이중성(투영 기하학)

기하학에서 투영 평면의 두드러진 특징은 정의와 이론에서 점과 선에 의해 행해지는 역할의 대칭이며, (평면) 이중성은 이 개념의 공식화다. 이중성의 주제에 대한 접근방식은 두 가지가 있는데, 하나는 언어를 통한 접근방식(이중성의 § 원리)과 다른 하나는 특별한 매핑을 통한 보다 기능적인 접근방식이 있다. 이것들은 완전히 동등하며, 어느 치료법이든 고려 중인 기하학의 자명적인 버전을 출발점으로 가지고 있다. 기능적 접근법에서는 이중성이라고 하는 관련 기하학 사이에 지도가 있다. 그러한 지도는 여러 가지 방법으로 건설될 수 있다. 평면 이중성의 개념은 어떤 유한차원 투영 기하학에서 공간 이중성으로 그리고 그것을 넘어 이중성으로 쉽게 확장된다.

이중성의 원리

투영 평면 C는 점의 P 세트, 선의 L 세트, 그리고 어떤 점이 어느 선에 놓여 있는지 결정하는 입사 관계 I 측면에서 자명하게 입사 구조로 정의될 수 있다. 이러한 세트는 평면 이중 구조를 정의하는 데 사용될 수 있다.

에서 "포인트"와 "라인"의 역할 교환

C = (P, L, I)

이중 구조를 얻다

C^∗ = (L, P, I^∗),

여기서 나는^∗ I. C의^∗ 역관계인 동시에 C의 이중 평면이라 불리는 투영 평면이기도 하다.

C와 C가^∗ 이형이라면 C를 자기이형이라고 한다. 모든 필드(또는 더 일반적으로 모든 디비전 링(스큐필드)의 이중 이형성) K에 대한 투영 평면 PG(2, K)는 자체 이중성이다. 특히 질서가 유한한 데사게스 평면은 항상 자기 이중적이다. 그러나, 홀 비행기나 휴즈 비행기 같은 자가 복용이 아닌 비 데카게스 비행기들이 있다.

투사 평면에서는 "점"과 "선"이라는 단어를 서로 바꾸어 필요한 문법적 조정을 함으로써 점, 선, 발생을 포함하는 문장을 첫 번째의 평면 이중 문법이라고 한다. "두 지점이 하나의 선에 있다"의 평면 이중 문장은 "두 선이 하나의 점에서 만난다"이다. 진술의 평면을 이중으로 형성하는 것을 진술의 이중화라고 한다.

투영 평면 C에서 문장이 참인 경우, 해당 문장의 평면 이중은 이중 평면 C에서^∗ 참이어야 한다. 이는 "C"라는 증명에 있는 각 진술의 이원화는^∗ "C"라는 증명에 대한 상응하는 진술을 제공하기 때문에 뒤따른다.

평면 이중성의 원리는 자기 이중 투영 평면 C에서 어떤 정리를 이원화하면 C에서 유효한 또 다른 정리가 생성된다고 말한다.^[1]

위의 개념은 "점"과 "플레인"이라는 용어가 상호 교환되는 공간 이중성에 대해 이야기하기 위해 일반화될 수 있다(그리고 선은 선으로 유지된다). 이는 공간 이중성의 원리로 이어진다.^[1]

이러한 원칙은 발생 관계에 "대칭적" 용어를 사용하는 것을 선호하는 좋은 이유를 제공한다. 그러므로 점을 선 위에 놓는다라고 말하는 대신, 후자를 이원화하는 것은 선과 선("선과 선은 선이다"^[2]라고만 바꾸어 말하기 때문이다.

평면 이중성의 원리의 타당성은 투영 평면의 자명적 정의에서 나타난다. 이 정의의 세 가지 공리는 투사 평면의 이중도 역시 투사 평면임을 암시하는 자가이중 문장이 되도록 작성할 수 있다. 따라서 투영 평면에서 참 문장의 이중성은 이중 투영 평면에서 참 문장이며, 그 함축적 의미는 자기 이중 평면의 참 문장의 이중도 해당 평면에서 참 문장이라는 것이다.^[3]

이중 정리

실제 투영 평면인 PG(2, R)가 자체 이중이기 때문에 서로 이중인 잘 알려진 결과 쌍이 다수 존재한다. 이들 중 일부는 다음과 같다.

