투영(선형 대수)

변환 P는 직선 m에 대한 직교 투영입니다.

선형대수 및 함수해석학에서 투영이란 벡터공간에서 자기( $내형사상)$ 로의 $선형변환$ P(\ $displaystyle$ P\ $circ$ P $=P$ 로 $P$ $,$ 즉 임의의 벡터에 P(\ $displaystyle$ P $)$ 를 $P$ 2회 적용할 $P$ 마다(한 번 적용한 경우) 동일한 결과를 얻을 수 있다. $(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 유휴 상태입니다.이미지를 변경하지 않습니다.^[1]이 "투영"의 정의는 그래픽 투영의 개념을 공식화하고 일반화합니다.또한 객체의 점에 대한 투영 효과를 조사하여 기하학적 객체에 대한 투영 효과를 고려할 수도 있습니다.

정의들

벡터 $공간$ V({ $displaystyle$ V})의 $V$ 투영법은 선형 $P:V\to V$ P $P:V\to V$ $P:V\to V$ ({ $displaystyle$ P $:$ $P^{2}=P$ = $P^{2}=P$ { $displaystyle$ P $^{2$ } $= P$ 가 $P^{2}=P$ V $\to$ V $.$

V $({displaystyle$ V $})$ 가 $V$ 내부 제품을 가지고 있고 완성된 $경우$ (즉, V $({displaystyle$ V $}$ 가 $V$ Hilbert 공간인 $경우$ ) 직교 개념을 사용할 수 있습니다.Hilbert $V$ 의 $V$ $투영$ P({ $displaystyle$ V $})$ 가 $P$ $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ P $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ x, y $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ , $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ y ${\$ { $displaystyle P\mathbf {x},$ \ $mathbf {y}$ \ $rangle = \mathbp}$ 를 $만족$ 하면 직교 투영이라고 합니다. $}$ \ $in$ V $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ 직교하지 않은 힐베르트 공간의 투영을 경사 투영이라고 합니다 $.$

투영 매트릭스

$P^{2}=P$ 차원 경우 정사각형 $행렬$ P $(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 정사각형 행렬 P $(\displaystyle$ P $^{2}=P$ ^[2]^{: p. 38}와 같으면 $P^{2}=P$ 행렬이라고 한다.
$제곱행렬$ P $({displaystyle$ P})는 $P$ 실행렬의 $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ P2 = $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ P T({ $displaystyle$ P^{2 $}=P=P^{\$ mathrm { $T}})$ 이면 $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ 직교투영행렬이라고 하며, P2 $P^{2}=P=P^{*}$ P $=$ P = $P^{2}=P=P^{*}$ = P = P = $P^{2}=P=P^{*}$ = P （\ $displaystyle$ P } ） $P^{2}=P=P^{*}$ = P = P } = P （ displaystyle P ） $P^{2}=P=P^{*}$ P $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ P ） = $P^{2}=P=P^{*}$ P = P （ displaystyle P $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ P $(\displaystyle$ P $)$ $P^{*}$ P $(\$ P $^{*})$ 의 $P^{*}$ ranspose는 P $(\displaystyle$ P $P$ ^[2]^{: p. 223}의 인접 또는 에르미트 전치입니다.
직교 투영 행렬이 아닌 투영 행렬을 경사 투영 행렬이라고 합니다.

투영 행렬의 고유값은 0 또는 1이어야 합니다.

예

직교 투영

예를 들어 3차원 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ 의 $\mathbb {R} ^{3}$ 점 $(x,y,z)$ $x$ $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ $)$ {{ $displaystyle(x,y,z$ )}{displaystyle \ $mathbb {R}^{$ 3}})을 $(x,y,z)$ $\mathbb {R} ^{3}$ 점 $,y,0)$ 에 $(x,y,0)$ 매핑하는 함수는 xy 평면에 직교 투영됩니다.이 함수는 행렬로 표시됩니다.

({displaystyle P=bgin{bmatrix}1&0\\0&1&0\\0&0\end{bmatrix})}

임의의 벡터에 대한 이 행렬의 작용은

P{\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}x\y\\end{bmatrix}}}.

P $({displaystyle$ P $})$ 가 $P$ 투영( $P=P^{2}$ : P $P=P^{2}$ $P=P^{2}$ 2({ $displaystyle$ P $=P^{$ 2 $P=P^{2}$ 임을 $P$ 하기 위해 계산한다.

P^{2}{\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=P{\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}=p{\begin{bmatrix}\x\x}

$P^{\mathrm {T} }=P$ T $=$ {\ $displaystyle$ P $^{\mathrm {T}$ }= $P}$ 인 $P^{\mathrm {T} }=P$ $P^{\mathrm {T} }=P$ 을 관찰하면 투영이 직교 투사임을 알 수 있다.

경사 투영

비직교(사각) 투영법의 간단한 예는 다음과 같습니다.

P=begin{bmatrix}0&0\alpha&1\end{bmatrix}}.

행렬 곱셈을 통해 다음을 알 수 있습니다.

({displaystyle P^{2}=bgin{bmatrix}0&0\alpha &1\end{bmatrix}}{\alpha &1\end{bmatrix}=bgin{bmatrix}0&0\alpha &1\end{bmatrix}=P).}

P

(\displaystyle

P

)

가

P

실제로 투영된 것임을

보여줍니다

.

