호지 추측

새천년상 문제
버치와 스위너턴-다이어 추측 호지 추측 나비에 – 존재감과 부드러움을 강조합니다. P 대 NP 문제 푸앵카레 추측 (해결) 리만 가설 양-밀스의 존재와 질량 격차
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수학에서 호지 추측은 대수기하학과 복소기하학에서 해결되지 않은 주요 문제로, 비단일 복소 대수 다양체의 대수 토폴로지를 하위 다양체와 연관시킵니다.

간단히 말해서, 호지 추측은 특정 기하학적 공간의 구멍 수, 복잡한 대수적 다양성과 같은 기본 위상 정보는 다항식의 0 집합처럼 보이는 공간 내부에 있는 가능한 멋진 모양을 연구함으로써 이해될 수 있다고 주장합니다. 후자의 대상은 대수학과 분석 함수의 미적분학을 사용하여 연구할 수 있으며, 이를 통해 종종 쉽게 시각화할 수 없는 고차원 공간의 넓은 모양과 구조를 간접적으로 이해할 수 있습니다.

좀 더 구체적으로, 추측은 특정 드 람 코호몰로지 클래스가 대수적이라고 말합니다. 즉, 그것들은 하위 품종의 호몰로지 클래스의 푸앵카레 이중의 합입니다. 1930년에서 1940년 사이에 복잡한 대수적 품종의 경우에 존재하는 추가 구조를 포함하도록 드 람 코호몰로지의 설명을 풍부하게 하기 위해 터키 수학자에 의해 공식화되었습니다. 호지가 1950년 매사추세츠 주 케임브리지에서 열린 국제 수학자 대회에서 연설을 통해 발표하기 전에는 거의 주목을 받지 못했습니다. 호지 추측은 클레이 수학 연구소의 밀레니엄 상 문제 중 하나로, 호지 추측을 증명하거나 반증할 수 있는 사람에게 상을 수여합니다.

동기

X는 복소 차원 n의 콤팩트 복소 다양체입니다. 그렇다면 X는 실수 차원 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$의 방향성 매끄러운 다양체이므로$,$ 그 코호몰로지 그룹은 0~${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$도에 있습니다$.$ X는 a이므로, 복잡한 계수를 갖는 코호몰로지에 분해가 있습니다.

${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {C}) =\bigoplus _{p+q=n}H^{p,q}(X),}$

여기서 ${\displaystyle {Hp,}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$(${\displaystyle X)}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$는${\displaystyle }$(${\displaystyle p,q)}$ ${\displaystyle (p,q))}$ 유형의 조화로운 형태로 표현되는 코호몰로지 클래스의 부분군입니다$.$ 즉, 이들은 미분 형태로 표현되는 코호몰로지 클래스로, 어떤 지역 좌표 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}\dots ,}$${\displaystyle {zn}_{}}$ ${\$는 조화 함수 시간으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}_{j_{q}}.}$

X는 콤팩트 지향 다양체이므로 X는 기본 클래스를 가지며, 따라서 X는 적분될 수 있습니다.

Z를 차원 k의 X의 복소 부분집합이라 하고, $i{\displaystyle :}$ ${\displaystyle Z}$ → X ${\displaystyle i\$colon Z$\to$ X}를 포함 맵이라 하자. 유형$({\displaystyle p,}$ ${\displaystyle q)}$ ${\displaystyle(p, q)}$의 미분 형식 α ${\displaystyle$ \$alpha }$을(를) 선택합니다$.$ 풀백 함수 $i$∗ {\$displaystyle$i^{*}을(를) 사용하여 Z 위에 α ${\displaystyle \alpha }$을(를) 적분할 수 있습니다.

${\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .}$

이 적분을 평가하려면 $Z$ 지점을 선택하고 z =${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}\dots ,}$ z ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle$ z = ($z_{1},\ldots,z_{k})}$라고 합니다$.$ X에 ${\displaystyle Z_{}}$가 포함된다는 것은 ${\displaystyle X_{}}$에 대한 로컬 기준을 선택하고 z $k{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ =${\displaystyle }$⋯ = z ${\displaystyle n}$ = 0 {\$display z_${k+1} =\$cdots$= $z_${n} = 0}(순위-null 정리)을 가질 수 있음을 의미합니다. > ${\displaystyle$ p$>k$인 $경우{\displaystyle }$ α ${\displaystyle \alpha}$에는 ${\displaystyle {zi}_{}}$ ${\$가 포함되어야$$ 합니다. 여기서$$ ${\displaystyle {zi}_{}}$ ${\$는 Z에서 다시 0으로 이동합니다$$. $dz$¯ j {\$displaystyle$$d{\bar${z}_{인 경우$q$ > k인 경우에도 마찬가지입니다. 따라서 ${\displaystyle 이}$ 적분은${\displaystyle }$(p${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle q)}$ ≠(k, k)${\displaystyle$(p,q)}\$n$인${\displaystyle \mathrm{경우}}{\displaystyle 0}$이 됩니다.$eq (k$$k)}.$

그러면 호지 추측은 다음과 같이 묻습니다.

