기술 기하학

Descriptive geometry
동일한 3D 객체의 4가지 2D 표현 예제
여섯 변에서 그려진 동일한 물체

기술 기하학은 특정 절차를 사용하여 3차원 객체를 2차원으로 표현할 수 있는 기하학 분야입니다.그 결과 기술 공학, 건축, 디자인과 예술에 중요하다.[1]도형 기하학의 이론적 근거 평면 기하학적 예측에 의해 제공된다.기법에 알려진 최초의 공개"Underweysung Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt der", Linien, 뉘른베르크:1525년에 알브레히트 뒤러에 의해 출간하였다.고 서술적인 사영 기하학의 이탈리아 건축가 과리노 과리니 또한 선구자, 그것은 그의 Placita Philosophica(1665년), 직경 약 11km.Adauctus(1671년)과 Architettura Civile(1686—not 1737년까지 출간되), 주로 도형 기하학 발명의 공로를 인정 받는 가스파르 몽주(1746–1818)의 일에 대한 기대에서 분명하다.[2][3]가스파르 몽주는 보통"도형 기하학의 아버지"기하학적 문제 해결에 그의 발전 때문으로 여겨진다.비록 그의 연구 결과 나중에 출판되었다 그는 군사적 요새에서 제도사로 일하는 그의 첫번째 발견 1765년에 있었다.[4]

Monge의 프로토콜은 가상의 물체를 3차원으로 모델링할 수 있는 방식으로 그릴 수 있도록 합니다.가상 객체의 모든 기하학적 측면은 실제 크기/축척 및 형상으로 설명되며, 공간 내 어느 위치에서나 볼 수 있는 것처럼 촬영할 수 있다.모든 영상이 2차원 표면에 표시됩니다.

기술기하학에서는 상상의 물체에서 발산되어 투영된 상상의 평면을 직각으로 교차하는 상상의 평행한 프로젝터의 이미지 생성 기술을 사용한다.교차점의 누적 점이 원하는 이미지를 만듭니다.

프로토콜

  • 물체의 두 이미지를 서로 수직인 임의의 방향으로 투영합니다.각 이미지 뷰는 3차원의 공간을 수용합니다.즉, 2차원은 풀스케일의 서로 수직인 축으로 표시되며, 1차원은 이미지 공간(깊이)으로 후퇴하는 보이지 않는(포인트 뷰) 축으로 표시됩니다.인접한 2개의 화상 뷰 각각은 공간의 3차원 중 하나의 실물 뷰를 공유합니다.
  • 이러한 이미지 중 하나가 세 번째 투영 뷰의 시작점이 될 수 있습니다.세 번째 뷰는 네 번째 투영을 시작할 수 있으며, 애드 인피니텀에 대해서도 마찬가지입니다.제대로 다른 방향에서 그 개체를 보는 이러한 순차 계획 각 공간에 돌아서 90도 회전을 나타낸다.
  • 각각의 새로운 투영 법 완전한 스케일point-view 차원으로 이전 보기에 나타나는 차원을 이용한다.그리고 새로운 뷰 내의 수용 이 차원의 본격적인 견해를 달성하기 위해 하나고 이 차원 본격적으로 나타나는 두번째 이전 보기를 진행해 이전 보기를 무시할 것을 요구한다.
  • 각각의 새로운 관점은 방향의 무한 수의, 프로젝션.(상상해 보라 마차 바퀴는 차축 방향에 수직인 평면의 살의 많은 방향.)의 이전 방향에 수직인 평면에 당초도록 만들어질 수 있다.그 결과는 한 우회적으로 개체에 대해 90도로 바뀌고 각 단계에서 개체를 보는 강화하기 위해.각각의 새로운 견해를 추가적인 관점에 의한 정사 도법 레이아웃 디스플레이에"유리 상자 모델의 펼쳐짐"에 나타나 추가됩니다.

