정수 삼각형

정수 삼각형 또는 적분 삼각형은 모든 면이 정수인 길이를 갖는 삼각형이다.합리적인 삼각형은 모든 면을 합리적인 길이로 갖는 것으로 정의할 수 있다; 그러한 모든 합리적인 삼각형은 정수 삼각형을 얻기 위해 통합적으로 재조정될 수 있다(모든 면이 동일한 정수, 즉 분모의 공통 배수로 곱할 수 있다). 따라서 정수 삼각형과 합리적인 삼각형 사이에는 실질적인 차이가 없다.이런 뜻에서 굴하다그러나 "합리적 삼각형"이라는 용어의 다른 정의도 존재한다.1914년에 Carmichael[1]이 오늘 우리가 그 용어Heronian 삼각형 사용하는 것에;Somos[2]그것의 면의 비율은 합리적이라고 삼각형들 참조하는 데 사용되고 콘웨이와 Guy[3]하나로 합리적인 면이 있고 합리적인 각도 degrees—in는 사건은 유일한 합리적인 삼각형은rational-sided equi 함께 합리적인 삼각형을 정의하는 용어를 사용했다.측면삼각형의

아래의 첫 번째 절에 제시된 정수 삼각형에는 다양한 일반 특성이 있다.다른 모든 섹션은 특정 속성을 가진 정수 삼각형의 클래스를 가리킨다.

정수 삼각형의 일반 속성

지정된 둘레가 있는 정수 삼각형

어떤 양의 정수 3배라도 삼각형 불평등을 만족시키는 한 정수 삼각형의 옆 길이 역할을 할 수 있다: 가장 긴 쪽이 다른 두 변의 합보다 짧다.각각의 그러한 세 쌍은 의족에 이르기까지 독특한 정수 삼각형을 정의한다.따라서 둘레가 있는 정수 삼각형의 수(합치까지)는 삼각형 불평등을 만족시키는 세 가지 양의 부분으로 p의 분할의 수입니다.이것은 에 가장 가까운 정수다.p가² 짝수일 때는 ⁄48이고, p가 홀수일 때는 (p + 3)⁄²48.^[4][5]그것은 또한 짝수 퍼미터 p = 2n을 가진 정수 삼각형의 수가 홀수 퍼미터 p = 2n - 3을 가진 정수 삼각형의 수와 같다는 것을 의미한다.따라서 둘레가 1, 2, 4인 정수 삼각형은 없고, 둘레가 3, 5, 6 또는 8인 정수 삼각형은 없고, 둘레가 7, 10인 정수 삼각형은 없다.둘레 p가 p = 1로 시작하는 정수 삼각망 수의 순서는 다음과 같다.

0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 7, 8, 7, 10, 8 ... (OEIS에서 연속 A005044)

이것을 알쿠인의 수열이라고 한다.

지정된 가장 큰 면이 있는 정수 삼각형

주어진 가장 큰 측 c와 정수 3중(a, b, c)을 갖는 정수 삼각형의 수(최대 일치)는 + b > c와 and b ≤ c와 같은 정수 3중의 수입니다.이것은 정수 값 Ceiling[(c + 1)½] * Floor[(c + 1)½]이다.^[4]대안적으로, c의 경우에도 이중 삼각형 수인 ½(½ + 1)이고, c 홀드의 경우 제곱(²c + 1)½이다.그것은 또한 가장 큰 측 c를 가진 정수 삼각형의 수가 가장 큰 측 c - 2 by c를 가진 정수 삼각형의 수를 초과한다는 것을 의미한다.c = 1에서 시작하여 가장 큰 측 c를 갖는 비합치 정수 삼각형의 수의 순서는 다음과 같다.

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ...(OEIS에서 시퀀스 A002620)

주어진 가장 큰 옆면 c와 지름 c의 반원 안에 놓여 있는 정수 삼각형(a, b, c)은 + b > c, + b²² ≤ c², b b c c와 같은 정수 삼중의 수입니다.이것은 또한 가장 큰 측 c를 가진 정수의 측면 둔부 또는 오른쪽(급도가 아닌) 삼각형의 수입니다.c = 1에서 시작하는 순서는 다음과 같다.

