기하학적 군론

기하학적 군론은 수학에서 그러한 군들의 대수적 특성과 이러한 군들이 작용하는 공간의 위상학적, 기하학적 특성 사이의 연관성을 탐구함으로써 최종적으로 생성된 군들의 연구에 전념하는 영역이다.일부 공간의 이온).

기하학적 군 이론의 또 다른 중요한 생각은 완전히 생성된 군 자체를 기하학적 물체로 간주하는 것이다.이것은 보통 그룹의 케일리 그래프를 연구함으로써 이루어진다. 케일리 그래프는 그래프 구조 외에 소위 단어 메트릭에 의해 주어진 메트릭 공간의 구조를 가지고 있다.

기하학적 군 이론은, 구별되는 분야로서, 비교적 새로운 것이었고, 1980년대 후반과 1990년대 초반에 명확하게 식별할 수 있는 수학의 한 분야가 되었다.기하학적 군 이론은 저차원 위상, 쌍곡 기하학, 대수적 위상, 계산적 군 이론 및 미분 기하학과 밀접하게 상호작용합니다.또한 복잡도 이론, 수리 논리학, 리 군과 그 이산적인 부분군의 연구, 동적 시스템, 확률론, K 이론, 그리고 수학의 다른 영역들과 상당한 연관성이 있다.

피에르 드 라 하페는 그의 책 기하학적 그룹 이론의 도입부에서 "제 개인적인 믿음 중 하나는 대칭과 그룹에 대한 매력이 삶의 한계에 대처하는 한 가지 방법이라는 것입니다: 우리는 우리가 볼 수 있는 것보다 더 많은 것을 인식할 수 있는 대칭을 인식하는 것을 좋아합니다.그런 의미에서 기하학적 군론의 연구는 문화의 일부이며, 수학을 가르치거나 말라메를 암송하거나 친구에게 인사하는 등 조르주 드 람이 여러 번 연습했던 몇 가지를 떠올리게 합니다."^{[1]: 3}

역사

기하학적 그룹 이론은 주로 자유 그룹의 상수로 그룹을 묘사하고 그룹 프레젠테이션, 분석을 통해 이산 집단의 특성에 관해 연구 조합 그룹 이론에서, 초기 형태는 1856년에서 발견된다 이 분야 먼저 체계적으로 발터 폰 다이크, 펠릭스 클라인의 학생에 의해 초기 1880s,[2]에서 공부하고 있었다.ic윌리엄 로완 해밀턴의 오시안 미적분학에서 그는 12면체의 모서리 그래프를 통해 20면체 대칭군을 연구했다.현재 하나의 영역으로서의 조합군 이론은 대부분 기하학적 군론에 의해 포함되고 있다.더욱이, "기하학적 그룹 이론"이라는 용어는 종종 확률론적, 측정 이론, 산술적, 분석 및 전통적인 조합적 그룹 이론의 무기고 밖에 있는 다른 접근방식을 사용하여 이산 그룹을 연구하는 것을 포함하게 되었다.

20세기 전반, 막스 덴, 제이콥 닐슨, 커트 리데미스터, 오토 슈라이어, J. H. C.의 선구적인 작품. 화이트헤드, Egbert van Kampen, 다른 것들 중에서, 몇몇 위상적이고 기하학적인 생각들을 이산적인 ^[3]그룹의 연구에 도입했습니다.기하학적 군 이론의 다른 선구자에는 작은 상쇄 이론과 베이스-세레 이론이 있다.스몰 캔슬레이션 이론은 1960년대에^[4][5] 마틴 그린들링거에 의해 도입되었고 로저 린든과 폴 ^[6]슈프에 의해 더욱 발전되었다.그것은 조합 곡률 조건을 통해 유한한 그룹 표현에 해당하는 반 캄펜 다이어그램을 연구하고 그러한 분석에서 그룹의 대수적, 알고리즘적 특성을 도출한다.1977년 Serre의 ^[7]책에 소개된 Bass-Serre 이론은 단순한 나무에 대한 집단 행동을 연구함으로써 그룹에 대한 구조 대수 정보를 도출한다.기하학적 군론의 외부적 선구자에는 특히 라이 군의 격자 연구, 클라이니아 군의 연구, 1970년대와 1980년대 초 윌리엄 서스턴의 기하학 프로그램에 의해 저차원 위상학과 쌍곡선 기하학의 진보를 포함한다.