$P^{\mathrm {T} }=P.$ P {\ $displaystyle$ P $}$ 는 $P$ α $\alpha =0$ {\displaystyle $\alpha$ = $0}$ 인 $\alpha =0$ 경우에만 직교합니다. 그 $P^{\mathrm {T} }=P.$ 는 $P^{\mathrm {T} }=P.$ $P^{\mathrm {T} }=P.$ P $P^{\mathrm {T} }=P.$ . {\ $displaystyle$ P $^{\mathrm$ {T} } $=$ $P$ 이기 때문입니다. $}$

속성 및 분류

변환 T는 k에서 m까지의 투영입니다.T 의 범위는 m, 늘스페이스는 k 입니다.

등가성

정의상 $투영$ P({ $displaystyle$ P})는 $P$ 아이돌포텐트입니다( $P^{2}=P$ , $P^{2}=P$ $= P$ ({ $displaystyle$ P $^{2}=$ P}). $P^{2}=P$

이미지와 커널의 상보성

W $(\displaystyle$ W $)$ 를 $W$ 유한 차원 벡터 공간, $P$ (\ $displaystyle$ P $)$ 를 $P$ W $(\displaystyle$ W $W$ 에 투영한다고 $W$ 합니다. $서브스페이스$ U(\ $displaystyle$ U $)$ 와 $U$ V $(\displaystyle$ V $)$ 를 $V$ 각각P(\ $displaystyle$ P $)$ 의 $P$ 이미지와 커널이라고 가정합니다. $P$ {\ $displaystyle$ P $}$ 에는 $P$ 다음과 같은 속성이 있습니다.

$P$ {\ $displaystyle$ P $}$ 는 $P$ U {\ $displaystyle$ U $U$ 의 ID $연산자$ I {\ $displaystyle$ I $}$ 입니다 $I$ . $\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .}$
$W=U\oplus V$ W $W=U\oplus V$ $W=U\oplus V$ V {\ $displaystyle$ W $=$ $U$ $\oplus$ V $W=U\oplus V$ 가 있습니다. 모든 $\mathbf {x} \in W$ x $\mathbf {x} \in W$ W {\ $displaystyle \mathbf {x}$ \ $in$ W $}$ 는 $\mathbf {x} \in W$ x $\mathbf {u} =P\mathbf {x}$ $\mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$ + $\mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$ { $displaystyle \mathbf {x}$ =\ $mathbf$ {u} +\ $mathbf}$ 로 $\mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$ 고유하게 분해될 수 있습니다 $.$ $(\$ = $\mathbf$ {x} $-P\mathbf {x$ } =\ $left$ $(I-P\right)\mathbf$ { $x$ $}$ $\mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(I-P\right)\mathbf {x}$ 및 $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.$ 서 $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.$ $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.$ V $.$ { $displaystyle \mathbf {u},$ \ $in$ } V $.$

프로젝션의 이미지와 커널은 상호 보완적이며 $,$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 와 $P$ Q $Q=I-P$ - P(\ $displaystyle$ Q=I-P $Q=I-P$ 와 $P$ 로 $연산자$ Q(\ $displaystyle$ Q $)$ 도 $Q$ 프로젝션이며 $P$ $,$ P(\ $displaystyle$ P)의 이미지와 커널이Q(\ $display style$ Q $)$ 의 $Q$ 커널과 이미지가 됩니다.P $(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ V $(\$ $displaystyle$ V $)$ $U$ 를 $V$ $따라$ U $($ 커널 $/$ 이미지)에 투영된 $Q$ 이고Q(\ $displaystyle$ Q $)$ 는 $Q$ U $(\displaystyle$ U $)$ 를 $U$ $따라$ V $(\displaystyle$ V $V$ 에 투영된 $P$ 입니다.

스펙트럼

무한 차원 벡터 공간에서 투영 스펙트럼은 다음과 같이 { $\{0,1\}$ , $\{0,1\}$ $}$ { $displaystyle$ \ { $0$ , $1$ \ } 에 $\{0,1\}$ 포함됩니다.

{\displaystyle(\displayda I-P)^{-1}=displayfrac {1}{\frac {1}{\displayda - 1)}P.}

0 또는 1만 투영 고유값이 될 수 있습니다.이는 직교 투영

(\displaystyle

P

)

가

P

항상 양의 반확정 행렬임을 의미합니다.일반적으로 대응하는 eigenspace는 (각각) 투영 커널과 범위입니다.벡터 공간을 직접 합계로 분해하는 것은 고유하지 않습니다.따라서

서브스페이스

V {\

displaystyle

V

V

를 지정하면 범위(또는 커널)가

V {\

displaystyle

V

V

인 많은 투영이 있을 수 있습니다.

투영이 중요하지 않은 경우에는 최소 $x^{2}-x=x(x-1)$ $x^{2}-x=x(x-1)$ 2 $x^{2}-x=x(x-1)$ - $x^{2}-x=x(x-1)$ $x^{2}-x=x(x-1)$ ( $x^{2}-x=x(x-1)$ - $x^{2}-x=x(x-1)$ ) $x^{2}-x=x(x-1)$ { $display$ x $^{2}-x=x(x-1$ 를 가지며, 이는 $P$ 의 선형 인자로 인수되어 P ${\display$ P $}$ 는 $P$ 대각선화 가능하다.

★★★★★★★★★★★★★★★▼

투영의 곱은 직교하더라도 일반적으로 투영이 아닙니다.두 개의 투영법이 통근하는 경우, 그 곱은 투영법이지만, 그 반대가 거짓입니다. 즉, 두 개의 비통전 투영법의 곱은 투영법일 수 있습니다.

두 개의 직교 투영법이 통근하는 경우 해당 곱은 직교 투영법입니다.두 직교 투영법의 곱이 직교 투영인 경우 두 직교 투영법이 통근합니다(더 일반적으로 두 개의 자기 접합 내형상이 자기 접합인 경우에만 통근합니다).

