Page semi-protected

기하학.

Geometry
기타 용도는 지오메트리(동음이의)를 참조하십시오.
기하학.
Stereographic projection in 3D.svg
평면에 구면 투영
나뭇가지
  • 개념
  • 특징들
치수
제로차원
일차원
2차원
삼각형
평행사변형
사변형
원형
입체
4차원/기타차원
지오메트리
이름으로
기간별로
BCE
1 ~ 16 진수
1400~1960년대
1700~1960년대
현재
유클리드 및 사영기하학의 결과물인 데사르게의 정리에 대한 삽화

기하학(Geometria)은 산술적으로 수학에서 가장 오래된 분야 중 하나이다.그것은 [1]도형의 거리, 모양, 크기, 상대적인 위치와 같은 공간의 특성과 관련이 있다.기하학 분야에서 일하는 수학자는 지오미터라고 불린다.

19세기까지 기하학은 점, 선, 평면,[a] 거리, 각도, 표면, 곡선의 개념을 기본 [2]개념으로 포함하는 유클리드 기하학에 거의 전적으로 전념했다.

19세기 동안 몇 가지 발견들이 기하학의 범위를 극적으로 확장시켰다.그러한 발견들 중 가장 오래된 것은 표면의 가우스 곡률이 유클리드 공간의 어떤 특정한 내장으로부터도 독립적이라고 대략 주장하는 가우스의 이론마 에그리움이다.이것은 표면이 본질적으로, 즉 독립 공간으로서 연구될 수 있다는 것을 의미하며, 다양체와 리만 기하학의 이론으로 확장되었다.

19세기 후반, 평행공식이 없는 기하학은 어떠한 모순도 일으키지 않고 발전될 수 있는 것으로 보였다.일반 상대성 이론의 기초가 되는 기하학은 비유클리드 기하학의 유명한 응용 분야이다.

그 이후로 기하학의 범위가 크게 확장되었고, 그 장은 기본 방법인 미분 기하학, 대수 기하학, 계산 기하학, 대수 위상학, 이산 기하학(조합 기하학이라고도 함)에 의존하는 많은 하위 필드에서 분할되었습니다.또는 무시되는 유클리드 공간의 속성 - 점의 정렬만 고려하고 거리와 평행성은 고려하지 않는 투영 기하학, 각도 및 거리의 개념이 생략된 아핀 기하학, 연속성이 생략된 유한 기하학 등.

원래 물리적 세계를 모델링하기 위해 개발된 지오메트리는 거의 모든 과학 분야뿐만 아니라 [3]그래픽과 관련된 예술, 건축 및 기타 활동 분야에도 적용됩니다.기하학은 또한 명백히 관련이 없는 수학 영역에도 적용된다.예를 들어, 대수기하학의 방법들은 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 기초적이다. 페르마의 마지막 정리는 기초적인 산술로 기술되어 몇 세기 동안 해결되지 않은 문제였다.

역사

주요 기사:기하학의 역사
15세기에 기하학을 배운 유럽과 아랍인

기하학의 가장 이른 시작은 기원전 [4][5]2천년의 고대 메소포타미아와 이집트로 거슬러 올라갈 수 있다.초기 기하학은 길이, 각도, 면적, 부피와 관련하여 경험적으로 발견된 원리의 집합체로서, 측량, 건축, 천문학, 그리고 다양한 공예의 실제적인 요구를 충족시키기 위해 개발되었다.기하학에 대해 알려진 가장 초기의 문헌은 이집트의 린드 파피루스 (기원전 2000–1800년)와 모스크바 파피루스 (기원전 1890년) 그리고 플림프턴 322 (기원전 1900년)와 같은 바빌로니아의 점토판이다.예를 들어, 모스크바 파피루스는 잘린 피라미드, 즉 좌골의 [6]부피를 계산하는 공식을 제공합니다.이후의 점토판 (기원전 350-50년)은 바빌로니아의 천문학자들이 시간-속도 공간 내에서 목성의 위치와 움직임을 계산하기 위해 사다리꼴 절차를 실행했음을 보여준다.이 기하학적 절차들은 평균 속도 정리를 포함한 옥스퍼드 계산기들을 [7]14세기까지 앞섰다.이집트 남쪽의 고대 누비아인들은 태양시계의 [8][9]초기 버전을 포함한 기하학적 체계를 확립했다.

기원전 7세기에, 그리스 수학자 밀레투스의 탈레스는 피라미드의 높이와 해안으로부터의 배 거리 계산과 같은 문제들을 풀기 위해 기하학을 이용했다.그는 탈레스의 [10]정리에 네 가지 결과를 도출함으로써 기하학에 적용된 연역적 추론을 최초로 사용한 것으로 인정받고 있다.피타고라스는 피타고라스 학파를 설립했는데, 피타고라스 [11]정리의 진술은 긴 [12][13]역사를 가지고 있지만, 피타고라스 정리의 첫 번째 증거로 인정된다.에우독소스(기원전 408–c. 355년)는 곡선 [14]도형의 면적과 부피를 계산할 수 있는 탈진법을 개발했으며, 그뿐만 아니라 이후 기하학이 상당한 발전을 할 수 있게 한 비율 이론도 개발했다.기원전 300년경, 기하학은 유클리드에 의해 혁명되었는데, 유클리드의 원소는,[15] 역사상 가장 성공적이고 영향력 있는 교과서이며, 공리적인 방법을 통해 수학적 엄격함을 도입했고, 오늘날에도 여전히 수학에서 사용되는 정의, 공리, 정리, 그리고 증명에 대한 형식의 가장 초기 사례이다.엘리먼트의 내용은 대부분 이미 알려져 있었지만 유클리드는 그것들을 하나의 논리적인 [16]틀로 정리했다.원소는 20세기 중반까지 서양의 모든 교육받은 사람들에게 알려졌고 그 내용은 [17]오늘날에도 여전히 기하학 수업에서 가르치고 있다.시러큐스의 아르키메데스 (기원전 287년–212년)는 무한 급수의 합으로 포물선의 호 아래 면적을 계산하기 위해 소진 방법을 사용했고,[18] 놀라울 정도로 정확한 파이 근사치를 제공했습니다.그는 또한 그의 이름이 새겨진 소용돌이를 연구했고 회전면의 부피에 대한 공식을 얻었다.

기하학을 가르치는 여자.유클리드의 원소 중세 번역의 첫머리 그림(1310년경).

인도 수학자들 또한 기하학에 많은 중요한 기여를 했다.사타파타 브라흐마나(기원전 3세기)는 술바 수트라와 [19]유사한 의례적인 기하학적 구조에 대한 규칙을 포함하고 있다.(Hayashi 2005, p.363)에 따르면, 울바 수트라스에는 "구 바빌로니아인들에게 이미 알려져 있었지만, 세계에서 가장 오래된 피타고라스 정리의 언어적 표현"이 포함되어 있다.그것들은 디오판토스 [21]방정식의 특별한 경우인 피타고라스 세 [20]배의 목록을 포함합니다.Bakhshali 원고에는 기하학적 문제(불규칙한 고체의 부피에 관한 문제 포함)가 몇 가지 있다.Bakhshali 필사본은 또한 [22]"0에 대해 점이 있는 소수 자릿수 값 체계를 사용한다."Aryabhata의 Aryabhatiya(499)에는 영역과 부피의 계산이 포함되어 있습니다.브라마굽타는 628년에 그의 천문학적인 작품인 브라흐마 스푸아 싯단타를 썼다.제12장은 66개의 산스크리트 시로 구성되어 있는데, "기본 연산"(입방근, 분수, 비율, 물물교환 포함)과 "실용 수학"(혼합, 수학 급수, 평면 형상, 벽돌 쌓기, 목재 톱질, [23]곡물 쌓기 포함)의 두 부분으로 나뉘었다.뒷부분에서, 그는 순환 사변형의 대각선에 대한 그의 유명한 정리를 말했다.12장은 또한 순환 사변형(헤론의 공식의 일반화)의 영역에 대한 공식과 합리적인 삼각형(즉, 합리적인 변과 합리적인 [23]영역을 가진 삼각형)에 대한 완전한 설명을 포함했다.