• 데스아게스의 정리 ⇔ 데스아게스의 정리 컨버스
• 파스칼의 정리 ⇔ 브리안콘의 정리
• 메넬라오스의 정리 ⇔ 세바의 정리

이중 구성

문장은 물론 포인트와 라인의 시스템도 이원화할 수 있다.

m 포인트와 n 라인의 세트는 n 라인의 c가 각 포인트를 통과하고 m 포인트의 d가 각 라인에 놓여 있으면 (m_c, n_d) 구성이라고 한다. (m_c, n_d) 구성의 이중은 (n_dc, m) 구성이다. 따라서 4개의 점, 6개의 선으로 이루어진 (4₃₂, 6)의 구성인 쿼드랑글의 이중은 6개의 점, 4개의 선으로 이루어진 4각형, a (6₂, 4₃)의 구성이다.^[4]

투영 범위라고 불리는 선 위의 모든 점 집합은 선들의 이중 연필로, 한 점에 있는 모든 선들의 집합으로 되어 있다.

매핑으로서의 이중성

평면 이중성

평면 이중성은 발생률을 보존하는 투영 평면 C = (P, L, I^∗)에서 이중 평면^∗ C = (L, P, I) (위의 § 이중성의 원리 참조)까지의 지도다. 즉, 평면 이중성 σ은 점 Q가 선 m(Q^σ I m으로 표시됨)에 있을 경우 Q I m m^σ m IQ에^∗σ 있도록 선과 선에^σ 점을 매핑한다. 평면 이중성을 이형성이라고 하는 것을 상관관계라고 한다.^[5] 상관관계가 존재한다는 것은 투영 평면 C가 자기 이중이라는 것을 의미한다.

이 정의에서 투영 평면 C는 데스칼레스 평면이 될 필요는 없다. 단, K가 분할 링(스큐필드)인 C = PG(2, K)인 경우, 일반 투영 공간에 대해 아래에 정의된 대로 이중성은 위의 정의를 만족하는 C에 평면 이중성을 부여한다.

일반 투영 공간

투영 공간의 이중성 Δ는 K 필드(또는 더 일반적으로 포함을 역전시키는 스큐필드(division ring))로 PG(n, K) (KP로도ⁿ 표시됨)의 하위 공간을 순열하는 것으로,^[6] 다음과 같다.

S ⊆ T는 모든 서브 스페이스 S, PG(n, K)의 T에 대해^δ S ⊇ T를^δ 의미한다.^[7]

결과적으로, 이중성은 차원 r의 물체와 차원 n - 1 - r ( = 코디멘션 r + 1)의 물체를 교환한다. 즉, 치수 n의 투영 공간에서 점(차원 0)은 하이퍼플레인에 해당하며, 점(차원 1)과 결합하는 선은 두 개의 하이퍼플레인의 교차점(고형 2) 등에 해당한다.

이중성의 분류

스큐필드 K에 대한 유한차원(우측) 벡터 공간 V의 이중 V는^∗ 반대편 스큐필드 K에^o 대한 동일한 차원의 (우측) 벡터 공간으로 간주할 수 있다. 따라서 투영 공간 PG(n, K)와 PG(n, K^o) 사이에는 포함 역전 편차가 있다. K와 K가^o 이형이라면 PG(n, K)에는 이중성이 존재한다. 반대로 PG(n, K)가 n > 1에 대해 이중성을 인정하면 K와 K는^o 이형성이 된다.