0, 0, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (OEIS의 경우 순서 A236384)

따라서 위의 두 시퀀스 사이의 차이는 주어진 가장 큰 측 c를 가진 급성 정수 측방 삼각형의 수(최대 일치)를 제공한다.c = 1에서 시작하는 순서는 다음과 같다.

1, 2, 3, 5, 6, 8, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 … (시퀀스 A24758888) (OEIS의 경우)

정수 삼각형 영역

헤론의 공식에 따르면, T가 옆면의 길이가 a, b, c인 삼각형의 영역이라면,

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a+b+c)(-a+b+c)}}.}$

공식의 우측에 있는 rodical 아래에 있는 모든 용어는 정수이므로 모든 정수 삼각형은 16T의² 정수 값을 가져야 하며 T는² 합리적일 것이다.

정수 삼각형의 각도

코사인 법칙에 따르면 정수 삼각형의 모든 각도는 이성적인 코사인(cosine)을 가지고 있다.

어떤 삼각형의 각도가 산술적 추이를 형성한다면 그 각도 중 하나는 60°^[6]가 되어야 한다.정수 삼각형의 경우 나머지 각도는 합리적 코사인(cosines)을 가져야 하며 이러한 삼각형을 생성하는 방법은 다음과 같다.그러나 정삼각형의 사소한 경우를 제외하고는 각도가 기하학적 또는 조화적 진행을 이루는 정수 삼각형은 없다.그러한 각도는 형태의 합리적 각도가 되어야 하기 때문이다. 합리적인 0 < p/q < 1. 그러나 정수 삼각형의 모든 각도는 합리적인 코사인을 가져야 하며, 이는 p/q = 1/3^{[7]: p.2} 즉 정수 삼각형이 등각일 때에만 발생한다.

정수 삼각형의 각 내부 각도 이등분자에 대한 일반적인 삼각형 $공식$은 ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{2b}}}{}}$ c${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$(${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$s - ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{)}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ + ${\displaystyle \frac{c}{}}${\$displaystyle${\$tfrac{2}\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}}}$이고 여기서 s는 반퍼미터(다른 각도의 이등분자)이기 때문에 합리적이다.

고도에 의해 측면 분할

정점에서 반대편으로 떨어지거나 그 확장이 되면 그 옆면이나 그 확장이 합리적인 길이로 갈라진다.

미디안

The square of twice any median of an integer triangle is an integer, because the general formula for the squared median m_a² to side a is ${\displaystyle {\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}}$, giving (2m_a)² = 2b² + 2c² − a² (and likewise for the medians to the other sides).

할레라디우스와 인라디우스

정수 삼각형의 면적의 사각형은 이성적이기 때문에, 인라디우스의 사각형도 이성적이기 때문이다.

정수 삼각형의 원곡선 대비 인라디우스의 비율은 4 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2s}}{}}$ a ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$}과 동일시하여 합리적이다.$반퍼미터$ s 및$$ 면적 T에 대한 T$^{2}}{sabc}}.$

inradius와 정수 삼각형의 곡선은${\displaystyle \frac{b}{}}$ c ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ (+b +${\displaystyle \frac{c}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$. ${\displaystyle {\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}}}$과 동일시하여 합리적이다.$}$

따라서 오일러의 정리가 R² - 2Rr로 주어지는, 인센티브자와 정수 삼각형의 원심 사이의 제곱 거리는 합리적이다.

헤로니아 삼각형

모든 헤로니아 삼각형은 격자점에 각 꼭지점이 있는 격자 위에 배치할 수 있다.^[8]

일반식

헤론 삼각형 또는 히어로 삼각형이라고도 알려진 에로니아 삼각형은 정수와 정수의 면적을 가진 삼각형이다.모든 헤로니아 삼각형에는 비례하는^[9] 면이 있다.

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2}}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{Area}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

제약을 받는 정수 m, n 및 k의 경우:

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

비례 인자는 일반적으로 합리적인 $p{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$이다. 여기서$$ q = gcd(a,b,c)는 생성된 헤로니아 삼각형을 원시적인 것으로 줄이고 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은 이 원시적인 크기를 필요한 크기로 확장한다.