중세 이슬람의 수학은 기하학,[24][25] 특히 대수기하학의 발전에 기여했다.알-마하니 (b. 853)는 입방체를 [26]대수학상의 문제로 복제하는 것과 같은 기하학적 문제를 줄이는 아이디어를 생각해냈다.타비트 이븐 코라(836–901)는 기하학적 양의 비율에 적용되는 산술 연산을 다루었고 해석 [27]기하학의 발전에 기여했다.오마르 카이얌 (1048–1131)은 입방정식의 [28]기하학적 해법을 발견했다.람베르트 사변형과 사체리 사변형을 포함한 사변형에 대한 이븐 알-하이탐(알하젠), 오마르 카이얌, 나시르 알-딘 알-투시의 정리는 쌍곡 기하학의 초기 결과였고, 플레이페어 공리와 같은 그들의 대체 가설과 함께 이러한 작업의 발전에 상당한 영향을 미쳤다.위텔로 (1230년–1314년), 게르소니데스 (1288–1344년), 알폰소, 존 왈리스, 조반니 지롤라모 사체리를 [dubious – discuss][29]포함한 후기 유럽 기하학자들 사이의 이데아 기하학.

17세기 초에 기하학에 두 가지 중요한 발전이 있었다.첫 번째는 르네 데카르 (1596–1650)와 피에르 드 페르마 (1601–1665)[30]에 의해 해석 기하학, 즉 좌표와 방정식이 있는 기하학을 만든 것입니다.이것은 미적분학의 [31]발달과 물리학의 정밀한 양적 과학에 필요한 전조였다.이 시기의 두 번째 기하학적 발전은 지라르 드사르게 (1591–1661)[32]의 사영 기하학의 체계적 연구였다.투영 기하학은 특히 예술적 [33]관점과 관련된 투영 및 단면에서 변하지 않는 형상의 특성을 연구합니다.

19세기 기하학의 두 가지 발전은 이전에 [34]연구되어 왔던 방식을 바꾸었다.이것들은 니콜라이 이바노비치 로바체프스키, 야노스 볼야이, 칼 프리드리히 가우스의 비유클리드 기하학과 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램(유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 일반화한 것)의 중심 고려사항으로서의 대칭의 공식화였다.그 시대의 두 명의 거장 기하학자는 주로 수학적 해석의 도구로 작업하고 리만 표면을 소개한 베른하르트 리만(1826–1866)과 대수 위상의 창시자이자 동적 시스템의 기하학 이론의 창시자 앙리 푸앵카레였다.기하학의 개념에서 이러한 주요한 변화의 결과로, "공간"의 개념은 풍부하고 다양한 것이 되었고, 복잡한 분석과 고전 [35]역학만큼 다른 이론의 자연적인 배경이 되었다.

주요 개념

다음은 [2][36][37]기하학에서 가장 중요한 개념 중 몇 가지입니다.

악리

유클리드의 평행 가설에 대한 그림
다음 항목도 참조하십시오.유클리드 기하학과 공리

유클리드는 지금까지 쓰여진 [39]책들 중 가장 영향력 있는 책들 중 하나인 [38]그의 요소에서 기하학에 대한 추상적인 접근법을 취했습니다.유클리드는 점, 선, [40]평면의 일차적 또는 자명한 특성을 나타내는 특정한 공리 또는 공식을 도입했다.그는 수학적 추론을 통해 다른 성질을 엄격하게 추론했다.기하학에 대한 유클리드의 접근법의 특징은 엄격함이었고, 그것은 자명한 기하학 또는 합성 [41]기하학으로 알려지게 되었다.19세기가 시작될 때, 비유클리드 기하학적 구조의 니콜라이 이바노비치 로바쳅 스키(1792–1856), 헝가리의 수학자.(1802–1860), 카를 프리드리히 가우스(1777–1855)과 others[42]에 의해 발견 이 훈련에 관심이 되살아나 발생했고, 20세기에, 다비트 힐베르트 시도를 제공하기 위해서 고용된 공리적 추론(1862–1943)을 이끌었다. 를 m기하학의 [43]기초.

물건들

포인트

주요 기사 : 점 (기하학)

점은 일반적으로 빌딩 지오메트리의 기본 객체로 간주됩니다.그것들은 유클리드의 정의에서 [44]"부분이 없는 것"으로 정의되거나 합성 기하학에서와 같이 그들이 가져야 하는 특성에 의해 정의될 수 있다.현대 수학에서, 그것들은 일반적으로 공간이라고 불리는 집합의 요소로 정의되는데, 그 자체가 공리적으로 정의된다.

이러한 현대적인 정의에서 모든 기하학적 형상은 점의 집합으로 정의됩니다. 선이 통과하는 점의 집합으로 보이지 않는 또 다른 기본 객체인 합성 기하학에서는 그렇지 않습니다.

그러나 점이 원시 객체가 아니거나 점이 [45][46]없는 현대 기하학이 있습니다.가장 오래된 기하학 중 하나는 Alfred North Whitehead가 1919-1920년에 공식화한 Whitehead의 점 없는 기하학입니다.

줄들

주요 기사: 선(기하학)

유클리드는 선을 "빵이 없는 길이"[44]라고 묘사했는데, 이것은 "그 자체에 있는 점들에 대해 동등하게 놓여 있다"고 말했다.현대 수학에서, 다수의 기하학이 주어졌을 때, 선의 개념은 기하학이 묘사되는 방식과 밀접하게 연관되어 있다.예를 들어 해석기하학에서 평면의 선은 종종 좌표가 주어진 선형 [47]방정식을 만족하는 점들의 집합으로 정의되지만, 입사기하학과 같은 보다 추상적인 설정에서는 선은 그 [48]위에 놓여 있는 점들의 집합과 구별되는 독립 객체일 수 있다.미분기하학에서 측지선이란 곡선공간에 [49]대한 선 개념의 일반화이다.

평면

주요 기사: 평면(기하학)

유클리드 기하학에서 평면은 무한히 [44]뻗어나가는 평탄한 2차원 표면이다; 다른 유형의 기하학에 대한 정의는 그것의 일반화이다.평면은 지오메트리의 많은 영역에서 사용됩니다.예를 들어, 평면은 거리나 [50]각도에 관계 없이 위상 표면으로 연구될 수 있다; 공선성과 비율은 연구될 수 있지만 거리는 [51]연구될 수 없는 아핀 공간으로 연구될 수 있다; 복합 [52]분석 기법을 사용하여 복합 평면으로서 연구될 수 있다; 등.

각도

주요 기사:각도

유클리드는 평면 각도를 평면에서 서로 마주보고 서로 [44]일직선이 아닌 두 선의 기울기로 정의한다.현대 용어에서 각도는 각도의 변이라고 불리는 두 개의 광선에 의해 형성된 도형이며,[53] 각도의 정점이라고 불리는 공통의 끝점을 공유합니다.

예각(a), 둔각(b), 직선(c)이다.예각과 둔각은 경사각으로도 알려져 있다.

유클리드 기하학에서, 각도는 다각형과 삼각형을 연구하기 위해 사용될 뿐만 아니라 그들 자신의 [44]권리로 연구 대상을 형성하기 위해 사용된다.삼각형의 각도 또는 단위 원의 각도에 대한 연구는 삼각법의 [54]기초를 형성합니다.

미분기하학 및 미적분학에서는 [55][56]도함수를 사용하여 평면곡선 또는 공간곡선 또는 표면 사이의 각도를 계산할 수 있습니다.

곡선

주요 기사:곡선(기하학)

곡선은 직선일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있는 1차원 객체입니다. 2차원 공간의 곡선을 평면 곡선이라고 하고 3차원 공간의 곡선을 공간 [57]곡선이라고 합니다.

위상학에서 곡선은 실수의 간격에서 다른 [50]공간까지의 함수에 의해 정의된다.미분 기하학에서는 동일한 정의가 사용되지만, 정의 함수는 [59]1차원의 대수적 다양성으로 정의되는 미분 가능한 대수적 기하학 연구 대수적 곡선이 되어야 한다.