π은 n > 1에 대한 PG(n, K)의 이중성이 되게 한다. 만일 PG(n, K)와 PG(n^o, K) 사이의 자연 이형성으로 구성된다면, θ 구성 θ은 PG(n, K)와 PG(n, K^o) 사이의 편차를 보존하는 사건이다. 투사 기하학의 기본 정리 θ에 의해, 관련 이형성 σ: K → K와^o 함께 반선형 지도 T: V → V에^∗ 의해 유도되어 K의 반선형성으로 볼 수 있다. 고전 문학에서 π은 일반적으로 상호주의라고 불릴 것이고, σ = id이면 상관관계(그리고 K는 반드시 분야일 것이다)라고 불릴 것이다. 일부 저자들은 자연 이형성의 역할을 억압하고 θ을 이중성이라고 부른다.^[8] 이것이 이루어질 때, 이중성은 특별히 관련된 투영적 공간의 한 쌍 사이의 연선으로 생각될 수 있고, 상호주의라고 불릴 수도 있다. 만약 이 콜라인이 투영성이라면 그것은 상관관계라고 불린다.

Let T_w = T(w)는 V의 벡터 w와 연관된 V의^∗ 선형 기능을 나타낸다. φ: V × V → K 형식 정의:

$\displaystyle \varphi(v,w)=T_{w}(v).}$

φ은 동반성 반유동성 σ과 함께 퇴행되지 않는 sesquilinar 형태다.

n > 1에 대한 PG(n, K)의 모든 이중성은 (동반 반동형성)과 반대로 기저 벡터 공간에 있는 비분열 세실린형 형태에 의해 유도된다.

균등 좌표식

이중성에 대한 대수적 설명을 제공하기 위해 균일한 좌표를 사용할 수 있다. 이 논의를 단순화하기 위해 우리는 K가 분야라고 가정해야 하지만 곱셈이 상호 작용이 될 필요가 없다는 사실에 주의를 기울이는 한 K가 꼬치 분야일 때 모든 것이 동일한 방식으로 이루어질 수 있다.

PG(n, K)의 지점은 K 위에 있는 (n + 1)차원 벡터 공간의 0이 아닌 벡터로 간주할 수 있으며, 여기서 스칼라 인수에 의해 다른 두 벡터를 식별한다. 또 다른 방법은 n차원 투영 공간의 포인트가 1차원 벡터 서브스페이스인데, K에서ⁿ⁺¹ 원점을 통과하는 선으로 시각화할 수도 있다.^[9] 또한 K의ⁿ⁺¹ n- (벡터) 치수 보조공간은 K에 대한 투영 n-공간(즉, PG(n, K)의 (n - 1)- (기하) 치수 하이퍼플레인을 나타낸다.

K의ⁿ⁺¹ 0이 아닌 벡터 u = (u₀, u₁, ..., u_n)는 또한 (n - 1) - 기하학적 치수 보조공간(하이퍼플레인) H를_u 다음과 같이 결정한다.

H_u = {(x₀, x₁, ..., x_n) : u₀x₀ + ... + u_nx_n = 0}.

이러한 방식으로 하이퍼플레인 정의에 벡터 u를 사용할 경우 u가_H 표시해야 하며, 점을 지정하는 경우에는 u를_P 사용하십시오. 이를 각각 점 좌표 또는 하이퍼플레인 좌표라고 한다(중요한 2차원 사례에서는 하이퍼플레인 좌표를 선 좌표라고 한다). 일부 저자는 하이퍼플레인 좌표를 수평(행) 벡터로 쓰고, 점 좌표는 수직(열) 벡터로 표기하는 방식으로 벡터를 해석하는 방법을 구분한다. 따라서 u가 column vector라면 u_P = u, u_H = u가^T 있을 것이다. 일반적인 도트 상품으로 볼 때, H_u = {x_P : u_H x_P x = 0}. K는 밭이기 때문에 도트 제품은 대칭이며, u_H x_P x = ux₀₀ + ux₁₁ + ...라는 뜻이다. + ux_nn0011 = 쉬 + 쉬 + ... + 쉬 = x_H u_nnP.

근본적 예

단순 상호주의(사실상 상관관계)는 u파운드에_PH 의해 포인트와 하이퍼플레인의 사이에 주어질 수 있다. 이것은 두 점에 의해 생성된 선과 그러한 두 개의 하이퍼플레인의 교차점 사이의 상호주의로 확장된다.

