미러 대칭(끈 이론)

끈 이론
기본 객체
끈 우주 끈 브레인 디브레인
섭동 이론
보소닉 슈퍼스트링(I형, II형, 이형)
불안정한 결과
S-이중성 T-이중성 U-이중성 엠이론 F-이론 ADS/CFT 통신
현상학
현상학 우주론 조경
수학
거울 대칭 몬스트라스문샤인
관련개념 만물론 등각장 이론 양자 중력 초대칭 초중력 트위스터 끈 이론 N = 4 초대칭 양-밀 이론 칼루자-클레인 이론 멀티버스 홀로그래피 원리
이론가 아가나기치 아르카니하메드 아티야 은행 베렌슈타인 부소 클리버 커트라이트 딕크라프 디슬러 더글러스 더프 드발리 페라라 피슐러 프리단 게이츠 글리오찌 고파쿠마르 녹색 그린 징그럽다 거버 쿠코프 구스 핸슨 하비 호하바 호로위츠 기븐스 카흐루 카쿠 칼로스 칼루자 카푸스틴 클레바노프 크니즈니크 콘체비치 클라인 린데 몰다세나 만델스탐 마롤프 마르티네크 민왈라 무어 모틀 묵히 마이어스 나노풀로스 네스타세 네크라소프 네베우 닐슨 판 니에우웬후이젠 노비코프 올리브 오오구리 오브루트 폴친스키 폴리아코프 라자라만 라몬드 랜들 랜지바르대미 로체크 롬 사그노티 셰르크 슈바르츠 세이베르크 센 선커 시겔 실버스타인 신 스토다허 스타인하르트 스트로밍거 선드럼 서스킨드 't 후프트' 타운센드 트리베디 투록 바파 베네치아노 베린데 베린데 웨스 비튼 야우 요네아 자몰로드치코프 자몰로드치코프 자슬로 주미노 즈위바흐
역사 용어집
v t

대수 기하학과 이론 물리학에서 거울 대칭은 칼라비-라고 불리는 기하학적 물체들 사이의 관계다.Yau 다지관.이 용어는 두 칼라비-가 있는 상황을 가리킨다.Yau 다지관은 기하학적으로 매우 다르게 보이지만 그럼에도 불구하고 끈 이론의 추가 차원으로 채택될 경우 동등하다.

초기 거울 대칭 사례는 물리학자에 의해 발견되었다.수학자들은 1990년경 필립 칸델라스, 제니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파커스 등이 기하학적 문제에 대한 해답의 수를 세는 것과 관련된 수학의 한 분야인 열거형 기하학의 도구로 사용될 수 있다는 것을 보여주면서 이 관계에 관심을 갖게 되었다.칸델라와 그의 협력자들은 거울 대칭이 칼라비-에 있는 이성적인 곡선을 세는데 사용될 수 있다는 것을 보여주었다.Yau 매니폴드, 따라서 오랜 문제를 해결한다.거울 대칭에 대한 원래의 접근법은 수학적으로 정밀한 방법으로 이해되지 않는 물리적 사상에 기초했지만, 그 이후 그것의 수학적인 예측 중 일부는 엄격하게 증명되었다.

오늘날, 거울 대칭은 순수 수학에서 주요한 연구 주제로서, 수학자들은 물리학자들의 직관력을 바탕으로 관계에 대한 수학적 이해를 발전시키기 위해 노력하고 있다.거울 대칭은 또한 끈 이론에서 계산을 하는 근본적인 도구로서, 물리학자들이 기초 입자를 기술하기 위해 사용하는 형식주의인 양자장 이론의 측면을 이해하는 데 사용되어 왔다.거울 대칭에 대한 주요 접근법으로는 막심 콘체비치의 호몰로지 거울 대칭 프로그램과 앤드류 스트로밍거, 싱퉁 야우, 에릭 자슬로의 SYZ 추측이 있다.

