미터법(수학)

Metric (mathematics)
평면상의 택시 메트릭과 유클리드 메트릭을 비교한 그림:택시 메트릭에 따르면 빨간색, 노란색 및 파란색 경로의 길이는 동일합니다(12).유클리드 메트릭에 따르면 녹색 패스의 2. 6이며최단 경로입니다

수학에서 미터법 또는 거리 함수는 집합의 각 점 요소 쌍 사이의 거리를 제공하는 함수입니다.메트릭이 포함된 세트는 메트릭 [1]공간입니다.메트릭은 세트에 토폴로지를 유도하지만 모든 토폴로지를 메트릭으로 생성할 수 있는 것은 아닙니다.토폴로지를 메트릭으로 설명할 수 있는 토폴로지 공간미터법 공간입니다.

미분 기하학에서 중요한 메트릭의 한 가지 소스는 미터법 텐서이며, 미분 가능한 다지관의 접선 벡터에서 스칼라로 정의될 수 있다.메트릭 텐서는 적분을 통해 곡선을 따라 거리를 결정할 수 있도록 하여 메트릭을 결정합니다.

정의.

집합 X의 메트릭은 함수(거리 함수 또는 단순 거리라고 함)입니다.

x (\ x X에 대해 다음 세 가지 공리가 적용됩니다.

1. 식별 불능의 동일성
2. 대칭
3. 삼각 부등식

이러한 공리를 통해 다음과 같이 메트릭의 비부정성을 도출할 수 있습니다.

삼각 부등식으로
대칭으로
분별할 수 없는 존재로
4. 우리는 부정적이지 않다

메트릭(정의대로)은 음이 아닌 실수치 함수입니다.이것은 공리 1과 함께 분리 조건을 제공하며, 여기서 구별되거나 분리된 점은 정확히 두 점 사이에 양의 거리를 갖는 것입니다.

메트릭은 모든 X(\ xX에 대해 다음과 같은 삼각 부등식을 만족하는 경우 울트라메트릭이라고 불립니다.

X{X\displaystyle}에 관한 계량 d{\displaystyle d}라고 불린다 고유하는 경우 모든 x, y∈ X{\displaystyle x,y\in X}과 어떤 길이 나는>d(), y){\displaystyle L>, d(x, y)}, 존재하는 곡선의 길이 이하 L{L\displaystyle}는에 합류한다면){\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}..

x y zic {\ xG의 경우 그룹 d {\ d 왼쪽 불변(응답 오른쪽 불변)이라고 합니다.

( x , ) ( ,) { d( , z ) d ( , ) ( , )= d ( x , y ) = ( ,) }

모든 X(\ xX)에 대해 가환 X(\의 메트릭d(\ d 변환 불변이라고 합니다.

(x , ) (x + , +) { d () ( , ) d ( -y ,)。{ d ( , y ) ( x , y , 0) 。

모든 벡터 공간은 또한 교환 가법군이며, 노름에 의해 유도되는 실제 또는 복소 벡터 공간상의 메트릭은 항상 변환 불변이다.실수 또는 복소 벡터 V의 dV})는 변환 불변하고 완전히 균일한 경우에만 노름에 의해 유도된다. 여기서 후자는 모든 스칼라 s x V x V에 대해 d , 를 의미한다. ,) { d ( ) ( , ) ,。이 함수 " " : ( , 0 ){ x \ } : d ( , ) : d ( x , 0 ) }는 인 메트릭을 하고 있습니다

메모들

이러한 조건들은 거리의 개념에 대한 직관적인 개념을 표현한다.예를 들어, 구별되는 점 사이의 거리가 양의 값이고 x에서 y까지의 거리가 y에서 x까지의 거리와 같은 경우입니다.삼각 부등식은 x에서 y를 통한 z까지의 거리가 적어도 x에서 z까지의 거리만큼 크다는 것을 의미합니다.유클리드는 그의 작품에서 두 점 사이의 가장 짧은 거리는 선이라고 말했다; 그것은 그의 기하학에 대한 삼각형 부등식이었다.

