케일리 그래프

그래프 패밀리는 자기동형에 의해 정의됩니다.
거리 추이적	→	거리 규칙적인	←	매우 규칙적인
↓
대칭형(변환형)	←	t-transitive, t 2 2		비뚤어졌다
↓
(접속되어 있는 경우) 정점과 모서리-추이	→	엣지 전이 규칙적인 규칙적인	→	엣지 전이성
↓		↓		↓
정점 전이성의	→	규칙적인.	→	(양당인 경우) 복선
↑
케일리 그래프	←	무배출의		비대칭의

수학에서 케일리 그래프(Cayley color graph), 케일리 도표(Cayley diagraph), 그룹 도표(group diagraph), 또는 색상^[1] 그룹(color group)으로도 알려진 케일리 그래프는 그룹의 추상 구조를 인코딩하는 그래프입니다.이 정의는 케일리의 정리(Arthur Cayley의 이름을 따서 명명)에 의해 제안되며, 그룹에 대해 지정된 생성자 집합을 사용합니다.그것은 조합과 기하학적 그룹 이론의 중심 도구이다.케일리 그래프의 구조와 대칭성은 확장기 그래프 패밀리를 구성하는 데 특히 적합합니다.

정의.

G$(\displaystyle$ G$)$를 그룹, S$(\displaystyle$ S$)$를 G$(\displaystyle$$$G$)$의 $생성{\displaystyle }$ 세트라고 $합니다{\displaystyle }$.Cayley 그래프 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =\mathrm{\gamma }}$ （${\displaystyle G}$ ; ${\displaystyle S}$） \ $displaystyle$ \ Gamma = \$Gamma$( G ,$$S )는$$ ^[2]다음과 같이 구성된 엣지 컬러 그래프입니다.

• $G(\$$displaystyle{\displaystyle }$ G$)$의 각 요소 g$$$(\displaystyle$ g$)$에는 정점이 할당되어 있습니다.$(\displaystyle\Gamma)$의 정점 집합은${\displaystyle }$G$.(\displaystyle$ G$.)$로 식별됩니다.
• $S {\displaystyle$ S$}$의 각 $요소$에는 $색상{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}${\$displaystyle c_{s$가 할당됩니다.
• $모든{\displaystyle }$ g${\displaystyle g}$G \ $display style$g \ $in$G $s$ s$$\ $display style s$ \ $in$S${\displaystyle s}$ of $、$ g \ display $style$g to$$ ${\displaystyle \mathrm{the}}$ cor cor c $_${ $s$$$}${\displaystyle {색상}_{}}$의 엣지가 g\ $display$ $style$ gs$$에 $대응$하는 정점에서 g\ $display$ style$$gs에 대응합니다.

모든 소스가 S$(\$display $S)$에게 그룹을 생성하도록 $요구$하는 것은 아닙니다.S$(\displaystyle$ S$)$가$$G(\$displaystyle$ G$)$의 생성 세트가 아닌 $경우{\displaystyle }$$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Gamma)$는 연결이$$ 해제되고 연결된 각 컴포넌트는 S$(\displaystyle$ S$)$에 $의해{\displaystyle }$ 생성된 서브그룹의 코셋을 나타냅니다.

$S의$$$s({$displaystyle$$$S$})$가 자체 역,$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$, $displaystyle$ s$=s^{-1})$인 경우 일반적으로 무방향 모서리로 표시됩니다.

$집합{\displaystyle }$ S$(\displaystyle$ S$)$는 때때로 대칭이며($즉{\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {=}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{S}}^{}}$- 1(\$displaystyle S=S^{-1$ 그룹의 식별 요소를 포함하지 않는 것으로 가정된다.이 경우 색상 없는 케일리 그래프는 단순한 무방향 그래프로 나타낼 수 있습니다.

기하학적 군론에서 $집합{\displaystyle }$S(\$displaystyle$ S$)$는 종종 유한하다고 가정하며, 이는 $(\displaystyle \Gamma)$가 국소적으로 유한하다고 가정한다.