개요

끈과 콤팩트화

물리학에서 끈 이론은 입자물리학의 점처럼 생긴 입자들이 끈이라고 불리는 1차원 물체로 대체되는 이론적 틀이다.이 문자열들은 작은 부분이나 일반 문자열의 루프처럼 보인다.끈 이론은 끈이 공간을 통해 어떻게 전파되고 서로 상호작용하는지를 설명한다.문자열 눈금보다 큰 거리 눈금에서는 문자열의 질량, 전하 및 기타 특성이 문자열의 진동 상태에 의해 결정되는 일반 입자처럼 보일 것이다.문자열의 분열과 재조합은 입자 방출과 흡수에 해당하며, 입자 간의 상호작용을 발생시킨다.^[1]

끈 이론으로 묘사된 세계와 일상 세계 사이에는 주목할 만한 차이점이 있다.일상 생활에서 친숙한 공간의 치수는 세 가지(위/아래, 왼쪽/오른쪽, 앞/뒤로)가 있고, 시간 차원은 한 가지(더 짧은/이른)가 있다.따라서 현대 물리학의 언어에서는 스페이스타임이 4차원이라고 말한다.^[2]끈 이론의 독특한 특징 중 하나는 수학적인 일관성을 위해 여분의 시간의 치수가 필요하다는 것이다.초대칭이라고 하는 이론적 사상을 통합한 이론의 버전인 슈퍼스트링 이론에서는 일상 경험에서 친숙한 4가지 외에 6가지 추가적 차원의 스페이스타임이 있다.^[3]

현 끈 이론 연구의 목표 중 하나는 끈이 고에너지 물리학 실험에서 관찰된 입자를 나타내는 모델을 개발하는 것이다.이러한 모형이 관측치와 일치하려면 해당 거리 척도에서 여유 시간이 4차원이어야 하므로 추가 치수를 더 작은 척도로 제한하는 방법을 찾아야 한다.끈 이론에 기초한 물리학의 가장 현실적인 모델에서, 이것은 콤팩트화라고 불리는 과정에 의해 달성되는데, 이 과정에서 여분의 차원이 스스로 원을 형성하기 위해 "닫히는" 것으로 가정된다.^[4]이렇게 웅크린 치수가 매우 작아지는 한계에서, 스페이스타임이 효과적으로 더 적은 치수를 갖는 이론을 얻는다.이에 대한 표준적인 비유는 정원 호스와 같은 다차원 물체를 고려하는 것이다.호스를 충분한 거리에서 볼 경우 호스의 길이인 1차원만 있는 것으로 보인다.그러나 호스로 다가갈 때 호스의 둘레인 두 번째 치수가 들어 있다는 것을 발견하게 된다.따라서 호스의 표면을 기어다니는 개미는 2차원으로 움직일 것이다.^[5]

칼라비-야우 다양체

압축은 스페이스타임이 효과적으로 4차원인 모델을 만드는 데 사용될 수 있다.그러나 추가 치수를 압축하는 모든 방법이 자연을 묘사하는 데 적합한 특성을 가진 모델을 생산하는 것은 아니다.입자 물리학의 실행 가능한 모델에서, 소형 추가 치수는 칼라비처럼 형성되어야 한다.야우 다지관.^[4]A칼라비-야우 다지관은 현악 이론에 적용할 때 일반적으로 6차원인 특수한 공간이다.수학자 외제니오 칼라비와 신퉁 야우의 이름을 따서 지은 것이다.^[6]

칼라비 이후-Yau 다지관은 추가적인 차원을 압축하기 위한 방법으로 물리학에 입문했고, 많은 물리학자들은 이러한 다지관을 연구하기 시작했다.1980년대 후반, 랜스 딕슨, 볼프강 르르슈, 컴런 바파, 닉 워너 등은 끈 이론의 압축을 감안할 때, 그에 상응하는 칼라비-을 독특하게 재구성할 수 없다는 것을 알아차렸다.야우 다지관.^[7]대신, IIA형 끈 이론과 IIB형이라고 불리는 두 가지 다른 버전의 끈 이론은 완전히 다른 칼라비-에서 압축될 수 있다.Yau 다지관은 같은 물리학을 낳는다.^[8]이런 상황에서 다지관을 거울다지관이라 하고, 두 물리적 이론의 관계를 거울 대칭이라 한다.^[9]

