기하학적 추측

기하학적 정리

밭	기하학적 위상
에 의해 추측:	윌리엄 서스턴
추측:	1982
에 의한 첫 번째 증명	그리고리 페렐만
첫 번째 증빙 인	2006
결과들	푸앵카레 추측 서스턴 타원화 추측

수학에서 Thurston의 기하학적 추측 추측에 따르면 각각의 3차원 위상학적 공간은 그것과 연관될 수 있는 독특한 기하학적 구조를 가지고 있다고 한다. 2차원 표면의 균일화 정리를 아날로그화한 것으로, 단순히 연결된 리만 표면마다 세 가지 기하학(유클리드, 구형 또는 쌍곡선) 중 하나를 부여할 수 있다고 기술하고 있다. 3차원에서는 하나의 기하학을 전체 위상학적 공간에 할당하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 대신, 기하학적 추측에 의하면 모든 닫힌 3-매니폴드는 8가지 유형의 기하학적 구조 중 하나를 갖는 표준적인 방식으로 분해될 수 있다고 한다. 이 추측은 윌리엄 서스턴(1982)에 의해 제안된 것으로 푸앵카레 추측과 서스턴의 타원화 추측과 같은 몇 가지 다른 추측을 암시한다.

Thurston의 하이퍼볼라이제이션 정리는 Haken 다지관이 기하학적 추측을 만족시킨다는 것을 암시한다. Thurston은 1980년대에 증거를 발표했고 그 이후로 몇 개의 완전한 증거가 인쇄되었다.

그리고리 페렐만은 2003년 수술과 함께 리치 흐름을 이용해 기하학적 추측의 전모를 스케치했다. 이제 증빙에 관한 상세한 내용을 담은 몇 가지 다른 원고(아래 참조)가 있다. 푸앵카레 추측과 구면 공간 형태 추측은 기하학적 추측 추측을 이끌어내지 못하는 전자에 대한 더 짧은 증거가 있기는 하지만 기하학적 추측 추측의 윤곽이다.

추측

3매니폴드는 크기가 작고 경계가 없으면 폐쇄라고 불린다.

모든 닫힌 3-매니폴드에는 원시적인 분해물이 있다: 이것은 원시 3-매니폴드의 연결된 합이라는 것을 의미한다(이 분해는 방향성이 없는 다지관의 경우 작은 문제를 제외하고 본질적으로 고유한 것이다). 이것은 3-매니폴드에 대한 연구의 많은 부분을 주요 3-매니폴드의 경우, 즉 3-매니폴드의 경우, 즉 비-매니컬 연계 총액으로 쓸 수 없는 경우로 축소한다.

Thurston의 추측은 다음과 같다.

모든 지향적인 프라임 클로즈드 3-매니폴드는 토리를 따라 절단할 수 있으므로, 결과적인 다지관의 내부는 유한한 부피의 기하학적 구조를 갖는다.

다음 절에서 설명하는 3차원의 8개의 가능한 기하학적 구조가 있다. JSJ 분해의 일부 조각은 한정된 부피 기하학적 스트루크를 가지고 있지 않을 수 있기 때문에, 토리를 따라 불분명한 3-manifold를 조각으로 자르는 독특한 최소한의 방법이 있는데, 그것은 기하학적 추측의 분해와 전혀 같지 않다.tures. (예를 들어, 토러스 아노소프 지도의 지도화 토러스(mapping torus)는 유한 볼륨 솔브 구조를 가지고 있지만, 그것의 JSJ 분해는 토러스(torus)와 단위 간격을 생성하기 위해 하나의 토러스(torus)를 따라 그것을 절개하고, 이것의 내부는 유한 볼륨 기하학적 구조를 가지고 있지 않다.