표면

주요 기사:표면(수학)
구면이란 파라메트릭(x = r sin ) cos , cos ) , y = r sin ) sin ) sin ) , z = r cos ) ) 또는 암묵적으로(x2 + y2 + z22 - r = 0) 정의할 수 있는 표면이다.

표면은 구체나 [60]포물체와 같은 2차원 물체이다.미분[58] 기하학 및 위상학에서 [50]표면은 각각 미분 형상 또는 동종 형상에 의해 조립되는 2차원 '패치'(또는 이웃)로 설명됩니다.대수기하학에서 표면은 다항식 [59]방정식으로 설명된다.

다지관

주요 기사:다지관

다양체는 곡선과 표면의 개념을 일반화한 것이다.위상학에서, 다양체는 모든 점이 유클리드 [50]공간과 동질적인 이웃을 갖는 위상 공간이다.미분 기하학에서, 미분 가능 다양체는 각 이웃이 유클리드 공간과 [58]미분 동형인 공간이다.

다양체는 일반 상대성 이론과 끈 [61]이론을 포함하여 물리학에서 광범위하게 사용됩니다.

길이, 면적 및 볼륨

주요 기사:길이, 면적 및 볼륨
다음 항목도 참조하십시오.영역 § 공식 목록 및 볼륨 volume 볼륨 공식

길이, 면적 및 볼륨은 각각 [62]1차원, 2차원 및 3차원으로 물체의 크기 또는 범위를 나타냅니다.

유클리드 기하학과 해석 기하학에서, 선분의 길이는 종종 피타고라스 [63]정리에 의해 계산될 수 있다.

면적과 부피는 길이와 분리된 기본 양으로 정의하거나 평면 또는 3차원 공간의 [62]길이로 설명 및 계산할 수 있습니다.수학자들은 면적에 대한 많은 명시적 공식과 다양한 기하학적 물체의 부피에 대한 공식들을 찾아냈다.미적분학에서, 면적과 부피는 리만[64] 적분이나 르베그 [65]적분과 같은 적분으로 정의될 수 있다.

측정 기준 및 측정 기준

주요 기사:미터법(수학) 및 측정법(수학)
(3, 4, 5) 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 육안 검사(기원전 500–200년)피타고라스 정리는 유클리드 측정법의 결과이다.

길이 또는 거리의 개념을 일반화할 수 있으며,[66] 이는 측정지표의 개념으로 이어진다.예를 들어, 유클리드 메트릭은 유클리드 평면에서 점 사이의 거리를 측정하는 반면, 쌍곡 메트릭은 쌍곡면에서의 거리를 측정합니다.측정지표의 다른 중요한 예로는 특수상대성이론의 로렌츠 측정지표와 일반상대성이론의 [67]반리만 측정지표가 있다.

다른 방향에서는 길이, 면적 및 부피의 개념이 세트에 크기 또는 측도를 할당하는 방법을 연구하는 측도 이론에 의해 확장되며, 측도는 고전적인 영역 및 [68]부피와 유사한 규칙을 따릅니다.

일치와 유사성

주요 기사:일치도(기하학) 및 유사도(기하학)

일치와 유사성은 두 도형이 유사한 [69]특성을 가질 때를 설명하는 개념입니다.유클리드 기하학에서, 유사성은 같은 모양을 가진 물체를 묘사하는 데 사용되는 반면, 합치는 크기와 [70]모양 모두 같은 물체를 묘사하는 데 사용됩니다.힐버트는 기하학을 위한 보다 엄격한 기초를 만드는 그의 연구에서 일치성을 공리에 의해 정의된 정의되지 않은 용어로 취급했다.

일치성과 유사성은 변환 기하학에서 일반화되어 있으며, 다른 종류의 [71]변환에 의해 보존되는 기하학적 객체의 특성을 연구합니다.

나침반 및 직선 구조

주요 기사:나침반 및 직선 구조

고전 기하학자들은 다른 방식으로 묘사된 기하학적 물체를 구성하는 데 특별한 주의를 기울였다.고전적으로, 대부분의 기하학적 구조에 사용되는 유일한 기구는 나침반과 직선 [b]모서리입니다.또한, 모든 공사는 제한된 수의 단계로 완료되어야 했습니다.그러나 이러한 방법만으로는 해결이 어렵거나 불가능한 문제가 발견되었고, Neusis, 포물선 등의 곡선 또는 기계장치를 이용한 기발한 구조물이 발견되었다.

치수

주요 기사:치수
프랙탈 치수=log4/log3, 위상 치수=1인 코흐 눈송이

전통적인 기하학이 1차원(직선), 2차원(평면), 3차원(3차원 공간으로 간주되는 우리의 주변 세계)을 허용했던 곳에서, 수학자들과 물리학자들은 거의 2세기 [72]동안 더 높은 차원을 사용해 왔다.고차원의 수학적 용도의 한 예는 시스템의 자유도와 동일한 차원을 갖는 물리적 시스템의 구성 공간입니다.예를 들어 나사 구성은 5개의 [73]좌표로 설명할 수 있습니다.

일반적인 위상에서 차원의 개념은 자연수에서 무한 차원(힐버트 공간 등)과 양의 실수(프랙탈 기하학)[74]로 확장되었습니다.대수기하학에서, 대수다양성의 차원은 명백하게 다른 많은 정의를 받아왔는데, 이것들은 가장 일반적인 [75]경우에서 모두 동일하다.

대칭

주요 기사:대칭
쌍곡면의 타일링

기하학에서 대칭의 주제는 기하학 자체의 [76]과학만큼이나 오래되었다.원, 정다각형, 플라톤 입체 같은 대칭 형태는 많은 고대 철학자들에게[77] 깊은 의미를 가지고 유클리드의 [40]시대 이전에 자세히 조사되었다.대칭 패턴은 자연에서 발생하며 레오나르도 다빈치, M. C. 에셔 등의 [78]그래픽을 포함한 다양한 형태로 예술적으로 그려졌습니다.19세기 후반에는 대칭과 기하학의 관계가 철저한 조사를 받았다.Felix Klein의 Erlangen 프로그램은 매우 정확한 의미에서 변환 그룹의 개념을 통해 표현된 대칭이 [79]기하학을 결정한다고 선언했습니다.고전 유클리드 기하학에서 대칭은 일치와 강성 운동으로 표현되는 반면, 투영 기하학에서는 직선을 [80]직선으로 만드는 기하학적 변환인 콜로네이션에 의해 유사한 역할을 한다.그러나 '대칭군을 통해 기하학을 정의한다'는 클라인의 생각이 영감을 [81]얻은 것은 볼야이와 로바체프스키, 리만, 클리포드와 클라인, 그리고 소퍼스 라이의 새로운 기하학에서였다.이산 대칭과 연속 대칭은 모두 기하학에서 중요한 역할을 하고, 전자는 위상 및 기하학적 군 [82][83]이론에서, 후자는 리 이론과 [84][85]리만 기하학에서 중요한 역할을 합니다.

다른 형태의 대칭은 투영 기하학에서의 이중성의 원리이다.이 메타현상은 대략 다음과 같이 설명할 수 있다: 어떤 정리에서도 평면과의 교환점, 만남과의 결합, 포함과의 결합, 그리고 그 결과는 동등하게 참인 [86]정리이다.벡터 공간과 그 이중 [87]공간 사이에는 유사하고 밀접하게 연관된 이중성의 형태가 존재한다.

현대 기하학

유클리드 기하학

주요 기사:유클리드 기하학

유클리드 기하학은 고전적인 [88]의미에서 기하학이다.물리 세계의 공간을 모델링하면서, 그것은 역학, 천문학, 결정학,[89] 그리고 공학,[90] 건축,[91] 측지학,[92] 공기역학,[93] [94]항해와 같은 많은 기술 분야에서 사용된다.대다수 국가의 필수 교육 커리큘럼은 점, 선, 평면, 각도, 삼각형, 일치, 유사성, 입체 도형, 원, 해석 [36]기하학과 같은 유클리드 개념의 연구를 포함한다.

