가우스 곡률

Gaussian curvature
왼쪽에서 오른쪽으로: 음의 가우스 곡률 표면(하이퍼볼로이드), 0의 가우스 곡률 표면(실린더), 양의 가우스 곡률 표면(sphere)이다.
토러스 위의 어떤 점들은 양성이며, 어떤 점들은 음성이며, 어떤 점들은 가우스 곡면성이 0이다.

미분 기하학에서 한 점에 있는 표면의 가우스 곡률 또는 가우스 곡률 is은 주어진 점에서 주된 곡선κ1 κ2 산물이다.

가우스 곡률 반경κ의 역수이다. 예를 들어, 반지름 r의 구체 가우스 곡률.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pars다.Er-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/r2은 어디에든 있으며, 평평한 비행기와 실린더 모든 곳에 가우스 곡률 0을 받습니다. 가우스 곡률도 하이퍼볼로이드경우나 토러스 내부의 경우처럼 음수일 수 있다.

가우스 곡률이란 유클리드 공간에 등축되어 있는 방식이 아니라 표면에서 측정되는 거리에 따라서만 곡률본질적인 척도를 말한다. 이것은 이론의 자아도취의 내용이다.

가우스 곡률의 이름은 1827년 《이론마 에그레기움》을 출간한 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 이름을 따서 지은 것이다.

비공식적 정의

주 곡선 방향으로 일반 평면이 있는 안장 표면

표면의 어떤 지점에서, 우리는 표면과 직각인 정상 벡터를 찾을 수 있다; 정상 벡터를 포함하는 평면을 정상 평면이라고 부른다. 일반 평면과 표면의 교차점은 정규 섹션이라고 불리는 곡선을 형성하며 이 곡선의 곡선은 정규 곡면이다. 대부분의 표면에서 대부분의 점의 경우, 정상 섹션마다 곡선이 다를 수 있다. 최대값과 최소값을 주 곡선이라고 한다. 이러한 1 ,, κ이라고2 한다. 가우스 곡률(Gaussian 곡률)은 두 개의 주된 곡률인 κ = κκ12 산물이다.

가우스 곡률의 기호는 표면의 특성을 나타내기 위해 사용될 수 있다.

  • 두 주성 곡선이 모두 :κ12 > 0이라는 부호가 같으면 가우스 곡률이 양이고 표면에는 타원점이 있다고 한다. 그러한 지점에서 표면은 접선면의 한쪽에 국소적으로 놓여 있는 돔처럼 될 것이다. 모든 단면 곡선에는 동일한 기호가 있을 것이다.
  • 원곡선의 기호가 서로12 다르면 가우스 곡률이 음이고 표면에는 쌍곡선이나 안장점이 있다고 한다. 그러한 지점에서 표면은 안장 모양이 될 것이다. 주된 곡률 하나는 음이고, 하나는 양이고, 정상 곡률은 평면을 중심으로 직교하는 평면을 두 방향으로 돌리면 연속적으로 변화하기 때문에, 정상 곡률은 0이 되어 그 점에 대한 점근 곡선이 된다.
  • 원곡률 중 하나가 0: κκ12 = 0이면 가우스 곡률이 0이고 표면에는 포물선이 있다고 한다.

대부분의 표면에는 포물선이라고 하는 가우스 곡선이 0인 점의 곡선으로 분리된 양의 가우스 곡률 영역(엘리피셜 포인트)과 음의 가우스 곡률 영역이 포함될 것이다.

기하학적 구조와의 관계

표면이 가우스 곡면성이 일정하게 0인 경우, 그것은 발전 가능한 표면이며 표면의 기하학은 유클리드 기하학이다.

표면이 일정한 양의 가우스 곡면성을 갖는 경우 표면의 기하학은 구면 기하학이다. 와 구의 조각은 이러한 기하학을 가지고 있지만, 축구와 같은 다른 예들도 있다.

표면이 일정한 음의 가우스 곡면성을 갖는 경우, 가성형 표면이며 표면의 기하학적 구조는 쌍곡 기하학이다.

원곡선과의 관계

표면의 특정 지점에서 두 의 주요 곡선은 해당 점에서 형상 연산자고유값이다. 그들은 그 지점에서 다른 방향으로 표면이 어떻게 다른 양만큼 구부러지는지 측정한다. 우리는 점 p가 임계점, 즉 소멸의 구배(이는 항상 적절한 강체 운동에 의해 달성될 수 있다)가 되는 방법으로 두 변수의 함수 f의 그래프로써 암묵적 함수 정리에 의해 표면을 나타낸다. 그러면 p에서 표면의 가우스 곡면성은 헤시안 f 행렬의 결정 요인(헤시안 고유값의 산물이 됨)이다. (헤시안이 두 번째 파생상품의 2×2 행렬임을 상기하십시오.) 이 정의는 컵/캡 대 안장 지점의 구분을 즉시 파악할 수 있도록 한다.