예

• G $=$ {\$style$ G=\$mathbb {Z}}$을(를) 무한 순환군이라고 가정하고 $집합{\displaystyle }$S {\$displaystyle$ S$}$를 표준 생성기 1과 그 역(가법 표기법에서는 -1)로 구성한다고 가정하면 케일리 그래프는 무한 경로이다.
• 마찬가지로 G $=$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ {\$displaystyle$ G=\$mathbb {Z} _{n$$}$이 $차수{\displaystyle }$n {\$displaystyle$ n$}$의 유한 순환군이고 집합 S$$${\displaystyle$ S$}$가 G$${\$displaystyle$ G$}$의 표준 생성기와 그 역수인 2개의 원소로 구성되어 $있다면{\displaystyle }$ 케일리 그래프는 $Cycle{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ n$${\$displaystyle$ C$}이상$이 된다.일반적으로 유한 순환 그룹의 케일리 그래프는 정확히 순환 그래프이다.
• 그룹의 직접곱(생성 집합으로 집합을 생성하는 데카르트곱 포함)의 케일리 그래프는 해당 케일리 ^[3]그래프의 데카르트곱이다.따라서 4개의 요소${\displaystyle (\pm 1}$, 0${\displaystyle ),}$ (${\displaystyle 0}$, $),$ ($0$ 1${\displaystyle }$)({displaystyle $(\pm$1.$0),$ ($0,\pm$1)로$$ 구성된 아벨 군 $(\$${Z$$}^{$$2$의 케일리 그래프는 $평면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $(\$의 무한 그리드입니다$.$× ${\displaystyle {}_{}}$ m$$\$displaystyle \mathbb {Z} _{n}\times$ \$mathbb {Z} _{m}$ 유사한$$ 생성기를 사용하는 케이리 그래프는 원환상의${\displaystyle }$n ×$$ \$displaystyle$ n$\times$ m$}$ $유한$ 그리드입니다${\displaystyle .}$

• 왼쪽에는 2개의 $(\displaystyle$ a$$$)$와$$b(\$displaystyle$ b$$$)$ 위의 ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$})의$$ 케일리 그래프가 표시되어 있습니다.빨간색 화살표는$a스타일$의$$$구성$을 나타냅니다$.b$는 자기$역방향$이므로$b스타일의 구성$을 나타내는 파란색 선은 무방향입니다$.$따라서 그래프는 8개의 꼭지점, 8개의 화살표 및 4개의 모서리가 있습니다.$그룹{\displaystyle {}_{}}$ $({$의 케일리 표는 그룹 프레젠테이션에서 파생할 수 있습니다.
  $$\displaystyle \b\mid a^{4}=b^{2}=e,ab=ba^{3}\rangle .}$$

  
  ${\displaystyle {오른쪽}_{}}$에 D4$({$의 $다른{\displaystyle {}_{}}$ 케이리 그래프가 표시됩니다.$({displaystyle$ b$})$는 수평 반사이며 파란색 선으로 $표시$되고 c$({displaystyle$c})는$$ 대각 반사이며 분홍색 선으로 표시됩니다.두 반사가 모두 자기 역방향이기 때문에 오른쪽의 케일리 그래프는 완전히 무방향입니다.이 그래프는 프레젠테이션에 해당합니다.
  $$(\displaystyle \c\mid b^{2}=c^{2}=e,bcb=cbcb\rangle .}$$

  
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$b$$- $}$ { $displaystyle$ S = \ {$a$ ,$b$ , $a$^ { - $1$} { $displaystyle$s = \ { a , b 、 b$^$ { - 1 } }에$$ 대응하는$$2개의 $발전기$에 대한 자유 그룹의 케일리 그래프는 기사 맨 위에 나타나 $, e-stylement$를 나타낸다.오른쪽 가장자리를 따라 이동하는 것은${\displaystyle }$a의 $오른쪽{\displaystyle }$ 곱셈$(\displaystyle$ a$,)$을 나타내며$$, 가장자리를 따라 위로 이동하는 것은${\displaystyle }b$의 곱셈(\$displaystyle$ b$.)$에 해당합니다. 자유 그룹은 관계가 없으므로 Cayley 그래프에는 사이클이 없습니다$.$이 케일리 그래프는 4정규 무한 나무이며 바나흐-타르스키 역설의 증거에 중요한 요소입니다.

• 이산 하이젠베르크 그룹의 케일리 그래프
  $$\displaystyle \left \{\begin{pmatrix}1&x&z\0&1&y\end{pmatrix},\x,y,z\in \mathbb {Z}\right\}$$

  
  오른쪽이 그려져 있습니다.그림에서 사용되는 제너레이터는 x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$(\$displaystyle$ x, y,$$$z$$)$ $엔트리$에 1, 0, 0의 3가지 배열로 표시된 X${\displaystyle ,}$ $,$$displaystyle$ x, $y,$z)의 3가지 매트릭스입니다.$이{\displaystyle }$ 값은 Z ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{}}$X - ${\displaystyle 1^{}{}^{}{}^{}{}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$, ${\displaystyle X}$ Z ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Z}$ X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Z}$ Y ${\displaystyle$ Z$=XYX^{-1}Y^{-1$}, $XZ=ZX,$그림에서도 알 수 있는 YZ$=ZY$입니다.이것은 비가환 무한 군이며, 3차원 공간임에도 불구하고 케일리 그래프는 4차원 부피 ^{[citation needed]}증가를 보입니다.