특히, 투영 평면인 PG(2, K)와 K 필드에서는 등식 도끼 + by + cz = 0을 갖는 균일한 좌표(a, b, c) £ 라인의 점들에 의해 주어진 상관관계가 있다. 투영 공간인 PG(3, K)에서는 등식 도끼 + by + cz + dw = 0인 균일한 좌표(a, b, c, d) £ 평면의 점들에 의해 상관관계가 주어진다. 또한 이 상관관계는 두 점(a₁₂, b₁, c₁, d₁₂)으로 결정된 선을 등식 도끼₁ + by₂₁ + cz₁ + dw₁ = 0과 축 + cz₂₂₂ + dw₂ = 0을 갖는₂ 두 평면의 교차점인 선에 매핑한다.

이 상관관계에 대한 관련 sesquilinar 형식은 다음과 같다.

φ(u, x) = u_HP x = ux₀₀ + ux₁₁ + ... + u_nx_n,

여기서 동반 반동형성 σ = id. 따라서 이것은 이선형(K는 필드가 되어야 함)이다. 이는 (표준 기준과 관련하여) 매트릭스 형식으로 다음과 같이 작성할 수 있다.

φ(u, x) = u_H G x_P,

여기서 G는 (n + 1)× (n + 1) 아이덴티티 행렬이며, u는_H 행 벡터, x는_P 열 벡터라는 규약을 사용한다.

상관관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \pi(\mathbf {x} _{P})=(G\mathbf {x}^{T}^{\mathbf {x}}^{P}^{\mathsf {T}=\mathbf {x} _{H}).}$

실제 투영면의 기하학적 해석

PG(2, R)의 경우 이러한 상관관계는 "대항노드가^[10] 식별된 단위구"인 실제 투영면의 모델을 사용하여 기하학적으로 설명하거나 벡터 공간 R의³ 원점을 통한 선과 평면의 모델을 동등하게 설명할 수 있다. 선에 수직(직교)인 원점을 통과하는 원점을 통과하는 원점을 통과하는 모든 선에 연관시킨다. 모델에서, 이러한 선들이 점으로 간주되고 투영 평면 PG(2, R)의 선으로 평면이 되면, 이 연관성은 투영 평면의 상관관계(실제 극성)가 된다. 구체 모델은 원점을 통하여 선과 평면을 교차시켜 원점을 중심으로 단위 구를 구를 중심으로 하여 구를 구한다. 선은 투영 평면의 점을 얻기 위해 식별되어야 하는 항정신적 지점에서 구를 만나고, 평면은 투영 평면의 선인 큰 원을 그리며 구를 만난다.

이 연관성이 발생률을 "보존"한다는 것은 선과 평면 모형에서 가장 쉽게 볼 수 있다. 투영 평면에 선이 있는 점 사건은 평면에 놓여 있는 원점을 통과하는 선에 해당한다. 연관성을 적용하면 평면은 연관된 평면에 수직인 원점을 통과하는 선이 된다. 이 영상 선은 원점을 통과하는 평면의 모든 선, 특히 원래 선(투영 평면의 점)과 수직이다. 원점에서 원래 선에 수직인 모든 선은 원래 선에 직교하는 고유 평면, 즉 연결 아래 영상 평면에 위치한다. 따라서 영상 라인은 영상 평면에 위치하며 연관성은 발생률을 보존한다.

행렬 양식

위의 예에서와 같이 행렬은 이중성을 나타내기 위해 사용될 수 있다. π은 n > 1에 대한 PG(n, K)의 이중성이 되게 하고, underlying은 기초(n + 1)차원 벡터 공간 V에 연결된 sesquilinar 형태(동행 반동형성 σ)가 되게 한다. V의 근거 { e_i }을(를) 제공하면 이 양식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \varphi(\mathbf {u},\mathbf {x} )=\mathbf {u}^{\mathbf {T}G(\mathbf {x} ^{\sigma }),}}$

여기서 G는 K에 대한 비논술(n + 1) × (n + 1) 행렬이며 벡터는 열 벡터로 기록된다. x^σ 표기법은 반유동성 ism이 벡터 x의 각 좌표에 적용됨을 의미한다.