직교 투영

벡터 $공간$ W(\ $displaystyle$ W $)$ 가 $W$ 내적을 가지며 완전한(힐버트 공간) 경우 직교 개념을 사용할 수 있습니다.직교 투영이란 $범위$ U(\ $displaystyle$ U $)$ 와 $U$ Null $공간$ V(\ $displaystyle$ V $)$ 가 $V$ 직교 하위 공간인 투영입니다.따라서 W $({displaystyle$ $\mathbf {x}$ W $W$ 의 $\mathbf {x}$ (\displaystyle \ $mathbf$ {x $})$ $\mathbf {y}$ $y(\$ displaystyle \ $mathbf$ {y $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ 에 $\mathbf {y}$ 대해 $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ x ) $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ ( $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ - $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ ) $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ 、 $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ 0 \ $displaystyle P$ \ $mathb f$ ${$ $x }$ { x },ntly:

\displaystyle \mathbf {x}, P\mathbf {y}, P\mathbf {x}, P\mathbf {y}, \mathbf {x}, \mathbf {y}.}

투영은 자가접합인 경우에만 직교합니다. $P\mathbf {x} \in U$ $(\displaystyle$ W $)$ 의 $W$ $P$ $(\$ 및 $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$ $\mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V$ $displaystyle$ \ $mathbf {y})$ 에 $\mathbf {y}$ 대해P $(\displaystyle$ P $\mathbf {x$ 의 자기접합 및 등가 $.$

\displaystyle P\mathbf {x},\mathbf {y},\mathbf {y},\mathbf {x},\mathbf {y},\mathbf {y},\mathbf {y},\mathbf {y},\p},\p},\P,

여기서

\langle \cdot ,\cdot \rangle

\langle \cdot ,\cdot \rangle

\langle \cdot ,\cdot \rangle

、 display

、

display

、 { displaystyle \

langle

\

cdot

, \

cdot

\

rangle }

은

\langle \cdot ,\cdot \rangle

W {

displaystyle

W

W

와

W

된 내부 제품이므로

P { \

displaystyle

P

}

와

P

I-P

I -

I-P

{

displaystyle I-P}

는

I-P

직교 ^[3]투영입니다.다른 방향, 즉 P

(\displaystyle

P

)

가

P

직교하면

P

(\displaystyle P)가 자기접합인 방향은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {x}, P\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x},\mathbf {y},\rangle =\mathbf {x},P^{*}\mathbf {y}

W의

x

(\

displaystyle

x)

및

y(\

displaystyle

Y

W

에

y

대해 P

P=P^{*}

P=P^{*}

{\

{\

displaystyle

P =

P

입니다.

존재 증명

$($ 디스플레이 $스타일$ H $)$ 를 $H$ 내부곱과 함께 완전한 메트릭 공간, U $(디스플레이 스타일$ U $)$ 를 $U$ H $(디스플레이 스타일$ H $)$ 의 닫힌 선형 부분 공간(따라서 완전)으로 합니다.

모든 $\mathbf {x}$ (\ $displaystyle \mathbf {x})$ 에 $\mathbf {x}$ $\{\|\mathbf {x} -\mathbf {u} \|:\mathbf {u} \in U\}$ 대해 음이 아닌 norm-value $\{\|\mathbf {x} -\mathbf {u} \|:\mathbf {u} \in U\}$ x $\{\|\mathbf {x} -\mathbf {u} \|:\mathbf {u} \in U\}$ $}$ ${\display \{\$ mathbf { $x}$ -\mathbf { $u}$ \ $in$ U $\}$ \ :\ $mathbf$ {u} \in U $\}$ \ $styledisplay$ 의 $U$ 은 $Ustyle이다$ $P\mathbf {x}$ x {\ $displaystyle$ P $\mathbf {x}$ 를 $P\mathbf {x}$ 이 최소값을 $구하는$ U {\ $displaystyle$ U $}$ 의 $U$ 점으로 $P\mathbf {x}$ 합니다.

$P\mathbf {x}$ x {\ $displaystyle$ P $\mathbf$ $P\mathbf {x}$ { $x}$ 은 $P\mathbf {x}$ $($ 는 $)$ U {\ $displaystyle$ U $U$ 에 있습니다. $P\mathbf {x}$ x { $x}$ 은 $P\mathbf {x}$ $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0$ 는) $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0$ x - P $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0$ , $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0$ x $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0$ $=$ 0 {\ $displaystyle \mathbf {$ x} - $\mathbf {x}$ 를 $P\mathbf {x}$ 합니다.

a $=$ - $\mathbf {a} =\mathbf {x} -P\mathbf {x}$ x \ $mathbf {a}$ =\ $mathbf {x} -P\mathbf {x}$ $\mathbf {a} =\mathbf {x} -P\mathbf {x}$ 을(를) $\mathbf {a} =\mathbf {x} -P\mathbf {x}$ 합니다. U{\ $displaystyle$ $\mathbf {v}$ U $U$ 에서 0이 $\mathbf {v}$ 모든 $\mathbf {v}$ v {\ $displaystyle$ \mathbf ${v} }$ }에 $\mathbf {v}$ 대해 다음과 같이 고정됩니다.