특성화

$군{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$는 왼쪽 곱셈에 의해 스스로 작용한다(케일리의 정리 참조).이는 케일리 그래프에서 G$(\displaystyle$ G$)$의 작용으로 볼 수 있습니다.$명시적$으로 $요소h$는${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{정점g}}$${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{display}}$${\displaystyle }$V ($display$ ) \ $displaystyle$$$g \ $in$ V ( \ Gamma )를${\displaystyle }$정점h$$display$$ V ($$display \ $display$ style$$$hg$\ $in$ V$$( \ Gamma ) ${\displaystyle 。}$} Cayley$$ 그래프의 엣지 세트와 그 색상은 이 동작에 의해 유지됩니다$.$${\displaystyle \mathrm{엣지}(}$ ${\displaystyle g}$,$$ s ) {$displaystyle$ ($g$ , g , g ,$$gs ) 엣지$$$({\displaystyle h}$ g , ${\displaystyle hg}$s ) { $displaystyle$($hg$ ,$$hgs$$) } ${\displaystyle \mathrm{엣지}}$( h g , h g , h g ${\displaystyle s}$ )에 $.$그룹의 왼쪽 곱셈 작용 자체는 단순히 추이적이며, 특히 케일리 그래프는 정점 추이적이다.이와는 반대로 다음과 같습니다.

라벨이 부착되지 않은 방향 그래프$δ$에서 그룹$G{\displaystyle }$$(\$$displaystyle$ G$)$와 생성 $세트{\displaystyle }$S(\$displaystyle$$S$$)$를 회복하려면 V$(\Gamma)$의 $정점{\displaystyle {}_{}}$ $v1$ $($를 선택하고 그룹 ID로 라벨을 붙입니다.그런 다음 $({$displaystyle $v_1})$을$v$에 $매핑하는{\displaystyle {}_{}}$ G$({$$displaystyle$$G})$의 $고유$ 요소로$Ⅱ{\displaystyle \mathrm{}}$$(\displaystyle$$\Gamma$$)$의 각 정점${\displaystyle }$v(\$displaystyle$v$)$에 $레이블$을 지정합니다$.$$$ Cayley 그래프${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle G}$ ,${\displaystyle S}$ )$$（ \ $displaystyle$\$Gamma ($ G , S ) $}$ 、 v ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$（ \ $displaystyle v _$ {$$}$$）의 Out-Neighbors 라벨 세트입니다.

기본 속성

• Cayley 그래프${\displaystyle \delta }$ (${\displaystyle }$G ,${\displaystyle S}$) ( \ $displaystyle$\$Gamma ( G$ , $S$)는$$ 기본적으로 발전기 세트$S{\displaystyle }$ ( \ $displaystyle$S )의$$ 선택에 따라 달라집니다.예를 들어 생성 $세트{\displaystyle }$S {\$displaystyle$ S$}$에 k${displaystyle$k}개의$$ 요소가 $있는{\displaystyle }$ 경우, 케일리 그래프의 각 정점은 k${displaystyle$k}개의$$ 들어오는 방향 에지 및 ${displaystyle$k}개의$$ 나가는 방향 에지를 $가집니다{\displaystyle }$.r${displaystyle$ r$}$ 요소를$$ $가진{\displaystyle }$ 대칭 $생성{\displaystyle }$ 세트$S{displaystyle$S}의$$ 경우, 케일리 그래프는 r$.{displaystyle$ r$}$ 정도의 $정규{\displaystyle }$ 방향 그래프입니다.
• Cayley 그래프의 사이클(또는 닫힌 워크)은 S$.$의 요소 $간$의 관계를 나타냅니다.\ $displaystyle$ S$.$ 그룹의$$ Cayley 콤플렉스를 보다 정교하게 구성할 때 관계와 대응하는 닫힌 경로가 폴리곤에 의해 "채워집니다."즉, 주어진 $프레젠테이션{\displaystyle \mathcal{}}$ P$(\$의 Cayley 그래프를 구성하는 문제는$$P(\$displaystyle\mathcal$ {P$\})$^[1]의 단어 문제를 해결하는 것과 같습니다.
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \to }$ { $displaystyle$f :$G'\to$ G$'$는 주관군 동형사상으로 G ${\$ \ $displaystyle$ G$'$에 대한 생성 $집합{\displaystyle {}^{}}$ S ${\$ \ $displaystyle$ S$'$ for$$ \ displaystyle S' of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of
  $$(\displaystyle\bar{f}):\Gamma (G', S')\to \Gamma (G, S)}$$