이제 다음을 통해 점 좌표 측면에서 이중성을 정의하십시오.

${\displaystyle \pi(\mathbf {x} )=(G(\mathbf {x}^{\sigma })^{\mathsf {T}).}$

극성

비자발적인 이중성(질서 2가 있는 것)을 극성이라고 한다. 일반 투영 공간의 극성과 평면 이중성의 약간 더 일반적인 정의에서 발생하는 극성을 구별할 필요가 있다. 유한 기하학의 경우 보다 정밀한 진술도 가능하기 때문에 유한한 투영면에서 그 결과를 강조해야 한다.

일반 투영공간의 극성

만약 π이 K 꼬치필드와 함께 PG(n, K)의 이중성이라면, PG(n, K)의 하위공간 S에 대해 π(S) = S로^⊥ 정의된다. 따라서 극성은 PG(n, K)의 모든 아공간 S에 대해^⊥⊥ S = S를 갖는 이중성이다. 또한 관련 sesquilinar 형태 측면에서 이중 공간과 쓰기에 대한 언급을 우회하는 것이 일반적이다.

${\displaystyle S^{\bot }=\\\mathbf {u}{{\text{{}{{}}{}V\colon \varphi (\mathbf {u},\mathbf {x} )=0\text{{}}모든 }}}}}.}$

sesquilinar 형식 φ은 φ(u, x) = 0이 φ(x, u) = 0을 의미하면 반사적이다.

이중성은 그것을 정의하는 (비발전적) sesquilinar 형식이 반사적일 경우에만 극성이다.^[11]

극성은 분류되었는데, 이는 비르코프 & 폰 노이만(1936년)이 여러 차례 책망을 받은 결과였다.^[11][12][13] V를 스큐필드 K 위로 (왼쪽) 벡터 공간이 되게 하고 φ은 동반자 반자극 σ과 함께 V에 반사적으로 퇴행하지 않는 sesquilinar 형태여야 한다. φ이 극성과 연관된 sesquilinar 형태인 경우, 다음 중 하나:

1. σ = id (hence, K는 밭이다)와 ((u, x) = ((x, u) 모든 u에 대한 φ(x, u)는 V에서 x, 즉 φ은 이선형이다. 이 경우 극성을 직교(또는 보통)라고 한다. 필드 K의 특성이 2인 경우, 이 경우 ((z, z) 0 0의 벡터 z가 존재해야 하며, 그 극성을 사이비 극성이라고 한다.^[14]
2. σ = id(hence, K는 필드) 및 φ(u, u) = 0(V의 모든 u) 극성을 null 극성(또는 동시 극성)이라고 하며 투사 차원 n이 홀수일 때만 존재할 수 있다.
3. σ² = id ≠ σ (여기서 K는 필드가 될 필요가 없다)와 φ(u, x) = u(x, u)^σ 모든 u, v에서 x. 그러한 극성을 단일 극성(또는 은둔의 극성)이라고 한다.

polarity ⊥ 만약 P1세 P⊥에 관해서 PG(n, K)의 P점은 절대 지점(self-conjugate 지점).극성 π 관련sesquilinear 형태에 비슷하게, 초평면 H는 절대적인 초평면(초평면self-conjugate)만약 H⊥ 1세 H. 다른 면에서 표현하면, 점 x는 절대 지점 φ 만약 φ(x)))0과 만약 φ 쓰여진 것에 대한 매트릭스 G, x G^Tσ x = 0.

각 극성 유형의 절대점 집합은 설명할 수 있다. 우리는 다시 K가 분야라는 사건에 대해 논의를 제한한다.^[15]

1. K가 특성이 두 개가 아닌 필드인 경우 직교 극성의 절대점 집합이 비정렬 4중위를 형성한다(K가 무한하면 이 점이 비어 있을 수 있음). 특성이 둘이면 사이비 극성의 절대점이 하이퍼플레인(hyperplane)을 형성한다.
2. 공간 PG(2s + 1, K)의 모든 점은 null 극성의 절대점이다.
3. 에르미트 극성의 절대점들은 에르미트 종족을 형성하는데, K가 무한하면 허전할 수도 있다.