미분 지오메트리

미분 기하학에서는 미적분의 도구를 사용하여 곡률 문제를 연구합니다.
주요 기사: 차동 기하학

미분 기하학은 기하학의 문제를 [95]연구하기 위해 미적분과 선형 대수의 기술을 사용한다.물리학,[96] 계량경제학,[97][98] 생물정보학 등에 응용되고 있다.

특히, 미분기하학은 우주가 [99]구부러져 있다는 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 가설 때문에 수학 물리학에서 중요하다.미분 기하학은 고유하거나(즉, 각 점 근처에서 거리가 어떻게 측정되는지를 결정하는 리만 메트릭에 의해 지배되는 기하학적 구조가 매끄러운 다양체라는 의미) 외적일 수 있다(연구 대상 물체는 주변 평평한 유클리드 공간의 [100]일부이다).

비유클리드 기하학

주요 기사: 비유클리드 기하학

유클리드 기하학은 연구된 기하학의 유일한 역사적 형태가 아니었다.구면 기하학은 천문학자들, 점성가들, 그리고 [101]항해자들에 의해 오랫동안 사용되어 왔다.

임마누엘 칸트는 절대 기하학이 하나밖에 없다고 주장했는데, 그것은 내면의 정신력에 의해 선험적으로 사실로 알려져 있다.유클리드 기하학은 선험적인 합성 기하학이었다.[102]이러한 견해는 처음에는 Saccheri와 같은 사상가들에 의해 다소 도전받았으나, 마침내 Bolyai, Lobachevsky, 그리고 [103]Gauss의 작품에서 비유클리드 기하학의 혁명적인 발견으로 뒤집혔다.그들은 평범한 유클리드 공간이 기하학의 발전을 위한 하나의 가능성일 뿐이라는 것을 증명했다.기하학의 주제에 대한 넓은 비전은 1867년 리만에 의해 그의 취임식 강연인 "위베르 다이 가설, Welche der Geometrie zu Grunde liegen" (기하학의 [104]기초에 관한 가설에 대하여)에서 표현되었다.리만의 우주에 대한 새로운 생각은 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 결정적으로 증명되었다.길이 개념이 정의된 매우 일반적인 공간을 고려하는 리만 기하학은 현대 [81]기하학의 주축이다.

토폴로지

주요 기사:토폴로지
삼엽매듭의 굵기

위상학은 연속 [105]매핑의 특성과 관련된 분야이며, 유클리드 [106]기하학의 일반화로 간주될 수 있다.실제로 토폴로지는 종종 연결성이나 [50]콤팩트성 등 공간의 대규모 속성을 다루는 것을 의미합니다.

20세기에 엄청난 발전을 보였던 위상학 분야는 기술적인 의미에서 변환 기하학의 한 종류이며 변환은 [107]동형사상입니다.이는 종종 '토폴로지는 고무 시트 기하학'이라는 속담의 형태로 표현되어 왔습니다.토폴로지의 하위 필드에는 기하학적 토폴로지, 미분 토폴로지, 대수적 토폴로지 및 일반 [108]토폴로지가 포함됩니다.

대수기하학

주요 기사:대수기하학
퀸틱 칼라비야우삼중

대수기하학 분야는 좌표의 [109]데카르트 기하학에서 발전했다.그것은 사영 기하학, 출산 기하학, 대수적 다양성, 그리고 [110]가환 대수의 생성과 연구와 함께 주기적인 성장기를 거쳤다.1950년대 후반부터 1970년대 중반까지 주로 장 피에르 세르와 알렉산더 그로텐디크의 [110]작품 덕분에 그것은 큰 기초적인 발전을 거쳤다.이것은 계획의 도입과 다양한 코호몰로지 이론을 포함한 위상학적 방법에 대한 강조로 이어졌다.밀레니엄상 7가지 문제 중 하나인 호지 추측은 대수기하학의 [111]문제이다.와일즈의 페르마의 마지막 정리 증명은 수론의 오랜 문제를 풀기 위해 고급 대수기하학 방법을 사용한다.

일반적으로 대수기하학은 다변량 [112]다항식과 같은 교환대수의 개념을 사용하여 기하학을 연구한다.암호학[113], 문자열 [114]이론 등 다양한 분야에서 응용되고 있습니다.

복잡한 지오메트리

주요 기사:복잡한 지오메트리

복합기하학에서는 복합평면을 모델로 하거나 [115][116][117]복합평면에서 발생하는 기하학적 구조의 특성을 연구합니다.복소기하학은 미분기하학, 대수기하학, 그리고 여러 복합변수의 분석의 교차점에 있으며 끈이론과 거울대칭에 [118]적용되어 왔다.

복잡한 기하학은 베른하르트 리만의 리만 [119][120][121]표면 연구에서 뚜렷한 연구 분야로 처음 나타났다.리만의 정신에 따른 연구는 1900년대 초 이탈리아 대수기하학파에 의해 수행되었다.복잡한 기하학의 현대적 처리는 장 피에르 세르의 작품에서 시작되었는데, 그는 단층의 개념을 주제에 도입했고, 복잡한 기하학과 [122][123]대수기하학 사이의 관계를 조명했다.복소 기하학에서 주된 연구 대상은 복소다양체, 복소 대수다양체, 복소해석다양체, 그리고 이들 공간에 걸친 정밀한 벡터다발과 시브이다.복잡한 기하학에서 연구된 공간의 특별한 예로는 리만 표면과 칼라비가 있다.야우 다양체, 그리고 이 공간들은 끈 이론에서 쓰입니다.특히, 끈의 월드쉐트는 리만 표면에 의해 모델링되며, 슈퍼스트링 이론은 10차원 시공간 6차원이 칼라비에 의해 모델링될 수 있다고 예측한다.야우다양체

이산 기하학

주요 기사:이산 기하학
이산 기하학에는 다양한 구면 패킹 연구가 포함됩니다.

이산기하학은 볼록기하학과 [124][125][126]밀접한 관련이 있는 과목이다.주로 점, 선 및 원과 같은 단순한 기하학적 물체의 상대적인 위치에 대한 질문과 관련이 있다.예로는 구체 패킹, 삼각 측량, 크네저-폴센 추측 등이 [127][128]있다.그것은 조합론과 많은 방법과 원리를 공유한다.

계산기하학

주요 기사:계산기하학

계산기하학은 기하학적 객체를 조작하기 위한 알고리즘과 그 구현을 다룬다.지금까지 중요한 문제에는 출장 세일즈맨 문제, 최소 스패닝 트리, 은선 삭제, 선형 프로그래밍 [129]등이 있었습니다.

기하학의 젊은 분야이지만, 컴퓨터 비전, 이미지 처리, 컴퓨터 지원 설계, 의료 이미징 [130]등에 많은 응용 분야를 가지고 있습니다.

기하학적 군론

주요 기사:기하학적 군론
두 생성기 a 및 b에 대한 자유 그룹의 케일리 그래프

기하학적 군론은 대규모 기하학적 기법을 사용하여 최종 생성된 [131]군을 연구합니다.그것은 그리고리 페렐만의 기하학 추측 증명과 같은 저차원 위상과 밀접하게 연결되어 있으며, 여기에는 밀레니엄 상 [132]문제인 푸앵카레 추측의 증거가 포함되어 있습니다.

기하학적 군 이론은 종종 군의 기하학적 표현인 케일리 그래프를 중심으로 돌아간다.다른 중요한 주제로는 준등각선, 그로모프-고혈압군, 직각 아르틴군이 [131][133]있다.

볼록 형상

주요 기사:볼록 형상

볼록 기하학은 유클리드 공간의 볼록한 모양과 더 추상적인 유추들을 조사하며, 종종 실해석과 이산 수학의 [134]기법을 사용한다.그것은 볼록 분석, 최적화 및 함수 분석과 밀접한 관련이 있으며 수 이론에서 중요한 응용 분야와 관련이 있다.