거울 대칭 관계는 물리학자들이 물리적 이중성이라고 부르는 것의 특별한 예다.일반적으로 물리적인 이중성이라는 용어는 겉으로 보기에 서로 다른 두 물리 이론이 비종교적인 방식으로 동등한 것으로 판명되는 상황을 가리킨다.하나의 이론이 다른 이론과 똑같이 보이게 변형될 수 있다면, 그 두 이론은 그 변형 하에서 이중적이라고 한다.다르게 표현하면, 두 이론은 수학적으로 동일한 현상에 대한 서로 다른 서술이다.^[10]그러한 이중성은 현대 물리학, 특히 끈 이론에서 중요한 역할을 한다.^[11]

칼라비-에 상관없이Yau 끈 이론의 압축은 자연에 대한 정확한 설명을 제공하며, 다른 끈 이론들 사이에 거울의 이중성이 존재한다는 것은 상당한 수학적인 결과를 가져온다.^[12]더 칼라비-끈 이론에 사용되는 Yau 다지관은 순수한 수학에 관심이 있고, 거울 대칭은 수학자들이 기하학적 문제에 대한 해답의 수를 세는 것과 관련된 수학의 한 분야인 열거 대수 기하학에서 문제를 풀 수 있게 한다.열거형 기하학의 고전적인 문제는 칼라비-에 대한 합리적인 곡선을 열거하는 것이다.위에 설명된 것과 같은 Yau 매니폴드.거울 대칭을 적용함으로써 수학자들은 이 문제를 거울 칼라비–에 상응하는 문제로 번역했다.Yau, 해결하기가 더 쉬워진 것으로 드러난다.^[13]

물리학에서 거울 대칭은 물리적인 근거에서 정당화된다.^[14]그러나 수학자들은 일반적으로 육체적 직관력에 호소할 필요가 없는 엄격한 증거를 요구한다.수학적인 관점에서 보면 위에서 설명한 거울 대칭의 버전은 아직 추측에 불과하지만, 위튼이 도입한 끈 이론의 단순화된 버전인 위상학적 끈 이론의 맥락에서 거울 대칭의 다른 버전이 있는데,^[15] 이것은 수학자들에 의해 엄격하게 입증되었다.^[16]위상학적 끈 이론의 맥락에서 거울 대칭은 A-모델과 B-모델이라고 불리는 두 이론이 그것과 관련된 이중성이 있다는 점에서 동등하다고 기술하고 있다.^[17]오늘날 거울 대칭은 수학에서 연구의 활발한 영역이며, 수학자들은 물리학자들의 직관에 기초하여 거울 대칭에 대한 보다 완전한 수학적인 이해를 발전시키기 위해 노력하고 있다.^[18]

역사

거울 대칭의 개념은 1980년대 중반으로 거슬러 올라갈 수 있는데, $반지름{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$의 원에 전파되는 문자열이 $적절한$ 단위로 반경 1${\displaystyle }$/ R ${\displaystyle 1/R}$의 원에 전파되는 문자열과 물리적으로 동등하다는 것을 알게 되었다.^[19]이 현상은 현재 T-이중성으로 알려져 있으며 거울 대칭과 밀접한 관련이 있는 것으로 이해되고 있다.^[20]1985년의 논문에서 필립 칸델라스, 게리 호로위츠, 앤드류 스트로밍거, 에드워드 위튼은 칼라비-에 대한 끈 이론을 압축함으로써 그 사실을 보여주었다.Yau darginary, 하나는 초대칭이라는 개념을 일관되게 통합하는 입자 물리학의 표준 모델과 거의 유사한 이론을 얻는다.^[21]이 발달에 따라 많은 물리학자들이 칼라비를 연구하기 시작했다.Yau 압축, 끈 이론에 근거한 입자 물리학의 현실적인 모델을 구축하기를 희망한다.컴런 바파 등은 그러한 물리적 모델이 주어진다면 그에 상응하는 칼라비-을 독특하게 재구성할 수 없다는 것을 알아차렸다.야우 다지관.대신 칼라비가 두 명 있다.같은 물리학을 일으키는 요 다지관들.^[22]