${\displaystyle {Hk,}^{}}$ ${\displaystyle k^{}X)}$ ${\displaystyle$ H$^{k,k}(X)}$의 코호몰로지 클래스는 복소 부분품 Z에서 유래합니다$$.

호지 추측에 대한 진술

허락하다

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

우리는 이것을 X에서 2k 학위의 호지 클래스 그룹이라고 부릅니다.

호지 추측의 현대적 진술은

호지 추측. X를 비단일 복소 사영 다양체라고 하자. 그러면 X의 모든 Hodge 클래스는 X의 복소 부분군의 코호몰로지 클래스의 유리 계수와 선형 결합입니다.

사영 복합 다양체는 복잡한 사영 공간에 내장될 수 있는 복잡한 다양체입니다. 투영 공간은 Kähler 메트릭인 Fubini-Study 메트릭을 수반하기 때문에 이러한 다양체는 항상 Kähler 다양체입니다. 차우의 정리에 따르면, 사영 복소 다양체는 매끄러운 사영 대수적 다양체, 즉 동차 다항식 집합의 영집합입니다.

대수적 순환의 관점에서 재공식화

호지 추측을 표현하는 또 다른 방법은 대수적 순환의 개념을 포함합니다. X에 대한 대수적 순환은 X의 하위 변수들의 공식적인 조합이다; 즉, 이는 어떤 형태의

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}Z_{i}}$

계수는 일반적으로 적분 또는 합리적인 것으로 간주됩니다. 우리는 대수 주기의 코호몰로지 클래스를 구성 요소의 코호몰로지 클래스의 합으로 정의합니다. 이것은 드 람 코호몰로지의 사이클 클래스 맵의 예이며, 웨일 코호몰로지를 참조하십시오. 예를 들어, 위 사이클의 코호몰로지 클래스는

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}[Z_{i}}.}$

이러한 코호몰로지 클래스를 대수학이라고 합니다. 이 표기법으로, 호지 추측은

X를 사영 복소 다양체라고 하자. 그렇다면 X의 모든 호지 클래스는 대수적입니다.

호지 추측에서 X가 대수적(사영 복소수 다양체)이라는 가정은 약화될 수 없습니다. 1977년 스티븐 저커는 사영 대수가$$아닌 유형 $({\displaystyle p,}$ p${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (p,p)}$의 분석적 합리 코호몰로지를 가진 복소 토리로 호지 추측에 대한 반례를 구성하는 것이 가능하다는 것을 보여주었습니다. (Jucker (1977년) 부록 B 참조)

호지 추측의 알려진 사례

저차원 및 공차원

호지 추측에 대한 첫 번째 결과는 Lefschetz(1924) 때문입니다. 사실, 그것은 추측보다 앞서 호지의 동기를 일부 제공했습니다.

정리 (1,1)-계층에 대한 레프셰츠 정리) ${\displaystyle {\mathrm{H}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}X,}$ Z${\displaystyle )}$ ∩${\displaystyle {}^{}}$H ${\displaystyle 1,}$ 1$(X$) {\$displaystyle$H^{2}(X$,\mathbb {Z})\cap H^{1$,1}(X)}의 모든 요소는 X ${\displaystyle$X}의$$약수의 코호몰로지 클래스입니다. 특히 H 2${\displaystyle$H^{2$}}$에 대해서는 호지 추측이 ${\displaystyle {사실}^{}}$입니다.

양털 코호몰로지와 지수 정확한 시퀀스를 사용하여 매우 빠른 증명을 제공할 수 있습니다. (제수의 코호몰로지 클래스는 첫 번째 체른 클래스와 동일한 것으로 밝혀집니다.) 레프셰츠의 원래 증명은 앙리 푸앵카레가 소개한 정상 함수에 의해 진행되었습니다. 그러나 그리피스 횡단성 정리는 이 접근 방식이 더 높은 공차원 하위 품종에 대한 호지 추측을 증명할 수 없음을 보여줍니다.