피타고라스 삼각형

피타고라스의 삼각형은 직각과 헤로니아로 되어 있다.그것의 세 개의 정수면은 피타고라스 3중주, 피타고라스 3중주 또는 피타고라스 3중주라고 알려져 있다.^[10]원시(공통 인자가 없는 측면)인$$ 하이포텐use $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 가진 모든 피타고라스 3중$a, b,c)$은 다음에 의해 생성될 수 있다.

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

$b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Area}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

여기서 m과 n은 coprime inters이고 그 중 하나는 m > n과 짝수다.

Every even number greater than 2 can be the leg of a Pythagorean triangle (not necessarily primitive) because if the leg is given by ${\displaystyle a=2m}$ and we choose ${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$ as the other leg then the hypotenuse is ${\displaystyle c=m$$^{2}+1}$.^[11]$이$는 n {\displaystyle $n}$이(가$)$ 1로 $설정$되고 m$${\$displaystyle m}$이(가) 2에서 무한대로 범위가 설정되는 경우 기본적으로 위의 생성 공식이다.

하이포테뉴스에서 정수 고도를 가진 피타고라스 삼각형

하이포테뉴스에서 정수 고도를 가진 원시 피타고라스 삼각형은 없다.이는 면적의 두 배가 해당 높이에 대한 베이스 곱하기 때문이다. 따라서 면적의 두 배가 ab와 cd 둘 다와 같으며, 여기서 d는 하이포텐use c의 높이다.원시 삼각형의 세 측면 길이는 합체여서 d = ½c는 완전히 축소된 형태다. c는 원시 피타고라스 삼각형에 대해 1과 같을 수 없기 때문에 d는 정수가 될 수 없다.

그러나 다리가 x, y, 하이포텐use z인 피타고라스 삼각형은 하이포텐us z의 길이에 따라 옆면을 확대함으로써 정수 고도로 피타고라스 삼각형을 생성할 수 있다.d가 고도인 경우, 정수 고도를 가진 생성된 피타고라스 삼각형은 다음에^[12] 의해 주어진다.

${\displaystyle(a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

by[13][1결과적으로, 그리고 빗변에서 gcd(a, b, c, d)=1,으로 다리가 a와 b, 빗변 c, 정수 고도 d, 모든 피타 삼각형 반드시 둘 다 a2+b2=c2과 12+1b2=1d2{\displaystyle{\tfrac{1}{a^{2}을 충족하는}}+{\tfrac{1}{b^{2}}}={\tfrac{1}{d^{2}}}}, 생성된다.2]

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2}^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}=m(m+n)(m^{2}+n^{2}\,}$

${\displaystyle {\text{Area}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

coprime 정수 m, n과 m > n의 경우.

산술수열에서 옆면이 있는 에로니아 삼각형

정수 변과 정수 면적이 있는 삼각형은 만약 변이 (b – d, b, b + d)인 경우에만^[14] 산술적 연속에서 변이 있다.

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

여기서 g는 m $2{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{3n}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ $2m$${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle 2mn,},$ m ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {3n\mathrm{}}^{}}$ 2 .${\displaystym m^{2}+3n^{$2}의 최대 공통점이다$.$$}$

한 각도가 다른 두 개와 같은 에로니아 삼각형

B = 2A의 모든 헤로니아 삼각형은 다음 중 하나에 의해^[15] 생성된다.

${\dfrac a={\dfrac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}},}$

${\displaystyle b={\dfrac {k^{2}(s^{4}-r^{4}){2}},}$

${\displaystyle c={\dfrac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}}}{4}}}{4}},}$

${\displaystyle {\text1}Area}={\dfrac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2}}}}{2}},}$

정수² k, s, r, s > 3r² 또는

${\displaystyle a}$= ${\displaystyle q{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ (${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}{u\mathrm{}}^{}}{}}}$ 2${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$+ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}{}^{}}{}}}$) ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}}$ 4 $dfrac a={\$dfrac ${q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}:{4$

${\displaystyle b}$= ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle u}$ v (${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {v\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\$