칼라비-의 관계를 연구함으로써.Yau 다지관과 Gepner 모델, Brian Greene과 Ronen Plesser라고 불리는 어떤 순응적인 필드 이론들은 거울 관계의 비종교적인 예를 발견했다.^[23]이러한 관계에 대한 추가 증거는 많은 수의 칼라비를 조사한 필립 칸델라스, 모니카 린커, 롤프 쉬미릭의 작품에서 나왔다.야우 다지관은 컴퓨터로 보고 거울로 짝을 지어 왔다.^[24]

수학자들은 물리학자 필립 칸델라스, 제니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파케스가 수십 년 이상 해결책에 저항해 온 열거형 기하학의^[25] 문제를 해결하는 데 거울 대칭이 사용될 수 있다는 것을 보여준 1990년 무렵 거울 대칭에 관심을 갖게 되었다.^[26]이러한 결과는 1991년 5월 캘리포니아주 버클리 소재 수학과학연구소(MSRI)에서 열린 학회에서 수학자들에게 제시됐다.이 컨퍼런스 동안, 캔델라스가 합리적 곡선의 계산을 위해 계산한 숫자 중 하나가 표면적으로 더 엄격한 기법을 사용하여 노르웨이의 수학자 게이어 엘링스루드와 스타인 아릴트 스트뢰메가 얻은 숫자에 동의하지 않는다는 것을 알게 되었다.^[27]학회에 참석한 많은 수학자들은 칸델라스의 작품이 엄격한 수학적 논거에 근거하지 않았기 때문에 실수를 포함하고 있다고 추측했다.그러나, 그들의 해결책을 검토한 후, 엘링스루드와 스트뢰메는 컴퓨터 코드에서 오류를 발견했고, 코드를 고치는 즉시, 그들은 칸델라스와 그의 협력자들에 의해 얻은 것에 동의하는 대답을 얻었다.^[28]

1990년에 에드워드 위튼은 끈 이론의 단순화된 버전인 ^[15]위상학적 끈 이론을 도입했고 물리학자들은 위상학적 끈 이론에 거울 대칭의 버전이 있다는 것을 보여주었다.^[29]위상학적 끈 이론에 관한 이 진술은 보통 수학 문헌에서 거울 대칭의 정의로 받아들여진다.^[30]수학자 막심 콘체비치는 1994년 국제수학자대회 연설에서 위상학적 끈 이론에서 거울 대칭의 물리적 사상을 바탕으로 한 새로운 수학적인 추측을 제시했다.동질 거울 대칭으로 알려진 이 추측은 거울 대칭을 두 가지 수학 구조의 등가치로 공식화한다: 칼라비-에 있는 일관성 있는 조각의 파생 범주.Yau 다지관과 거울의 후카야 범주.^[31]

또한 1995년경 콘체비치는 5분위수로 합리적 곡선을 계산하는 문제에 대한 일반적인 공식을 준 칸델라스의 결과를 분석해, 이러한 결과를 정밀한 수학 추측으로 재구성했다.^[32]1996년 알렉산더 기벤탈은 콘체비치의 이런 추측을 증명하는 논문을 게재했다.^[33]처음에 많은 수학자들이 이 논문을 이해하기 힘들다고 생각했기 때문에, 그 논문의 정확성에 대한 의구심이 있었다.이어 봉롄, 케펑류, 신퉁야우 등이 잇따라 독자적인 증거를 발표했다.^[34]누가 첫 번째 증거를 냈는지에 대한 논란에도 불구하고, 이 논문들은 현재 물리학자들에 의해 원래 거울 대칭을 사용하여 얻은 결과에 대한 수학적인 증거를 제공하는 것으로 집합적으로 보여지고 있다.^[35]2000년 호리 켄타로와 컴런 바파는 T-이중성에 기초한 거울 대칭의 또 다른 물리적 증거를 제시했다.^[14]