\displaystyle \left \mathbf {a} - {\frac {v} \rangle } {\mathbf {v} \mathbf {v} \right \ ^2} = \ \ \ \ mathbf {a } - {\frac {a } {\mathbf}

xw)P를 정의함으로써+}}\mathbf{v}}우리는)저 ‖− w‖<>를 참조하십시오. ‖)− P)‖{\displaystyle)\mathbf{)}-\mathbf{w})<>)\mathbf{)}-P\mathbf{)}\와 같이}지 않는 한 ⟨, v⟩ ‖ v‖ 2v{\displaystyle \mathbf{w}=P\mathbf{)}+{\frac{\langle \mathbf{},\mathbf{v}\rangle}{)\mathbf{v})^{2}⟨.a

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle

"\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {v}

\

rangle }

가 사라집니다

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle

.

P\mathbf {x}

x {\

displaystyle

P

\mathbf {x}

가

P\mathbf {x}

상기 집합의 최소값으로

P\mathbf {x}

되었으므로,

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle

a

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle

{\

\

displaystyle

\

langle \mathbf {a},

\

mathbf {v}

\

rangle }

이

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle

(가) 실제로 사라진다.특히 (y

\mathbf {y} =P\mathbf {x}

\mathbf {y} =P\mathbf {x}

\

displaystyle \mathbf {y} = P\mathbf {x} }

의

\mathbf {y} =P\mathbf {x}

):

\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0

x -

\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0

,

\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0

x

\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0

\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0

0 {

displaystyle \scle \mathbf {x}

-

P \mathbf {x}

\

rangle

=

0

} ）

\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0

。

선형성은 $\mathbf {v} \in U$ v $\mathbf {v} \in U$ U {\ $displaystyle \mathbf {v}$ \ $in$ U에 $\mathbf {v} \in U$ 대해 $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,\mathbf {v} \rangle$ x $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,\mathbf {v} \rangle$ - $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,\mathbf {v} \rangle$ x $}$ - $P \mathbf {x}$ , \ $mathbf {v}$ \ $rangle }$ 가 $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,\mathbf {v} \rangle$ 소실된 후 발생합니다.

+\ \+\ \ \displaystyle \le \left(\mathbf {x} +\mathbf {x} \right} \mathbf} \mathbf} \right} \mathbf {\f {\f} \right} \mathbf} \

\ \ \displaystyle \le \left(\mathbf {x} - P\right)

방정식의 차이를 구하면

++\ \ \displaystyle P\mathbf {x} +P\mathbf {y} +\mathbf}

그러나 v

\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

+

\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

y -

\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

(

\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

+

\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

){

displaystyle \mathbf {v}

=

P\mathbf

{

x

} +

P\mathbf {y}

-P(\

mathbf

{x}

+\

mathbf

{

y

U

)를

\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

할 수 있기 때문에

,

P는

P\mathbf {x} +P\mathbf {y} =P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

과

P\mathbf {x} +P\mathbf {y} =P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )

ave

\lambda

\lambda P\mathbf {x} =P(\lambda \mathbf {x} )

x

\lambda P\mathbf {x} =P(\lambda \mathbf {x} )

(

\lambda P\mathbf {x} =P(\lambda \mathbf {x} )

x

\lambda P\mathbf {x} =P(\lambda \mathbf {x} )

) \

displaystyle \

da

P \

mathbf { x

} =

P

( \

lambda

\

mathbf { x

\lambda

)

。

및

직교 투영법은 유계 연산자입니다.이는 벡터 공간의 모든 $(\$ 에 $\mathbf {v}$ 대해 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음과 같이 계산되기 때문입니다.

\\mathbf { \ P \\P \cdot \P\mathbf {v} \right\^{2}=\cdle P\mathbf {v} \rangle P\mathbf {v} \rangle \leq \left \P\mathbf {v} \cdot \right \cdot \cdot

따라서

\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|

"

\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|

v

\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|

"

\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|

"v

"

"{

displaystyle \left\P\mathbf {v}\right\leq \left\\mathbf {v}\right\"

입니다

\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|

유한 차원 복소수 또는 실 벡터 공간의 경우 표준 내부곱은 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ display $（$ \ $displaystyle$ \ $langle$ \ $cdot$ ）、 \ $cdot$ \ rangle $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 로 대체할 수 있습니다.

★★★

직교 투영법이 선 위에 있을 때 간단한 경우가 발생합니다.u $(\displaystyle$ \ $mathbf$ {u $})$ 가 $\mathbf u$ 선상의 단위 벡터일 $\mathbf {u}$ 외부 곱에 의해 투영됩니다.

\displaystyle P_{\mathbf {u}=\mathbf {u}\mathbf {u}^{\mathsf {T}}.}

(u

\mathbf {u}

\

mathbf

{u

}}

이(가) 복소수 값인

\mathbf {u}

위 방정식의 전치(transpose)는 에르미트 전치(Hermitian transpose)로 대체됩니다).이 연산자는 u를 불변으로 유지하며

u에 직교

하는 모든 벡터를 제거하여 ^[4]u를 포함하는 선에 대한 직교 투영임을 증명합니다.이를 확인하는 간단한 방법은 임의의

\mathbf {x}

x(\

displaystyle \mathbf {x})

를

\mathbf {x}

선상의 성분(즉, 우리가 찾는 투영 벡터)과 그에 수직인

\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }

성분 x

\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }

\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }

+ + x

{\

{

displaystyle \mathbf {x} =

\

mathbf {

x}

_\per

} \

mathbf

{

x}

{x} _x}로 간주하는 것입니다.

P_{\mathbf {u} =\mathbf {u} ^{\mathbf {x} +\mathbf {u} ^{\mathbf {T} } =\ {} {x =\mathbf {u

평행 벡터 및 수직 벡터의 점곱의 특성에 의해 결정됩니다.

