접속성
Connectedness |
수학에서, 연결성은[1] 어떤 의미에서는 "모든 것이 한 조각"이라는 다양한 성질을 언급하기 위해 사용된다.수학적인 물체에 이러한 특성이 있을 경우, 우리는 그 물체는 연결되어 있다고 말하고, 그렇지 않을 경우 연결이 끊어집니다.분리된 객체를 자연스럽게 연결된 조각으로 분할할 수 있는 경우, 각 조각을 보통 구성 요소(또는 연결된 구성 요소)라고 합니다.
토폴로지의 접속성
위상공간은 2개의 분리된 비어 있지 않은 열린 [2]집합의 결합이 아닌 경우에 접속되어 있다고 한다.집합이 경계에 있는 점을 포함하지 않는 경우 집합은 열려 있습니다. 따라서 비공식적이고 직관적인 의미에서 공간을 분리된 열린 집합으로 분할할 수 있다는 사실은 두 집합 사이의 경계가 공간의 일부가 아니라는 것을 의미하며, 따라서 두 개의 개별 조각으로 분할됩니다.
연결성에 대한 기타 개념
수학 분야는 전형적으로 특별한 종류의 물체와 관련이 있다.종종 이러한 물체는 위상공간으로 간주될 때 연결된 공간이라고 한다.따라서 다지관, Lie 그룹 및 그래프는 모두 위상공간으로 연결되어 있고 그 성분이 위상성분인 경우 모두 연결됨이라고 불립니다.이러한 분야에서 연결성의 정의를 다시 기술하는 것이 편리할 수 있습니다.예를 들어 그래프 내의 각 정점 쌍이 경로로 결합되어 있는 경우 그래프는 연결되어 있다고 합니다.이 정의는 그래프에 적용된 것처럼 위상 정의와 동일하지만 그래프 이론의 맥락에서 다루기가 더 쉽습니다.그래프 이론은 또한 클러스터링 계수라고 불리는 연결성의 문맥 없는 척도를 제공합니다.
수학의 다른 분야는 위상공간으로 거의 여겨지지 않는 물체와 관련이 있다.그럼에도 불구하고, 연결성의 정의는 종종 어떤 방식으로든 위상적 의미를 반영한다.예를 들어 범주 이론에서 범주는 그 안에 있는 각 개체 쌍이 일련의 형태에 의해 결합되면 연결된다고 한다.따라서 직관적으로 범주가 모두 하나일 경우 범주는 연결됩니다.
직감적으로 비슷하지만 공식적으로 정의된 개념과 다른 연결성의 개념이 있을 수 있습니다.각 점 쌍이 경로로 결합되어 있는 경우 연결된 위상 공간을 호출할 수 있습니다.그러나 이 조건은 표준 토폴로지 연결성보다 강한 것으로 판명되었습니다.특히 이 속성이 유지되지 않는 연결된 토폴로지 공간이 있습니다.이 때문에, 다른 용어가 사용됩니다.이 속성을 가지는 공간은 패스 접속이라고 불립니다.연결된 모든 공간이 경로 연결되지는 않지만 경로 연결 공간은 모두 연결됩니다.
connected를 포함하는 용어는 connectness와 관련되어 있지만 명확하게 다른 속성에도 사용됩니다.예를 들어 경로 연결 토폴로지 공간은 각 루프(점에서 그 자체로의 경로)가 수축 가능한 경우, 즉 직감적으로 어떤 점에서 다른 점으로 가는 방법이 하나뿐인 경우 단순히 연결됩니다.따라서 구와 원반은 각각 단순하게 연결되어 있지만 토러스는 연결되어 있지 않습니다.또 다른 예로, 각 정점 쌍이 방향 경로(즉, "화살표를 따르는" 경로)에 의해 결합되는 경우 방향 그래프는 강하게 연결됩니다.
다른 개념은 객체가 연결되지 않는 방식을 나타냅니다.예를 들어, 각 구성요소가 단일 점일 경우 위상 공간의 연결이 완전히 끊어집니다.
접속성
연결성에 대한 개념에 기초한 속성 및 매개 변수에는 연결성이라는 단어가 사용되는 경우가 많습니다.예를 들어, 그래프 이론에서, 연결된 그래프는 우리가 [3]분리된 그래프를 만들기 위해 최소한 하나의 정점을 제거해야 하는 그래프이다.이를 인식하여 이러한 그래프는 1-연결이라고도 한다.마찬가지로 그래프에서 두 개 이상의 정점을 제거해야 끊어진 그래프를 만들 수 있는 경우 그래프는 2-연결됩니다.3개의 그래프를 연결하려면 적어도 3개의 정점을 제거해야 합니다.그래프의 연결성은 그래프의 연결을 끊기 위해 제거해야 하는 정점의 최소 수입니다.마찬가지로 그래프의 연결성은 그래프가 k-연결되는 최대 정수 k입니다.
용어는 다양하지만 연결성 관련 속성의 명사 형태는 연결성이라는 용어를 포함하는 경우가 많다.따라서 단순히 연결된 토폴로지 공간에 대해 논할 때 단순한 연결성보다 단순한 연결성에 대해 말하는 것이 훨씬 더 일반적입니다.한편, 공식적으로 정의된 연결 개념이 없는 필드에서는 이 단어가 연결성의 동의어로 사용될 수 있습니다.
다른 연결 예는 일반 타일링에서 찾을 수 있습니다.여기서 연결은 단일 타일로 액세스할 수 있는 네이버의 수를 나타냅니다.
「 」를 참조해 주세요.
레퍼런스
- ^ "the definition of connectedness". Dictionary.com. Retrieved 2016-06-15.
- ^ Munkres, James (2000). Topology. Pearson. p. 148. ISBN 978-0131816299.
- ^ Bondy, J.A.; Murty, U.S.R. (1976). Graph Theory and Applications. New York, NY: Elsevier Science Publishing Co. pp. 42. ISBN 0444194517.