수학의 뚜렷한 영역으로서의 기하학적 군론의 출현은 보통 1980년대 후반과 1990년대 초반으로 거슬러 올라간다.그것은 미하일 도비치 그로모프"쌍곡 그룹"[8]의 한 유한하게 생성된 그룹 대규모 부정적인 곡률는 것의 아이디어를 설명하는 쌍곡 그룹(또한 또는 Gromov-hyperbolic 또는 부정적으로 곡선word-hyperbolic)의 개념을 도입한 1987년 논문, 그리고 그의 후속 논문 Asymptotic Invari에 의해 보인다.한무한 그룹의 ^[9]ts, 준등각까지 이산 그룹을 이해하는 그로모프의 프로그램을 개략적으로 설명했다.그로모프의 연구는 이산군^[10][11][12] 연구에 변혁적인 영향을 미쳤고 "기하군 이론"이라는 문구가 곧 나타나기 시작했다.(예:^[13] 참조).

현대적인 주제와 발전

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1990년대와 2000년대 기하학 군론의 주목할 만한 주제와 발전은 다음과 같다.

• 그룹의 준등축 특성을 연구하는 그로모프의 프로그램.

이 분야에서 특히 영향력 있는 광범위한 테마는 최종 생성된 그룹을 대규모 기하학적 구조에 따라 분류하는 그로모프의 프로그램입니다^[14].형식적으로, 이는 단어 메트릭을 준등각까지 사용하여 최종 생성된 그룹을 분류하는 것을 의미한다.이 프로그램에는 다음이 포함됩니다.

1. 준등축하에서 불변하는 성질에 대한 연구.유한하게 생성된 그룹의 이러한 속성의 예로는:유한하게 생성된 그룹의 유한하게 gen.의 성장률은 유한하게 제시된 그룹의 등주 함수 또는 덴 함수 그룹의 끝의 숫자였을 것이다;한 그룹의 hyperbolicity, 쌍곡선 그룹의 도비치 그로모프 경계의 유질 동상. 형식;[15]점근 콘을 포함한다시대테드 그룹(예:^[16][17] 참조), 최종 생성된 그룹의 쾌적성, 사실상 아벨적(즉, 유한 지수의 아벨적 부분군을 갖는 것), 사실상 제로 효용, 사실상 자유, 최종 제시 가능, 해결 가능한 단어 문제를 가진 최종 제시 가능 그룹 등.
2. 그룹에 대한 대수적 결과를 증명하기 위해 준등각 불변량을 사용하는 정리: 그로모프의 다항식 성장 정리, 스톨링스의 말단 정리, 모스토우 강성 정리.
3. 준등축 강성 이론: 주어진 군 또는 미터법에 준등축인 모든 군을 대수적으로 분류한다.이 방향은 1등급 격자의^[18] 준등축 강성에 대한 Schwartz의 연구와 Baumslag-Solitar [19]그룹의 준등축 강성에 대한 Benson Farb와 Lee Mosher의 연구에 의해 시작되었다.