이 공식은 임의 차원의 부분 공간에 직교 투영으로 일반화할 수 있습니다. $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ 1, $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ $\$ $style$ $\mathbf {u}$ _ ${1},\ldots,\$ $mathbf$ ${u$ $U$ _ ${k}$ 로 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ , $A$ \ $displaystyle$ 는 $A$ $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ n $n\times k$ × $n\times k$ \ $displaystyle$ ${\$ $times$ $}$ 의 $n \times k$ $n\times k$ 을 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ . $\mathbf {u} _{k$ 즉 A $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ [ $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ 1 $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ k $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ ] { $display style$ A = $begin {bmatrix$ }\ $mathbf {u}$ _ {1} & \ $cdots$ & \ $mathbf {u} _$ { $}$ \ $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ $}$ 그런 다음 다음과 ^[5]같이 투영합니다.

param 디스플레이 스타일 P_{A}={A}=AA^{\mathsf {T}}

쓸 수 있어요.

P_{A}=\sum _{i}\sum \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.

$A^{\mathsf {T}}$ A $($ 스타일 A $^{\mathsf {T})$ 는 $A^{\mathsf {T}}$ U $(표시 스타일$ U $)$ 의 $U$ 직교 상보에서 소실되는 부분등각계이며, $(표시 스타일$ A $)$ 는 $A$ U $(표시 스타일$ U $)$ 를 $U$ 기본 벡터 공간에 $U$ 하는 등각계이다. $P_{A}$ $PA(\$ displaystyle $P_{A$ })의 $P_{A}$ 범위는 A $(\displaystyle$ A $A$ 의 마지막 공간입니다. $AA^{\mathsf {T}}$ A $(\$ AA $^{\mathsf$ {T $})$ 가 $AA^{\mathsf {T}}$ $U$ (\ $displaystyle$ U $U$ 의 ID 연산자임이 $AA^{\mathsf {T}}$ 합니다.

직교 정규성 조건도 폐기할 수 있습니다. $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ 1, $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ $uk$ style $\mathbf {u} _{1$ },\ldots $,\mathbf {u} _{$ k $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ }}이(가) $A$ 이고 A{\ $displaystyle$ A $}$ 이 $A$ (가) 이러한 벡터를 열로 하는 행렬인 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ 투영법은 다음과 같습니다.^[6]^[7]

P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}A\mathsf {T}})^{-1}A^{\mathsf {T}}}}.

$행렬$ A $($ 디스플레이 스타일 A $)$ 는 $A$ 여전히 U $(디스플레이 스타일$ U $)$ 를 $U$ 기본 벡터 공간에 $U$ 시키지만, 더 이상 일반적인 등각계가 아닙니다.행렬 $\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}$ $\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}$ ) - $(\$ 은 $\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}$ 노름을 회복하는 "정규화 계수"입니다.예를 들어 랭크 1 $\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ T ${\$ 는 $\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ $\left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.$ $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ $\left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.$ } 1 $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ $\left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.$ \ $displaystyle \left$ $\mathbf {u}$ \ $right \neq$ $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ 1)로 $\left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.$ $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ 후 투사가 아닙니다 $.$ $^{2}}$ 우리는 $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ u $display$ style \ $mathbf {u}$ \ $left(\mathbf {u} ^{\mathbf {u}$ \ $right)$ {{- $1}\mathbf {u} ^{\mathbf {u}$ u} $u$ u $\mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ $styledisplay$ 에 $의해$ space에 $\mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ u( $u$ 를 $\mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ .

일반적인 $D$ 경우, 내부적 $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ x $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ D $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ D $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ { $displaystyle$ $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ \ $displayle$ x , $y$ \ $rangle$ _ { D } = $y^{$ \ $dagger$ } $Dx$ } by $P_{A}$ ${\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \operatorname {range} (A)}\left\|x-y\right\|_{D}^{2}}$ definite definite definite definite definite definite $P_{A}$ definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite definite $definite$ 。 ${\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \operatorname {range} (A)}\left\|x-y\right\|_{D}^{2}}$ {\ $textstyle P_{A}x=\operatorname {range}(A)}\left\x-y\right\_{D}^2$ 그러면

P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}})DA^{-1}A^{\mathsf {T}}D.

프레임에 의해 투영 범위 공간이 생성되는 경우(즉, 생성기 수가 치수보다 큰 경우), 투영 공식은 $P_{A}=AA^{+}$ A $=$ $P_{A}=AA^{+}$ + {\ $P_{A}=AA^{+}$ $P_{A$ }=의 형태를 취합니다. $AA$ $A^{+}$ 서 A $A^{+}$ +(\ $displaystyle$ A $^{+})$ 는 $A^{+}$ Moore-Penrose 유사 역행의 약자입니다.이는 투영 연산자를 구성하는 많은 방법 중 하나에 불과합니다.

${\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}$ $]$ { $style$ } { $begin$ { $bmatrix$ } A $&$ $B\end{bmatrix}}$ 는 ${\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}$ 비표준 $A^{\mathsf {T}}B=0$ 이며, $A^{\mathsf {T}}B=0$ $A^{\mathsf {T}}B=0$ $A^{\mathsf {T}}B=0$ $=$ 0 {\ $displaystyle$ A $^{\mathsf {T}B=$ 0}( $A^{\mathsf {T}}B=0$ $,$ B {\ $displaystyle$ B}는 $B$ A {\ $displaystyle$ A $}$ ^[8]의 null 공간 행렬)은 다음과 같습니다.