${\displaystyle c}$= ${\displaystyle q{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$( ${\displaystyle {\displaystyle \frac{14}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ v ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ -${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}{u\mathrm{}}^{}}{}}}$ 4 - v 4${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$) ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}}$ $dfrac c={\$dfrac {$q^{2$}($14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}}}}}{4$

${\displaystyle \text{영역}}$= ${\displaystyle q{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{u}{}}}$ v${\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$( ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ -${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$) ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}}$ $displaystyle {\text{Area}={\dfrac$ {$q^{2}cuv(v^{2}-u^{2$

정수 q, u, v( > 및 v 2<( 7+ 3) ) . ${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt{3}})u^{2}.$$}$

B = 2A를 가진 에로니아 삼각형은 이소체 또는 오른쪽 삼각형이다. 모든 결과적인 각도 조합은 비합리적 sine과 각도를 생성하여 비합리적 영역이나 측면을 부여하기 때문이다.

이소셀레스 에로니아 삼각형

헤로니아 삼각형은 모두 분해할 수 있다.그들은 이소체 삼각형의 등쪽이 피타고라스 삼각형의 하이포테누스이고, 이소체 삼각형의 밑부분이 다른 피타고라스 다리보다 두 배나 되는 공통 다리 중 하나를 따라 두 개의 합치 피타고라스 삼각형을 결합하여 형성된다.결과적으로, 모든 피타고라스의 삼각형들은 두 개의 이소셀 에로니아 삼각형들을 위한 빌딩 블록이다. 왜냐하면 결합은 양쪽 다리를 따라 있을 수 있기 때문이다.모든 쌍의 이소셀 헤로니아 삼각형은 이성적인 곱에^[16] 의해 주어진다.

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2}),}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

그리고

${\displaystyle a=4uv,}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

coprime inters u 및 v와 u > v 및 u + v 홀수.

둘레가 프라임의 4배인 에로니아 삼각형

[17][18]그것은 잘 알려 진 그것은Heronian 삼각형의 둘레가 네번 전성기가 총리와 관련된었고 그 전성기 1{1\displaystyle}또는 3{3\displaystyle}의 나머지 8{8\displaystyle}에 동일한 것이다. 그러한 소수 p{p\displaystyle}고유하게 i.할 수 있다는 것을 보였다nto integers $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 및$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$$}($ =$$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle p=m^{2}+2n^{$2}}( 오일러의 단일 번호 참조).게다가, 삼각형의 가장 작은 면은 그 둘레의 4분의 1인 프라임과 같아야 하기 때문에 그러한 헤로니아 삼각형은 원시적이라는 것이 밝혀졌다.

따라서 둘레가 원시적인 에로니아 삼각형들은 모두 원시적인 에로니아 삼각형들로서 생성될 수 있다.

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\텍스트{Area}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

$정수{\displaystyle {}^{}}$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 및$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우 m ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ m$^{2}+2n^{$2}}가$$prime이다$$.

더욱이 면적의 인자화는 ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2mnp}$이며 여기서$$ $p{\displaystyle }$= m ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}:$$prime이다$$.그러나 헤로니아 삼각형의 면적은 항상 $6{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 6}$에 의해 분할된다$.$따라서 $p{\displaystyle }$=${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ $m=1$} 및$$ n$$${\displaystyle }$= $p$ = ${\displaystyle 3,}${\$displaystyle p$$=$$3{\displaystyle }$$,}$의 다른$$ 모든 $파싱$은$$m {\$displaystyle$ $m$$}$을(를$)$ 가져야$$ 하며$$, 그 중 $하나$만 $3$으로 분할해야 한다$.$$}$.

에로니아 삼각형(inradius 및 exradii)의 정수

무한히 많은 분해될 수 있고, 무한히 많은 외설적인 원시 헤로니아 삼각형들이 근친과 각 외근을 위한 정수 반지름을 가지고 있다.^{[19]: Thms. 3 and 4} 분해할 수 있는 한 집단은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle a=4n^{2},\message \b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1),\message \message c=(2n-1)(2n^{2}+n+1)),}$

${\displaystyle r=2n-1,\quad \quad r_{a}=2n+1,\quad \quad r_{b}=2n^{2},\quad \quad r_{c}={\텍스트{Area}}=2n^{n-1)(2n+1);};}$

그리고 외설적인 가족에 의해 주어진다.