볼록한 기하학은 [134]고대로 거슬러 올라간다.아르키메데스는 볼록함에 대해 최초로 알려진 정확한 정의를 내렸다.볼록 기하학에서 반복되는 개념인 등간격 문제는 제노도로스를 포함한 그리스인들에 의해서도 연구되었다.아르키메데스, 플라톤, 유클리드, 그리고 나중에 케플러와 콕서터는 모두 볼록 폴리토피스와 그들의 성질을 연구했다.19세기부터 수학자들은 볼록체의 고차원 폴리토프, 볼록체의 부피와 표면적, 가우스 곡률, 알고리즘, 타일링, 격자를 포함한 볼록 수학의 다른 영역을 연구해 왔다.

적용들

지오메트리는 많은 분야에서 응용 프로그램을 발견했으며, 그 중 일부는 아래에 설명되어 있습니다.

예체능

주요 기사:수학과 미술
모로코 페스의 부 이나니아 마드라사, 정교한 기하학적 테셀레이션을 형성하는 젤리즈 모자이크 타일

수학과 미술은 다양한 방식으로 연관되어 있다.예를 들어, 원근법 이론은 기하학에는 단지 도형의 미터법 특성뿐만 아니라 더 많은 것이 있다는 것을 보여주었습니다. [135]원근법은 투영 기하학의 원점입니다.

예술가들은 오랫동안 디자인에서 비례 개념을 사용해 왔다.비트루비우스는 인간 [136]형상의 이상적인 비율에 대한 복잡한 이론을 발전시켰다.이 개념들은 미켈란젤로에서 현대 만화 [137]작가들에 이르기까지 사용되고 개작되어 왔다.

황금비율은 예술에서 논란이 되는 역할을 한 특별한 비율이다.미적으로 가장 즐거운 길이의 비율이라고 종종 주장되지만, 가장 신뢰할 수 있고 모호하지 않은 예는 이 [138]전설을 알고 있는 예술가들에 의해 의도적으로 만들어졌지만, 그것은 종종 유명한 예술 작품에 통합된다고 언급된다.

타일링 또는 테셀레이션은 역사를 통틀어 예술에 사용되어 왔다.이슬람 미술은 M. C.[139] 에셔의 미술처럼 테셀레이션을 자주 사용한다.에셔의 연구는 또한 쌍곡기하학을 이용했다.

세잔은 모든 이미지가 구체, 원뿔, 원통으로부터 만들어질 수 있다는 이론을 발전시켰다.비록 정확한 [140][141]모양 목록은 작가마다 다르지만, 이것은 오늘날에도 여전히 예술 이론에서 사용되고 있다.

건축

주요 기사:수학, 건축, 건축 기하학

기하학은 건축에 많은 응용 분야를 가지고 있다.사실 기하학이 건축 디자인의 [142][143]핵심이라고 알려져 왔다.건축에 대한 지오메트리의 적용에는 강제 [144]원근법을 만들기 위한 투영 지오메트리의 사용, 돔 및 유사한 [91]오브젝트의 건축에 원뿔 단면 사용, 테셀레이션의 [91]사용, [91]대칭의 사용이 포함됩니다.

물리

주요 기사:수리 물리학

천문학 분야는, 특히 천구상의 별과 행성의 위치를 매핑하고 천체의 움직임 사이의 관계를 설명하는 것과 관련하여,[145] 역사를 통틀어 기하학적 문제의 중요한 원천으로 작용해 왔다.

리만 기하학과 의사-리만 기하학은 일반 상대성 [146]이론에서 사용된다.끈 이론은 양자 정보 [148]이론처럼 [147]기하학의 여러 변형을 이용한다.

수학의 다른 분야

피타고라스인들은 삼각형의 변이 비교할 수 없는 길이를 가질 수 있다는 것을 발견했다.

미적분은 [30]기하학의 영향을 많이 받았다.예를 들어, 르네 데카르트에 의한 좌표의 도입과 대수의 동시 발전은 기하학의 새로운 단계를 의미했다. 왜냐하면 평면 곡선과 같은 기하학적 도형이 이제 함수와 방정식의 형태로 해석적으로 표현될 수 있었기 때문이다.이것은 17세기에 미적분학의 출현에 중요한 역할을 했다.해석기하학은 계산 전 및 미적분 [149][150]커리큘럼의 주축이 되고 있다.

응용의 또 다른 중요한 분야는 숫자 [151]이론이다.고대 그리스에서 피타고라스인들은 기하학에서 숫자의 역할을 고려했다.하지만, 반박할 수 없는 길이의 발견은 그들의 철학적 [152]관점과 모순되었다.19세기 이후 기하학은 수 이론의 문제를 해결하기 위해 사용되어 왔습니다. 예를 들어, 수의 기하학을 통해서나, 보다 최근에는 페르마의 마지막 [153]정리에 대한 와일스의 증명에 사용되는 체계 이론입니다.

「 」를 참조해 주세요.

리스트

관련 토픽

기타 필드

메모들

  1. ^ 19세기까지 기하학은 모든 기하학적 구조가 유클리드라는 가정에 의해 지배되었다.19세기 이후, 이것은 로바체프스키에 의한 쌍곡 기하학과 가우스와 다른 사람들에 의한 비유클리드 기하학의 발달에 의해 도전받았다.그리고 암묵적으로 비유클리드 기하학이 17세기 드사르게의 작업을 포함하여 고대부터 지구의 측지학을 이해하고 바다를 항해하기 위해 구면 기하학을 암묵적으로 사용한 것까지 역사 전반에 걸쳐 나타났다는 것을 깨달았다.
  2. ^ 고대 그리스인들은 다른 악기를 사용한 건축물을 가지고 있었다.
  1. ^ Vincenzo De Risi (2015). Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age. Birkhäuser. pp. 1–. ISBN 978-3-319-12102-4. Archived from the original on 20 February 2021. Retrieved 14 September 2019.
  2. ^ a b Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. p. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0.
  3. ^ Walter A. Meyer (2006). Geometry and Its Applications. Elsevier. ISBN 978-0-08-047803-6. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 14 September 2019.
  4. ^ J.Friberg, "바빌로니아 수학의 방법과 전통.플림프턴 322, 피타고라스 3배, 바빌로니아 삼각형 매개변수 방정식", Historia Mathematica, 8, 1981, 페이지 277–318.
  5. ^ 를 클릭합니다Neugebauer, Otto (1969) [1957]. "Chap. IV Egyptian Mathematics and Astronomy". The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Dover Publications. pp. 71–96. ISBN 978-0-486-22332-2. Archived from the original on 14 August 2020. Retrieved 27 February 2021..
  6. ^ (보이어 1991, "이집트" 페이지 19)
  7. ^ Ossendrijver, Mathieu (29 January 2016). "Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph". Science. 351 (6272): 482–484. Bibcode:2016Sci...351..482O. doi:10.1126/science.aad8085. PMID 26823423. S2CID 206644971.
  8. ^ Depuydt, Leo (1 January 1998). "Gnomons at Meroë and Early Trigonometry". The Journal of Egyptian Archaeology. 84: 171–180. doi:10.2307/3822211. JSTOR 3822211.
  9. ^ Slayman, Andrew (27 May 1998). "Neolithic Skywatchers". Archaeology Magazine Archive. Archived from the original on 5 June 2011. Retrieved 17 April 2011.
  10. ^ (보이어 1991, "이오니아와 피타고라스인" 페이지 43)
  11. ^ Eves, Howard, 수학사개론, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
  12. ^ Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.
  13. ^ James R. Choike (1980). "The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number". The Two-Year College Mathematics Journal.
  14. ^ (보이어 1991, "플라톤과 아리스토텔레스 시대" p.92)
  15. ^ (Boyer 1991, "알렉산드리아의 유클리드" 페이지 119)
  16. ^ (Boyer 1991, "알렉산드리아의 유클리드" 104페이지)
  17. ^ Howard Eves, An History of Mathematic, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141: "성경을 제외하고, 그 어떤 작품도 더 널리 사용되고 있지 않다…""
  18. ^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews. Archived from the original on 15 July 2007. Retrieved 7 August 2007.
  19. ^ Staal, Frits (1999). "Greek and Vedic Geometry". Journal of Indian Philosophy. 27 (1–2): 105–127. doi:10.1023/A:1004364417713. S2CID 170894641.
  20. ^ 피타고라스의 3배는( , 의 3배, c)})로, 2+ b c 2({ (, {2} + b^{2}2}}. 3 +4 5 2}= 5 }, 2 + 17 ^{2} , + 2 = 2 = {display style 12^{= 2= { 12 ^{352
  21. ^ (요리 2005, 페이지 198) "울바 수트라스의 산술 내용은 (3, 4, 5, 12, 13), (8, 15, 17) 및 (12, 35, 37)와 같은 피타고라스 3배를 구하는 규칙으로 구성되어 있다.이 산술 규칙들이 실제로 어떤 용도로 쓰였는지는 확실치 않다.가장 좋은 추측은 그들이 종교적 의식의 일부였다는 것이다.힌두교 가정은 세 개의 서로 다른 제단에서 세 개의 불을 피워야 했다.세 개의 제단은 모양이 달랐지만, 세 개의 제단은 모두 같은 면적을 가져야 했다.이러한 조건들은 특정한 "디오판틴" 문제를 야기했고, 특정한 경우는 하나의 제곱 정수를 다른 두 개의 합과 같게 만들기 위해 피타고라스 세 배의 생성이다.
  22. ^ (하야시 2005, 371페이지)
  23. ^ a b (하야시 2003, 페이지 121~122)
  24. ^ R. Rashed(1994), 아랍 수학의 발전: 산수와 대수 사이, 35페이지 런던
  25. ^ (보이어 1991, "아랍의 헤게모니" 페이지 241–242) "텐트 제작자인 오마르 카이얌 (1050–1123)은 알-크와리즈미의 수준을 넘어 3차 방정식을 포함하는 대수학을 썼습니다.그의 아랍의 전임자들처럼, 오마르 카이얌은 2차 방정식과 기하학 방정식 모두에 대해 제공했고, 일반 입방정식에 대해서는, 산술 해법이 불가능하다고 믿었기 때문에, 그는 기하학 해법만 제시했습니다.큐빅스를 풀기 위해 교차하는 원뿔을 사용하는 계획은 메네크무스, 아르키메데스, 그리고 알하잔에 의해 일찍이 사용되었지만, 오마르 카이얌은 모든 3차 방정식을 포함하기 위해 방법을 일반화하는 칭찬할 만한 단계를 밟았다.3보다 높은 차수의 방정식에 대해, Omar Khayam은 분명히 유사한 기하학적 방법을 상상하지 않았다. 왜냐하면 공간은 3차원 이상을 포함하지 않기 때문이다.아랍 절충주의의 가장 생산적인 기여 중 하나는 숫자와 기하학 대수 사이의 차이를 좁히는 경향이었다.이 방향의 결정적 단계는 데카르트와 함께 훨씬 늦게 왔지만, 오마르 카이얌은 그가 쓴 글에서 "대수가 미지의 것을 얻는 속임수라고 생각하는 사람은 그것을 헛되이 생각했다.대수학과 기하학이 외관상 다르다는 사실에 주의를 기울이지 말아야 한다.대수는 증명된 기하학적 사실이다."".
  26. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Al-Mahani". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
  27. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
  28. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Omar Khayyam". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
  29. ^ 보리스 A.로젠펠트와 아돌프 P.유슈케비치(1996), "기하학", Roshdi Rashed, ed., 아랍 과학사 백과사전 제2권, 페이지 447-494 [470], 루트리지, 런던 및 뉴욕:

    "이븐 알-하이탐, 카이얌, 그리고 알-투시라는 세 명의 과학자가 기하학의 이 분야에 가장 큰 공헌을 했고, 기하학의 중요성은 19세기에야 완전히 인식되었습니다.본질적으로, 그들이 고려했던 사각형들의 특성에 관한 그들의 명제는, 이 도형들의 일부 각도가 둔각이라고 가정했을 때, 쌍곡선과 타원 기하학의 처음 몇 개의 이론을 구체화했다.그들의 다른 제안들은 다양한 기하학적 진술이 유클리드 공식 V와 동등하다는 것을 보여주었다.이 학자들이 이 가설과 삼각형과 사각형의 각도의 합 사이에 상호 연관성을 확립하는 것은 매우 중요하다.평행선 이론에 대한 그들의 연구로 아랍 수학자들은 유럽 수학자들의 관련 연구에 직접적인 영향을 끼쳤다.13세기의 폴란드 과학자 비텔로가 이븐 알-헤이담의 광학책을 수정하면서 만든 평행선을 증명하려는 첫 번째 유럽인들의 시도는 의심의 여지 없이 아랍어 소식통에 의해 촉발되었다.14세기에 프랑스 남부에 살았던 유대인 학자 레비 벤 거슨과 위에서 언급한 스페인 출신의 알폰소가 제시한 증거들은 이븐 알-헤이담의 시위에 직접적으로 맞닿아 있다.이상, 우리는 Pseudo-Tusi의 Euclide Exposition이 J. Wallis와 G를 모두 자극했다는 것을 증명했다.평행선 이론에 대한 Saccheri의 연구"
  30. ^ a b Carl B. Boyer (2012). History of Analytic Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15451-0. Archived from the original on 26 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  31. ^ C.H. Edwards Jr. (2012). The Historical Development of the Calculus. Springer Science & Business Media. p. 95. ISBN 978-1-4612-6230-5. Archived from the original on 29 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  32. ^ Judith V. Field; Jeremy Gray (2012). The Geometrical Work of Girard Desargues. Springer Science & Business Media. p. 43. ISBN 978-1-4613-8692-6. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  33. ^ C. R. Wylie (2011). Introduction to Projective Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-14170-1. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  34. ^ Jeremy Gray (2011). Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-060-1. Archived from the original on 7 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  35. ^ Eduardo Bayro-Corrochano (2018). Geometric Algebra Applications Vol. I: Computer Vision, Graphics and Neurocomputing. Springer. p. 4. ISBN 978-3-319-74830-6. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  36. ^ a b 슈미트, W., Houang, R. 및 Cogan, L.(2002)."일관성 있는 커리큘럼"미국 교육자, 26(2), 1~18.
  37. ^ Morris Kline (1990). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3. US: Oxford University Press. pp. 1010–. ISBN 978-0-19-506137-6. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 14 September 2019.
  38. ^ Victor J. Katz (2000). Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Cambridge University Press. pp. 45–. ISBN 978-0-88385-163-0. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 14 September 2019.
  39. ^ David Berlinski (2014). The King of Infinite Space: Euclid and His Elements. Basic Books. ISBN 978-0-465-03863-3.
  40. ^ a b Robin Hartshorne (2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. pp. 29–. ISBN 978-0-387-22676-7. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 14 September 2019.
  41. ^ Pat Herbst; Taro Fujita; Stefan Halverscheid; Michael Weiss (2017). The Learning and Teaching of Geometry in Secondary Schools: A Modeling Perspective. Taylor & Francis. pp. 20–. ISBN 978-1-351-97353-3. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 14 September 2019.
  42. ^ I.M. Yaglom (2012). A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis: An Elementary Account of Galilean Geometry and the Galilean Principle of Relativity. Springer Science & Business Media. pp. 6–. ISBN 978-1-4612-6135-3. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 14 September 2019.
  43. ^ Audun Holme (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer Science & Business Media. pp. 254–. ISBN 978-3-642-14441-7. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 14 September 2019.
  44. ^ a b c d e 유클리드의 요소– 13권 모두 1권으로, 히스의 번역본, Green Lion Press ISBN 1-88009-18-7에 근거하고 있습니다.
  45. ^ Gerla, G. (1995). "Pointless Geometries" (PDF). In Buekenhout, F.; Kantor, W. (eds.). Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland. pp. 1015–1031. Archived from the original (PDF) on 17 July 2011.
  46. ^ Clark, Bowman L. (January 1985). "Individuals and Points". Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61–75. doi:10.1305/ndjfl/1093870761.
  47. ^ John Casey (1885). Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections.
  48. ^ Buekenhout, Francis(1995), 입사 기하학 핸드북: 건물과 기초, Elsevier B.V.
  49. ^ "geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary". OxfordDictionaries.com. Archived from the original on 15 July 2016. Retrieved 20 January 2016.
  50. ^ a b c d e 멍크레스, 제임스 R.토폴로지제2권어퍼 새들 리버: 프렌티스 홀, 2000년.
  51. ^ 쉬멜레프, 완다아핀에서 유클리드 기하학으로: 자명한 접근법입니다.스프링거, 1983년
  52. ^ 알포스, 라스 5세복소해석: 하나의 복소변수의 해석함수 이론에 대한 소개.뉴욕; 런던(1953년).
  53. ^ Sidorov, L.A. (2001) [1994]. "Angle". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
  54. ^ 겔판드, 이즈레일, 모이세비치, 그리고 마크 사울이요"트리고노메트리"삼각법Birkhauser Boston, 2001년 1~20세
  55. ^ Stewart, James(2012).미적분: Early Transceptentals, 7ed, Brooks Cole Cenge Learning.ISBN 978-0-538-49790-9
  56. ^ 를 클릭합니다Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42627-1..
  57. ^ 베이커, 헨리 프레데릭입니다기하학의 원리.Vol. 2. CUP 아카이브, 1954.
  58. ^ a b c Do Carmo, Manfredo Perdigao, Manfredo Perdigao Do Carmo.원곡선 및 지표면의 미분 지오메트리.제2권. Englewood Cliffs: 프렌티스홀, 1976년.
  59. ^ a b Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl 0945.14001.
  60. ^ 브릭스, 윌리엄 L., 라일 코크란 미적분"초기 초월체"ISBN 978-0-321-57056-7.
  61. ^ Yau, Sing-Tung; Nadis, Steve (2010).내부 공간의 형태: 끈 이론과 우주의 숨겨진 차원의 기하학.기본 서적ISBN 978-0-465-02023-2.
  62. ^ a b Steven A. Treese (2018). History and Measurement of the Base and Derived Units. Springer International Publishing. pp. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7. Archived from the original on 30 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  63. ^ James W. Cannon (2017). Geometry of Lengths, Areas, and Volumes. American Mathematical Soc. p. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5. Archived from the original on 31 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  64. ^ Gilbert Strang (1991). Calculus. SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  65. ^ H. S. Bear (2002). A Primer of Lebesgue Integration. Academic Press. ISBN 978-0-12-083971-1. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  66. ^ Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course of Metric Geometry, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
  67. ^ Wald, Robert M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
  68. ^ Terence Tao (2011). An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  69. ^ Shlomo Libeskind (2008). Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry. Jones & Bartlett Learning. p. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  70. ^ Mark A. Freitag (2013). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Cengage Learning. p. 614. ISBN 978-0-618-61008-2. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  71. ^ George E. Martin (2012). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5680-9. Archived from the original on 7 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  72. ^ Mark Blacklock (2018). The Emergence of the Fourth Dimension: Higher Spatial Thinking in the Fin de Siècle. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-875548-7. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  73. ^ Charles Jasper Joly (1895). Papers. The Academy. pp. 62–. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  74. ^ Roger Temam (2013). Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer Science & Business Media. p. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  75. ^ Bill Jacob; Tsit-Yuen Lam (1994). Recent Advances in Real Algebraic Geometry and Quadratic Forms: Proceedings of the RAGSQUAD Year, Berkeley, 1990–1991. American Mathematical Soc. p. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 18 September 2019.