I&=(bigin {bmatrix} A&)B\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}\&=bmatrix}A&B\end {bmatrix}}\left({\begin {bmatrix}))A^{\mathsf {T}}\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}A&B\end {bmatrix}\right)^{-1}{\begin {bmatrix}A^{\mathsf {T}}\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}\&=bmatrix}A&B\end {bmatrix}{\begin {bmatrix}A^{\mathsf {T}A&O\O&B^{\mathsf {T}B\end{bmatrix}{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\[4pt]& {오른쪽오른쪽A\left(A\mathsf {T})A^{-1}A^{\mathsf {T}}+B\left(B^{\mathsf {T}}\mathsf {T}}})^{-1}B^{\mathsf {T}}}\endaligned}}}}}}

직교조건이 A $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ B $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ W $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ $=$ $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ (\ $displaystyle$ A $^{\mathsf {T})$ 로 강화되었을 경우WB $=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=$ 0 $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ }는W {\ $display$ W $}$ 가 $W$ 비표준이며, 다음이 유지됩니다.

&{\displaystyle I=bmatrix}A&B\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}))WA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\left(B^{\mathsf {T})WB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end {bmatrix}W.}

이 모든 공식은 전치 대신 켤레 전치가 사용되는 경우 복잡한 내부 곱 공간에도 적용됩니다.프로젝터 합계에 대한 자세한 내용은 Banerjee와 Roy(2014)^[9]를 참조하십시오.기본 구면 삼각법에서의 프로젝터 합계의 적용에 대해서는 Banerjee(2004)^[10]도 참조한다.

투영

비스듬한 투영이라는 용어는 비직교 투영을 가리키는 데 사용되기도 합니다.이러한 투영법은 직교 투영만큼 자주 나타나지는 않지만 2차원 도면(사선 투영 참조)에서 공간 도형을 나타내는 데에도 사용됩니다.일반 최소 제곱법의 적합치를 계산하려면 직교 투영법이 필요한 반면, 계측 변수 회귀 분석의 적합치를 계산하려면 경사 투영법이 필요합니다.

투영도는 해당 null 공간과 범위를 특성화하는 데 사용되는 기저 벡터(null 공간의 보완)로 정의됩니다.이러한 기준 벡터가 Null 공간과 직교하는 경우 투영도는 직교 투영입니다.이러한 기준 벡터가 Null 공간과 직교하지 않을 경우 투영도는 경사 투영입니다. $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ 1, $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ $\$ _ ${k}$ 를 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ 투영 범위의 기초가 되도록 하고, 이러한 벡터를 $n\times k$ n × $n\times k$ \ $displaystyle$ n $\times$ k $}$ $A$ A {\ $displaystyle$ A $A$ 에 결합합니다.범위와 늘스페이스는 상보공간이므로 늘스페이스는 $n-k$ - $n-k$ (\ $displaystyle n-k$ 입니다.따라서 늘스페이스의 직교상보에는 $(\displaystyle$ k $k$ 가 됩니다. $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ 1, $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ \ $displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots,\mathbf {v}_k}$ 는 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ 직교상보존재합니다.nal은 영사영역의 늘스페이스를 보완하고 이들 벡터를 $행렬$ B(\ $displaystyle$ B $B$ 에 결합합니다.그러면 영사는 다음과 같이 정의됩니다.

{{displaystyle P=A\left(B^{\mathsf {T}A\right)}^{-1}B^{\mathsf {T}}}}.}

이 식은 ^[11]^[12]위에 주어진 직교 투영 공식을 일반화합니다.

찾기

V{\ $displaystyle$ V $}$ 를 $V$ 직교 $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$ $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$ 1, $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$ 2, $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$ $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$ p { $displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots,\mathbf {u}$ _ ${p$ 에 의해 스팬된 벡터 공간 $($ 이 경우 평면)이라고 $합니다$ .\ $displaystyle$ y를 벡터라고 $y$ $합니다$ .V $({displaystyle$ V $})$ 에 $V$ 대한 y $(\displaystyle$ \ $mathbf {y})$ $\mathbf {y}$ 을 $\mathbf {y}$ 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\ {{V} \ \ ^{i}} \protername} \operf

여기서 반복 인덱스가 합산됩니다(아인슈타인 합계 표기).

\mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z}

\mathbf {y}

y(\

displaystyle \mathbf {y})

는

\mathbf {y}

y

=

\mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z}

V

\mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z}

y +

\mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z}

\

displaystyle \mathbf {y}

\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y}

operatorname {proj} _{V}\mathbf {y}

\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y}

{projstyle

}

.

proJ

\ \

{yledisplaystyledisplaystyle

})처럼 직교 합으로 쓸 수 있습니다.

le

{\hat

{mathbf {y

선형 대수학에는 이

\mathbf {z}

\

mathbf {z})

가

\mathbf {z}

y

(\

에서

\mathbf {y}

V(\

displaystyle

V

)

까지의

V

최단 거리이며 기계 학습과 같은 분야에서 일반적으로 사용된다는 정리가 있다.

y는 벡터 공간 V에 투영됩니다.

필드 위의 $차원$ d{ $displaystyle$ d $}$ 의 $d$ 벡터 $P=P^{2}$ 의 $P=P^{2}$ P $=$ P 2({ $displaystyle$ P $=P^{$ 2})는 $P=P^{2}$ 대각선화 행렬이다. 그 이유는 최소 다항식이 $x^{2}-x$ 2 $x^{2}-x$ - $x^{2}-x$ {\ $displaystyle x^{2}-$ x $x^{2}-x$ 로 $x^{2}-x$ 되기 때문이다.따라서 P $(\displaystyle$ P $)$ 가 $P$ 다음과 같은 형태를 갖는 $P$ 이 존재합니다.