  • 이산 메트릭: ( , ) { 0, 않으면
  • 유클리드 메트릭은 변환과 회전의 불변량이다.
  • Taxicab 메트릭은 변환 불변입니다.
  • 보다 일반적으로, 규범에 의해 유도되는 모든 메트릭은 변환 불변이다.
  • ( n ) nN {\ ( (국소적으로 볼록한) 위상 벡터 공간E 를 정의하는 세미노름시퀀스인 경우
    같은 토폴로지를 정의하는 메트릭입니다.(<n 엄밀하게 양의 임의summablesequence( 할 수 있습니다.)
  • 노름 공간 , ( \ , { \ )은 바나흐 공간입니다 여기서 절대값은 R에 유클리드 토폴로지를 유도하는 R{R )의 노름입니다 D ×합니다.{\ \ \R} \to by d (,y ) () { d ( , y ) { \ ( \displaystyle d ( x arctan ( x )\arctan ( x )\ ( x )} ) } } } ) } ) }, y ) } } d d R 인 유클리드토폴로지를 유도합니다, 시퀀스 x ( i ) 1 { }=}\right) {i} =\fty } } } = } } = } = } } } } } } } = } } =0ftthefttfttft{\{i d-cauchy 시퀀스이지만R(\{의 어떤 점에도 수렴되지 않습니다. 따라서 dcauchy 는 (Rdisplaystyle {rbb코시 시퀀스가 될 수 없습니다.e. 표준 display display display display ( \\ cdot ) - Cauchy it it 、 \ ) fact fact fact fact fact[2]( \{ R { \ } } )는 바나치 공간 수렴을 의미하기 때문에 코치 시퀀스가 아닙니다.
  • 그래프 메트릭: 특정 그래프의 거리에 대해 정의된 메트릭입니다.
  • 코딩 이론에서 해밍 거리입니다.
  • 리만 메트릭, 미분 가능한 다양체에 적용하기에 적합한 메트릭 함수의 한 유형입니다.이러한 다양체에 대해, 각 에서 × T p {\ L \times _ \ } _t} _p} \mathbb {R} \to \mathbb _t} _p} _p} _p} \m { \m \m } p \ p \m } } } } \m } } } } } 이 형식은 정의 v (v ,v ) { { v \ mathbf { v } { ( \ { , \ } 를 통해 매니폴드 상의 임의의 접선 v \ 의 길이를 결정합니다. 다지관 길이에서 정의된 다양한 경로의 길이는 다음과 같습니다.경로 파라미터와 관련하여 통합이 이루어지는 임의의 포인트에 대한 ctor.마지막으로 다지관의 포인트 쌍{ }({\{ 정의된 메트릭을 얻으려면 경로 길이 집합의 x x부터y(\ y까지의 모든 경로에 대해 최소값을 취합니다.리만 계량기를 갖춘 매끄러운 다양체를 리만 다양체라고 한다.
  • 복잡한 투영 공간에 대한 Fubini-Study 메트릭.이것은 리만 메트릭의 예입니다.
  • Levenshtein 거리 및 기타 문자열 편집 거리 등의 문자열 메트릭은 문자열 에 메트릭을 정의합니다.
  • 그래프 편집 거리는 그래프 의 거리 함수를 정의합니다.
  • Washerstein 메트릭은 두 확률 분포 사이에 정의된 거리 함수입니다.
  • 핀슬러 메트릭은 접선 번들에 정의된 연속 함수F : [ , F : \ {TM \[ , \ }) 。

측정 기준의 동등성

특정 세트 X의 경우 ID 매핑이 존재하는 경우 2개의 ({1})과d2({2})는 위상적으로 동등하다고 불립니다.

는 동형사상(동형사상)입니다.

예를 들어 dd가 메트릭인 min ( , , ) 1+ { { }{ 1 + d d에 하는 메트릭입니다.

노름 유도 측정법

벡터 공간에 대한 규범은 특정 메트릭, 즉 동종의 변환 불변성과 동일합니다.다시 말해, 모든 규범이 측정 기준을 결정하고, 일부 지표가 규범을 결정합니다.

표준 벡터 공간 , ) ( X , \ } 、 X、 \ d( X , \ ) 、 by by by the the the the the {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ display style d X , \ \ cdot \) )를 정의할 수 있습니다.

d d 표준적인 {\에 의해 유도된다고 합니다.