거울 대칭에 관한 작업은 경계가 있는 표면의 끈의 맥락에서 주요한 발전으로 오늘날에도 계속되고 있다.^[18]또한 거울 대칭은 맥케이 대응, 위상 양자장 이론, 안정 조건 이론과 같은 수학 연구의 많은 활동 영역과 연관되어 왔다.^[36]동시에 기본적인 질문들은 계속 귀찮아진다.예를 들어, 수학자들은 거울 칼라비의 예를 구성하는 방법에 대한 이해가 아직 부족하다.Yau는 이 문제를 이해하는 데 진전이 있었지만 짝을 지었다.^[37]

적용들

열거형 기하학

거울 대칭의 많은 중요한 수학 응용은 열거형 기하학이라 불리는 수학의 가지에 속한다.열거형 기하학에서는 일반적으로 대수 기하학의 기법을 사용하여 기하학적 문제에 대한 해답의 수를 세는 데 관심이 있다.열거형 기하학의 가장 초기 문제들 중 하나는 기원전 200년경에 고대 그리스의 수학자 아폴로니우스에 의해 제기되었는데, 그는 비행기에 몇 개의 원이 주어진 원과 접하고 있는지를 물었다.일반적으로 아폴로니우스 문제에 대한 해결책은 그런 원이 8개 있다는 것이다.^[38]

수학의 열거적 문제들은 종종 다항식의 소멸에 의해 정의되는 대수적 품종이라고 불리는 기하학적 물체의 종류와 관련이 있다.예를 들어, Clebsch 입방체(그림 참조)는 4개의 변수에서 3도의 특정 다항식을 사용하여 정의된다.19세기 수학자 아서 케일리와 조지 샐먼의 유명한 결과는 전적으로 그러한 표면에 놓여 있는 27개의 직선이 정확히 존재한다고 말한다.^[39]

이 문제를 일반화하면 5중주 칼라비에 몇 개의 선을 그릴 수 있는지 물을 수 있다.Yau 다지관은 도 5의 다항식으로 정의된다.이 문제는 19세기 독일의 수학자 헤르만 슈베르트에 의해 해결되었는데, 그는 그러한 선들이 정확히 2,875개라는 것을 발견했다.1986년 셸던 카츠는 도 2의 다항식으로 정의되고 완전히 5분위에 놓여 있는 원과 같은 곡선의 수가 609,250이라는 것을 증명했다.^[38]

1991년까지 열거형 기하학의 고전적인 문제들이 대부분 해결되었고 열거형 기하학에 대한 관심이 줄어들기 시작했다.수학자 마크 그로스 씨에 따르면 "오래된 문제들이 해결되면서 사람들은 현대적인 기술로 슈베르트의 숫자를 확인하기 위해 돌아갔지만, 그것은 상당히 진부해지고 있었다"^[40]고 한다.이 분야는 1991년 5월 물리학자인 필립 칸델라스, 제니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파크스가 거울 대칭이 5중주 칼라비–의 3도 곡선 수를 세는 데 사용될 수 있다는 것을 보여주면서 다시 활기를 띠게 되었다.야우 칸델라스와 그의 협력자들은 이 6차원 칼라비들이Yau 다지관은 정확히 317,206,375도 곡선 3도를 포함할 수 있다.^[40]

칸델라스와 그의 협력자들은 5중주곡선의 3도 곡선을 세는 것 외에도 수학자들이 얻은 결과를 훨씬 뛰어넘는 합리적 곡선을 세는 데 더 많은 일반적인 결과를 얻었다.^[41]비록 이 작품에 사용된 방법들이 물리적인 직관에 기초하였지만, 수학자들은 거울 대칭에 대한 예측의 일부를 엄격하게 증명해 왔다.특히 거울 대칭에 대한 열거적 예측은 이제 엄격하게 입증되었다.^[35]

