 대수 분해
• 소거 이론
• 연결 제거

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