맞춤법 외에 6개의 표준 주 뷰(전면, 오른쪽, 왼쪽, 위쪽, 아래쪽, 뒤쪽)를 사용하여 설명 형상은 선의 실제 길이(즉, 전방향으로 단축되지 않음), 선의 점 뷰(끝 뷰), 평면 실제 모양(즉, 전방향으로 단축되지 않음), 전방향으로 축소되지 않음)의 4가지 기본 솔루션 뷰를 생성하려고 합니다.그리고 평면의 가장자리 뷰(즉, 평면의 실제 모양을 만들기 위한 시선과 관련된 시선과 수직인 평면의 뷰)이다.이는 종종 후속 뷰에 대한 투영 방향을 결정하는 역할을 합니다.90° 회로 스테핑 프로세스에 의해 선의 점 뷰에서 임의의 방향으로 투영하면 실제 길이 뷰가 생성됩니다. 실제 길이 선 뷰에 평행한 방향으로 투영하면 평면상의 모든 선의 점 뷰가 생성되며, 엣지 뷰에 수직인 방향으로 투영됩니다.평면이 실제 모양(축척에 대한) 뷰를 생성합니다.이러한 다양한 관점은 고체 기하학 원리에 의해 제기되는 엔지니어링 문제를 해결하는 데 도움을 주기 위해 요구될 수 있다.

휴리스틱스

기술 기하학을 연구하는 데는 휴리스틱한 가치가 있다.시각화와 공간 해석 능력뿐만 아니라 보는 방향을 직관적으로 인식하는 능력도 향상시켜 기하학적 문제를 가장 잘 해결합니다.대표적인 예:

보기 가장 좋은 방향

  • 최단 커넥터(공통 수직)의 위치를 결정하기 위해 일반적인 위치에 있는 2개의 스큐 라인(파이프, 아마도)
  • 2개의 스큐 라인(파이프)이 일반적인 위치에 있어 최단 커넥터가 풀스케일로 표시된다.
  • 주어진 평면에 평행한 최단 커넥터와 같은 일반적인 위치에 있는 2개의 스큐 라인이 풀스케일로 표시됩니다(예를 들어 방사면에서 일정한 거리를 두고 최단 커넥터의 위치와 치수를 판단하기 위해).
  • 수직으로 뚫린 구멍이 마치 구멍을 통해 보는 것처럼 전면적으로 보이는 평면 표면(예를 들어 다른 구멍을 뚫은 틈새를 테스트하기 위해)
  • 일반적인 위치에서 두 개의 스큐 라인에서 등거리에 있는 평면(예를 들어, 안전한 방사선 거리를 확인하기 위해?)
  • 지점에서 평면까지의 최단 거리(예를 들어 브레이싱을 위한 가장 경제적인 위치를 찾기 위해)
  • 곡면을 포함한 두 표면 사이의 교차선(예를 들어 가장 경제적인 단면 크기 조정)
  • 두 평면 사이의 실제 각도 크기

맞춤법, 순차 투영법과 유사한 컴퓨터 모델링 뷰를 제시하기 위한 표준은 아직 채택되지 않았다.이러한 경우 다음 그림에 한 가지 후보가 제시되어 있습니다.그림 속의 이미지는 3차원 엔지니어링 컴퓨터 그래픽을 사용하여 만들어졌습니다.

3차원 컴퓨터 모델링은 "튜브 뒤에" 가상 공간을 생성하며, 이 가상 공간 내의 모든 방향에서 모델을 볼 수 있습니다.인접한 맞춤법 뷰가 필요 없기 때문에 기술 지오메트리의 회로 스테핑 프로토콜을 더 이상 사용하지 않는 것처럼 보일 수 있습니다.그러나 기술기하학은 3차원 이상의 공간에 대한 적법하거나 허용되는 이미징을 평면에서 하는 과학이기 때문에 컴퓨터 모델링의 가능성을 높이기 위해 필수적인 연구이다.

지정된 2개의 스큐 회선 PR과 SU 사이의 최단 커넥터 검색

설명 형상을 사용하여 두 스큐 선 사이의 최단 커넥터를 찾는 예제입니다.빨간색, 노란색 및 녹색 하이라이트는 점 P의 투영과 동일한 거리를 나타냅니다.

P, R, S 및 U의 X, Y 및 Z 좌표가 주어졌을 때, 돌기 1과 2는 각각 X-Y 및 X-Z 평면에서 스케일링되도록 그려진다.

선 중 하나의 실제 뷰(3D 공간의 길이와 같음)를 얻으려면: 이 예에서 SU는 힌지선2,3 H가 SU와22 평행하도록 그려집니다. SU의 끝 뷰를 얻으려면 힌지선3,4 H가 SU에 수직인 투영33 4가 그려집니다.수직 거리 d는 PR과 SU 사이의 최단 거리를 제공한다.