대체 정의

그것은 또한 에 의해 주어진다.

여기서 i = ei공변량 파생상품이고 g미터법 텐서이다.

R3 정규 표면의 p 지점에서 가우스 곡률도 다음과 같이 주어진다.

여기서 S형상 연산자다.

가우스 곡률에 대한 유용한 공식은 등온 좌표에서 라플라시안의 측면에서 리우빌의 방정식이다.

총곡률

음의 곡률 표면에 있는 삼각형의 각도의 합은 평면 삼각형의 각도보다 적다.

표면의 일부 영역에 대한 가우스 곡률의 표면 적분을 총 곡률이라고 한다. 지오데틱 삼각형의 총 곡면성은 π로부터의 각도의 합계의 편차와 같다. 양의 곡률 표면의 삼각형 각도의 합은 π을 초과하는 반면, 음의 곡률 표면의 삼각형 각도의 합은 π보다 작을 것이다. 유클리드 평면과 같이 곡률이 0인 표면에서 각도는 정밀하게 π 라디안을 합한다.

더 일반적인 결과는 가우스-보넷 정리다.

중요한 정리

이론적 자아도

가우스의 이론적 자아기움(라틴어: "제거할 수 있는 정리")은 표면 자체의 길이에 대한 측정으로부터 표면의 가우스 곡면성을 결정할 수 있다고 기술하고 있다. 사실, 그것은 첫 번째 기본 형태에 대한 충분한 지식을 가지고 있고 첫 번째 기본 형태와 첫 번째와 두 번째 순서의 부분적인 파생상품을 통해 표현될 수 있다. 동등하게, R에서3 표면의 두 번째 기본 형태의 결정 인자는 그렇게 표현될 수 있다. 이 정리의 "제거할 수 있는" 그리고 놀라운 특징3 R에서 표면 S의 가우스 곡률의 정의가 확실히 표면이 공간에 위치하는 방식에 따라 달라지지만 최종 결과인 가우스 곡률 자체는 암비에 대한 더 이상의 참조 없이 표면의 본질적인 측정기준에 의해 결정된다는 것이다.nt 공간: 그것은 본질적불변성이다. 특히 가우스 곡률은 표면의 등축변형 하에서는 불변성이다.

현대 미분 기하학에서 추상적으로 바라본 "표면"은 2차원 가변성 다지관이다. 이 관점을 고전적인 표면 이론과 연결하기 위해, 그러한 추상적인 표면이 R3 내장되어 첫 번째 기본 형태에 의해 주어지는 리만 계량법을 부여한다. 내장 이미지가 R3 표면 S라고 가정합시다. 국부 등분법(local isometry)은 R3 열린 영역 사이의 차이점형 f : U → V로, SU에 대한 제한이 그 이미지에 대한 등분법이다. 다음에 다음과 같이 이론적 자아를 기술한다.

R3 내장된 매끄러운 표면의 가우스 곡률은 국부 등위계 아래에 불변한다.

예를 들어, 원통형 관의 가우스 곡률은 0으로, "연결이 안 된" 관(평탄한)과 같다.[1][page needed] 한편, 반지름 R구체는 일정한 양의 곡률 R−2 가지고 있고 평평한 평면은 일정한 곡률 0을 가지고 있기 때문에, 이 두 표면은 국소적으로도 아니고 등축이 아니다. 따라서 구의 작은 부분이라도 평면적으로 표현하면 거리를 왜곡해야 한다. 따라서 어떤 지도 투영법도 완벽하지 않다.

가우스-보넷 정리

가우스-보넷 정리는 표면의 총 곡면성을 오일러 특성과 연결하며 국소 기하학적 특성과 지구 위상학적 특성 사이에 중요한 연결을 제공한다.

