자유군

Free group
대수구조 → 그룹 이론
집단 이론
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기본 개념
집단동형성
유한군
유한단순군 분류
모듈 그룹
  • PSL(2, )
  • SL(2, )
위상학 및 눕기 그룹
무한 치수 리 그룹
  • 오(∞)
  • SU(수)
  • Sp(()
대수군
두 발전기의 자유 그룹에 대한 Cayley 그래프가 어떻게 생겼는지 보여주는 다이어그램. 각 꼭지점은 자유 그룹의 요소를 나타내며, 각 가장자리는 a 또는 b에 의한 곱셈을 나타낸다.

수학에서 주어진 집합 S에 대한 자유 그룹 F는S S의 구성원에서 빌드할 수 있는 모든 단어로 구성된다. 단어의 동일성이 그룹 공리에서 따르지 않는 한 두 단어의 차이를 고려한다(예: st = 수트−1, 그러나 s, t,u ∈ S의 경우 s ≠ t−1). S의 멤버는 F의S 발생기라고 하며, 발생기의 수는 자유 그룹의 순위다. 임의의 그룹 G는 G의 일부 부분집합 S에 대해S F와 이형인 경우, 즉 G의 부분집합 S가 존재하여 모든 요소가 S와 그 반대(st = sut과−1 같은 사소한 변이)의 산물로서 정확히 한 가지 방법으로 작성될 수 있다면 자유라고 부른다.

관련되지만 다른 개념은 자유 아벨리아 집단이다. 두 개념은 모두 보편적 대수학에서 자유 객체의 특정한 예다. 이와 같이 자유 집단은 그 보편적 속성에 의해 정의된다.

역사

자유 그룹은 쌍곡 기하학의 연구에서 처음으로 발생했는데, 이는 푸치안 그룹(쌍곡면 위의 등축에 의해 작용하는 분해 그룹)의 예다. 1882년 논문에서 발터 폰 다이크는 이러한 그룹들이 가능한 가장 간단한 프레젠테이션을 가지고 있다고 지적했다.[1] 자유집단에 대한 대수학 연구는 1924년 야콥 닐슨에 의해 시작되었는데, 그들은 그들에게 이름을 지어주고 그들의 기본적 성질의 많은 부분을 확립했다.[2][3][4] 막스 딘은 위상과의 연결을 깨닫고, 완전한 닐슨-슈레이어 정리의 첫 번째 증거를 얻었다.[5] 오토 슈레이어는 1927년에 이 결과에 대한 대수적 증거를 발표했고,[6] 커트 레이데미스터는 1932년 그의 결합기 위상에 관한 책에 자유집단에 대한 포괄적인 처리를 포함시켰다.[7] 이후 1930년대에 빌헬름 마그누스는 자유집단의 하부 중앙집단과 자유 리 알헤브라스 사이의 연관성을 발견했다.

예

정수의 그룹(Z,+)은 1위가 없으며, 생성 집합은 S = {1}이다. 정수는 자유 아벨리안 그룹이기도 하지만, 의 모든 자유 그룹은 비아벨리안 그룹이다. 바나흐-타르스키 역설의 증거에서 2개 요소 집합 S에 대한 자유 집단이 발생하여 거기에 기술되어 있다.

반면에, 자유 그룹의 자유 생성 집합의 요소는 무한한 질서를 가지기 때문에, 어떤 비경쟁적 유한 집단은 자유로울 수 없다.

대수적 위상에서, k 원들의 부케의 기본 그룹(공통점이 1점밖에 없는 k 루프 집합)은 k 원소의 집합에 있는 자유 그룹이다.

건설

자유발생 집합 S를 갖는 자유그룹 F는S 다음과 같이 구성할 수 있다. S는 기호의 집합이며, 우리는 S의 모든 s에 해당하는 "역행" 기호가 S의−1 집합에−1 있다고 가정한다. T = S ∪ S로−1 하고, S에 있는 단어를 T 원소의 어떤 쓰여진 산물이 되도록 정의한다. 즉, S에 있는 단어는 T에 의해 생성된 모노이드의 요소다. 빈말은 기호가 전혀 없는 말이다. 예를 들어 S = {a, b, c}인 경우 T = {a, a−1, b, b−1, c, c−1},

S에 있는 단어다.

S의 요소가 그 역의 바로 옆에 있는 경우, c, c−1 쌍을 생략하여 단어를 단순화할 수 있다.

더 이상 단순화할 수 없는 단어를 축소라고 한다.