비지향 다지관의 경우 기하학적 추측을 진술하는 가장 쉬운 방법은 우선 방향의 이중 커버를 취하는 것이다. 방향성이 없는 다지관과 직접 작업하는 것도 가능하지만, 이것은 투영면과 클라인 병뿐만 아니라 구와 토리를 따라 절단하는 것이 필요할 수 있으며 투영 평면 경계 구성요소를 가진 다지관은 대개 기하학적 구조가 없다.

2차원에서는 (경계가 없는) 모든 표면은 일정한 곡률을 가진 미터법으로 구성된 기하학적 구조를 가지고 있으므로 다지관을 먼저 자를 필요는 없다.

8개의 Thurston 기하학

모델 지오메트리는 X에서 콤팩트한 스태빌라이저로 리 그룹 G의 전이 작용과 함께 단순하게 연결된 매끄러운 다지관 X이다.

모델 기하학은 콤팩트한 스태빌라이저로 X 위에서 부드럽고 트랜스적으로 작용하는 그룹들 사이에서 G가 최대치라면 최대치라고 부른다. 때때로 이 조건은 모델 기하학의 정의에 포함된다.

다지관 M의 기하학적 구조는 일부 모델 기하학 X에 대해 M에서 X/X까지의 차이점형 구조로 여기서 γ은 X에 자유롭게 작용하는 G의 이산 부분군이다; 이것은 완전한 (G,X) 구조의 특별한 경우다. 만약 주어진 다지관이 기하학적 구조를 인정한다면, 그것은 그 모델이 최대인 사람을 인정한다.

3차원 모델 지오메트리 X는 그것이 최대인지 그리고 X에 모델링된 기하학적 구조를 가진 하나 이상의 콤팩트 매니폴드가 있는지 기하학적 추측과 관련이 있다. Thurston은 이러한 조건을 만족하는 8가지 모델 기하학을 분류했다; 그것들은 아래에 나열되어 있고 때때로 Thurston 기하학이라고 불린다. (소형 인용구를 포함하지 않은 모델 기하학도 셀 수 없을 만큼 많다.

비안치 그룹과 약간의 연관성이 있다: 3차원 리 그룹이다. 대부분의 Thurston 기하학들은 비앙치 그룹의 왼쪽 불변 측정법으로 실현될 수 있다. 그러나 S² × R이 될 수 없으며, 유클리드 공간은 두 개의 서로 다른 비앙치 그룹에 해당하며, 셀 수 없이 많은 수의 해결 가능한 비원형 비앙치 그룹이 있으며, 대부분은 콤팩트한 대표자가 없는 모델 기하학적 구조를 제공한다.

구형³ 기하학 S

포인트 스태빌라이저는 O(3, R)이고, 그룹 G는 6차원 리 그룹 O(4, R)로 구성 요소가 2개 있다. 해당 다지관은 정확히 유한한 기본 집단을 가진 폐쇄형 3-매니폴드다. 예로는 3-sphere, 푸앵카레 호몰로지 구체, 렌즈 공간을 들 수 있다. 이 지오메트리는 타입 IX의 비안치 그룹에서 좌불변량 측정법으로 모델링할 수 있다. 이 기하학적 구조를 가진 다지관은 모두 콤팩트하고, 방향을 잡을 수 있으며, 세이퍼트 섬유 공간의 구조(종종 여러 가지 방법으로)를 가지고 있다. 그러한 다지관의 전체 목록은 구면 3-매니폴드에 관한 기사에 제시되어 있다. Ricci 흐름에서 이 지오메트리를 가진 다지관은 유한한 시간에 한 점으로 붕괴된다.