일정한 곡률의 표면

두 표면 모두 일정한 양의 가우스 곡면성을 가지지만 경계 또는 단수 점이 있는 두 개의 표면.
  • 마인딩 정리(1839년)는 같은 일정한 곡률 K를 가진 모든 표면은 국소적으로 등축이라고 명시하고 있다. 민딩의 정리의 결과는 곡률이 동일한 0인 어떤 표면도 일부 평면 영역을 구부려서 구성할 수 있다는 것이다. 그러한 표면을 개발 가능한 표면이라고 한다. 마인딩은 또한 일정한 양의 곡률을 가진 닫힌 표면이 반드시 경직되는지에 대한 의문을 제기했다.
  • 리브만의 정리(1900년)는 민딩의 물음에 대답했다. 일정한 양의 가우스 곡률로 R에서3 유일하게 (C등급2) 닫힌 표면은 구이다.[2] 구체가 변형되면 구체로 남아 있지 않아 구가 경직됨을 증명한다. 표준적인 증명은 극한 원곡률의 비우말적인 점들이 가우스 곡률의 비양성적인 점을 갖는다는 힐버트의 보조마사를 사용한다.[3]
  • 힐베르트의 정리(1901)는 가우스 곡률의 일정 음의 R3 완전한 분석(클래스ω C) 정규 표면이 존재하지 않는다고 기술하고 있다. 실제로 결론은 R3 담근 C등급2 표면에도 적용되지만, C-서페이스에1 대해서는 분해된다. 유사권은 그것의 단일한 정점을 제외하고 일정한 가우스 곡률을 가지고 있다.[4]

일정한 양의 가우스 곡률을 갖는 다른 표면도 있다. Manfredo do Carmo considers surfaces of revolution where , and 번째 종류의 불완전한 타원 적분). 이러한 표면은 모두 가우스 곡면성이 1이지만 C 의 경우 경계 또는 단수점을 . Carmo는 또한 가우스 곡면성이 일정하지 않은 세 가지 다른 표면의 예를 제시하는데, 그 중 하나는 유사권이다.[5]

일정한 가우스 곡률을 가진 다른 많은 가능한 경계 표면이 있다. 구체는 경직되어 등분법을 사용하여 구부릴 수 없는 반면, 작은 부위가 제거되거나 작은 부분을 따라 절개된 경우, 결과 표면이 휘어질 수 있다. 그러한 벤딩은 가우스 곡면성을 보존하므로 영역이 제거된 구면의 벤딩도 가우스 곡면성을 일정하게 유지할 것이다.[6]

대체 공식

  • R에서3 표면의 가우스 곡면성은 두 번째 및 첫 번째 기본 형태 III의 결정 인자의 비율로 표현될 수 있다.
  • 브리오스키 공식은 가우스 곡면성을 단지 첫 번째 기본 형태 측면에서 제공한다.
  • 직교 파라메트리제이션(F = 0)의 경우 가우스 곡면성은 다음과 같다.
  • z = F ) = 0 = 인 표면의 P {\에서 가우스 곡면성은 다음과 같다.[7]
  • 암묵적으로 정의된 표면 F(x,y,z) = 0인 경우 가우스 곡면성은 구배 fF헤시안 행렬 H(F):[8][9]
  • F = 0 및 E = G = eσ 일치하는 지표가 있는 표면의 경우 가우스 곡면성은 다음과 같다(일반적인 라플라스 연산자 Δ).
  • 가우스 곡률(Gaussian 곡률)은 지오데틱 원원주와 평면 내 원의 원주 사이의 제한적 차이다.[10]
  • 가우스 곡면성은 지오데틱 디스크 영역과 평면의 디스크 영역 사이의 제한 차이:[10]

참고 항목

참조

  1. ^ Porteous, I. R. (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39063-X.
  2. ^ Kühnel, Wolfgang (2006). Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3988-8.
  3. ^ Gray, Alfred (1997). "28.4 Hilbert's Lemma and Liebmann's Theorem". Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed.). CRC Press. pp. 652–654. ISBN 9780849371646..
  4. ^ "Hilbert theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  5. ^ Carmo, Manfredo Perdigão do (2016) [First published 1976]. Differential geometry of curves and surfaces (2nd ed.). Mineola, NY: Dover Publications. p. 171. ISBN 978-0-486-80699-0 – via zbMATH.
  6. ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. p. 228. ISBN 0-8284-1087-9.
  7. ^ https://archive.org/details/cu31924001557226/page/n25/mode/2up
  8. ^ Goldman, R. (2005). "Curvature formulas for implicit curves and surfaces". Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.
  9. ^ Spivak, M. (1975). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. 3. Boston: Publish or Perish.
  10. ^ Jump up to: a b 베르트랑-디케-푸아섹스 정리
  11. ^ Struik, Dirk (1988). Lectures on Classical Differential Geometry. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8.

책들

  • Grinfeld, P. (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

외부 링크