하드 레프셰츠 정리에 의해 다음을 증명할 수 있습니다.^[1]

정리. 어떤 < 2 ${\$p$<{\frac {n}{2}}$에 대해 호지 추측이 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$의 호지 클래스에 대해 유지된다면$,$ 호지 추측은 ${\displaystyle 2}$ $n{\displaystyle \mathrm{}}$- p ${\displaystyle 2n-p}$의 호지 클래스에 대해 유지됩니다$.$

위의 두 정리를 결합하면 호지 추측이 차수 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- 2 ${\displaystyle 2n-2}$의 호지 클래스에 대해 사실임을 의미합니다$.$ $이$는 X ${\displaystyle X}$의 차원이 최대 3개일 때 호지 추측을 증명합니다.

(1,1) 클래스에 대한 레프셰츠 정리는 또한 모든 호지 클래스가 약수의 호지 클래스에 의해 생성된다면 호지 추측은 참임을 의미합니다.

코럴리. ${\displaystyle \mathrm{대수}}$ ${\displaystyle \mathrm{Hdg}}$∗ ⁡(${\displaystyle X_{}}$) = ⨁${\displaystyle }$k$$Hdg k$$⁡$(X$) ${\displaystyle \operatorname$ {$Hdg$} $^{*}(X$)=\bigoplus \n${\displaystyle \mathrm{olimits}}$ _{$k}\operatorname$ {$Hdg} ^{k}(X)}$은(는) Hdg$$ $⁡$$(X$) {\displaystyle \$operatorname {Hdg}$^{1$\}($X)}에 의해 생성된 다음, X ${\displaystyle$ X$\}$에 대해$$Hodge 추측이 $유지$됩니다.

초표면

강한 레프셰츠 정리에 따르면, 초표면에 대한 호지 추측의 유일한 사소하지 않은 부분은 2m 차원 초표면 ${\displaystyle X^{}}$ ⊂ P$$ + 1${\displaystyle$ X$\subset \mathbf {P}$ $^\{$2m+1}}의 차수 m 부분(즉, 중간 코호몰로지)입니다. 차수 d가 2이면, 즉 X가 2차면, 호지 추측은 모든 m에 대해 성립합니다. ${\displaystyle \mathrm{form}}$ = 2 ${\displaystyle$m=$2$ 즉 4배의 경우, $호지$ 추측은 ${\displaystyle \mathrm{d}\le }$ 5 ${\displaystyle$ d$\leq 5}$에 대해 알려져 있습니다$.$

아벨 품종

대부분의 아벨리안 품종의 경우 대수 Hdg*(X)가 1차에서 생성되므로 호지 추측이 성립합니다. 특히, 호지 추측은 충분히 일반적인 아벨리안 품종, 타원 곡선의 곱, 원시 차원의 단순한 아벨리안 품종에 적용됩니다.^[3][4][5] 그러나 Mumford(1969)는 나눗셈 클래스의 곱에 의해 Hdg²(X)가 생성되지 않는 아벨리안 품종의 예를 구성했습니다. Weil(1977)은 이 예제를 일반화하여 품종이 허수 이차장에 의한 복소 곱셈을 가질 때마다 Hdg²(X)가 약수 클래스의 곱으로 생성되지 않는다는 것을 보여주었습니다. Moonen & Zarhin(1999)은 5차원 미만에서 Hdg*(X)가 1도에서 생성되거나 다양체가 가상의 이차장에 의한 복소 곱셈을 갖는다는 것을 증명했습니다. 후자의 경우, 호지 추측은 특별한 경우에만 알려져 있습니다.

일반화

적분 호지 추측

호지의 원래 추측은 다음과 같습니다.

적분 호지 추측. X를 사영 복소 다양체라고 하자. ${\displaystyle {\mathrm{그러면}}^{}}$ H ${\displaystyle {\mathrm{2k}}^{}}$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Z)}$ ∩${\displaystyle {}^{}\mathrm{Hk},}$k (X) {\$displaystyle H^{2k$}(X$,\mathbb {Z})\cap H^{$k,k}(X)}의 모든 코호몰로지 클래스는 X에 적분 계수가 있는 대수 주기의 코호몰로지 클래스입니다.