  76. ^ Ian Stewart (2008). Why Beauty Is Truth: A History of Symmetry. Basic Books. p. 14. ISBN 978-0-465-08237-7. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  77. ^ Stakhov Alexey (2009). Mathematics Of Harmony: From Euclid To Contemporary Mathematics And Computer Science. World Scientific. p. 144. ISBN 978-981-4472-57-9. Archived from the original on 29 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  78. ^ Werner Hahn (1998). Symmetry as a Developmental Principle in Nature and Art. World Scientific. ISBN 978-981-02-2363-2. Archived from the original on 1 January 2020. Retrieved 23 September 2019.
  79. ^ Brian J. Cantwell (2002). Introduction to Symmetry Analysis. Cambridge University Press. p. 34. ISBN 978-1-139-43171-2. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  80. ^ B. Rosenfeld; Bill Wiebe (2013). Geometry of Lie Groups. Springer Science & Business Media. pp. 158ff. ISBN 978-1-4757-5325-7. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  81. ^ a b Peter Pesic (2007). Beyond Geometry: Classic Papers from Riemann to Einstein. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-45350-7. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 23 September 2019.
  82. ^ Michio Kaku (2012). Strings, Conformal Fields, and Topology: An Introduction. Springer Science & Business Media. p. 151. ISBN 978-1-4684-0397-8. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  83. ^ Mladen Bestvina; Michah Sageev; Karen Vogtmann (2014). Geometric Group Theory. American Mathematical Soc. p. 132. ISBN 978-1-4704-1227-2. Archived from the original on 29 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  84. ^ W-H. Steeb (1996). Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-503-4. Archived from the original on 26 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  85. ^ Charles W. Misner (2005). Directions in General Relativity: Volume 1: Proceedings of the 1993 International Symposium, Maryland: Papers in Honor of Charles Misner. Cambridge University Press. p. 272. ISBN 978-0-521-02139-5. Archived from the original on 26 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  86. ^ Linnaeus Wayland Dowling (1917). Projective Geometry. McGraw-Hill book Company, Incorporated. p. 10.
  87. ^ G. Gierz (2006). Bundles of Topological Vector Spaces and Their Duality. Springer. p. 252. ISBN 978-3-540-39437-2. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  88. ^ Robert E. Butts; J.R. Brown (2012). Constructivism and Science: Essays in Recent German Philosophy. Springer Science & Business Media. pp. 127–. ISBN 978-94-009-0959-5. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 20 September 2019.
  89. ^ Science. Moses King. 1886. pp. 181–. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 20 September 2019.
  90. ^ W. Abbot (2013). Practical Geometry and Engineering Graphics: A Textbook for Engineering and Other Students. Springer Science & Business Media. pp. 6–. ISBN 978-94-017-2742-6. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 20 September 2019.
  91. ^ a b c d George L. Hersey (2001). Architecture and Geometry in the Age of the Baroque. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-32783-9. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 20 September 2019.
  92. ^ P. Vanícek; E.J. Krakiwsky (2015). Geodesy: The Concepts. Elsevier. p. 23. ISBN 978-1-4832-9079-9. Archived from the original on 31 December 2019. Retrieved 20 September 2019.
  93. ^ Russell M. Cummings; Scott A. Morton; William H. Mason; David R. McDaniel (2015). Applied Computational Aerodynamics. Cambridge University Press. p. 449. ISBN 978-1-107-05374-8. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 20 September 2019.
  94. ^ Roy Williams (1998). Geometry of Navigation. Horwood Pub. ISBN 978-1-898563-46-4. Archived from the original on 7 December 2019. Retrieved 20 September 2019.
  95. ^ Gerard Walschap (2015). Multivariable Calculus and Differential Geometry. De Gruyter. ISBN 978-3-11-036954-0. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  96. ^ Harley Flanders (2012). Differential Forms with Applications to the Physical Sciences. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13961-6. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 23 September 2019.
  97. ^ Paul Marriott; Mark Salmon (2000). Applications of Differential Geometry to Econometrics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 23 September 2019.
  98. ^ Matthew He; Sergey Petoukhov (2011). Mathematics of Bioinformatics: Theory, Methods and Applications. John Wiley & Sons. p. 106. ISBN 978-1-118-09952-0. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  99. ^ P.A.M. Dirac (2016). General Theory of Relativity. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8419-3. Archived from the original on 26 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  100. ^ Nihat Ay; Jürgen Jost; Hông Vân Lê; Lorenz Schwachhöfer (2017). Information Geometry. Springer. p. 185. ISBN 978-3-319-56478-4. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  101. ^ Boris A. Rosenfeld (2012). A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-8680-1. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  102. ^ 클라인(1972) "고대에서 현대에 이르는 수학적 사고", 옥스포드 대학 출판부, 페이지 1032.칸트는 비유클리드 기하학의 논리적(분석적 선험적) 가능성을 거부하지 않았다. 제레미 그레이, "유클리드, 비유클리드, 그리고 상대론의 사상", 옥스포드, 1989; 페이지 85 참조.일부에서는, 이 점에 비추어, 칸트가 실제로 비유클리드 기하학의 발전을 예견했다고 암시하고 있다.레너드 넬슨, "철학과 공리학", 소크라테스식 방법과 비판 철학, 도버, 1965, 페이지 164.
  103. ^ Duncan M'Laren Young Sommerville (1919). Elements of Non-Euclidean Geometry ... Open Court. pp. 15ff. Archived from the original on 30 December 2019. Retrieved 23 September 2019.
  104. ^ "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Archived from the original on 18 March 2016.
  105. ^ Martin D. Crossley (2011). Essential Topology. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-782-7. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  106. ^ Charles Nash; Siddhartha Sen (1988). Topology and Geometry for Physicists. Elsevier. p. 1. ISBN 978-0-08-057085-3. Archived from the original on 26 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  107. ^ George E. Martin (1996). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90636-2. Archived from the original on 22 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  108. ^ J. P. May (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2. Archived from the original on 23 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  109. ^ The Encyclopedia Americana: A Universal Reference Library Comprising the Arts and Sciences, Literature, History, Biography, Geography, Commerce, Etc., of the World. Scientific American Compiling Department. 1905. pp. 489–. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  110. ^ a b Suzanne C. Dieudonne (1985). History Algebraic Geometry. CRC Press. ISBN 978-0-412-99371-8. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  111. ^ James Carlson; James A. Carlson; Arthur Jaffe; Andrew Wiles (2006). The Millennium Prize Problems. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3679-8. Archived from the original on 30 May 2016. Retrieved 24 September 2019.