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1),\cHB=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),\cHB \c=(5n^{2}+6n+2)),}$

${\displaystyle r=5n-2,\quad \quad r_{a}=5n+3,\quad \quad r_{b}=5n^{2}+n-1,\quad \quad r_{c}={\text{Area}}}=(5n+3)(5n^{2+n-1)-1).}$

4면체의 얼굴로서 에로니아 삼각형

정수가치 부피와 헤론 삼각형을 면으로 하는 사트라헤드라가 존재한다.한 예는 한쪽 가장자리가 896이고 반대쪽 가장자리가 190이고 나머지 네 가장자리가 1073이며, 두 면은 436800이고, 나머지 두 면은 47120이며, 부피는 62092800이다.^{[10]: p.107}

2D 격자로 된 에로니아 삼각형

2D 격자는 한 점을 데카르트 원점(0, 0)으로 선택한 경우 다른 모든 점이 (x, y)에 있고 모든 양의 정수 및 음의 정수에서 x와 y 범위가 된다.격자 삼각형은 모든 정점이 격자점에 놓이도록 2D 격자 내에 그려진 삼각형이다.픽의 정리로는 격자 삼각형은 정수 또는 반정수(분모 2)인 합리적인 영역을 가진다.격자 삼각형이 정수 면을 가지고 있다면, 정수 면적을 가진 헤로니안이다.^[20]

게다가, 모든 헤로니아 삼각형들은 격자 삼각형으로 그려질 수 있다는 것이 증명되었다.^[21][22]따라서 정수 삼각형은 격자 삼각형으로 그릴 수 있는 경우에만 에로니아어다.

모든 정점, 인센티브, 격자 지점의 세 개의 엑센터 모두 정수로 된 격자 위에 배치할 수 있는 원시 에로니아(피타고라인이 아닌) 삼각형이 무한히 많다.그러한 삼각형의 두 집단은 #헤로니아 삼각형에서 위에 주어진 파라메트리지를 인라디우스와 엑스트라디우를 가진 것이다.^{[19]: Thm. 5}

정수 자동 삼각형

자동 삼각형은 중위수가 면과 같은 비율(반대의 순서)인 삼각형을 말한다.x, y, z가 크기별로 증가하는 순서로 정렬된 직각 삼각형의 3면이고, 2x < z, x + y, y - x가 자동 삼각형의 3면이다.예를 들어, 측면 길이가 5, 12, 13인 오른쪽 삼각형을 이런 식으로 사용하여 측면 길이가 13, 17, 7인 최소 비삼각 정수 자동 삼각형을 형성할 수 있다.^[23]

따라서 원시 피타고라스 삼각형을 생성하는 유클리드 공식을 이용하면 원시 정수 자동 삼각형을 다음과 같이 생성할 수 있다.

${\displaystyle a=m^{2}-2mn-n^{2} }$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}}$

으로 m{m\displaystyle}과 n{n\displaystyle}coprime과 m+n{\displaystyle m+n}이상한, n의<>.<>n3{\displaystyle n<, m<, n{\sqrt{3}}}(만약 절대 값 기호 안에 있는 수량은 반대)또는 m>(2+3)n{\displaystyle m>,(2+{\sqrt{3}})n}(만약 그 수량은 posi.tive)t을 만족시키기그는 삼각 부등식이다.

자동 삼각형의 중요한 특징은 옆면의 정사각형이 산술적 추이를 형성한다는 것이다.구체적으로는 $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {a\mathrm{}}^{}}$= b ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$c ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$2}=$b^{2$}-$c^{2}}:$ 따라서$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2c^{2}=a^{$2}+$b^{$$2$}.$}$

특정 각도 속성을 가진 정수 삼각형

합리적인 각도 이등분선을 갖는 정수 삼각형

A 각도의 이성적 $이등분자{\displaystyle }$ d$$${\$$displaystyle$ $a,b,c$$}$과(와) 정수의 $면{\displaystyle }$ a${\displaystyle ,}$ b,${\displaystyle c}$}을(를) 갖는 삼각형 패밀리는 다음과^[24] 같다.