• 단어-과잉어군 및 상대적으로 쌍곡선 그룹의 이론.여기서 특히 중요한 발전은 1990년대 Zlil Sela의 연구로 단어-과잉폴릭 ^[20]그룹의 동형성 문제를 해결한 것이다.비교적 쌍곡선의 군이라는 개념은 1987년^[8] 그로모프에 의해 처음 도입되었고 1990년대에 Farb와 Brian Bowditch에 ^[22]의해^[21] 다듬어졌다.상대적으로 쌍곡선 그룹에 대한 연구는 2000년대에 두드러졌다.
• 수학 논리와의 상호작용과 1차 자유군 이론의 연구.특히^[23] 유명한 타르스키 추측은 올가 칼람포비치와 알렉세이 미아스니코프의 ^[24]연구로 인해 진전되었다.한계군에 대한 연구와 비교환 대수기하학의 언어와 기계의 도입이 두드러졌다.
• 컴퓨터 과학, 복잡성 이론 및 형식 언어 이론과의 상호작용.이 주제는 자동 그룹의 ^[25]이론, 즉 최종 생성된 그룹에서 곱셈 연산에 특정한 기하학적 및 언어 이론적 조건을 부과하는 개념의 발전으로 대표된다.
• 등가 부등식, 덴 함수 및 최종 제시된 그룹에 대한 일반화 연구.여기에는 특히 Jean-Camille Birget, Alexandr olshshanski,, Eliyahu Rips 및 Mark^[26][27] Sapir의 작업이 포함되며, 최종 제시된 그룹의 가능한 Dehn 함수에 ^[28]대한 명확한 구성을 제공하는 결과도 포함된다.
• 3-매니폴드에 대한 토랄 또는 JSJ 분해 이론은 원래 피터 크로폴러에 ^[29]의해 그룹 이론 설정으로 도입되었습니다.이 개념은 많은 저자에 의해 최종적으로 제시되고 최종 생성된 ^{[30][31][32][33][34]}그룹 모두에 대해 개발되었다.
• 기하학적 분석, 이산 그룹과 관련된 C*-대수의 연구 및 자유 확률 이론과의 연관성.이 주제는 특히 노비코프 추측과 바움-코네스 추측에 대한 상당한 진보와 위상 적응성, 점근적 차원, 힐베르트 공간에 대한 균일한 내장 가능성, 급속한 붕괴 특성 등과 같은 관련 그룹 이론 개념의 개발과 연구로 나타난다(예 참조).^[35][36][37]
• 메트릭 공간에 대한 준정형 분석 이론과의 상호작용, 특히 2-구체와 ^[38][39][40]동형인 그로모프 경계를 가진 쌍곡선 그룹의 특성화에 대한 캐논의 추측과 관련된다.
• 캐논의 [41]추측과도 관련된 유한한 세분화 규칙입니다.
• 다양한 콤팩트 공간 및 그룹 콤팩트화에 대한 이산 그룹의 작용 연구 맥락에서 위상 역학과의 상호작용, 특히 수렴 그룹^[42][43] 방법
• R$$$\$ -tree(특히 립스 머신)에서의 그룹 행동 이론의 개발 및 그 응용.^[44]
• 알렉산드로프 기하학의 아이디어에 의해 동기부여된 CAT(0) 공간과 CAT(0) 입방체 ^[45]복합체에 대한 그룹 작용 연구.
• 저차원 위상 및 쌍곡선 기하학과의 상호작용, 특히 3-매니폴드 그룹(예:^[46] 참조), 표면의 매핑 클래스 그룹, 땋은 그룹 및 클라이니아 그룹과의 상호작용.
• "랜덤" 그룹 이론 객체(그룹, 그룹 요소, 하위 그룹 등)의 대수적 특성을 연구하기 위한 확률론적 방법의 도입.여기서 특히 중요한 발전은 힐베르트 공간에 균일하게 내장할 수 없는 최종 생성 그룹의 존재를 증명하기 위해^[47] 확률론적 방법을 사용한 그로모프의 연구이다.다른 주목할 만한 개발에는 그룹 이론 및 기타 수학적 알고리즘에 대한 일반 사례 복잡성^[48] 개념의 도입과 연구가 포함되며,^[49] 일반 그룹에 대한 대수적 강성 결과도 포함된다.
• 오토마타 군과 단색 군을 무한 뿌리 나무의 자기동형성 군으로 반복하는 연구.특히 그리고르추크의 중간 성장 그룹과 그 일반화가 이 ^[50][51]맥락에서 나타난다.
• 측정 공간에 대한 집단 작용의 측정 이론 특성에 대한 연구, 특히 측정 등가성과 궤도 등가성의 개념의 도입과 개발 및 Mostow ^[52][53]강성의 측정 이론 일반화.
• 이산 그룹의 단일 표현과 카즈단의 특성 연구(T)^[54]
• Out(F_n)(등급 n의 자유 그룹의 외부 자기동형군)과 자유 그룹의 개별 자기동형성에 대한 연구.여기서 Culler-Vogtmann의 우주공간^[55] 소개와 연구, 그리고 자유집단 자기모형에 대한 기차^[56] 선로 이론이 특히 중요한 역할을 했다.
• Bass-Serre 이론, 특히 다양한 접근성^[57][58][59] 결과와 나무 ^[60]격자의 이론의 개발.집단의 ^[45]복합체 이론과 같은 베이스-세레 이론의 일반화.
• 그룹 및 관련 경계 이론, 특히 포아송 경계 개념에 대한 무작위 보행 연구(^[61]예: 참조).쾌적성 및 쾌적성 상태가 아직 알려지지 않은 그룹에 대한 연구.
• 유한 그룹 이론과의 상호작용, 특히 부분군 ^[62]성장 연구의 진전.
• 기하학적 방법(예: 건물),$$대수 기하학적 도구(예: 대수적 그룹 및 표현 다양성), 분석 방법(예: 힐베르트 공간 및 산술 방법)을 통해 S L$displaystyle$ SL$(n,\mathbbb {R$과 $같은{\displaystyle }$ 선형 그룹의 부분군과 격자를 연구한다.
• 대수적 및 위상학적 방법을 사용하는 그룹 코호몰로지, 특히 조합적 맥락에서 대수적 위상과의 상호작용 및 모르스 이론적 아이디어의 사용을 포함한다. 대규모 또는 조잡한 (예:^[63] 참조) 호모로지 및 코호몰로지 방법.
• 진전이 번 같은 전통적인 조합 그룹 이론 주제이고 그래서(방법 이 질문들을 연구하곤 현재 종종 위상 기하학적이다)에 Coxeter 단체와 아르틴. Emil. 팀의 연구 결과 problem,[64][65].