자체로 구성하면 상관 correlation(x_P) = x_H(모든 차원)가 아이덴티티 함수를 생성하므로 극성이 된다. 이 극성의 절대점 집합은 등식을 만족하는 균일한 좌표를 가진 점일 것이다.

x_H ⋅ x_P = xx₀₀ + xx₁₁ + … + xx_nn0²₁² = x + x + ... + x_n² = 0.

이 점 집합에 있는 점들은 필드 K에 따라 달라진다. K = R이면 세트가 비어 있고 절대점이 없으며(절대 하이퍼플레인도 없다). 반면 K = C일 경우 절대점 집합은 비감소 4중(이차원 공간의 원뿔)을 형성한다. K가 홀수 특성의 유한한 필드인 경우 절대점 또한 사분면을 형성하지만, 특성이 절대점이라도 하이퍼플레인(이것은 사이비 극성의 예)을 형성하는 경우다.

어떤 이중성하에서도 점 P는 초면 P의^⊥ 극이라고 하며, 이 초면 P는 점 P의 극이라고 한다. 이 용어를 사용하여 극성의 절대점은 폴라와 충돌하는 지점이고 절대 하이퍼플레인은 폴라와 충돌하는 하이퍼플레인이 된다.

유한 투영 평면의 극성

웨더번의 정리로는 모든 유한한 스큐필드가 하나의 필드이며 순서 2(정체성 제외)의 자동형성은 순서가 정사각형인 유한한 필드에서만 존재할 수 있다. 이러한 사실들은 유한한 데스바게스 비행기의 일반적인 상황을 단순화하는 데 도움이 된다. 다음이 있음:^[16]

π이 유한 데스파게스 투영 평면 PG(2, q^e)의 극성인 경우, π이 직교인 경우 π의 절대점수는 q + 1이고, π이 단일인 경우 q의^3/2 절대점수는 π의 절대점수는 q + 1이다. 직교 사례에서, 절대 점들은 p가 홀수일 경우 원뿔에 놓여있거나 p = 2일 경우 선을 형성한다. 유니터리 케이스는 q가 정사각형일 경우에만 발생할 수 있다; 절대점과 절대선이 유니탈을 형성한다.

이중성이 평면 이중성을 의미하는 일반적인 투영 평면 사례에서 극성, 절대 요소, 극성 및 극성의 정의는 동일하게 유지된다.

P는 순서가 n인 투영면을 나타내도록 하자. 계수 인수는 극성 π에 대해 P:^[16]

비절대 선(점)과 비절대 선(점)이 있는 비절대 점(선) 사건의 수는 짝수다.

더군다나^[17]

극성 π은 최소 n + 1 절대점을 가지며, n이 정사각형이 아니면 정확히 n + 1 절대점을 가진다. π에 정확히 n + 1 절대점이 있는 경우;

1. n이 홀수인 경우, 절대점은 접선이 절대선인 타원을 형성한다. 또는
2. n이 짝수일 경우, 절대 점들은 비점선 상에 일직선으로 표시된다.

n이 정사각형인 경우 절대점 수의 상한은^[18] 세이브가 부여했으며 순수하게 조합된 논거가 다음을 설정할 수 있다.^[19]

제곱 순서 n = s의² 투사 평면의 극성 polarity은 최대³ s + 1 절대점을 갖는다. 또한 절대점 수가 s³ + 1이면 절대점 및 절대선이 일변도를 형성한다(즉, 평면의 모든 선이 1 또는 s + 1 포인트에서 이 절대점 집합을 충족한다).^[20]

폴리스와 폴라

유클리드 평면의 호혜성

실제 투영 평면의 극성을 구성하는 데 사용할 수 있는 방법은 그 출발점으로서 유클리드 평면에 부분 이중성의 구조를 가지고 있다.