유클리드 기하학³ E

포인트 스태빌라이저는 O(3, R)이고, 그룹 G는 6차원 리 그룹 R³ × O(3, R)로 구성 요소가 2개 있다. 예를 들어 3-토러스(torus)와 보다 일반적으로 2-토러스(torus)의 유한 순서 자동형성에 대한 매핑 토러스(torus)가 있다. torus bundle(torus bundle)을 참조한다. 이 기하학적 구조를 가진 10개의 유한 폐쇄형 3-매니폴드가 정확히 있으며, 6개의 방향성과 4개의 방향성이 없다. 이 기하학은 타입 I 또는 VII의₀ 비안치 그룹에 대한 왼쪽 불변량 측정법으로 모델링할 수 있다. 이 기하학적 구조를 가진 유한 체적 다지관은 모두 콤팩트하며, 세이퍼트 섬유 공간의 구조를 가지고 있다(때로는 두 가지 면에서). 그러한 다지관의 전체 목록은 세이퍼트 섬유 공간에 관한 기사에 나와 있다. Ricci 흐름 하에서는 유클리드 기하학이 있는 다지관은 불변으로 남아 있다.

쌍곡 기하학³ H

포인트 스태빌라이저는 O(3, R)이고, 그룹 G는 6차원 리 그룹⁺ O(1, 3, R)로 구성 요소가 2개 있다. 이것들의 예는 엄청나게 많고, 그 분류가 완전히 이해되지는 않는다. 부피가 가장 작은 예는 Weeks 다지관이다. 다른 예들은 세이퍼트-베버 공간, 또는 링크에서의 "충분히 복잡한" 딘 수술, 또는 대부분의 하켄 다지관에서 주어진다. 기하학적 추측에 따르면 닫힌 3-매니폴드는 되돌릴 수 없고, 무오로이드적이며, 무한한 기본 집단을 가진 경우에만 쌍곡선이다. 이 지오메트리는 V형식의 비안치 그룹에서 왼쪽 불변량 측정법으로 모델링할 수 있다. Ricci 흐름 아래에서 쌍곡 지오메트리를 가진 다지관이 확장된다.

S² × R의 기하학

포인트 스태빌라이저는 O(2, R) × Z/2Z이고, 그룹 G는 O(3, R) × R × Z/2Z이며, 구성부품은 4개다. 이 기하학적 구조를 가진 4개의 유한 체적 다지관은² S¹ × S, S의² 대척도 지도의 지도화 토루스, 3차원 투영 공간의 2개의 사본의 연결된 합, 2차원 투영 공간을 가진 S의¹ 산물이다. 첫 번째 두 가지는 아이덴티티 맵의 지도화 토리와 2-sphere의 대척점 맵으로, 프라임이나 불가해한 3-매니폴드의 유일한 예다. 세 번째는 기하학적 구조를 가진 비종교적 연결 합계의 유일한 예다. 이것은 3차원 Lie 그룹에서 좌불변량 측정법으로 실현될 수 없는 유일한 모델 기하학이다. 이 기하학적 구조를 가진 유한 체적 다지관은 모두 콤팩트하고 세이퍼트 섬유 공간의 구조(종종 여러 가지 방법으로)를 가지고 있다. 정상화된 상태에서 이 지오메트리를 가진 Ricci 흐름 다지관은 1차원 다지관으로 수렴한다.

H² × R의 기하학

포인트 스태빌라이저는 O(2, R) × Z/2Z이고, 그룹 G는 O⁺(1, 2, R) × R × Z/2Z이며, 구성부품은 4개다. 예를 들면 원이 있는 쌍곡선 표면의 산물이나, 보다 일반적으로 쌍곡선 표면의 등각도의 지도화 토러스 등이 있다. 이 지오메트리를 가진 유한 체적 다지관은 방향이 맞다면 세이퍼트 섬유 공간의 구조를 가지고 있다. (만약 그것들이 방향을 잡을 수 없다면, 원들에 의한 자연적인 진동이 반드시 세이퍼트 진동은 아니다. 문제는 일부 섬유들이 "역방향"을 할 수 있다는 것이다. 즉, 그들의 이웃은 고체 토리가 아닌 섬유로 된 단단한 클라인 병처럼 보인다.)^[1] 그러한 (지향적인) 다지관의 분류는 세이퍼트 섬유공간에 관한 기사에 나와 있다. 이 지오메트리는 타입 III의 비안치 그룹에서 왼쪽 불변량 측정법으로 모델링할 수 있다. 정상화된 상태에서 이 지오메트리를 가진 Ricci 흐름 다지관은 2차원 다지관으로 수렴한다.