Pdisplaystyle P=I_{r}\oplus 0_{d-r}}

$r$ 서r {\ $displaystyle$ r $}$ 은 $r$ $I_r$ P {\ $displaystyle$ P $}$ 의 순위입니다. $I_{r}$ 서 $I_{r}$ 은 $r$ 가r {\ $displaystyle r$ $}$ 인 $0_{d-r}$ 아이덴티티 매트릭스, 0 $0_{d-r}$ - $0_{d-r}$ { d - $d-r$ 는 크기가 $d-r$ d - $r$ 인 제로 매트릭스입니다(벡터 공간이 복잡하고 내부가 장착되어 있는 경우). 곱, 그러면 P의^[13] 행렬이 다음과 같은 직교 정규 기전이 있습니다.

({displaystyle P=bgin{bmatrix}1&\sigma _{1}\0&0\end{bmatrix}}\oplus \oplus {bmatrix}1&\cdots \oplus {bmatrix}\oplus {bmatrix}\cditus {bmatrix})}

여기서 " $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0$ " $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0$ " $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0$ $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0$ \ $displaystyle$ \ $displaystyle _$ {1} \ $geq$ \ $geq$ \ displays \ displaystyle _ { } \ $geq \ displays$ _ { k $}$ > $0$ 。 $정수$ k $,$ $s,$ $(\displaystyle$ k, $s, m)$ 및 $k,s,m$ 실수 $(\$ _ ${i})$ 는 $\sigma _{i}$ 고유하게 결정됩니다. $2k+s+m=d$ k + $2k+s+m=d$ + $2k+s+m=d$ $2k+s+m=d$ \ $displaystyle 2k + s$ + m $2k+s+m=d$ = $d$ 。 $I_{m}\oplus 0_{s}$ $I_{m}\oplus 0_{s}$ 0 $I_{m}\oplus 0_{s}$ { $display style$ I _ { $m$ } \ $oplus$ 0 _ { $s$ }는P { $style$ P $}$ 가 $P$ 직교 투영으로서 기능하는 $최대$ 불변 부분공간에 해당합니다 $I_{m}\oplus 0_{s}$ (따라서 P 자체는 k $k=0$ { $displaystyle$ k $=$ 0 $k=0$ 과 직교하는 $k=0$ 에만 직교하며, 직교하는 i { $display style$ kyle kyle k $=$ } - i $}$ 에 $\sigma _{i}$ $대응$ 합니다).icue 컴포넌트

벡터

기본 벡터 $공간$ X(\ $style$ X $)$ 가 $X$ (꼭 유한 차원이 아닌) 노름 벡터 공간인 경우, 유한 차원 경우와는 무관한 분석 질문을 고려할 필요가 있다. $(디스플레이 스타일$ X $)$ 가 $X$ 바나흐 공간이라고 가정합니다.

위에서 논의한 많은 대수적 결과들은 이 문맥으로 가는 과정에서 살아남는다.X $(\displaystyle$ X $)$ 를 $X$ 상보 서브스페이스로 직접 분해해도 투영을 지정하며, 그 반대도 마찬가지입니다. $X$ $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ $X=U\oplus V$ X $X=U\oplus V$ $X=U\oplus V$ $X=U\oplus V$ $(\displaystyle$ X $=$ $U\oplus$ V $X=U\oplus V$ 인 $경우$ $P(u+v)=u$ P $P(u+v)=u$ + v) $P(u+v)=u$ (\ $displaystyle P(u$ +v $U$ $)=u$ )로 $P(u+v)=u$ 정의된 연산자는 여전히 U(\ $displaystyle$ U $)$ $및$ $커널$ V(\ $displaystyle$ V $V$ $U$ 의 투영입니다.ely,P { $displaystyle$ P $}$ 가 $P$ X{{ $displaystyle$ X $X$ 에 투영된 $경우$ $(1-P)^{2}=(1-P)$ $1-P$ $P^{2}=P$ $P^{2}=P$ $=$ $(1-P)^{2}=(1-P)$ $P^{2}=P$ $(1-P)^{2}=(1-P)$ - $(1-P)^{2}=(1-P)$ ) 2 $(1-P)^{2}=(1-P)$ ( $(1-P)^{2}=(1-P)$ - P $(1-P)^{2}=(1-P)$ ) \ $displaystyle (1$ - P) $(1-P)^{2}=(1-P)$ = $(1-P)^{2}=(1-P)$ P ( $1$ - P ) $1-P$ 1 - P $(1-P)^{2}=(1-P)$ 。 $P^{2}=P$ $=$ {\ $displaystyle$ P $^{2$ }= $P}$ 는 $P^{2}=P$ 1 $1=P+(1-P)$ + ( $1$ $1=P+(1-P)$ P $1=P+(1-P)$ ) { $displaystyle$ 1 $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ $= P$ +(1 $X$ - $P$ ) }를 $X$ 하며 $,$ X {\ $displaystyle$ X}는 $1=P+(1-P)$ 직접 $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ rg $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ (P ) $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ ( $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ - $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ P ) \ $display$ style \ $oper$ rg $（$ \ $}$ 입니다.