  
  $여기$서 S ${\displaystyle ={}^{}}$ ( S ${\displaystyle \prime }$)$$. ( \ $displaystyle$ S $= f$ ( $S$) 。특히$$ $G$에 k개의$$\ $displaystyle$k$}$개의$$$$ $제너레이터$가 있는 경우, 모든 순서가 다르며 집합 $($ \ $displaystyle$ S$)$는 이러한 제너레이터와 함께 구성되어 있으며, 그 다음 Cayley $（$ ${\displaystyle S}$ ; ）,$S)}$은(는) 동일한 생성기 집합의 자유 그룹에 해당하는$$ $({displaystyle 2k})$의 무한 정규 트리로 덮여 있습니다$.$
• 무방향으로 간주되는 유한 케이리 그래프에 대해 정점 연결성은 그래프의 2/3 이상과 동일합니다.생성 집합이 최소일 경우(원소가 제거되고 있는 경우 생성 집합에서 그 반대가 생성되지 않는 집합이 남는다), 정점 연결은 정도와 같습니다.엣지 연결은 모든 경우에 ^[5]정도와 동일합니다.
• ${\displaystyle {}_{}}$ reg${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle g}$) (${\displaystyle x}$ ) $=$ $x$ {\$displaystyle \rho$ _${\$text{reg$}(g)(x$)=$gx}$가 G$×$의 ${\displaystyle 행렬}$형식인$$ 경우${\displaystyle }$[g$](g)\displaystyle [\rho_$\$text$${reg}(gx$ 인접 행렬의 왼쪽 정규 표현입니다.$A$ $=\underset{S}{}$[ ${\text{reg}}_{}$ reg ${}_{}g$ )$]{$ $textstyle$ A = \$sum$_ {$s$ \ $in$ S } [ \ $rho$ _ { \$text$ { $reg$} ( g )$$}$$。
• $G$의 각 그룹 ${\displaystyle }$ ${\$ {\$displaystyle$$\chi}$는 $인접관계{\displaystyle \mathrm{}}$ 행렬의 고유 벡터를 유도합니다.$G$displaystyle $\Gamma (G,S)$ $。$G$${\$displaystyle$ G$}$가 Abelian인 $경우{\displaystyle }$, 관련 고유값은 다음과 같습니다.
  $${\displaystyle\ci}=\sum_{s\in S}\chi(s),}$$

  
  그것은 형태를 취한다.
  $$\displaystyle \sum _{s\in S}e^{2\pi ijs/G}}$$

  
  $정수{\displaystyle }$ j ${\displaystyle =0}$ ,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle ...}$, G -${\displaystyle 1}$. \ $displaystyle$ j $= 0$ , 1$,$ $\ displays$ , $G$- 1 . } 특히$$, 사소한 문자(${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 요소를 1로 보내는 문자)의 관련 고유값은$$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle }$G ,${\displaystyle S}$) \ $displaystyle$$$${\displaystyle }$ \$Gamma ( G$ , $S$의 $정도$이며,lian 그룹에는 모든 고유값을 결정하는 G$style$ G$$}) 문자가$$ 정확히 ${\displaystyle 있습니다}$.값의 상응하는 정규직 교기 vj에 의해-1G(1e2π 나는 j/Ge2⋅ 2π 나는 j/Ge3⋅ 2π 나는 j/G⋯ e(G− 1).{\displaystyle v_{j}={\tfrac{1}{\sqrt{G}}}{\begin{pmatrix}1&, e^{2\pi ij/ G2π 나는 j/G= 주어진다 }&e$^{2\cdot 2\pi ij/G }&e^{3\cdot 2\pi ij/G }&\cdots & e^{(G - 1)2\pi ij/G }\end{pmatrix}}}.$} 이 고유 베이스는 생성 $세트{\displaystyle }$S(\$displaystyle$ S$)$와는 무관하다는 점이 흥미롭다$.$
  보다 일반적으로 대칭 생성 세트의 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \S }$ 1,${\displaystyle {}_{}}$…,${\displaystyle }$§$$ $(\displaystyle$ \$rho _{1},\rho _{$k$$})를 G$,$ {\$displaystyle$ G$,}$의 $완전$한 축소 불가능한 표현 세트로 ${취하여}_{}$ ${}_{}$($)$ $=$ $\underset{}{s}$ S$\underset{}{}{i}_{}$ S ∈ S （\$textstyle \rho$ i${}_{}$） $_rho$ （ s ） $_{$ \ ） _{ s$$。$)(\displaystyle \Lambda$ _${i}(S$ 그러면 $(G$S$)\$displaystyle \$Gamma(G, S)$의 고유값 집합은 정확히$),$ \$textstyle \bigcup$_{$i}\Lambda _i(S$$)$입니다$.${\ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle S)}$의 고유값으로서 ${\$ { $displaystyle$\ $lambda$}가 발생합니다$.\$ $display$ style $\rho$_ { $i$} ($$$S$ ) 。$}$