SL(2, "R") 범용 커버의 기하학적 구조

SL(2, R$)$의 범용 커버는 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{S}}}$ L${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ (${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle R\mathbf{}}$) ${\displaystyle {\widetile${\$rm {SL}}(2,\mathbf {R})}}$으로 표시되며$,$ H에² 섬유로 되어 있다. G 그룹은 2개의 구성요소를 가지고 있다. ID 구성요소는 ${\displaystyle 구조\mathbf{}}({\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{S}}}_{}}$ L${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$( ${\displaystyle R\mathbf{}}$)${\displaystyle }$/ Z ${\$ 포인트 안정화점은 O(2,R이다.

이러한 다지관의 예로는 쌍곡면 접선다발의 단위 벡터 다지관 및 보다 일반적으로 브리스코른 호몰로지 구(3-sphere 및 푸앵카레 두면체 공간 제외)가 있다. 이 기하학은 타입 8의 비안치 그룹에 대한 좌측 불변 측정법으로 모델링할 수 있다. 이 기하학적 구조를 가진 유한 체적 다지관은 방향성이 있으며 세이퍼트 섬유 공간의 구조를 가지고 있다. 그러한 다지관의 분류는 세이퍼트 섬유공간에 관한 기사에 나와 있다. 정상화된 상태에서 이 지오메트리를 가진 Ricci 흐름 다지관은 2차원 다지관으로 수렴한다.

닐 기하학

이 섬유는 E 위에² 있고, 하이젠베르크 집단의 기하학이다. 포인트 스태빌라이저는 O(2, R)이다. 그룹 G는 2개의 구성요소를 가지며, 원의 등위계 O(2, R) 그룹에 의한 3차원 하이젠베르크 그룹의 반간접 제품이다. 이 기하학을 가진 콤팩트한 다지관에는 2토루스의 딘 트위스트의 지도화 토러스나 "통합 하이젠베르크 그룹"에 의한 하이젠베르크 그룹의 지표가 포함된다. 이 지오메트리는 타입 II의 비안치 그룹에서 왼쪽 불변량 측정법으로 모델링할 수 있다. 이 기하학적 구조를 가진 유한 체적 다지관은 소형이고 방향성이 있으며 세이퍼트 섬유 공간의 구조를 가지고 있다. 그러한 다지관의 분류는 세이퍼트 섬유공간에 관한 기사에 나와 있다. 정규화된 Ricci 흐름에서 이 지오메트리를 가진 콤팩트 매니폴드는 평탄한 미터법으로 R에² 수렴한다.

솔 기하학

이 기하학(Solv 지오메트리라고도 함)은 면에 섬유로 선을 넘고 있는 섬유로, 그룹 G의 아이덴티티 구성요소의 기하학이다. 포인트 스태빌라이저는 순서 8의 치골 그룹이다. 그룹 G는 8개의 구성요소를 가지고 있으며, 2차원 민코스키 공간으로부터 그 자체로 등각형 또는 미터법을 -1로 곱한 지도 그룹이다. 아이덴티티 컴포넌트는 R의 몫인 정상 부분군 R을² 가지고 있으며, 여기서 R은 2개의 (실제) 아이겐스페이스를 가지고² R에 작용하며, 제품 1의 뚜렷한 실제 고유값을 가지고 있다. 이것은 타입 6의₀ 비안치 그룹이며, 기하학은 이 그룹에서 왼쪽 불변량 측정법으로 모델링할 수 있다. 솔브 형상이 있는 모든 유한 볼륨 다지관은 소형이다. 이 소형 solv 기하학과2-torus(그2-torus의(2111 같은 그런 지도가 있는 자기 동형 가역 2업체인 eigenvalues와 독특한 실제 2매트릭스에 의해 결정되는){\displaystyle \left({\begin{배열}{*{20}c의 Anosov의 지도는 지도 제작이 융기}2&, 1\\1&, 1\\\end{배열}}\righ는 칼라비-야우 다양체다.t=}), 또는 최대 8개의 순서 그룹에 의한 이것들의 인용구. 토러스 자동형성의 고유값은 실제 이차장 질서를 생성하며, 솔브 다지관은 그 내용이 어디에도 기록되어 있는 것 같지는 않지만, 원칙적으로 이 순서의 단위와 이상적인 계급을 기준으로 분류할 수 있었다. 정규화된 Ricci 유량 콤팩트 매니폴드는 이 지오메트리가 R에 천천히¹ 수렴한다.