  112. ^ Robin Hartshorne (2013). Algebraic Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  113. ^ Everett W. Howe; Kristin E. Lauter; Judy L. Walker (2017). Algebraic Geometry for Coding Theory and Cryptography: IPAM, Los Angeles, CA, February 2016. Springer. ISBN 978-3-319-63931-4. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  114. ^ Marcos Marino; Michael Thaddeus; Ravi Vakil (2008). Enumerative Invariants in Algebraic Geometry and String Theory: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, June 6–11, 2005. Springer. ISBN 978-3-540-79814-9. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 24 September 2019.
  115. ^ Huybrechts, D. (2006)복잡한 지오메트리: 도입부.Springer Science & Business 미디어.
  116. ^ 그리피스, P. & Harris, J. (2014년)대수기하학의 원리.John Wiley & Sons.
  117. ^ 웰스, R.O.N. 및 가르시아-프라다, O.(1980년)복잡한 다지관에 대한 미분 분석(Vol. 21980).뉴욕: 스프링거.
  118. ^ Hori, K., Thomas, R., Katz, S., Vafa, C., Pandharipande, R., Klem, A., ... & Zaslow, E. (2003)거울 대칭(Vol. 1)미국 수학 사회학.
  119. ^ Forster, O. (2012)리만 표면에 대한 강의(81권).Springer Science & Business 미디어.
  120. ^ 미란다, R. (1995년)대수 곡선 및 리만 표면(Vol. 5).미국 수학 사회학.
  121. ^ 도널드슨, S. (2011년)리만 표면옥스퍼드 대학 출판부
  122. ^ Serre, J. P. (1955)Faisceaux Algébriques 코헨트.수학 연보, 197~278.
  123. ^ Serre, J. P. (1956)Géométrie algébrique et Géométrie analytique.Annales de l'Institut Fourier (vol. 6, 페이지 1~42).
  124. ^ Jiří Matoušek (2013). Lectures on Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0039-7. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  125. ^ Chuanming Zong (2006). The Cube – A Window to Convex and Discrete Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85535-8. Archived from the original on 23 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  126. ^ Peter M. Gruber (2007). Convex and Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71133-9. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  127. ^ Satyan L. Devadoss; Joseph O'Rourke (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3898-1. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  128. ^ Károly Bezdek (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-0600-7. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  129. ^ Franco P. Preparata; Michael I. Shamos (2012). Computational Geometry: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1098-6. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  130. ^ Xianfeng David Gu; Shing-Tung Yau (2008). Computational Conformal Geometry. International Press. ISBN 978-1-57146-171-1. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  131. ^ a b Clara Löh (2017). Geometric Group Theory: An Introduction. Springer. ISBN 978-3-319-72254-2. Archived from the original on 29 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  132. ^ John Morgan; Gang Tian (2014). The Geometrization Conjecture. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5201-9. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  133. ^ Daniel T. Wise (2012). From Riches to Raags: 3-Manifolds, Right-Angled Artin Groups, and Cubical Geometry: 3-manifolds, Right-angled Artin Groups, and Cubical Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8800-1. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  134. ^ a b Gerard Meurant (2014). Handbook of Convex Geometry. Elsevier Science. ISBN 978-0-08-093439-6. Archived from the original on 1 September 2021. Retrieved 24 September 2019.
  135. ^ Jürgen Richter-Gebert (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1. Archived from the original on 29 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  136. ^ Kimberly Elam (2001). Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition. Princeton Architectural Press. ISBN 978-1-56898-249-6. Archived from the original on 31 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  137. ^ Brad J. Guigar (2004). The Everything Cartooning Book: Create Unique And Inspired Cartoons For Fun And Profit. Adams Media. pp. 82–. ISBN 978-1-4405-2305-2. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  138. ^ Mario Livio (2008). The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. Crown/Archetype. p. 166. ISBN 978-0-307-48552-6. Archived from the original on 30 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  139. ^ Michele Emmer; Doris Schattschneider (2007). M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration. Springer. p. 107. ISBN 978-3-540-28849-7. Archived from the original on 22 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  140. ^ Robert Capitolo; Ken Schwab (2004). Drawing Course 101. Sterling Publishing Company, Inc. p. 22. ISBN 978-1-4027-0383-6.
  141. ^ Phyllis Gelineau (2011). Integrating the Arts Across the Elementary School Curriculum. Cengage Learning. p. 55. ISBN 978-1-111-30126-2. Archived from the original on 7 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  142. ^ Cristiano Ceccato; Lars Hesselgren; Mark Pauly; Helmut Pottmann, Johannes Wallner (2016). Advances in Architectural Geometry 2010. Birkhäuser. p. 6. ISBN 978-3-99043-371-3. Archived from the original on 25 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  143. ^ Helmut Pottmann (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  144. ^ Marian Moffett; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse (2003). A World History of Architecture. Laurence King Publishing. p. 371. ISBN 978-1-85669-371-4. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  145. ^ Robin M. Green; Robin Michael Green (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. p. 1. ISBN 978-0-521-31779-5. Archived from the original on 21 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  146. ^ Dmitriĭ Vladimirovich Alekseevskiĭ (2008). Recent Developments in Pseudo-Riemannian Geometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-051-7. Archived from the original on 28 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  147. ^ Shing-Tung Yau; Steve Nadis (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02266-3. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  148. ^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC 1004572791.
  149. ^ Harley Flanders; Justin J. Price (2014). Calculus with Analytic Geometry. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6240-6. Archived from the original on 24 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  150. ^ Jon Rogawski; Colin Adams (2015). Calculus. W. H. Freeman. ISBN 978-1-4641-7499-5. Archived from the original on 1 January 2020. Retrieved 25 September 2019.
  151. ^ Álvaro Lozano-Robledo (2019). Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8. Archived from the original on 27 December 2019. Retrieved 25 September 2019.
  152. ^ Arturo Sangalli (2009). Pythagoras' Revenge: A Mathematical Mystery. Princeton University Press. p. 57. ISBN 978-0-691-04955-7.
  153. ^ Gary Cornell; Joseph H. Silverman; Glenn Stevens (2013). Modular Forms and Fermat's Last Theorem. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1974-3. Archived from the original on 30 December 2019. Retrieved 25 September 2019.

원천

추가 정보

외부 링크

Wikibooks의 자세한 내용은 다음과 같습니다.
라이브러리 리소스 정보
기하학.

"Geometry" . Encyclopædia Britannica. Vol. 11 (11th ed.). 1911. pp. 675–736.