르베그 피복 치수

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수학에서, 위상 공간의 차원 또는 위상 차원을 덮는 르베그(Lebegue)는 위상적으로 불변한 ^[1][2]방식으로 공간의 차원을 정의하는 여러 다른 방법 중 하나이다.

비공식 토론

일반적인 유클리드 공간의 경우, 르베그 피복 치수는 일반적인 유클리드 차원일 뿐입니다: 점의 경우 0, 선의 경우 1, 평면의 경우 2 등입니다.단, 모든 위상공간이 이러한 종류의 "명확한" 차원을 갖는 것은 아니기 때문에 이러한 경우에는 정확한 정의가 필요하다.공간이 열린 집합으로 덮여 있을 때 발생하는 작업을 검토하여 정의를 진행합니다.

일반적으로 위상 공간 X는 열린 집합으로 덮일 수 있으며, 그 안에서 X가 결합의 내부에 있는 열린 집합의 집합을 찾을 수 있다.피복 치수는 모든 피복에 대해 X의 모든 점이 n + 1 이하의 피복 세트의 교차점에 위치하도록 가장 작은 수 n이다.아래 공식 정의의 요지는 다음과 같습니다.정의의 목적은 공간을 기술하고 공간이 지속적으로 변형되어도 변하지 않는 수(정수)를 제공하는 것입니다. 즉, 동형사상에 따라 변하지 않는 수입니다.

아래 그림은 원과 정사각형의 표지와 정교함을 보여줍니다.

동그라미 커버의 미세화	왼쪽 다이어그램은 원형 선(검은색)의 커버(오른쪽)를 미세하게(왼쪽) 나타낸 것입니다.미세 조정에서는 선상의 어떤 점도 세 개 이상의 세트에 포함되어 있지 않습니다.또, 세트가 서로 링크 해 「체인」을 형성하는 방법에 대해서도 주의해 주세요.
정사각형 커버의 미세화	왼쪽 아래는 평면 모양(어두운 색)의 커버(상단)를 정교하게 다듬은 것으로, 모양의 모든 점이 최대 3개의 세트에 포함됩니다.오른쪽 아래는 커버가 세 개 이상의 세트에 포인트가 포함되지 않도록 미세 조정하려는 시도입니다.이것은 설정된 경계선의 교차점에서 실패합니다.따라서 평면 모양은 "웹비"하거나 "체인"으로 덮을 수 없는 것이 아니라 어떤 의미에서는 더 두껍다. 즉, 위상 치수는 1보다 커야 한다.

형식적 정의

피복 치수의 첫 번째 공식 정의는 앙리 르베그(Henri Lebegue)^[4]의 초기 결과에 기초하여 에두아르 체흐(Eduard Chech)에 의해 제시되었다.

현대적 정의는 다음과 같다.위상공간 X의 오픈커버는 그 합집합이 공간 전체인_α 오픈세트 U족이다(θ_α U = X이다.열린 $커버{\displaystyle \mathfrak{}}$ A$(\$ {A$}}$ =$$ {U_α})의 순서 또는 플라이는 커버 내의 각 점이 최대 m개의 열린 세트에 속하는 최소 수 m(있는 경우)입니다. 즉_α1, U_αm+1 $={\displaystyle \mathrm{}}$ {$displaystyle \emptyset$ $}$ α_m+1, α, α, α, α, α, α,$$α에₁ 대해 구별됩니다.개방형 $커버{\displaystyle \mathfrak{}}$ A$(\$ =$$ {U_α})의 개선은 다른 개방형_β 커버 $(\${\$mathfrak {B}}$ =$$ {V_β})로 각 V가 일부_α U에 포함되도록 합니다.위상 공간 X의 피복 치수는 모든 X의 열린 $피복{\displaystyle \mathfrak{}}$ A$(\displaystyle\mathfrak$ {$A})$가 순서 n + 1의 열린 $피복{\displaystyle \mathfrak{}}$ B$(\$를 가지도록 n의 최소값으로 정의한다.따라서 n이 유한하면 V = V$$=$β$_βn+2$,$ ..., β에_n+2 대해 구별된다_Β11$.$이러한 최소 n이 존재하지 않으면 공간은 무한 피복 치수를 갖는다고 한다.

특별한 경우로서 공간의 모든 열린 커버가 분리된 열린 집합으로 이루어진 미세화를 가지며 공간 내의 모든 점이 이 미세화의 정확히 하나의 열린 집합에 포함되도록 하는 경우 위상 공간은 피복 치수에 대해 0차원이다.

빈 세트의 커버 치수는 -1이라고 하는 것이 편리합니다.