유니크함

닫힌 3-매니폴드는 위의 8가지 유형 중 대부분에 하나의 기하학적 구조를 가지지만 유한 체적 비-컴팩트 3-매니폴드는 때때로 두 가지 이상의 기하학적 구조를 가질 수 있다. (그러나 그럼에도 불구하고, 다지관은 동일한 유형의 여러 가지 기하학적 구조를 가질 수 있다. 예를 들어, 적어도 2개의 속 표면은 서로 다른 쌍곡선 지표를 가지고 있다.) 좀 더 정확히 말하면, M이 유한 체적 기하학적 구조를 가진 다지관이라면, 기하학적 구조의 유형은 기초 집단₁ ((M)의 관점에서 거의 다음과 같이 결정된다.

• π₁(M)이 유한하면 M의 기하학적 구조는 구형이고, M은 소형이다.
• π₁(M)이 사실상 주기적이지만 유한하지 않다면 M의 기하학적 구조는 S²×R이고, M은 콤팩트하다.
• 만약₁ ((M)이 사실상 아벨리아인이지만 사실상 주기적이지 않다면, M의 기하학적 구조는 유클리드인이며, M은 콤팩트하다.
• 만약₁ ((M)이 사실상 영약(nilpotent)이지만 사실상 아벨이 아니라면, M의 기하학적 구조는 영일 기하학이고, M은 콤팩트하다.
• 만약₁ ((M)이 사실상 해결 가능하지만 사실상 nilpotent가 아니라면, M의 기하학적 구조는 solv 기하학이고, M은 콤팩트하다.
• π₁(M)이 무한 정규 순환 부분군을 가지고 있지만 사실상 해결이 불가능한 경우, M의 기하학적 구조는 H²×R 또는 SL(2, R)의 범용 커버가 된다. 매니폴드 M은 콤팩트하거나 비컴팩트할 수 있다. 콤팩트한 경우, ((M₁)이 정규 순환 서브그룹의 반간접적인 생산물로서 분할되는 유한 지수 서브그룹의 유무에 의해 2개의 지오메트리를 구별할 수 있다. 다지관이 비 컴팩트인 경우, 기본 그룹은 두 기하학적 구조를 구별할 수 없으며, 다지관이 두 유형의 유한 체적 기하학적 구조를 가질 수 있는 예(예: 삼포일 매듭의 보완)가 있다.
• π₁(M)에 무한 정규 순환 부분군이 없고 사실상 해결할 수 없는 경우, M의 기하학적 구조는 쌍곡성이며, M은 콤팩트하거나 비 컴팩트할 수 있다.

무한 체적 다지관은 많은 종류의 기하학적 구조를 가질 수 있다. 예를 들어, R은³ 8개의 모델 기하학 중 6개가 그것과 동형이기 때문에 위에 열거된 다른 기하학적 구조를 가질 수 있다. 게다가 볼륨이 유한할 필요가 없다면 콤팩트한 모델이 없는 새로운 기하학적 구조가 무한히 존재한다. 예를 들어, 거의 모든 비전형 3차원 거짓말 그룹의 기하학적 구조가 존재한다.