슈라이어 코세트 그래프

$대신$ 고정 $부분군{\displaystyle }$H의 오른쪽 코셋이 되는 정점을 취하면$,$ 코셋 열거 또는 Todd-Coxeter 프로세스의 기초가 되는 슈라이어 코셋 그래프가 관련 구문을 얻는다.

그룹 이론과의 연관성

그룹의 구조에 대한 지식은 그래프의 인접 행렬을 연구하고 특히 스펙트럼 그래프 이론의 이론을 적용함으로써 얻을 수 있다.반대로 대칭 생성 집합의 경우 $\delta {\displaystyle \mathrm{}(G,}$ $)$의 스펙트럼$$ 및 표현 이론($G, S)$은 직접 결합된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$(\$displaystyle \rho$ _{$1},\rho$ _${k})$은 G$(\displaystyle$ \rho _{k})와 G(\displaystyle )의 $전체{\displaystyle }$ 표현 집합이다$.$$\underset{}{고유값}$$(\$$textstyle$ \$rho _{i$}($S)=\sum _{s\in$S}\$rho _{i$}(s$$$)\$displaystyle \$Lambda _{i$}(S)\displaystyle \Lambda _{i}(${\displaystyle S}$$)$의 고유값 $집합{\displaystyle \mathrm{}}$$\underset{}{,}$ S$.$$laystyle \lambda }$는 ${\displaystyle \mathrm{고유값}}$인 ${\displaystyle "\backslash }$$displaystyle \lambda$${\displaystyle \}"}$가 발생할 때마다 ${\displaystyle \mathrm{다중}}$도 dim$($ ${\displaystyle i_{}}$i$$)(\$displaystyle \dim$(\$rho$ _${$$i$$})$으로 표시됩니다$.$$}$

그룹의 속은 해당 ^[6]그룹의 케일리 그래프에 대한 최소 속입니다.

기하학적 군론

무한 그룹의 경우 케일리 그래프의 거친 형상은 기하학적 그룹 이론의 기초가 됩니다.최종 생성 그룹에 대해, 이것은 유한한 생성기 집합의 선택과 독립적이며, 따라서 그룹의 고유 특성이다.이것은 무한 그룹에 대해서만 흥미롭다: 모든 유한 그룹은 전체 그룹을 유한 생성자 집합으로 선택할 수 있기 때문에 점(또는 사소한 그룹)과 대략적으로 동등하다.

형식적으로 주어진 생성기 선택에는 미터법(케일리 그래프상의 자연 거리)이라는 단어가 있는데, 이는 미터법 공간을 결정한다.이 공간의 거친 동등성 클래스는 그룹의 불변량입니다.

확장 속성

S ${\displaystyle =}${$displaystyle$ S$=S^{-1$일 때 Cayley Graph${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ($G,$ S) {{$displaystyle \Gamma (G,$ S)}는 S${\displaystyle }${\$displaystyle$ S $}$ - regular이므로 스펙트럼 기법을 사용하여 그래프의 팽창 특성을 분석할 수 있다.특히, 아벨 그룹의 경우, 케일리 그래프의 고유값은 더 쉽게 계산할 수 있으며, 최상위 고유값이${\displaystyle }$S {\$style$ S $\}$와 ${\displaystyle 동일}$한 ${\lambda }_{}$ $= da$ \textstyle $\sbda$ _${\chi$}=\$sum$ _${s\in$ S$}\chi$ ($s)$에 의해 주어지기 때문에 우리는 체거를 사용할 수 있다.가슴의 틈새

표현 이론은 Kazhdan 속성(T)의 형태로 그러한 확장 케일리 그래프를 구성하기 위해 사용될 수 있다.다음 스테이트먼트는 ^[7]다음과 같습니다.