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\tfrac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}}},}$

정수 > > $[\displaystyle k>m>0}$과(와) 함께

모든 각도의 정수 n-섹터가 있는 정수 삼각형

세 각의 삼면과 이등분자가 각각 정수가 되는 비유사 삼각형이 무한히 많이 존재한다.^[25]

세 각도의 세 변과 세 변이 각각 정수가 되는 비유사 삼각형이 무한히 많이 존재한다.^[25]

단, n > 3의 경우, 3각의 3면 및 (n – 1)n-sector가 각각 정수인 삼각형은 존재하지 않는다.^[25]

주어진 이성 코사인(Rational Cosine)으로 하나의 각도를 갖는 정수 삼각형

합리적인 코사인 h/k(h < 0 또는 > 0; k > 0)를 부여한 정점 A에서 한 각도의 정수 삼각형은 다음과 같이 주어진다^[26].

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

여기서 p와 q는 p > qk와 같은 임의의 양의 정수다.

60° 각도의 정수 삼각형(산술 수열의 각도)

60° 각도의 모든 정수 삼각형은 산술적 순서로 각도를 가진다.이러한 모든 삼각형은 다음과 비례한다.^[6]

$(\displaystyle a=4mn,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2},}$

${\displaystyle c=2mn+ 3m^{2}-n^{2} }$

coprime 정수 m, n 및 1 ≤ n ≤ m 또는 3 m ≤ n. 여기서 모든 원시 용액은 a, b, c를 그들의 가장 큰 공통점수로 나누어 얻을 수 있다.

60° 각도의 정수 삼각형도 다음과^[27] 같이 생성할 수 있다.

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

coprime 정수 m, n은 0 < n < m (60°의 각도는 길이 a의 변과 반대)이다.여기서 모든 원시적 해법은 a, b, c를 가장 큰 공통점수로 나누어 얻을 수 있다(예: 등변 삼각형 해법은 m = 2와 n = 1을 취함으로써 얻지만, 이것은 a = b = c = 3을 생성하는데, 이는 원시적 해법이 아니다).참고 항목

More precisely, If ${\displaystyle m\equiv -n\ ({\text{mod}}\ 3)}$, then ${\displaystyle gcd(a,b,c)=3}$, otherwise ${\displaystyle gcd(a,b,c)=1}$. Two different pairs ${\displaystyle (m,n)}$ and ${\displaystyle (m,m-n)}$ gen같은 세 배를 갈다불행히도 두 쌍 모두 gcd = 3이 될 수 있기 때문에 우리는 단순히 그 경우를 건너뛰는 것으로 중복되는 것을 피할 수 없다.대신, $중복$은 $m{\displaystyle }$$/$$[\displaystyle m/2}$까지만 진행해도$$ 피할 수 있다$.$ gcd = 3이면 여전히 3으로 나누어야 한다.The only solution for ${\displaystyle n=m/2}$ under the above constraints is ${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$ for ${\displaystyle m=2,n=1}$. With this additional ${\displaystyle n\leq m/2}$ constraint all triples can be generated uniquely.

아이젠슈타인 3중주는 각도가 60도인 삼각형의 옆면 길이인 정수다.

120° 각도의 정수 삼각형

120° 각도의 정수 삼각형을 생성할 수 있는 방법^[30]

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

coprime 정수 m, n은 0 < n < m (120°의 각도는 길이 a의 변과 반대편이다.)여기서 모든 원시적인 해법은 a, b, c를 그들의 가장 큰 공통점수로 나누어 얻을 수 있다.m = 2와 n = 1의 경우 가장 작은 용액은 변이 있는 삼각형(3,5,7)이다.참고 항목.^[28][29]

More precisely, If ${\displaystyle m\equiv n\ ({\text{mod}}\ 3)}$, then ${\displaystyle gcd(a,b,c)=3}$, otherwise ${\displaystyle gcd(a,b,c)=1}$. Since the biggest side a can only be generated with a single ${\displaystyle (m,n)}$ pair, each primitive 삼중수소는 정확하게 두 가지 방법으로 생성될 수 있다: 한 번은 gcd = 1로 직접 생성되고, 한 번은 gcd = 3으로 간접 생성된다.따라서 모든 원시적 삼쌍을 고유하게 생성하기 위해서는 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \not\equiv n}$(${\displaystyle m}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \text{d}\mathrm{}}$ 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle m\not \equiv n\ (mod\$ 3$)}$ 조건을$$ 추가하기만 하면 된다.^{[citation needed]}