닫힌 3마니폴드를 기하학적 구조로 조각조각 분해하는 방법은 하나 이상 있을 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

• S의³ 여러 사본과 연결된 합계를 취한다고 해서 다지관이 바뀌지는 않는다.
• 투사형 3-스페이스의 연결 합계는 S²×R 기하학을 가지며, S 기하학과³ 두 조각의 연결 합이기도 하다.
• 음의 곡률과 원의 표면의 산물은 기하학적 구조를 가지고 있지만, 토리를 따라 절단되어 기하학적 구조를 가진 더 작은 조각들을 만들 수도 있다. 세이퍼트 섬유 공간에는 유사한 예가 많이 있다.

먼저 다지관을 최소한의 방법으로 프라임 조각으로 자른 다음 가능한 최소의 토리를 사용하여 이들을 자르는 등 기하학적 구조를 가진 "캐논학적" 분해를 선택할 수 있다. 그러나 이 최소한의 부패가 반드시 리치 흐름에서 만들어지는 것은 아니다. 사실 리치 흐름은 초기 지표의 선택에 따라 여러 불평등한 방법으로 다지관을 기하학적 조각으로 잘라낼 수 있다.

역사

필즈 메달은 1982년 Thurston이 Haken 다지관에 대한 기하학적 추측에 대한 그의 입증으로 부분적으로 수여되었다.

구형이어야 할 3마니폴드의 경우는 더 느렸지만 리처드 S에게 필요한 스파크를 제공했다. 해밀턴은 리치 흐름을 발전시킬 것이다. 1982년 해밀턴은 리치 곡률의 지표를 가진 닫힌 3-매니폴드가 주어진다면, 리치 흐름은 유한한 시간 안에 다지관을 붕괴시킬 것이라는 것을 보여주었는데, 이것은 붕괴 직전에 지표가 "거의 둥글다"가 되면서 이 경우에 대한 기하학적 추측을 증명한다. 그는 후에 수술과 함께 리치의 흐름에 의한 기하학적 추측을 증명하는 프로그램을 개발했다. 리치 흐름은 일반적으로 특이점을 만들어내겠지만, 다지관의 위상 변화를 위한 수술을 통해 특이점을 지나 리치 흐름을 계속할 수 있을지도 모른다는 생각이다. 꾸밈없이 말하자면 리치 흐름 계약 긍정적인 곡률 지역과면서 큰번에서 왼쪽 것은"긍정적인 곡률"기하학적 구조 S3와 S2R×, 다양체의 조각들을 죽일 수 있지만 부정적인 곡률 지역을 확장시키는 쌍곡 기하학과" 얇은"gra과" 두꺼운"조각에thick–thin 분해해야 한다.ph 다지관

2003년, 그리고리 페렐만은 리치 흐름이 정말로 특이점을 지나 계속될 수 있다는 것을 보여줌으로써 기하학적 추측의 증거를 스케치했고, 위에서 설명한 행동을 가지고 있다. Perelman의 기하학적 추측에 대한 증거를 검증하는 데 있어서 가장 큰 어려움은 사전 인쇄물인 '3마니폴드 수술과 함께 Ricci Flow'에서 그의 정리 7.4를 비판적으로 사용한 것이었다. 이 정리는 증거도 없이 페렐만이 진술했다. 현재 페렐만의 정리 7.4에 대한 여러 가지 다른 증명, 즉 그 변형이 기하학적 형성을 증명하기에 충분하다. 시오야와 야마구치 논문이 있는데, 페렐만의 안정 정리, 알렉상드로프 공간의 진동 정리 등을 사용한다.^[2][3][4] 이 방법은 기하학의 증명으로 이어지는 상세한 내용을 담은 것으로 브루스 클라이너와 존 로트의 박람회에서 찾아볼 수 있다.^[5]