예를 들어, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ G $=$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ L${\displaystyle {}_{}3\mathbb{}}$ (${\displaystyle }$Z$$) ({$displaystyle$ G=\$mathrm {SL} _{3$} $(\mathbb {Z})}$은 속성(T)을 가지며, 기본 행렬에 의해 생성되며, 이는 비교적 명확한 확장 그래프 예를 제공한다.

통합구분

적분 그래프는 고유값이 모두 정수인 그래프입니다.적분 그래프의 완전한 분류는 여전히 미해결 문제이지만, 특정 그룹의 케일리 그래프는 항상 적분이다.Cayley 그래프 스펙트럼의 이전 특성화를 $사용하여$G디스플레이 $스타일{\displaystyle }$$$G의$$모든 $표현$에 대해 ${\$ ( ${\displaystyle S}$ ) ( \ $display$$style \$$rho$ $($ S$$$$)가 적분인 경우$g$( G${\displaystyle }$,$S$)는$$ 적분이라는 점에 유의하십시오$.$

케일리 적분 단순군

대칭 생성 $집합{\displaystyle }$ S$(\displaystyle$ S)가$$ G$(\displaystyle$ G$)$의 부분군을 보완하는 경우 그룹$G{\displaystyle }$(\$displaystyle$G)는$$ 연결된 Cayley 그래프$(\displaystyle \Gamma(\displaystyle$ S$)$인 경우 그룹 G(\displaystyle G)는 CIS)이다.Oups Z/p~Z, Z/p2Z{\displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\mathbb{Z}{2}\mathbb{Z}에}또는 Z2×Z2{\displaystyle \mathbb{Z}_{2}\times 소수{Z}_{2}}p\mathbb{p\displaystyle}.[8]이 S{S\displaystyle}이 실제로 enti를 생성할 중요하다 같은 모양의 있다.레$그룹{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$를 사용하여 케일리 그래프를 연결합니다.($S(\displaystyle$ S$$$)$가 G(\$displaystyle$ G$)$를 $생성$하지 않는 $경우{\displaystyle }$ Cayley 그래프는 여전히 통합될 수 있지만$$S(\$displaystyle$S$$)의 보완이 반드시 하위 그룹은 아닙니다.)

G $=$ / ${\displaystyle 5\mathbb{}}$Z {\$displaystyle$ G=\$mathbb {Z}$ /$5\mathbb {Z$의 예에서 대칭 생성 집합(그래프 동형사상까지)은 다음과 같다.

• ${\displaystyle }$$S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$, 4 $}$ { $displaystyle$ S = \ {$1$, $4$\$$} :${\displaystyle }\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle g}$ （${\displaystyle }$G , S$$） a 5$$（ $display style$ \ $Gamma$($G$, $S$)는$$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{고유값}}{}\frac{}{}}$,${\displaystyle \frac{}{}}$5 -${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$,${\displaystyle \frac{5}{}}$- 1, 5 - 1, ${\displaystyle \frac{5\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ - 1,${\displaystyle \frac{}{}}$5 - 1 ($5$ -${\displaystyle \frac{1}{}}$ ) \ $display style 2$ \ frt $frt$$}{2}},{\tfrac {-{\tft {5}}-1}{2}}$
• ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$, 4 $}$ { $displaystyle$ S = \ {$$$1$,$2,$ 3, $4$\$$} :${\displaystyle \gamma }$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$ ,${\displaystyle }$S ) $（$ \ $displaystyle$\$Gamma ( G$ , $S$)는 K$5입니다.$$고유값$은 4,${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1,${\displaystyle }$1${\displaystyle }$- 1 , 1 , 1 - $1$ , 1 . 1 , 4 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1$}$

Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 5\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /5\mathbb${Z$}}$의 서브그룹은 전체 그룹과 소그룹뿐이며, 적분 그래프를 생성하는 대칭 생성 $집합{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle$ S$}$는 소그룹을 보완하는 것뿐이다.$따라서{\displaystyle \mathbb{}}$Z / ${\displaystyle 5\mathbb{}}$Z \$displaystyle \mathbb {Z}$ /$5\mathbb {$Z$} }$는 CIS 그룹이어야 합니다.

완전한 CIS 분류의 증명은 CIS 그룹의 모든 하위 그룹 및 동형 이미지가 CIS ^[8]그룹이라는 사실을 사용한다.