한 각도가 임의의 합리적 숫자에 다른 각도를 곱한 정수 삼각형

양의 coprime 정수 h와 k의 경우, 다음 면이 있는 삼각형은 각도 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle h\alpha$ $\},$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k\alpha$ $\},$ $\alpha {\displaystyle }$- $)\displaystyle \pi$ -$(h+k)\alpha }$을 가지며$$, 그 변의 두 각도는 정수이다.^[31]

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle {\cos }^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle p{}^{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$${\frac {p}{q}$ 및 p 및$$ q는 h+ Q< ${\displaystyle \cos{\frac {\pi$}{$h+k}}<{\frac {p}{q$와 같은 모든 복사 정수다.

한 각도가 다른 각 2배와 같은 정수 삼각형

A의 반대쪽 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$과 B의 $반대쪽{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$에서$,$ B = 2A의 일부 삼각형이 다음과^[32] 같이 생성된다.

${\displaystyle a=n^{2},}$

${\displaystyle b=mn,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

정수 m, n (0 < n < m < 2n)과 같은 것.

B = ${\displaystyle \mathrm{2A}}$(${\displaystyle \mathrm{정수}}$ 유무${\displaystyle )}$를 가진 모든 삼각형은 $a{\displaystyle }$ ( +${\displaystyle }$c${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$2 .${\displaystyle a(a+c)=b^{2$}를 만족한다^[33]$.$$}$

한 각도가 다른 각도의 3/2배인 정수 삼각형

$B{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2A}$ ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$을(를) 가진 유사한 삼각형의 동등성 클래스는 다음에^[32] 의해 생성된다$$.

${\displaystyle a=mn^{3}}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2},}$

with integers ${\displaystyle m,n}$ such that ${\displaystyle 0<\varphi n<m<2n}$, where ${\displaystyle \varphi }$ is the golden ratio ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803}$.

All triangles with ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$ (whether with integer sides or not) satisfy ${\displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.$$}$

한 각도가 3배인 정수 삼각형

공식을^[34] 사용하여 B = 3A를 만족하는 유사한 삼각형의 전체 동등성 클래스를 생성할 수 있다.

${\displaystyle a=n^{3}\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m^{2}-2n^{2}),\,}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ $및$ n ${\displaystyle n}$은(는) < < 2n> ${\displaystyle {\sqrt {2}}n<n$}과(는$)$ 같은 정수다

B = 3A(정수면 포함 여부)를 가진 모든 삼각형은 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle a{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle a}$) .${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a$)를 만족한다$.$$}$

세 개의 합리적인 각도를 가진 정수 삼각형

세 개의 합리적인 각도를 가진 유일한 정수 삼각형은 등변 삼각형이다.^[3]이것은 정수 쪽이 코사인 법칙에 의해 세 개의 이성 코사인(sistic cosine)을 내포하고 있고, 니벤의 정리에 의해 이성 코사인(rational cosine)이 0, ±1/2 또는 ±1일 경우에만 이성적인 각도와 일치하기 때문이다.0°와 180° 사이의 각도를 제공하는 유일한 것은 60°의 코사인 값 1/2과 120°의 코사인 값 –1/2 그리고 90°의 코사인 값 0이다.이들 중 어느 하나라도 여러 번 사용할 수 있고 합계가 180°에 이르는 3개의 조합은 3개의 60° 각이다.

배율 대 인라디우스의 정수 비율을 갖는 정수 삼각형

조건은 정수의 삼각형이 인라디우스 대비 원곡선의 정수비 N을 갖도록 타원곡선의 관점에서 알려져 있다.^[35][36]가장 작은 경우인 등변 삼각형의 경우는 N = 2이다.모든 알려진 경우, N ≡ 2 (mod 8)—즉, N – 2는 8로 나누어진다.