페렐만의 기하학 증명 마지막 부분의 두 번째 경로는 베시에르 외 연구소의 방법인데,^[6][7] 하켄 다지관에 대해서는 Thurston의 하이퍼볼라이제이션 정리, 3마니폴드에 대해서는 그로모프의 규범을 사용한다.^[8][9] 유럽수학회에 의해 유럽수학회에 의해 증명서의 완전한 세부사항을 가진 같은 저자들의 책이 출판되었다.^[10]

또 페렐만의 정리 7.4에 대한 증빙을 담고 있는 모건과 톈의 논문,^[11] 클라이너와 롯트의 또 다른 논문,^[12] 짱구오 조와 지안게의 논문이 있다.^[13]

메모들

참조

• L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathical 13권. 2010년 취리히의 유럽 수학 협회. [1]
• M. 대칭이 있는 3-매니폴드의 Boileau Geometrization
• F. 기하학적 위상 안내 책자(2002) 외피에 있는 보나온 기하학적 구조
• 앨런 해처: 기본 3-매니폴드 토폴로지 2000에 대한 참고사항
• J. Isenberg, M. Jackson, Ricci 흐름은 리만비아의 다지관 J. Diff에 지역적으로 균일한 기하학적 구조를 가지고 있다. 지검 35호(1992년) 3호 723-741.
• G. Perelman, Ricci 흐름에 대한 엔트로피 공식과 그것의 기하학적 적용, 2002
• G. Perelman, Ricci는 2003년 3마니폴드 수술을 받았다.
• G. Perelman, 특정 3-매니폴드에서의 Ricci 흐름에 대한 해결책에 대한 유한 소멸 시간, 2003
• 브루스 클라이너와 존 로트, 페렐만 논문 노트(2006년 5월) (페렐만의 기하학적 추측에 대한 증명의 세부 내용 속 fills in the details of Perelman's papers)
• Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (June 2006). "A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures: Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow" (PDF). Asian Journal of Mathematics. 10 (2): 165–498. doi:10.4310/AJM.2006.v10.n2.a2. Retrieved 2006-07-31. 개정판(2006년 12월): 해밀턴-페렐만의 푸앵카레 추측과 기하학적 추측에 대한 증거
• 존 W. 모건 최근 푸앵카레 추측과 3마니폴드의 분류에 대한 진전. 게시판 아머. 수학. Soc. 42 (2005) No. 1, 57–78 (간단한 기사는 8개의 기하학과 기하학적 추측을 간략하게 설명하고, Perelman의 푸앵카레 추측에 대한 증거의 개요를 제시한다)
• Morgan, John W.; Fong, Frederick Tsz-Ho (2010). Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds. University Lecture Series. ISBN 978-0-8218-4963-7. Retrieved 2010-09-26.
• Morgan, John W.; Tian, Gang (2014), The Geometrization Conjecture, Clay Mathematics Monographs, vol. 5, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5201-9
• 스콧, 피터 3마니폴드의 기하학이지 (errata) 황소. 런던 수학. Soc. 15 (1983년), 5, 401–487번.
• Thurston, William P. (1982). "Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 6 (3): 357–381. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0. ISSN 0002-9904. MR 0648524. 이것은 그 추측에 대한 원론적인 진술을 제공한다.
• 윌리엄 서스턴 3차원 기하학 및 위상. 제1권. 실비오 레비에 의해 편집된다. 프린스턴 수학 시리즈, 35. 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, NJ, 1997. x+311 페이지 ISBN 0-691-08304-5 (8개의 기하학적 구조를 심층적으로 설명하고 8개의 기하학만이 존재한다는 증거)
• 윌리엄 서스턴 3-매니폴드의 기하학과 위상, 1980년 프린스턴 대학의 강의는 3-매니폴드의 기하학적 구조에 관한 것이다.

외부 링크

• "The Geometry of 3-Manifolds (video)". Archived from the original on January 27, 2010. Retrieved January 20, 2010. Poincaré와 기하학적 추측에 대한 공개 강연, C가 했다. 2006년 하버드 대학의 맥멀런.