이론물리학

열거형 기하학에서 그것의 적용 외에도, 거울 대칭은 끈 이론에서 계산을 하기 위한 기본적인 도구다.위상학적 끈 이론의 A-모델에서는 물리적으로 흥미로운 수량이 그로모프-위튼 불변성이라고 불리는 무한히 많은 숫자로 표현되는데, 계산이 극히 어렵다.B-모델에서는 계산이 고전적 통합으로 축소될 수 있고 훨씬 쉽다.^[42]거울 대칭을 적용함으로써 이론가들은 A-모델에서 어려운 계산을 B-모델에서 동등하지만 기술적으로 더 쉬운 계산으로 번역할 수 있다.이 계산은 끈 이론에서 다양한 물리적 프로세스의 확률을 결정하는 데 사용된다.거울 대칭은 다른 이중성과 결합하여 한 이론의 계산을 다른 이론의 등가 계산으로 변환할 수 있다.이런 식으로 다른 이론에 계산을 아웃소싱함으로써 이론가들은 이중성을 사용하지 않고서는 계산이 불가능한 수량을 계산할 수 있다.^[43]

끈이론 외에 거울 대칭은 물리학자들이 기초 입자를 기술하기 위해 사용하는 형식주의인 양자장 이론의 측면을 이해하는 데 사용된다.예를 들어 게이지 이론은 입자 물리학의 표준 모델과 이론 물리학의 다른 부분에 나타나는 매우 대칭적인 물리 이론의 한 종류다.일부 게이지 이론은 표준 모델의 일부가 아니지만 이론적인 이유로 중요한 이론은 거의 단수적인 배경에 전파되는 문자열에서 발생한다.그러한 이론에 있어서 거울 대칭은 유용한 계산 도구다.^[44]실제로 거울 대칭은 나단 세이버그와 에드워드 위튼이 연구한 4개의 스페이스타임 차원으로 중요한 게이지 이론에서 계산을 수행하는 데 사용될 수 있으며, 도날드슨 불변성의 맥락에서 수학에서도 친숙하다.^[45]3D 미러 대칭이라고 불리는 거울 대칭의 일반화도 있는데, 양자장 이론의 쌍을 3개의 스페이스타임 차원으로 연관시킨다.^[46]

접근

동질거울 대칭

끈 이론과 물리학의 관련 이론에서 브레인은 점 입자의 개념을 더 높은 차원으로 일반화하는 물리적인 물체다.예를 들어 점 입자는 치수 0의 브라인으로 볼 수 있고, 문자열은 치수 1의 브라인으로 볼 수 있다.고차원적인 브랜즈도 고려할 수 있다.브레인(brane)이라는 단어는 2차원 브레인(brane)을 가리키는 'membrane(membrane)'^[47]에서 유래했다.

문자열 이론에서 문자열은 열려 있거나(두 개의 끝점을 가진 세그먼트를 형성함) 닫힌(닫힌 루프를 형성함)될 수 있다.D-brane은 열린 현을 고려할 때 생기는 중요한 지간이다.열린 문자열은 스페이스타임을 통해 전파되므로, 그것의 끝점은 D-브레인 위에 놓여야 한다.D-brane에서 문자 "D"는 그것이 만족하는 조건인 디리클레 경계 조건을 가리킨다.^[48]

수학적으로, 브랜드는 범주의 개념을 사용하여 설명할 수 있다.^[49]이것은 물체로 구성된 수학적 구조로, 어떤 물체 쌍에 대해서도 그들 사이의 형태론 집합이다.대부분의 예에서 물체는 수학적 구조(세트, 벡터 공간 또는 위상 공간 등)이며 형태론은 이들 구조 사이의 함수다.^[50]또한 물체가 D-brane인 범주와 두 개의 brane $[\displaystyle \alpha$}과$$($와{\displaystyle }$$)$ β$[\$$displaystyle$ \$alpha }$과(와) $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 사이에 확장된 문자열의 상태를 고려할$$ 수 있다$.$^[51]