자유 그룹 F는S S에서 모든 축소 단어들의 그룹으로 정의되며, 단어들의 결합(필요한 경우 감소에 따른 것)을 그룹 운영으로 정의한다. 정체성은 빈말이다.

한 단어는 첫 글자와 마지막 글자가 서로 반비례하지 않으면 순환적으로 줄어든다고 한다. 모든 단어는 순환적으로 감소된 단어에 대한 결합이며, 순환적으로 감소된 단어의 순환적 결합은 그 단어에 있는 글자의 순환적 순열이다. 예를 들어 babcb는−1 순환적으로 감소하지 않고, 순환적으로 감소되는 abc와 결합된다. abc의 주기적인 감소된 유일한 결합체는 abc, bca, cabc이다.

보편적 재산

자유 그룹 F는S 세트 S에 의해 생성된 범용 그룹이다. 이는 다음과 같은 보편적 속성으로 공식화할 수 있다:S에서 그룹 G까지의 함수 f를 감안할 때 다음과 같은 도표를 통근하는 독특한S 동형성 φ이 존재한다(이러한 지도는 S에서 F로S 편입됨을 나타낸다).

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즉, 동형체 FS → G는 함수 S → G와 일대일 일치한다. 비자유 집단의 경우 관계의 존재는 동형체 하에서 발생기의 가능한 이미지를 제한할 것이다.

이것이 건설적 정의와 어떻게 관련되는지 보려면 S에서 F까지의S 매핑을 각 기호를 해당 기호로 구성된 단어로 보내는 것으로 생각해 보십시오. 주어진 f에 대해 φ을 구성하려면 먼저 φ이 빈 단어를 G의 아이덴티티로 보내고 S의 요소에 대해서는 f와 합의해야 한다는 점에 주목한다. 나머지 단어의 경우(둘 이상의 기호로 구성) hom은 동형이기 때문에 φ(ab) = φ(a) φ(b)를 고유하게 확장할 수 있다.

위의 속성은 자유 집단의 특성을 이소모르피즘까지 나타내며, 대안의 정의로 쓰이기도 한다. 자유집단의 보편적 속성으로 알려져 있으며, 생성 집합 S는 F의S 기초라고 한다. 자유 집단의 근거는 독특하게 결정되지 않는다.

보편적 특성으로 특징지어지는 것은 보편적 대수학에서 자유 물체의 표준적 특징이다. 범주이론의 언어에서 자유집단의 구성(자유물체의 대부분의 구성과 유사함)은 집합의 범주에서 집단의 범주로 이어지는 펑터다. 이 펑터는 집단에서 집합으로 건망증이 심한 펑터에게 맡겨진다.

사실과 정리

자유 그룹의 일부 특성은 정의에서 쉽게 따르게 된다.

  1. 어떤 그룹 G는 어떤 자유 그룹 F(S)의 동형상이다. S를 G의 발전기로 하자. 자연지도 f:F(S) → G는 경구체(epimorphism)로, 그 주장을 증명한다. 동등하게, G는 일부 자유 그룹 F(S)의 지수 그룹과 이형성이다. φ의 낟알은 G의 표시에 있어서의 관계의 집합이다. 여기서 S가 유한하다고 선택할 수 있다면 G를 finally generated라고 부른다.
  2. S가 둘 이상의 원소를 가지고 있다면 F(S)는 아벨리안이 아니며, 사실 F(S)의 중심은 사소한 것(즉, 정체성 원소로만 구성된다.
  3. 두 개의 자유 그룹 F(S)와 F(T)는 S와 T가 동일한 카디널리티를 갖는 경우에만 이형성이다. 이 카디널리티는 자유 그룹 F의 순위라고 불린다. 따라서 모든 추기경 숫자 k에 대해 이소모르프까지 정확히 하나의 자유 집단인 등급 k가 존재한다.
  4. 유한 계급 n > 1의 자유 집단은 지수 성장률을 2n - 1로 한다.

그 밖의 몇 가지 관련 결과는 다음과 같다.