반대로[3] 벡터 X의 d d X가 속성을 충족하는

  • 변환 불변성: ( , ) ( + , + d ( , y )= ( + , + );
  • 절대 균질성: (x , y ) d ( ,) { d x y) \ d ;

X X 규범은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

여기서 이 규범에 의해 유도되는 메트릭은 원래 된 메트릭dd.

마찬가지로 세미노름은 의사측정학(아래 참조)을 유도하고, 균일한 변환 불변 의사측정학은 세미노름을 유도합니다.

멀티셋 메트릭

우리는 두 요소 사이의 거리에서 비어있지 않은 두 요소의 유한 멀티셋 사이의 거리까지 메트릭의 개념을 일반화할 수 있다.멀티셋은 요소가 여러 번 발생할 수 있도록 집합 개념을 일반화한 것입니다.U U X(\ X(\ Y 요소로 구성된 멀티셋인 , 즉 X X X(\displaystyle Y)에서 displaystyle x가 M(\M 발생하는 멀티셋 U를 정의합니다. Y에서 n회, U U에서 m+(\ m 합니다. 공백이 아닌 유한 멀티셋 집합의 거리 d(\ d 메트릭입니다[4].

  1. ( ) 요소가 동일한 경우0 {\ d)= (X {)> 0이외의 경우(부정성과 불명의 동일성)
  2. { d X{X}(대칭)의 배열에서 불변합니다.
  3. Y ) ( Z) + ( Y d ( )\d ( (삼각 부등식)

XX})가 1과 2에 2개의 요소가 있고 X, ({ Z})가 3에 각각1개의 요소가 있는 경우 두 요소 간에 익숙한 메트릭이 생성됩니다.예를 들어 XX})가 x의 두 개로 구성된 1에 따라 d d)= 됩니다.

간단한 예로는 d - {\ d)=\ 모든 빈 유한 X(\ X 집합이 있습니다. 더 복잡한 예로는 [4][5]멀티셋의 정보 거리 및 정규화 압축 거리(NCD)가 있습니다.

일반화된 지표

측정지표의 공리를 완화하는 방법은 여러 가지가 있으며, 일반화된 측정지표 공간의 다양한 개념을 발생시킨다.이러한 일반화를 조합할 수도 있습니다.이들을 설명하는 데 사용되는 용어는 완전히 표준화되지 않았습니다.가장 주목할 만한 것은, 함수 분석에서 의사 측정법은 종종 벡터 공간의 세미노름에서 유래하므로, "반측정학"이라고 부르는 것이 자연스럽다.이는 토폴로지에서의 용어 사용과 경합합니다.

확장된 측정 기준

일부 작성자는 거리 함수 d가 값 θ를 얻도록 한다. 즉, 거리가 확장된 실수 라인에서 음이 아닌 숫자이다.이러한 함수를 확장 메트릭 또는 "θ-metric"이라고 합니다.토폴로지의 개념(연속성이나 컨버전스 등)에 관한 한 메트릭 공간이 동등하도록 모든 확장 메트릭을 유한 메트릭으로 변환할 수 있습니다.이는 0에서 0인 준가법적으로 증가하는 경계함수(d = ( ,y ) d ( ,)/ ( + , ) d , y ) = ( x , y ) / d ( , y ) d ( x , y ) / d ( x , y ) 、 d ( , ) ) )、 d (x ,min) ) d d d )、 d ) 。

메트릭이 [값을 취하도록 하는 요건은 다른 지시 집합의 값을 갖는 메트릭을 고려하는 경우에도 완화될 수 있습니다.이 경우의 공리의 재구성은 균일한 공간의 구축으로 이어진다.즉, 다른 점의 국소 토폴로지를 비교할 수 있는 추상적인 구조를 가진 위상 공간이다.

의사 측정

의사측정법은 두 번째(불식별)가 d d dX\ \ {R})의 함수를 모두 만족시키는 입니다.즉, 의사측정의 공리는 다음과 같습니다.

  1. ( , )d ( , )+ ( , ( x , )\d ( )+ , z )

일부 컨텍스트에서는 의사 측정이 세미노름과의 관계 때문에 세미메트릭이라고 불립니다.