위상학적 끈 이론의 B-모델에서, D-branes는 칼라비의 복잡한 하위 manifold이다.문자열의 끝점에 전하가 있을 때 물리적으로 발생하는 추가 데이터와 함께 Yau.^[51]직관적으로 하위 매너폴드를 칼라비 내부에 박혀 있는 표면으로 생각할 수 있다.Yau, submanifolds 또한 2와 다른 차원으로 존재할 수 있다.^[26]수학 언어에서, 이러한 기둥이 그것의 대상인 범주는 칼라비-에 있는 일관성 있는 조각의 파생 범주로 알려져 있다.야우.^[52] A-모델에서 D-branes는 다시 칼라비의 서브매니폴드로 볼 수 있다.야우 다지관.대략적으로 말하면, 그것들은 수학자들이 특수 라그랑지아 하위매니폴즈라고 부르는 것이다.^[52]이것은 무엇보다도 그들이 앉아 있는 공간의 절반의 치수를 가지고 있고, 길이, 면적, 또는 부피 축소형이라는 것을 의미한다.^[53]이 기둥이 대상인 범주는 후카야 범주라고 불린다.^[52]

논리 정합체의 파생 범주는 기하학적 곡선을 대수학 용어로 기술하고 대수 방정식을 이용해 기하학적 문제를 해결하는 수학의 한 분야인 복잡한 기하학의 도구를 사용하여 구성된다.^[54]반면 후카야 범주는 고전물리학 연구로부터 생겨난 수학의 한 분야인 공감 기하학을 이용하여 구성된다.감성 기하학은 2차원 예에서 영역을 계산하는 데 사용할 수 있는 수학 도구인 공감형 형태를 갖춘 공간을 연구한다.^[17]

막심 콘체비치의 동질 거울 대칭 추측에 따르면, 하나의 칼라비치에 대한 일관성 있는 조각의 파생 범주가 있다.야우 다지관은 거울의 후카야 범주와 어떤 의미에서 동등하다.^[55]이 등가성은 위상 끈 이론에서 거울 대칭의 정확한 수학적 공식화를 제공한다.또한, 기하학의 두 가지 가지 가지, 즉 복잡하고 동시적인 기하학 사이에 예기치 않은 다리를 제공한다.^[56]

스트로밍거-야우-자슬로 추측

거울 대칭을 이해하는 또 다른 접근방식은 1996년 앤드류 스트로밍거, 씽퉁 야우, 에릭 자슬로에 의해 제안되었다.^[20]현재 SYZ 추측으로 알려진 그들의 추측에 따르면, 거울 대칭은 칼라비-을 나누어 이해할 수 있다.Yau 다지관은 더 단순한 조각으로 만들어 거울 칼라비를 만들기 위해 그것들을 변형시킨다.야우.^[57]

칼라비의 가장 간단한 예-야우 다지관은 2차원 토러스 또는 도넛형이다.^[58]이 표면에서 도넛 구멍을 한 번 통과하는 원을 생각해 보아라.그 예로는 그림 속의 빨간색 원이 있다.토러스에는 무한히 많은 원들이 있다; 사실 전체 표면은 그러한 원들의 결합이다.^[59]

Torus를 분해하는 무한히 많은 원들이 $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $B$$}$의 한 지점을 통과하도록 $보조원{\displaystyle }$ B ${\$$displaystyle$ B$}($그림의 분홍색 원$).$ 이 보조원은 분해 원들을 파라메트리제이션한다고 하는데, 그 원들과 po 사이에 교락이 있다는 뜻이다.$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 ints$.$그러나 원 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 단순한 목록 이상이다$$. 왜냐하면 이 원들이 토러스 위에 어떻게 배열되는지를 결정하기도 하기 때문이다.이 보조공간은 SYZ 추측에 중요한 역할을 한다.^[53]