이 최단거리를 주는 선상에 점 Q와 T를 얻기 위해 힌지선4,5 H를 PR에44 평행하게 하여 PR과 SU의55 양쪽을55 참 뷰로 한다(단측 뷰의 투영이 참 뷰).이러한 선의 교차점인5 Q와5 T를 투영 1(자홍색 선 및 라벨)로 다시 투영하면 X, Y 및 Z 축에서 좌표를 읽을 수 있습니다.

일반적인 솔루션

일반 솔루션은 문제에 대한 모든 가능한 해결책을 포함하는 기술 기하학 내의 솔루션 클래스입니다.일반적인 솔루션은 단일 3차원 객체(일반적으로 원뿔형)로 표현되며, 요소의 방향은 무한한 수의 솔루션 뷰에서 원하는 보기(투영) 방향입니다.

예를 들어 다음과 같습니다.길이가 같지 않은 두 개의 스큐 라인(예를 들어 비행 중인 로켓?)이 나타나도록 일반적인 솔루션을 찾으려면:

  • 같은 길이
  • 같은 길이와 평행
  • 길이가 같고 수직이다(적어도 1개 이상의 이상적인 타겟팅용 등)
  • 지정된 비율의 길이와 동일합니다.
  • 다른이들.

이 예에서 원하는 각 특성 솔루션의 일반 솔루션은 원뿔이며, 원뿔의 각 요소는 무한한 수의 솔루션 뷰 중 하나를 생성합니다.예를 들어 위의 두 가지 이상의 특성이 필요한 경우(및 솔루션이 존재하는 경우), 두 개의 원뿔 사이의 교차점의 두 요소(원뿔이 접선인 경우 한 요소) 중 하나의 방향으로 투영되어 원하는 솔루션 뷰가 생성됩니다.원뿔이 교차하지 않으면 솔루션이 존재하지 않습니다.아래 예에서는 솔루션에 사용되는 기하학적 원리를 설명하기 위해 주석을 달았습니다.TL = True-Length, EV = Edge View.

아래 그림 1-3은 (1) 기술 기하학, 일반 해법 및 (2) 이러한 해법을 맞춤법, 다중 뷰, 레이아웃 형식으로 제시하기 위한 잠재적 표준을 동시에 보여준다.

잠재적 표준은 표준 "폴딩 라인"을 사이에 두고 두 개의 인접한 표준, 맞춤법 보기(여기서 전면 및 상단)를 사용합니다.솔루션 뷰에 도달하기 위해 표준적인 2단계 시퀀스에서 객체 주위로 90°를 '순환적으로 스텝'할 필요가 없으므로(솔루션 뷰로 직접 이동할 수 있음) 이 짧은 프로토콜이 레이아웃에서 설명됩니다.1단계 프로토콜이 2단계 프로토콜을 대체하는 경우 "이중 폴딩" 선이 사용됩니다.다시 말하면, 그가 돌아서 90도 차례 그러나 해결 정면에non-orthodirectional 회전 하는 것은 아니지만 두겹의 선이 가로지른다.대부분의 공학 컴퓨터 그래픽 패키지는 자동으로 유리 박스 모델뿐만 아니라 등거리는 6주요 견해를 생성하지만 그러한 견해는 가끔 경험적 호기심에서 추가됩니다.

Figure 1 Descriptive geometry - skew lines appearing perpendicular
그림 1: 형상 설명 - 수직으로 나타나는 왜곡선
Figure 2 Descriptive geometry - skew lines appear equal length
그림 2: 형상 설명 - 스큐 라인의 길이가 같다
Figure 3 Descriptive geometry - skew lines appear in specified length ratio
그림 3: 도형 설명 - 스큐 선이 지정된 길이 비율로 표시됨

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Joseph Malkevitch (April 2003), "Mathematics and Art", Feature Column Archive, American Mathematical Society
  2. ^ James Stevens Curl, ed. (2015). "Guarini, Guarino". A Dictionary of Architecture. Oxford University Press. p. 337. ISBN 9780198606789.
  3. ^ Bianchini, Carlo (2012). "Stereotomy Role in Guarino Guarini's Space Research". Nuts and Bolts of Construction History. 1: 257–263. ISBN 978-2-7084-0929-3.
  4. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (December 1978), "Planar Geometric Projections and Viewing Transformations", ACM Computing Surveys, 10 (4): 465–502, CiteSeerX 10.1.1.532.4774, doi:10.1145/356744.356750, S2CID 708008