유클리드 평면에서 중심 O와 반지름 r로 C 원을 고정한다. OP each OQ = r이² 되도록 OP가 아닌 각 점 P에 대해 영상 점 Q를 정의한다. 원 C에 관해서 P → Q에 의해 정의된 매핑을 역행이라고 한다. 선 OP에 수직인 선 p ~ Q를 원 C에 관하여 점 P의 극이라고^[21] 한다.

q를 통과하지 않는 선이 되게 하라. q에서 q까지 수직으로 떨어뜨려 p 지점에서 q를 만난다(이것이 q에 가장 가까운 q의 지점이다). C에 대해 역행하는 P의 영상 Q를 q의^[21] 극이라고 한다. 만일 점 M이 선 q(O를 통과하지 않음)에 있다면, q의 극은 M의 극에 놓여 있고 그 반대도 마찬가지다. C에 관해서 점과 선이 그들의 폴라와 극으로 변형되는 발생 보존 과정을 상호주의라고 부른다.^[22]

이 과정을 상관관계로 전환하기 위해서는 무한에 선을 추가하고 이 선에 놓여 있는 무한에 점을 추가하여 연장된 유클리드 평면(프로젝티브 평면이 아닌)으로 확장할 필요가 있다. 이 확장된 평면에서 우리는 점 O의 극성을 무한대의 선(그리고 O는 무한대의 선의 극)으로 정의하며, 선을 통한 선의 극은 무한대의 점이며, 여기서 선에 경사 s( ( 0)가 있으면 그 극은 경사 -1/s를 갖는 선의 평행 등급과 연관된 무한점이다. x축의 극은 수직선의 무한점이고 y축의 극은 수평선의 무한점이다.

위에서 주어진 원 안의 역전을 바탕으로 한 상관관계의 구성은 원뿔형 부분(확장된 실제 평면)에서 역전을 사용함으로써 일반화될 수 있다. 이러한 방식으로 구성된 상관관계는 순서가 2인 극성이다.

대수식

C가 원점을 중심으로 한 단위 원(즉, r = 1)인 경우 위의 구성을 따라 이 극성을 대수적으로 설명해야 한다.

원점 이외의 지점 P는 데카르트 좌표(a, b)가 있는 단위의 역방향으로 점 Q를 좌표로 원을 그린다.

${\displaystyle \left\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}\오른쪽).}$

선 OP에 수직인 Q를 통과하는 선에는 등식 도끼 + by = 1이 있다.

임베딩(a, b) ↦(a, b, 1)을 사용하여 균일한 좌표로 전환하면, 마지막 좌표가 0이 되도록 허용함으로써 실제 투영 평면으로의 확장이 얻어진다. 점 좌표는 열 벡터로, 선 좌표는 행 벡터로 기록된다는 점을 상기하면서, 우리는 다음과 같이 극성을 표현할 수 있다.

${\displaystyle \pi :\mathb {R}P^{2}\오른쪽 화살표 \mathb {R}P^{2}}$

그런

${\displaystyle \pi \left(x,y,z)^{\mathsf{T}\right)=(x,y,-z).}$

또는 대체 표기법을 사용하여 π(x, y, z)_P = (x, y, -z)_L 관련 sesquilinar 형식(표준 기준 관련)의 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle G=\왼쪽({\begin{matrix}1&0&0\\0&0\\0&0\&0&-1\end{matrix}\오른쪽).}$

이 극성의 절대점은 다음과 같은 해법에 의해 주어진다.

${\displaystyle 0=P^{\mathsf {T}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},}$

여기서^T P=(x, y, z) 유클리드 평면(즉, z = 1)으로 제한되는 점에 유의하십시오. 이것은 단지 단위 원, 반전 원일 뿐이다.

합성접근법

투사 평면에서 원뿔의 극과 폴라 이론은 좌표와 다른 미터법 개념을 사용하지 않고도 개발할 수 있다.