이것은 현재 거짓으로 알려져 있습니다. 첫 번째 반례는 Atiyah & Hirzebruch(1961)가 만들었습니다. K-이론을 이용하여, 그들은 어떤 양의 정수 n에 대하여 nα = 0이 되도록 하는 비틀림 코호몰로지 클래스, 즉 대수적 순환의 클래스가 아닌 코호몰로지 클래스 α의 예를 구성했습니다. 그런 수업은 반드시 호지 수업입니다. 토타로(1997)는 코보디즘의 틀에서 그들의 결과를 재해석했고 그러한 수업의 많은 예를 발견했습니다.

적분 호지 추측의 가장 간단한 조정은 다음과 같습니다.

적분 호지 추측 모듈 회전. X를 사영 복소 다양체라고 하자. ${\displaystyle {\mathrm{그러면}}^{}}$ H ${\displaystyle {\mathrm{2k}}^{}}$(${\displaystyle X,}$ Z${\displaystyle )}$ ∩${\displaystyle {}^{}\mathrm{Hk},}$k (X) {\$displaystyle H^{2k$}(X$,\mathbb {Z})\cap H^{k$,k}(X)}의 모든 코호몰로지 클래스는 X에 적분 계수가 있는 대수 주기의 토션 클래스와 코호몰로지 클래스의 합입니다.

마찬가지로 $H$ ${\displaystyle {\mathrm{2k}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}X,}$ Z${\displaystyle )}$ ∩${\displaystyle {}^{}\mathrm{Hk},}$ k$$(X) {\$displaystyle H^{2k$}(X$,\mathbb {Z})\cap H^{k$,k}(X)}를 비틀림 클래스로 나눈 후, 모든 클래스는 적분 대수 주기의 코호몰로지 클래스의 이미지입니다. 이것도 거짓입니다. Kollár(1992)는 대수적이지는 않지만 대수적인 적분 배수를 갖는 호지 클래스 α의 예를 발견했습니다.

Rosenschon & Sriniivas(2016)는 정확한 적분 Hodge 추측을 얻기 위해서는 동기 코호몰로지 그룹으로도 표현할 수 있는 Chow 그룹을 에탈레(또는 Lichtenbaum) 동기 코호몰로지로 알려진 변형으로 대체해야 한다는 것을 보여주었습니다. 그들은 합리적인 호지 추측이 이 수정된 동기 코호몰로지에 대한 적분 호지 추측과 동등하다는 것을 보여줍니다.

켈러 품종에 대한 호지 추측

호지 추측을 자연스럽게 일반화하면 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다.

켈러 품종에 대한 호지 추측, 순진한 버전. X를 복소 켈러 다양체라고 하자. 그러면 X의 모든 Hodge 클래스는 X의 복소 부분군의 코호몰로지 클래스의 유리 계수와 선형 결합입니다.

이것은 너무 낙관적입니다. 왜냐하면 이 작업을 수행하기에는 하위 변수가 충분하지 않기 때문입니다. 대신 다음 두 가지 질문 중 하나를 묻는 것이 가능합니다.

켈러 품종에 대한 호지 추측, 벡터 번들 버전. X를 복소 켈러 다양체라고 하자. 그러면 X의 모든 Hodge 클래스는 X의 벡터 번들의 Chern 클래스의 유리 계수와 선형 결합입니다.

켈러 품종에 대한 호지 추측, 일관된 양털 버전. X를 복소 켈러 다양체라고 하자. 그러면 X 위의 모든 호지 클래스는 X 위의 일관된 쉐이브의 천 클래스의 유리 계수와 선형 조합입니다.

Voisin(2002)은 일관된 면봉의 Chern 클래스가 벡터 번들의 Chern 클래스보다 엄격하게 더 많은 Hodge 클래스를 제공하고 일관된 면봉의 Chern 클래스가 모든 Hodge 클래스를 생성하기에 충분하지 않다는 것을 증명했습니다. 결과적으로 켈러 품종에 대한 호지 추측의 유일한 공식은 거짓입니다.

일반화된 호지 추측

Hodge는 적분 Hodge 추측보다 더 강력하고 추가적인 추측을 했습니다. 만약 X에 대한 코호몰로지 클래스가 c-codimensional subvariance of X에 대한 코호몰로지 클래스의 추진력이라면, 코호몰로지 클래스는 코레벨 c(conveau)라고 하자. co-level의 코호몰로지 클래스는 X의 코호몰로지를 필터링하며, 여과의 c번째 단계인 NH^ck(X, Z)는 다음을 만족함을 쉽게 알 수 있습니다.

${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

호지의 원래 진술은 다음과 같습니다.

