섹션(파이버 번들)

수학적 위상 영역에서 섬유 $번들{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$의 섹션(또는 단면)^[1]은$$ 투영 함수 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 연속 우측 역행이다$.$ 즉, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 기본 공간에 대한 섬유 번들인 $경우{\displaystyle }$ B ${\displaystystyle B$

$\displaystyle \pi \colon E\to B}$

그 섬유 묶음의 한 부분은 연속 지도야

$\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

그런

${\displaystyle \pi (\sigma (x))$모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\in B}$에 대한 $=x$$\}.$

단면은 그래프라는 의미가 무엇인지 추상적으로 표현한 것이다. 함수 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g\colon B\to Y}$의 그래프는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의$$데카르트 $제품{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$= $B$ Y${\displaysty Y}$의 값을 취하는 함수로 식별할 수 있다$$$.$

$\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma(x)=(x,g(x)\in E.}$

Let ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ be the projection onto the first factor: ${\displaystyle \pi (x,y)=x}$. Then a graph is any function ${\displaystyle \sigma }$ for which ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$.

파이버 번들의 언어는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 반드시 데카르트 제품이 아닌$$ 경우에 대해 이러한 섹션 개념을 일반화할 수 있도록 한다. $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$이(가) 섬유 번들이라면$$ 섹션은 각 섬유에서 포인트$$ $point{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x )${\displaystyle \sigma (x)}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{선택}}$하는 것이다. ${\displaystyle \mathrm{조건}}$ ${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \pi(\sigma (x))$$=x}$은(는) 단순히$$ $지점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 섹션이 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 위에 있어야 함을$$ 의미한다$($이미지 참조).

예를 들어 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $E$$}$이(가) 벡터 번들일 때 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 섹션은 각$$ 지점 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ B ${\displaystyle x\in B}$ 위에 놓여$$ 있는 벡터 공간 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 요소.$$특히 부드러운 매니폴드 $M{\displaystyle }$ ${\displaystystystystystyplaystystystystytheale$ M}의 벡터 M$}$에 대한 벡터 선택이다. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 각 점$$: $이것$은 M ${\displaystyle M}$의 접선 번들의 섹션이다$.$ $마찬가지$로 M ${\displaystyle$ M$}$의 1-폼은 등선 번들의 섹션이다$$.

특히 주요 번들과 벡터 번들의 섹션은 또한 미분 기하학에서 매우 중요한 도구들이다. In this setting, the base space ${\displaystyle B}$ is a smooth manifold ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle E}$ is assumed to be a smooth fiber bundle over ${\displaystyle M}$ (i.e., ${\displaystyle E}$ is a smooth manifold and ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ is a smooth map). In this case, one considers the space of smooth sections of ${\displaystyle E}$ over an open set ${\displaystyle U}$, denoted ${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$. It is also useful in geometric analysis to consider spaces of sections with intermediate regularity (e.g., ${\displaystyle C^{k}}$ sections, 또는 Hölder 조건 또는 Sobollev 공간이라는 의미에서 규칙성이 있는 섹션).

로컬 및 글로벌 섹션

섬유다발에는 일반적으로 $그러한{\displaystyle {}^{}}$ 글로벌 ${\displaystyle {섹션}^{}}$이 없기 때문에($예$를 들어$,$ F$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{R}}$$∖{$0} ${\displaystyle F=\R}\setminus \{0\}}}$ \setminus \{0\}}) 부분만 로컬로 정의하는$$ 것도 유용하다. $섬유{\displaystyle }$ 번들의 로컬 섹션은 연속 지도 $s{\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\colon U\to E}$이며, $여기$서 U ${\displaystyle U$}은 B ${\displaystyle B}$ 및$$ ${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaysty \pi(x)$의 열린 집합이다.$=x}$ for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle U}$. If ${\displaystyle (U,\varphi )}$ is a local trivialization of ${\displaystyle E}$, where ${\displaystyle \varphi }$ is a homeomorphism from ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ to ${\displaystyle U\times F}$ (where ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는$$) 섬유로 되어 있으며, 로컬 $섹션$은 $항상{\displaystyle }$$$U {\$displaystyle$U$$}에서$$F {\$displaystyle$F}까지의 연속 지도로 인한 편향적 대응에서$$ U ${\$$displaystyle$ $U$$}$에 걸쳐 존재한다$.$ (로컬) $섹션$은 E ${\displaystyty$ 섹션의 섹션의 셰프라고$$ $불리는{\displaystyle }$ $B에$걸쳐 있다.

The space of continuous sections of a fiber bundle ${\displaystyle E}$ over ${\displaystyle U}$ is sometimes denoted ${\displaystyle C(U,E)}$, while the space of global sections of ${\displaystyle E}$ is often denoted ${\displaystyle \Gamma (E)}$ or ${\displaystyle \Gamma (B,E$$)}$.

전역 섹션으로 확장

부분들은 호모토피 이론과 대수적 토폴로지로 연구되는데, 여기서 주요 목표 중 하나는 글로벌 부분의 존재 또는 비존재를 설명하는 것이다. 공간이 너무 "틀림"되어 있기 때문에 장애물이 글로벌 섹션의 존재를 부정한다. 더 정확히 말하면, 장애물은 공간의 "틀림" 때문에 로컬 섹션을 글로벌 섹션으로 확장할 수 있는 가능성을 "방해"한다. 장애물은 공생학급인 특정 특성계급으로 표시된다. 예를 들어, 주요 번들은 사소한 경우에만 글로벌 섹션이 있다. 반면에 벡터 번들은 항상 글로벌 섹션, 즉 제로 섹션이 있다. 그러나 오일러 클래스가 0일 경우에만 어디에서도 사라지는 구간을 인정한다.

일반화

국부적 단면 확장의 장애물은 위상학적 공간을 취하여 개방된 하위 집합인 범주를 형성하고 형태는 포함시키는 방법으로 일반화할 수 있다. 따라서 우리는 위상학적 공간을 일반화하기 위해 범주를 사용한다. 우리는 각 물체에 아벨 그룹(지역 섹션에 대한 아날로그적)을 할당하는 아벨 그룹 덩어리를 사용하여 "지역 섹션"의 개념을 일반화한다.

여기서 중요한 구분이 있다: 직관적으로, 국소 부분은 위상학적 공간의 열린 부분집합에서 "벡터 필드"와 같다. 그래서 각 지점에서 고정 벡터 공간의 요소가 할당된다. 그러나, 셰이브는 벡터 공간(또는 더 일반적으로 아벨 그룹)을 "연속적으로" 바꿀 수 있다.

이 전체 과정은 실제로 글로벌 섹션의 각 부분에 할당하는 글로벌 섹션 펑터(functor는 각 글로벌 섹션에 할당된다. 그 후 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)는 아벨리아 집단을 "지속적으로 변화"하면서 유사한 확장 문제를 고려할 수 있게 해준다. 특성계급 이론은 우리의 확장을 방해한다는 생각을 일반화한다.

참고 항목

• 진동
• 게이지 이론
• 주 번들
• 풀백 번들
• 벡터 번들

메모들

참조

• 노먼 스틴로드, 프린스턴 대학 출판부의 파이버 번들의 토폴로지 (1951년). ISBN 0-691-00548-6.
• 데이비드 블리커, 게이지 이론과 변동 원리, 애디슨-웨슬리 출판, 리딩, 매스(1981) ISBN 0-201-10096-7.
• Husemöller, Dale (1994), Fibre Bundles, Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

외부 링크

• 섬유 번들, PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Fiber Bundle". MathWorld.