F가 특성 2의 장이 아닌 PG(2, F)에서 C를 원뿔자로 하고, P를 C에 있지 않은 평면의 지점으로 한다. 원뿔에 대한 두 개의 뚜렷한 제2의 선, 즉 AB와 JK가 4개의 원뿔(A, B, J, K)을 결정한다고 말한다. 점 P는 이 사각형의 대각 삼각형의 꼭지점이다. C에 대한 P의 극성은 P의 반대편에 있는 대각 삼각형의 면이다.^[23]

선상의 점들의 투사적 조화 결합 이론은 또한 이 관계를 정의하는 데 사용될 수 있다. 위와 동일한 표기법 사용;

점 P를 통과하는 가변 선이 원뿔 C의 2등분인 경우, 이등분에서 C의 2개 지점에 대한 P의 고조파 결합은 모두 P의 극성에 놓여 있다.^[24]

특성.

투영 평면의 극성에는 몇 가지 특성이 있다.^[25]

극성 π을 주어, 점 P는 점 Q의 극성인 경우에 한해 점 Q의 극성인 선 Q에 놓여 있다.

이 관계에 있는 점 P와 Q를 π과 관련하여 결합점이라고 한다. 절대점은 자신의 폴라와 충돌하기 때문에 이 정의에 부합하는 셀프 콘주게이트라고 불린다. 공극 선은 일 년에 한 번 정의된다.

두 개의 셀프 콘주게이트 포인트와 결합하는 선이 셀프 콘주게이트 라인이 될 수 없다.

한 줄에 세 개 이상의 자가 콘주게이트 점을 포함할 수 없다.

극성은 자가 콘쥬게이트가 아닌 모든 라인에 공극점을 비자발적으로 유도한다.

각 꼭지점이 반대편의 극인 삼각형을 자기 극 삼각형이라고 한다.

삼각형의 세 꼭지점을 각각 반대편에 매핑하는 상관관계는 극성이며, 이 삼각형은 이 극성에 관한 자기 극성이다.

역사

이중성의 원리는 당시 신흥 분석 기하학의 챔피언이자 수학에 전적으로 전념한 제1 저널의 창시자 겸 편집자인 조셉 디아즈 게르곤(1771-1859) 때문이다. 게르곤느와 찰스 줄리앙 브리안콘 (1785년-1864년)은 평면 이중성의 개념을 발전시켰다. 게르곤느는 '이중성'(duality)과 '극성'(folar)이라는 용어를 만들어 냈고(그러나 '극'은 F.J. subois 때문이다)이라는 두 가지 문장을 나란히 쓰는 스타일을 자신의 저널에 채택했다.

투사적 기하학에 관한 첫 번째 문헌인 디지메테 데스페레테스의 저자인 장빅토르 폰셀레(1788-1867)는 원뿔에 관한 극과 폴라의 이론을 체계적으로 발전시킨 합성 측량계였다. 폰셀렛은 이중성의 원리가 극과 폴라의 이론의 결과라고 주장했다.

줄리어스 플뤼커(1801-1868)는 이중성의 개념을 3차원 투영공간으로 확장한 공로를 인정받고 있다.

폰셀레와 게르곤느는 안날레스 드 게르곤느에 등장하는 논문에서 서로 다른 관점과 기법을 제시하며 성실하지만 우호적인 경쟁자로 출발했다. 이중성의 원칙을 그들 자신의 것으로 주장하는데 있어서 우선적인 문제를 두고 반목이 커졌다. 젊은 플뤼커는 게르곤느에게 제출한 논문이 출판될 무렵에 너무 심하게 편집되어 폰셀렛은 플뤼커가 자신을 표절했다고 잘못 믿게 되었을 때 이 불화에 휘말렸다. 폰셀렛의 독설적인 공격은 게르곤네의 지원으로 플뤼커에 의해 반박되었고 결국 오누스는 게르곤느에 배치되었다.^[26] 이 불화에서 피에르 사무엘은^[27] 두 사람 모두 프랑스 군대에 있었고 폰셀렛은 장군이었기 때문에, 게르곤은 단순한 대위였기 때문에 적어도 그들의 프랑스 동시대인들 사이에서는 폰셀렛의 견해가 우세했다고 말했다.

참고 항목

• 이중 곡선

메모들

참조

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추가 읽기

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외부 링크

Weisstein, Eric W. "Duality Principle". MathWorld.