일반화된 호지 추측, 호지 버전. ${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

Grothendiek(1969)은 우변이 항상 호지 구조가 아니기 때문에 합리적인 계수를 사용하더라도 이것이 사실일 수 없다는 것을 관찰했습니다. 그가 수정한 호지 추측의 형태는 다음과 같습니다.

일반화된 호지 추측. NH(X, Q)는 ${\displaystyle {Hk}^{}}$- ${\displaystyle {c,}^{}}$ c${\displaystyle {}^{}X)}$⊕ ⋯ ⊕${\displaystyle {\mathrm{Hc},}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$- c${\displaystyle (}$X$)$에 포함된 H(X, Z)의 가장 큰 서브호지 구조입니다. {\$displaystyle H^{k-c,c}(X$)\$oplus \cdots \oplus H$^{$c,k-c}($X).}

이 버전은 열려 있습니다.

호지로키의 대수학

호지 추측을 지지하는 가장 강력한 증거는 카타니, 델리뉴 & 카플란(1995)의 대수학적 결과입니다. 단순하게 연결된 밑면 위에서 X의 복소 구조를 달리한다고 가정해 보겠습니다. 그러면 X의 위상 코호몰로지는 변하지 않지만 호지 분해는 변합니다. 호지 추측이 사실이라면, 섬유의 코호몰로지가 호지 클래스인 기저의 모든 점의 위치는 사실 대수적 부분집합, 즉 다항식에 의해 잘라낸다는 것이 알려져 있습니다. Cattani, Deligne & Kaplan (1995)은 호지 추측을 가정하지 않고 이것이 항상 사실임을 증명했습니다.

참고 항목

• 테이트 추측
• 호지론
• 호지구조
• 주기맵핑

참고문헌

• Atiyah, M. F.; Hirzebruch, F. (1961), "Analytic cycles on complex manifolds", Topology, 1: 25–45, doi:10.1016/0040-9383(62)90094-0 Hirzebruch 컬렉션(pdf)에서 제공됩니다.
• Cattani, Eduardo; Deligne, Pierre; Kaplan, Aroldo (1995), "On the locus of Hodge classes", Journal of the American Mathematical Society, 8 (2): 483–506, arXiv:alg-geom/9402009, doi:10.2307/2152824, JSTOR 2152824, MR 1273413.
• Grothendieck, A. (1969), "Hodge's general conjecture is false for trivial reasons", Topology, 8 (3): 299–303, doi:10.1016/0040-9383(69)90016-0.
• Hodge, W. V. D. (1950), "The topological invariants of algebraic varieties", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, MA, 1: 181–192.
• Kollár, János (1992), "Trento examples", in Ballico, E.; Catanese, F.; Ciliberto, C. (eds.), Classification of irregular varieties, Lecture Notes in Math., vol. 1515, Springer, p. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (in French), Paris: Gauthier-Villars 에서 재인쇄.
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• Rosenschon, Andreas; Srinivas, V. (2016), "Étale motivic cohomology and algebraic cycles" (PDF), Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 15 (3): 511–537, doi:10.1017/S1474748014000401, MR 3505657, S2CID 55560040, Zbl 1346.19004
• Totaro, Burt (1997), "Torsion algebraic cycles and complex cobordism", Journal of the American Mathematical Society, 10 (2): 467–493, arXiv:alg-geom/9609016, doi:10.1090/S0894-0347-97-00232-4, JSTOR 2152859, S2CID 16965164.
• Voisin, Claire (2002), "A counterexample to the Hodge conjecture extended to Kähler varieties", International Mathematics Research Notices, 2002 (20): 1057–1075, doi:10.1155/S1073792802111135, MR 1902630, S2CID 55572794.
• Weil, André (1977), "Abelian varieties and the Hodge ring", Collected papers, vol. III, pp. 421–429
• Zucker, Steven (1977), "The Hodge conjecture for cubic fourfolds", Compositio Mathematica, 34 (2): 199–209, MR 0453741

외부 링크

• Deligne, Pierre. "The Hodge Conjecture" (PDF) (The Clay Math Institute official problem description).
• 댄 프리드(텍사스 대학)의 호지 추측에 관한 대중 강연(리얼 비디오)(슬라이드)
• Biswas, Indranil; Paranjape, Kapil Hari (2002), "The Hodge Conjecture for general Prym varieties", Journal of Algebraic Geometry, 11 (1): 33–39, arXiv:math/0007192, doi:10.1090/S1056-3911-01-00303-4, MR 1865912, S2CID 119139470
• 버트 토타로, 왜 호지 추측을 믿습니까?
• 클레어 보이신, 호지로키