토러스를 보조공간에 의해 파라메트리된 조각으로 나누는 생각은 일반화될 수 있다.치수를 2개에서 4개 실차원으로 늘리면서 칼라비-Yau는 K3 표면이 된다.토러스가 원형으로 분해된 것처럼 4차원 K3 표면도 2차원 토리로 분해할 수 있다.이 경우 $공간{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$은(는) 일반적인 구체다.구의 각 점은 "고정" 또는 단수 토리에 해당하는 24개의 "나쁜" 점을 제외하고 2차원 토리 중 하나에 해당한다.^[53]

더 칼라비-끈 이론에 일차적으로 관심이 있는 Yau 다지관은 6차원을 가지고 있다.그러한 다지관을 $3-sphere{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}($구체의 3차원 일반화)에 의해 파라메타된 3-토리(토러스 개념을 일반화하는 3차원 객체)로 나눌 수 있다.$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 각 점은 3-토러스(Torus)에 해당하지만$$, Calabi–에 있는 눈금 모양의 세그먼트 패턴을 형성하는 무한히 많은 "나쁜" 점들은 제외한다.단수 토리에 해당된다.^[60]

원스칼라비-Yau 다지관은 단순한 부분으로 분해되었고 거울 대칭은 직관적인 기하학적 방법으로 이해할 수 있다.예를 들어 위에서 설명한 토러스(torus)를 생각해 보십시오.이 토러스(torus)가 물리적 이론의 "공간 시간"을 나타낸다고 상상해보라.이 이론의 근본적 개체는 양자역학의 법칙에 따라 스팩타임을 통해 전파되는 끈이 될 것이다.끈 이론의 기본적인 이중성 중 하나는 T-듀얼리티인데, 이것은 하나의 설명에서 관측 가능한 모든 수량이 t 단위로 식별된다는 의미에서 반지름$$ $R{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle displaystyle}$$R}$의 원을 중심으로 전파되는 문자열이${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$ / R ${\displaystyle$1$/R}$그는 이중으로 묘사했다.^[61]예를 들어, 끈은 원을 중심으로 전파되면서 추진력이 있고, 원을 한 번 이상 감을 수도 있다.끈이 원을 중심으로 감기는 횟수를 권선수라고 한다.문자열에 모멘텀 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과 권선 $번호{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$이(가) 있는$$ 경우, 이중 설명에$$ $모멘텀{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$과 권선 번호 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 있다.^[61]T-이중성을 동시에 원(torus)을 분해하는 원(torus)에 적용함으로써 이들 원의 반지름은 반전되고, 하나는 원(原)보다 '더 뚱뚱'하거나 '피부'한 새로운 원(torus)이 남게 된다.이 토러스는 원조 칼라비의 거울이다.야우.^[62]

T-이중성은 원으로부터 K3 표면의 분해에 나타나는 2차원 토리 또는 6차원 칼라비–의 분해에 나타나는 3차원 토리까지 확장될 수 있다.야우 다지관.일반적으로 SYZ 추측에 따르면 거울 대칭은 이러한 토리에 T-이중성을 동시에 적용하는 것과 동등하다.각각의 경우에 공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$은 이러한 토리가 칼라비-로 어떻게 조립되는지를 설명하는 일종의 청사진을 제공한다$$.야우 다지관.^[63]

참고 항목

• 도날슨-토머스 이론
• 월크로싱

메모들

참조

추가 읽기

대중화

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2005). "Physmatics". arXiv:physics/0506153.
• Zaslow, Eric (2008). "Mirror Symmetry". In Gowers, Timothy (ed.). The Princeton Companion to Mathematics. ISBN 978-0-691-11880-2.

교과서

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., eds. (2009). Dirichlet Branes and Mirror Symmetry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Cox, David; Katz, Sheldon (1999). Mirror symmetry and algebraic geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2127-5.
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds. (2003). Mirror Symmetry (PDF). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2955-6. Archived from the original on 2006-09-19.{{cite book}}: CS1 maint : bot : 원본 URL 상태 미상(링크)