준측정학

때때로 준측정법[6]대칭을 제외하고 메트릭에 대한 모든 공리를 만족시키는 함수로 정의된다.이 일반화의 이름은 완전히 [7]표준화되지 않았다.

준측정법은 실생활에서 흔히 볼 수 있다.예를 들어, Xstyle X에서 X X 사이의 일반적인 도보 시간은 언덕을 오르는 것보다 더 오래 걸리기 때문에 준측량을 형성합니다.또 다른 예로는 일방통행로를 가진 택시카브 지오메트리 토폴로지가 있습니다.A지점에서(\ A으로 가는 경로는(\ B에서 A지점(\ A으로 가는 경로와는 다른 일련의 거리로 구성됩니다.

실의 준계량은 다음 설정에 의해 정의할 수 있습니다.

1은 무한대 또는1+ (- )({1 + 로 대체할 수 있습니다.

이 준측정 공간의 기초가 되는 위상 공간이 소르겐프리 선입니다.이 공간에서는 금속 막대기를 줄서기하는 과정을 설명합니다.그 크기를 줄이는 것은 쉽지만, 키우는 것은 어렵거나 불가능합니다.

dd가 X(\ X경우 X(\ 의 메트릭(\ d 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

메타메트릭스

메타메트릭에서는 동일한 점 사이의 거리가 반드시 0일 필요는 없다는 점을 제외하고 메트릭의 모든 공리가 충족된다.즉, 메타메트릭의 공리는 다음과 같습니다.

메타메트릭은 그로모프 쌍곡선 메트릭 공간과 그 경계 연구에 나타난다.이러한 공간의 시각적 메타메트릭은 경계상의 x({x})에 대해d, x ) {{d()}를 하지만, 않은 경우 d x) { dx {x}에서 경계까지의 대략적인 거리입니다.메타메트릭은 Jussi Vaeisélé에 [8]의해 처음 정의되었다.

세미메트릭스

X{\ X 세미메트릭은 처음 세 개의 공리를 만족하지만 반드시 삼각 부등식은 아닌 함수: X × R {\ \{R입니다.

일부 저자는 다음과 같은 약한 형태의 삼각형 부등식을 사용하여 작업합니다.

θ-삼각 부등식
γ-자외 부등식

θ-인프라메트릭 부등식은 θ-완화 삼각 부등식(제1공리 가정)을 의미하며, θ-완화 삼각 부등식은 2θ-인프라메트릭 부등식을 의미한다.이러한 동등한 조건을 만족시키는 세미메트릭은 때때로 "준측정학",[9] "근거측정학"[10] 또는 "인프라메트릭스"[11]라고 불립니다.

γ-inframetric 부등식은 인터넷에서 [11]왕복 지연 시간을 모델링하기 위해 도입되었습니다.삼각 부등식은 2-모형 부등식을 의미하며, 초모형 부등식은 정확히 1-모형 부등식을 의미합니다.

프리메트릭스

마지막 세 가지 공리를 완화하면 사전 측정 개념, 즉 다음 조건을 만족시키는 함수로 이어집니다.

이것은 표준어가 아닙니다.때때로 그것은[12] 의사측정학이나 [13]의사측정학 같은 측정법의 다른 일반화를 언급하기 위해 사용된다; 러시아어 서적 번역에서는 "prametric"[14]으로 나타나기도 한다.대칭을 만족시키는 사전 측정, 즉 의사 측량을 [15]거리라고도 한다.

모든 사전 측정에서는 다음과 같은 토폴로지가 발생합니다.양의 rr의 p 으로 하는 rr-ball 다음과 같이 정의됩니다.

세트 내의 임의의 p(\ p 대해 세트에 포함된 p p 으로 한 r r 있는 경우 세트를 오픈이라고 합니다.모든 측정 전 공간은 위상 공간이고, 사실은 순차 공간입니다.일반적으로 이 토폴로지와 관련하여 r-balls 자체는 오픈세트일 필요는 없습니다.측정지표는 A A B B 사이의 거리를 다음과 같이 정의합니다.