예

다음 예들은 종종 기하학적 그룹 이론에:공부하게 된다.

「 」를 참조해 주세요.

• 무료 상품으로 그룹을 전시하는 유용한 방법인 탁구 보조 식품
• 어메너블
• 닐슨 변환
• Tietze 변환

레퍼런스

책과 논문

이 텍스트들은 기하학적 군론과 관련된 주제들을 다룬다.

• Bowditch, Brian H. (2006). A course on geometric group theory. MSJ Memoirs. Vol. 16. Tokyo: Mathematical Society of Japan. ISBN 4-931469-35-3.
• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Vol. 319. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9.
• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes : les groupes hyperboliques de Gromov. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1441. Springer-Verlag. ISBN 3-540-52977-2. MR 1075994.

• Clay, Matt; Margalit, Dan (2017). Office Hours with a Geometric Group Theorist. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15866-2.

• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Symbolic dynamics and hyperbolic groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1539. Springer-Verlag. ISBN 3-540-56499-3.
• de la Harpe, P. (2000). Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-31719-6.
• Druţu, Cornelia; Kapovich, Michael (2018). Geometric Group Theory (PDF). American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 63. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1104-6. MR 3753580.
• Epstein, D.B.A.; Cannon, J.W.; Holt, D.; Levy, S.; Paterson, M.; Thurston, W. (1992). Word Processing in Groups. Jones and Bartlett. ISBN 0-86720-244-0.
• Gromov, M. (1987). "Hyperbolic Groups". In Gersten, G.M. (ed.). Essays in Group Theory. Vol. 8. MSRI. pp. 75–263. ISBN 0-387-96618-8.
• Gromov, Mikhael (1993). "Asymptotic invariants of infinite groups". In Niblo, G.A.; Roller, M.A. (eds.). Geometric Group Theory: Proceedings of the Symposium held in Sussex 1991. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 2. Cambridge University Press. pp. 1–295. ISBN 978-0-521-44680-8.
• Kapovich, M. (2001). Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups. Progress in Mathematics. Vol. 183. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3904-4.
• Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (2015) [1977]. Combinatorial Group Theory. Classics in mathematics. Springer. ISBN 978-3-642-61896-3.
• Ol'shanskii, A.Yu. (2012) [1991]. Geometry of Defining Relations in Groups. Springer. ISBN 978-94-011-3618-1.
• Roe, John (2003). Lectures on Coarse Geometry. University Lecture Series. Vol. 31. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3332-2.

외부 링크

• Jon McCammond의 기하학적 군 이론 페이지
• 기하학적 군 이론이란 무엇인가?다니엘 와이즈 지음
• 조합 및 기하학적 군론의 미해결 문제
• 기하학 군론 주제 arxiv.org