케일리 적분군

약간 다른 개념은 케일리 적분 $그룹{\displaystyle }$ G$(\displaystyle$ G$)$의 개념입니다.여기서 모든 대칭 $서브셋{\displaystyle }$S(\$displaystyle$ S$)$는 적분 그래프${\displaystyle }\delta ($$G,$를 생성합니다$.\displaystyle S$$(\$displaystyle$$ $S$$)$는 $점$에 유의하십시오.

케일리 적분군의 전체 목록은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$n × ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$n × ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$8 × ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$3 { \ $displaystyle$\$mathbb${$Z } _$ {$2 n$} \ times \ $mathbb${ Z $} _$ { 3 m$}$ , \ $mathbb { Z } _$ { 2 $n$} \ $mathbbb$ } \ times } \ times 。$({displaystyle$ 12$\}).$$여기$서${\displaystyle m}$, n${\displaystyle {\mathrm{z}}_{}}$ Z${\$ 0({$displaystyle m$,$$n$\in \mathbb {Z} _$${\geq$0}) $및{\displaystyle {}_{}}$ $({$은 4분의 1 ^[8]그룹입니다.증명은 케일리 통합 그룹의 두 가지 중요한 특성에 의존합니다.

• 케일리 적분 그룹의 부분군 및 동형 이미지도 케일리 적분 그룹입니다.
• 그룹의 연결된 모든 Cayley 그래프도 적분인 경우 그룹은 Cayley 적분입니다.

정규 및 오일러 생성 집합

일반 $그룹{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$에서 S$(\displaystyle$ S$\$$subseteq$ G)가 G$(\displaystyle$G)$$의 요소에 의해 결합되어 닫히면 $서브셋$ S(\$displaystyle$ S${\displaystyle \backslash }$subseteq $G)$가 정상이고, S$(\displaystyle$ S$)$가 모두 오일러ian인 경우 S(\style S${\displaystyle )}$이다$.$$n$ S$\},$ ${\displaystyle \mathrm{순환군}}{\displaystyle }$s ${\$ \ $displaystyle$$$\ $langle$s \ $rangle$$$$}$ contained$$$$contained S $contained$in 。Guo 、 Lytkina 、 Mazurov 、 Revin의 2019년 결과는 Cayley 그래프 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ( G ,${\displaystyle S}$) \$Displaystyle$ ( \$MaGam )$에도 포함되어 있습니다.$e$ S$\subseteq G$ 순수 표현 이론 기법을 ^[9]사용합니다.

이 결과의 증거는 비교적 짧습니다. S$$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ S$}$가 오일러 정규 서브셋일 경우${\displaystyle {}_{}{S}_{}}$ {\$displaystyle x_{1},\dots,x_{t}\in$ G$}$ 쌍으로$$ 비공역자를 $선택$하여 S$${\$displaystyle$ S$}$가 켤레 ${\displaystyle \mathrm{클래스}}$ Cl$display$ $)$의 ${\displaystyle {}_{}}$이 되도록 $합니다{\displaystyle }$.$$케일리 그래프의 스펙트럼 특성화를 사용하여 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle }$G${\displaystyle }$, S$$)의 고유값을 ${\displaystyle \mathrm{표시}}$할 수 있습니다. {$style \Gamma ( G$ , $S$ ) are$$ $\underset{}{\overset{}{}}$ { $\underset{}{\overset{}{}}\frac{}{}$ \ Gamma ( G , S$$) 。 $\frac{{}_{}}{}$ $\frac{=}{{}_{}}$1 t$\frac{cl}{}$ ( $\frac{\mathrm{x}}{{}_{}}$i ) $Cl$ $\frac{x_{}}{}$ i $\frac{}{}$ $text$ \ { styleft$\}${ }${Cl$$\}($$x_{i})\right }{\chi(1)}}\right\}$ $G$의 ${\$$displaystyle\$$chi}}$을(를) 이어받습니다. 이 집합의 각 고유값 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ _${\chi }$는 Q$(를)\mathbbbb)$의 요소여야 합니다.${\displaystyle t^{}}$ h$(\$ m$^{th})$ 통합$$ 루트($여기$서 m$\$${\displaystyle {displaystyle}_{}}$$$$m$은 각 xi(\displaystyle $x_{i})$의 순서로 나누어져야 합니다).고유값은 대수적 정수이므로, 그것이 적분임을 나타내는 것으로 충분하며$,$ ${\displaystyle Q_{}}$$displaystyle \mathbb {Q}(\zeta$의 자기동형$$${\displaystyle \{\backslash (\backslash }$$displaystyle \sigma$}) ${\displaystyle \mathrm{아래}}$에 $)(\$displaystyle \$sigma$ $})$가 고정되어$$$$ 있음을 나타내는 것으로 충분하다.$k{\displaystyle }$$($${\displaystyle {xi}_{})}$ ${\displaystyle =}$$$k$($ \$displaystyle$ \$displaystyle(\chi($x_{i})가 $되도록$ m(\$displaystyle$ m$)$에 상대적으로$$ 소수인$$$k$(\$displaystyle$ k$)$ 있어야 합니다.$=\chi$$($$x_{i}^{$k$$}) 모든$i$에 $대해{\displaystyle }$$,$ $그리고{\displaystyle }$ S$(\display$ S$$$)$는 오일러식이고 $정상적$이므로, ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle {}_{}x}$i${\displaystyle }$) =$χ$ (${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$j ) \$display style$\display ($x$ _ {$$$i$ } )$일부$$j$ {\$displaystyle$j$\}$에 대해 $=\chi(x_$${j})$를 $보냅니다{\displaystyle .}$ x ↦$$ $k {\display$x\$mapsto$$$x$^{$$k$}} bijject ${\displaystyle {}_{}}$를 전송하므로 ${\displaystyle \mathrm{Cl}(}$ ($x$i ) { displaystyle $\$$operatorname$ { $Cl$} } ${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{Cl\}\; (x\_\{i\})\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5f606d854ee53d9bf0d9742b339a4c072fb89c85"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:6.264ex;\; height:2.843ex;">}{}_{}}$（$x j$） 。rmutes는 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ （ \ $display$style \ $lambda$ _ { \ $chi }$）$$。따라서${\displaystyle }$$\lambda {\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle （}$ \ $display$$$style \ $lambda _${ \ $chi$$$}$$} $rm$$$$$rm rm ${\displaystyle {rm}_{}}$ in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in for for for in in in in in in in in in in in in in in for for for for in in for for in in in in in in in in in in in in in in