  1. 닐슨-슈레이어 정리: 자유 집단의 모든 하위 집단은 자유롭다.
  2. 자유 등급 k 그룹은 모든 등급의 하위 그룹이 k 미만인 것이 분명하다. 덜 명백하게, 적어도 2등급의 자유 집단은 모든 계급을 셀 수 있는 하위 집단을 가지고 있다.
  3. k > 1의 자유집단의 정류자 하위집단은 무한한 순위를 가지고 있다. 예를 들어 F(am,bn)의 경우, 0이 아닌 m과 n의 경우 정류자 [a, b]에 의해 자유롭게 생성된다.
  4. 두 요소의 자유 그룹은 SQ 범용이다. 위의 내용은 모든 SQ 범용 그룹이 모든 카운트 가능 등급의 하위 그룹을 가지고 있기 때문이다.
  5. 나무에 작용하는 모든 그룹은 자유롭고 방향을 보존하며 카운트할 수 있는 등급의 자유로운 그룹이다(점수 그래프의 오일러 특성 1+1로 주어짐).
  6. 케이리 그래프는 자유 생성 집합과 관련하여 유한 계급의 자유 집단을 나타내는 것으로, 집단이 자유롭게 행동하면서 방향을 보존하는 나무다.
  7. P.J.의 연구에서 제시된 이러한 결과에 대한 그룹형 접근법. 아래 히긴스는 커버 공간을 이용한 접근법에서 추출한 것이다. 예를 들어 그루시코의 정리에 관한 보다 강력한 결과, 그리고 그룹의 그래프의 기본 그룹화에 대한 정상적인 형태를 허용한다. 이 접근법에서는 지시된 그래프에 자유 그룹화(free groupoids)가 상당히 많이 사용된다.
  8. 그루시코의 정리는 n 원소에 대한 자유 그룹 F의 부분집합 B가 F를 생성하고 n 원소를 가지면 B가 자유롭게 F를 발생시키는 결과를 가지고 있다.

프리 아벨 그룹

추가 정보: 프리 아벨 그룹

세트 S에 있는 자유 아벨리아 집단은 다음과 같은 명백한 수정과 함께 유사한 방법으로 그것의 보편적 특성을 통해 정의된다. 쌍(F, φ)을 고려한다. 여기서 F는 아벨 그룹이고 φ: S → F는 함수다. F는 어떤 아벨 그룹 G와 어떤 기능인 S → G에 대해 다음과 같은 독특한 동형성 f: F → G가 존재한다면 φ에 관해서 S에 자유 아벨리아 그룹이라고 한다.

f(s)(s)(s)(s) = s(s)의 모든 s에 대해).

S의 자유 아벨리아 그룹은 그것의 정류자에 의해 생성된 하위 그룹, 즉 아벨리아화, 즉 그 하위 그룹 F(S) modulo로 명시적으로 식별할 수 있다. 즉 S에 있는 자유 아벨리아 집단은 글자 순서까지만 구별되는 낱말의 집합이다. 따라서 자유 집단의 계급은 자유 아벨리아 집단으로서의 아벨리아화 계급으로도 정의할 수 있다.

타르스키의 문제

1945년경 알프레드 타르스키는 두 개 이상의 발전기에 있는 자유 집단이 동일한 1차 이론을 가지고 있는지, 그리고 이 이론이 디커피블 가능한지 물었다. 셀라(2006)는 첫 번째 질문에 어떤 두 개의 비아벨리아 자유 그룹이든 같은 1차 이론을 가지고 있다는 것을 보여주며 대답했고, 카람포비치 & 마이스니코프(2006)는 두 가지 질문에 모두 대답해 이 이론이 디커블이 가능하다는 것을 보여주었다.

자유확률 이론의 유사한 미해결 질문(2011년 기준)은 두 개의 비아벨라니아계 미생성 자유집단의 폰 노이만 그룹 알헤브라가 이형성인지 여부를 질문한다.

참고 항목

메모들

  1. ^ von Dyck, Walther (1882). "Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies)". Mathematische Annalen. 20 (1): 1–44. doi:10.1007/BF01443322. S2CID 179178038.
  2. ^ Nielsen, Jakob (1917). "Die Isomorphismen der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden". Mathematische Annalen. 78 (1): 385–397. doi:10.1007/BF01457113. JFM 46.0175.01. MR 1511907. S2CID 119726936.
  3. ^ Nielsen, Jakob (1921). "On calculation with noncommutative factors and its application to group theory. (Translated from Danish)". The Mathematical Scientist. 6 (1981) (2): 73–85.
  4. ^ Nielsen, Jakob (1924). "Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen". Mathematische Annalen. 91 (3): 169–209. doi:10.1007/BF01556078. S2CID 122577302.
  5. ^ 참조
  6. ^ Schreier, Otto (1928). "Die Untergruppen der freien Gruppen". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 5: 161–183. doi:10.1007/BF02952517. S2CID 121888949.
  7. ^ Reidemeister, Kurt (1972 (1932 original)). Einführung in die kombinatorische Topologie. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. {{cite book}}: 날짜 값 확인: date= (도움말)

참조