예

단위 원의 주어진 열린 덮개는 열린 호 집합으로 구성된 정교함을 가집니다.이 정의에 따르면 원의 치수는 1이다. 왜냐하면 이러한 커버는 원의 주어진 점 x가 최대 두 개의 열린 호 안에 포함되는 단계까지 더 미세화할 수 있기 때문이다.즉, 어떤 호 집합으로 시작하든 일부는 폐기되거나 축소될 수 있으며, 나머지는 여전히 원을 덮고 있지만 단순하게 겹칠 수 있습니다.

마찬가지로 2차원 평면에서의 유닛 디스크의 오픈 커버는 디스크의 임의의 포인트가 3개 이하의 오픈 세트에 포함되는 한편, 일반적으로는 2개로는 불충분하도록 미세화할 수 있다.따라서 디스크의 피복 치수는 2입니다.

보다 일반적으로, n차원 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ E$$ \$displaystyle \mathbb {E}$^{$n}$은 치수 n을 가진다.

특성.

• 동형 공간의 피복 치수는 동일합니다.즉, 피복 치수는 위상 불변량이다.
• 르베그 피복 치수는 유한 단순 복소의 아핀 치수와 일치한다. 이것은 르베그 피복 정리이다.
• 정규 공간의 피복 치수는 큰 유도 치수보다 작거나 같습니다.
• 정상 공간 X의 커버 치수는 ${\displaystyle \mathrm{닫힌}}$ 부분 집합 A($f$ : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$$${\$displaystyle$f:$A 오른쪽$ 화살표 S^{$n$$}$는 연속이며$,$ f {$displaystyle$ f$}$에서${\displaystyle g}$ : X ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle g:$X\$right 화살표$ S$^{n$까지 확장되어 있다.${\displaystyle {여기}^{}}$서 S$$n {\$displaystyle S^{n$}은 n차원 구이다.
• (오스트란드의 색채 차원에 대한 정리)X가 정리가 만약 X는 평범한 위상 공간, A{\displaystyle{\mathfrak{A}}}={Uα}은 국내에서 한정된 커버 ≤ n+l, 그 각각의 1≤ 나는 ≤ n+1, 존재하는 가족의 쌍별 연결되지 않은 오픈 세트 B{\displaystyle{\mathfrak{B}}}나는 갈{Vi,α}가 줄어들고 한{\displaystyle{\mathfrak{A}}}, 즉 Vi,α ⊆ 미국α,함께 ^[5]X를 덮습니다.
• 한paracompact 하우스 도르프 공간의 피복 디멘션 엑스{X\displaystyle}또는 그cohomological 차원에(볏짚을 단의 의미에서)[6]그것은 동등한 큰 경우, 한 나는}모든 다발에 X{X\displaystyle}에abelian 모임의 한{A\displaystyle}과 모든 i.=0{\displaystyle H^{나는}(X,A)=0(X, A)H다 {$\$$displaystyle$ i$}$가 X의 $커버{\displaystyle }$ 치수(\$displaystyle$ X$)$보다 큽니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 카라테오도리의 확장 정리
• 기하학적 세트 커버 문제
• 차원 이론
• 메타콤팩트 공간
• 포인트 유한 컬렉션

메모들

레퍼런스

• Edgar, Gerald A. (2008). "Topological Dimension". Measure, topology, and fractal geometry. Undergraduate Texts in Mathematics (Second ed.). Springer-Verlag. pp. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4. MR 2356043.
• Engelking, Ryszard (1978). Dimension theory (PDF). North-Holland Mathematical Library. Vol. 19. Amsterdam-Oxford-New York: North-Holland. ISBN 0-444-85176-3. MR 0482697.
• Godement, Roger (1958). Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (in French). Vol. III. Paris: Hermann. MR 0102797.
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941). Dimension Theory. Princeton Mathematical Series. Vol. 4. Princeton University Press. MR 0006493.
• Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2. MR 3728284.
• Ostrand, Phillip A. (1971). "Covering dimension in general spaces". General Topology and Appl. 1 (3): 209–221. MR 0288741.

추가 정보

이력

• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, 암스테르담 과학 아카데미 통신.프랙탈에 관한 고전, 제럴드 A에 전재된 영어 번역.Eddison-Wesley(1993) ISBN 0-201-58701-7 편집자
• 칼 멘거, 디멘션스토리, (1928년) B라이프치히의 G 튜브너 출판사입니다

현대의

• Pears, Alan R. (1975). Dimension Theory of General Spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8. MR 0394604.
• V. V. Fedorchuk, 차원 이론의 기초, 수학 과학 백과사전 제17권, 일반 위상 I, (1993) A. V. Arkhangel'skii와 L. S. 폰트랴긴(Eds), S. Springer-Ver-lag, 베를린 317BN에 실렸습니다.

외부 링크

• "Lebesgue dimension", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]