따라서 G ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle$ G$=A_{n}$이 ${\displaystyle \mathrm{교대군}}$이고 S {\$displaystyle$ S$}$가 { ( 12 i${\displaystyle }$)${\displaystyle {}^{}}$± ${\displaystyle 1^{}}$ $}$ {{ ( $12$ $)^{\pm$ 1$\}\}\}$에 의해 주어진 순열 세트인 $경우{\displaystyle }$, Cayley $a$ ( ${\displaystyle A}$, S ) \Gam style $）$。Kourovka 노트북에 접속합니다.)또한 G ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle S_{}}$n (\$displaystyle$ G$=S_{n})$이 대칭군이고$$S (\$displaystyle$ S$)$가 모든 전이의 집합 또는 특정 요소를 포함하는 전위의 집합인 $경우{\displaystyle }$ 케일리 그래프${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle G,}$ $)$ (\$displaystyle \Gamma (G, S)$도 일체형이다.

역사

케일리 그래프는 1878년 ^[2]Arthur Cayley에 의해 유한군에 대해 처음 고려되었다.1909-10년 군론에 관한 미발표 강의에서 맥스 덴은 케일리 그래프를 그루펜빌드(군도)라는 이름으로 재도입하여 오늘날 기하학적 군론을 만들었다.그의 가장 중요한 응용은 2속 표면의 기본 그룹에 대한 단어 문제의 해답이었고, 이것은 표면의 닫힌 곡선이 한 ^[10]점으로 수축하는 것을 결정하는 위상 문제와 같다.

베테 격자

Bethe 격자 또는 무한 케일리 트리는 n개의$$\$displaystyle$n개의$$ 발전기에 $대한{\displaystyle }$ 자유 그룹의 케일리 그래프입니다.$n개$의$$\$displaystyle$n개의 제너레이터에$$ 의한$$ $그룹{\displaystyle }$$G$의 프레젠테이션은 n개의 $\displaystyle$n개의 제너레이터에$$ $있는{\displaystyle }$ 프리 그룹에서 $그룹{\displaystyle }$ G$,$ \$displaystyle$ G$,\$displaystyle G,\cayley$$ 그래프 레벨에서 무한 케일리 트리에서 케일리 그래프까지의 맵에 대응합니다.이것은 (대수 위상에서) 일반적으로 단순히 연결되어 있지 않은 케일리 그래프의 보편적 커버로 해석될 수도 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 정점 전이 그래프
• 그룹 집합 생성
• 로바시즈 추측
• 큐브 연결 주기
• 대수 그래프 이론
• 주기 그래프(대수)

메모들

외부 링크

• 케일리 도표
• Weisstein, Eric W. "Cayley graph". MathWorld.