이는 사전 측정 공간의 전력 세트에 대한 사전 측정을 정의합니다.(의사) 미터법으로 시작하면, 의사 미터법, 즉 대칭 사전 미터법을 얻게 된다.프리메트릭은 다음과 같이 프리클로저 cl을 발생시킵니다.

의사 측정법

pseudo-, semi-, semi-를 조합할 수도 있다. 예를 들어, pseudoquasmetric(반측량이라고도 함)은 불가시 공리와 대칭 공리를 모두 완화시키며, 단순히 삼각 부등식을 만족시키는 사전 측정이다.의사 측정 공간의 경우 rr-balls 열린 세트의 기초를 형성한다.의사 거리 공간의 가장 기본적인 예는 d(1) (11) 및 ( 0 0 . \ d ( , ) = 0 .\ d , 0 ) =0 . 공간 {시에르스키이다

확장된 의사 측정기를 갖춘 집합은 윌리엄 로베어에 의해 "일반화된 미터법 공간"[16]으로 연구되었다.범주적 관점에서 확장된 의사 측정 공간과 확장된 의사 측정 공간은 대응하는 확장되지 않는 맵과 함께 메트릭 공간 범주에서 가장 잘 동작한다.주어진 범주 내에서 임의의 제품 및 공동 생산물을 취하여 지수 개체를 형성할 수 있습니다.'확장'을 포기하면 한정된 상품과 공동제작물만 가져갈 수 있다.'의사'를 떨어뜨리면 인용구를 받을 수 없다.접근 공간은 이러한 양호한 범주형 속성을 유지하는 메트릭 공간의 일반화입니다.

일반화된 지표의 중요한 사례

미분 기하학에서, 사람들은 미터법 텐서를 고려하는데, 이것은 극소 2차 미터법 함수로 생각할 수 있다.이것은 적절한 미분성 요건이 있는 다지관의 접선 공간에서 비퇴행성 대칭 쌍선형 형태로 정의된다.이것들은 이 기사에서 정의한 메트릭 함수는 아니지만, 다지관을 통과하는 경로를 따라 제곱근의 적분에 의해 의사 반미터 함수라고 불리는 것을 유도한다.만약 누군가가 미터법 텐서에 내부 곱의 양의 정의 정의성 요건을 부과한다면, 이것은 리만 다양체의 경우로 제한되며, 경로 적분은 미터법을 산출한다.

일반 상대성 이론에서 관련 개념은 유사 리만 다양체의 구조를 표현하는 메트릭 텐서(일반 상대성 이론)이다.메트릭이라는 용어가 사용되기는 하지만, 이러한 다양체의 접선 공간에는 0이 아닌 벡터가 있고 벡터는 음의 제곱 규범을 가질 수 있기 때문에 기본 개념은 다르다.거리가 0이 동일성을 의미하지 않는 "측정학"에 대한 일반화된 관점은 일부 수학적인 글쓰기로도 서서히 나타나고 있다.[17]

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 체흐 1969년
  2. ^ Narici & Beckenstein 2011, 페이지 47-51.
  3. ^ Narici & Beckenstein 2011, 페이지 47-66.
  4. ^ a b Vitannyi 2011년
  5. ^ Cohen & Vitannyi 2012.
  6. ^ Steen & Seebach (1995);Smyth(1987년)
  7. ^ Rolewicz(1987)는 그것들을 "준측정학"이라고 부른다.동일한 용어는 두 가지 메트릭의 다른 일반화에도 자주 사용됩니다.
  8. ^ Vaeisélae 2005.
  9. ^ Xia 2009.
  10. ^ Xia 2008.
  11. ^ a b Praigniaud, Lebhar Viennot 2008.
  12. ^ Buldygin & Kozachenko 2000.
  13. ^ 헬렘스키 2006년
  14. ^ Arkhangel'skii & Pontryagin(1990년); Aldrovandi & Pereira(2017년)
  15. ^ 데자&로랑 1997년.
  16. ^ Lawbere (2002);Vickers (2005)
  17. ^ Parrott(1987년): "이 쌍선형 형태는 로렌츠 미터법 또는 민코프스키 미터법 또는 미터법 텐서로 다양하게 불린다."; Cecil(2008년):"우리는 이 스칼라 제품을 로렌츠 측정법이라고 부릅니다."

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