5-콘 삼각형 쌍

5-Con 삼각형 쌍은 유사하지만 일치하지는 않으며 3각과 2개의 부차적 길이를 공유하는 삼각형 쌍이다.원시 정수 5-Con 삼각형은 4개의 뚜렷한 정수면(각각 두 개의 삼각형에서 두 개의 변이, 각 삼각형에서 한 개의 변이 각각 나타남)이 주요 인자를 공유하지 않는 3개의 변이 있다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2 )$${\$displaystyle (x^{3},x^{2}$y,xy$^{2}}$ 및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^,y^{3}}}}}}}}$

x와 y의 양의 복사 정수를 위해.가장 작은 예는 x = 2, y = 3에 의해 생성된 쌍(8, 12, 18, 27)이다.

특정 정수 삼각형

• 면과 면적에 대한 연속 정수를 가진 유일한 삼각형은 면(3, 4, 5)과 면 6이 있다.
• 고도와 옆면에 연속된 정수를 가진 유일한 삼각형은 옆면(13, 14, 15)과 옆면 14로부터의 고도가 12와 같다.
• (2, 3, 4) 삼각형과 그 배수는 산술적 진행에서 정수 면이 있고 보완적 외부 각도 특성을 갖는 유일한 삼각형이다.^[37][38][39]이 속성은 각도 C가 둔탁하고 세그먼트가 P에서 수직으로 확장된 AC를 만나는 B에서 떨어진 경우, ∠CAB=2∠CBP라고 명시한다.
• (3, 4, 5) 삼각형과 그 배수는 산술적 수열의 측면이 있는 유일한 정수 오른쪽 삼각형이다.^[39]
• (4, 5, 6) 삼각형과 그 배수는 한 각도가 다른 두 개의 삼각형이고 산술적 수열에서 정수 면이 있는 유일한 삼각형이다.^[39]
• (3, 5, 7) 삼각형과 그 배수는 120° 각도를 가진 유일한 삼각형이며 산술수열에서 정수 면이 있다.^[39]
• 면적 = 반퍼미터가^[40] 있는 유일한 정수 삼각형에는 면이 있다(3, 4, 5).
• 면적이 = 둘레가 있는 유일한 정수 삼각형에는 면^[40][41](5, 12, 13), 면(6, 8, 10), 면(6, 25, 29), 면(7, 15, 20), 면(9, 10, 17)이 있다.이 중 마지막 세 개는 아니지만 처음 두 개는 직각 삼각형이다.
• 3개의 합리적인 중간자를 가진 정수 삼각형이 존재한다.^{[10]: p. 64} 가장 작은 것은 면이 있다(68, 85, 87).그 밖에 (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328), (327, 386, 409) 등이 있다.
• 피타고라스 삼각형은 없다.^[16]
• 둘레의 사각형이 면적의 정수 배수와 동일한 유일한 원시 피타고라스 삼각형은 둘레 12와 면적 6이 있고 둘레 비율이 24이고, 둘레 30과 면적 30이 (5, 12, 13)이며, 둘레 30과 면적 30이 30과 (9, 40, 41)이다.90과 면적 180이며 둘레 대 면적 비율이 45이다.^[42]
• 둘레가 같고 면적이 같은 이성적인 오른쪽 삼각형과 이성적인 이등변 삼각형의 독특한 (비슷한 정도까지의) 쌍이 존재한다.고유한 쌍은 (377, 135, 352) 삼각형과 (366, 366, 132) 삼각형으로 구성된다.^[43]삼각형 또한 원시 적분 삼각형이어야 한다면 그러한 삼각형의 쌍은 없다.^[43]저자들은 두 번째 주장이 기초적인 주장으로 증명될 수 있는 놀라운 사실을 강조하는 반면, 첫 번째 주장은 현대적이고 비교가 안 되는 수학이 필요하다.

참고 항목

• 로빈스 펜타곤, 정수 옆면과 정수 면적을 가진 주기적인 펜타곤
• 오일러 벽돌(Uiler brick), 정수 가장자리와 정수 면 대각선이 있는 입체형
• 사면체#정수 사면체

참조