그러나 유한 차원 사례와 달리, 일반적으로 투영법이 연속적일 필요는 없다.표준 토폴로지에서 $X$ 의 $X$ $서브스페이스$ U $($ $디스플레이 스타일$ U $)$ 가 $U$ 닫히지 않으면 U $(디스플레이 스타일$ U $)$ 로의 $U$ 투영은 연속적이지 않습니다.즉, 연속 $P의 범위$ 는 $P$ 닫힌 부분 공간이어야 합니다.또, 연속 투영(사실상, 일반적으로 연속 선형 연산자)의 커널이 닫힌다.따라서 연속 $투영$ P $(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ X $(\displaystyle$ X $)$ 를 $X$ 2개의 상호 보완적인 닫힌 부분 공간( $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ $=$ $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ ( ( $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ ) $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ ker $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ ） $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ - $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ ） $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ （ $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ ） ⊕ ker （ \ $displaystyle$ X =\ $operatorname$ { R $})$ 로 분해합니다 $.$

그 반대도 유지되며 추가 가정도 있다.U $(\displaystyle$ U $)$ 가 $U$ X $(\displaystyle$ X $X$ 의 닫힌 부분 공간이라고 $U$ 합니다. X = U v V처럼 닫힌 부분 $공간$ V(\ $displaystyle$ V $)$ 가 $V$ 있는 경우 U $(\displaystyle$ U $)$ $U$ 인 $U$ $투영$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 와 $P$ $커널$ V(\ $displaystyle$ V $)$ 가 $V$ 연속적입니다.이것은 닫힌 그래프 정리로부터 나온 것이다.x → x 및 Px_n → y라고 가정합니다_n. $Px=y$ x $Px=y$ ({ $displaystyle$ Px $=y$ 로 표시해야 합니다 $.$ U({ $displaystyle$ U})가 $U$ 닫혀 있고 {Px_n} ⊂ U이므로 y는 U $({displaystyle$ U $U$ 에 있습니다.Py = y.또한_n x - Px_n = (I - P)x_n → x - y이다. $({displaystyle$ V $}$ 가 $V$ 닫혀 있고 {(I - P)x_n} } V이므로 x - $x-y\in V$ V $({displaystyle x-y\in$ V $x-y\in V$ 즉 $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$ - $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$ ) $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$ $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$ $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$ - $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$ $=$ { $displaystyle$ P( $x-y-p$ )= $Px-가$ $x-y\in V$ .

위의 주장은 U $\displaystyle$ $U$ $\$ $displaystyle$ V $\displaystyle$ V $\$ displaystyle이 모두 $V$ $닫혀$ 있다고 가정합니다.일반적으로 닫힌 부분 $공간$ U {\ $displaystyle$ U $U$ 가 주어지면 보완 닫힌 부분 $공간$ V {\ $displaystyle$ V $V$ 가 존재할 필요는 없지만, 힐버트 공간의 경우 이는 항상 직교 보형을 취하여 수행할 수 있습니다.Banach 공간의 경우 1차원 부분 공간에는 항상 닫힌 보완 부분 공간이 있습니다.이것은 한-바나흐 정리의 즉각적인 결과이다.U $(\displaystyle$ U $)$ 를 $U$ u(\ $displaystyle$ u $u$ 의 선형 범위라고 $U$ 합니다. Han-Banach에 의해, u $($ u) = 1. $P(x)=\varphi (x)u$ P( $P(x)=\varphi (x)u$ $=$ P $(x$ ) =\ $varphi(x$ $P^{2}=P$ $P^{2}=P$ 를 $P^{2}=P$ 시키는 경계 선형 함수 $\varphi$ (\ $displaysty)$ 가 존재합니다 $\varphi$ . ${\$ { $displaystyle$ $\ varphi }$ 의 $\varphi$ $P$ 경계성은P의 $연속성$ 을 의미하므로 $\ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)$ ） $=$ $\ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)$ - $\ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)$ ） { $displaystyle \ ker$ ( P ) $=\operatorname {rg （$ I - P ） }는 $\ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)$ U $displaystyle$ U의 $닫힌$ 보완 하위 공간입니다 $U$

응용 프로그램 및 기타 고려 사항

투영법(직교 및 기타)은 특정 선형 대수 문제에 대한 알고리즘에서 중요한 역할을 한다.

QR 분해(Houseader 변환 및 그램-슈미트 분해 참조)
Singular value decomposition
Reduction to Hessenberg form (the first step in many eigenvalue algorithms)
Linear regression
Projective elements of matrix algebras are used in the construction of certain K-groups in Operator K-theory

As stated above, projections are a special case of idempotents. Analytically, orthogonal projections are non-commutative generalizations of characteristic functions. Idempotents are used in classifying, for instance, semisimple algebras, while measure theory begins with considering characteristic functions of measurable sets. Therefore, as one can imagine, projections are very often encountered in the context of operator algebras. In particular, a von Neumann algebra is generated by its complete lattice of projections.

Generalizations

More generally, given a map between normed vector spaces $T\colon V\to W,$ one can analogously ask for this map to be an isometry on the orthogonal complement of the kernel: that $(\ker T)^{\perp }\to W$ be an isometry (compare Partial isometry); in particular it must be onto. The case of an orthogonal projection is when W is a subspace of V. In Riemannian geometry, this is used in the definition of a Riemannian submersion.

Notes

^ Meyer, pp 386+387
^ ^a ^b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
^ Meyer, p. 433
^ Meyer, p. 431
^ Meyer, equation (5.13.4)
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
^ Meyer, equation (5.13.3)
^ See also Linear least squares (mathematics) § Properties of the least-squares estimators.
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References

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External links

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Planar Geometric Projections Tutorial – a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.

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[HornJohnson-2] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

[3] Meyer, p. 433

[4] Meyer, p. 431

[5] Meyer, equation (5.13.4)

[6] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[7] Meyer, equation (5.13.3)

[8] See also Linear least squares (mathematics) § Properties of the least-squares estimators.

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v t Linear algebra
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