얼랑겐 프로그램

수학에서 에를랑겐 프로그램은 집단 이론과 투영 기하학을 바탕으로 기하학적 특성을 갖는 방법이다. 1872년 펠릭스 클라인에 의해 베르글리첸데 베트라흐퉁엔(Vergleichende Betrachtungen) über neuere 기하학상 포르스춘겐(Forschungen)으로 출판되었다. 클라인이 근무했던 에를랑겐누른베르크 대학의 이름을 따서 지은 것이다.

1872년까지 비유클리드 기하학이 등장했지만, 그들의 계층 구조와 관계를 결정할 방법은 없었다. 클라인의 방법은 근본적으로 다음과 같은 세 가지 면에서 혁신적이었다.

• 투영 기하학은 그가 고려하는 다른 모든 기하학의 통일 프레임으로 강조되었다. 특히 유클리드 기하학은 아핀 기하학보다 더 제한적이었으며, 결국 투영 기하학보다 더 제한적이다.

• 클라인은 대칭의 개념을 추상화하기 위해 대수학적 방법을 사용하는 수학의 한 분야인 집단 이론이 기하학적 지식을 조직하는 가장 유용한 방법이라고 제안했다; 그 당시에는 이미 갈루아 이론의 형태로 방정식 이론에 도입되어 있었다.

• 클라인은 각 기하학적 언어가 고유하고 적절한 개념을 가지고 있다는 생각을 훨씬 더 분명히 했으며, 따라서 예를 들어 투사적 기하학은 원뿔 단면에 대해 올바르게 이야기했지만, 그 개념들이 투사적 변환(기하학적 관점에서 친숙한 것)에서는 불변성이 아니었기 때문에 원이나 각도에 대해서는 이야기하지 않았다. 그 후 기하학의 여러 언어가 다시 합쳐지는 방식은 대칭 그룹의 하위 그룹이 서로 관련되는 방식으로 설명될 수 있었다.

이후, 엘리 카탄은 특정 주요 번들에 있는 카탄 연결에 클라인의 동질적인 모델 공간을 일반화하여 리만 기하학을 일반화하였다.

19세기 기하학의 문제들

유클리드 이후 기하학은 2차원(평면 기하학) 또는 3차원(고체 기하학)의 유클리드 공간의 기하학을 의미했다. 19세기 전반에는 그림을 복잡하게 만드는 몇 가지 발전이 있었다. 수학적 응용은 4차원 이상의 기하학적 구조를 필요로 했다; 전통적인 유클리드 기하학의 기초에 대한 면밀한 조사를 통해 다른 것들로부터 평행한 위치의 독립성을 밝혀냈으며, 비유클리드 기하학이 탄생했다. 클라인은 폰셀레, 뫼비우스, 케이리 등이 이미 개발한 바와 같이 이 모든 새로운 기하학은 투영 기하학의 특별한 사례에 불과하다는 생각을 제안했다. 클라인은 또한 수학적 물리학자들에게 투영적 관점을 적당히 배양하는 것 조차도 그들에게 상당한 이익을 가져다 줄 수 있다고 강력하게 제안했다.

모든 기하학에서 클라인은 대칭의 기본 그룹을 연결했다. 따라서 기하학의 계층 구조는 수학적으로 이러한 집단의 계층 구조와 불변성의 계층 구조로 표현된다. 예를 들어 유클리드 대칭 그룹에 관해서 길이, 각도 및 영역이 보존되는 반면, 발생 구조와 교차 비율만 가장 일반적인 투영적 변환에 의해서 보존된다. 아핀 기하학에서 보존되는 병렬 개념은 투영 기하학에서는 의미가 없다. 그런 다음, 기하학에서 대칭의 기본 그룹을 추상화함으로써, 그 사이의 관계는 그룹 수준에서 다시 설정될 수 있다. 아핀 기하학 그룹은 투영 기하학 그룹의 하위 그룹이기 때문에, 투영 기하학에서 불변하는 개념은 아핀 기하학에서 의미 있는 선험적인 것이다. 그러나 다른 방법은 아니다. 필요한 대칭을 제거하면 더 강력한 이론이 있지만 개념과 이론은 더 적다(더 깊고 일반적이 될 것이다).

균질 공간

즉, "전통적 공간"은 동질적인 공간이지만, 고유하게 결정된 집단을 위한 공간은 아니다. 그룹을 변경하면 적절한 기하학적 언어가 변경된다.

오늘날의 언어에서 고전 기하학에 관련된 그룹들은 모두 리 그룹, 즉 고전 그룹이라고 매우 잘 알려져 있다. 구체적인 관계는 기술 언어를 사용하여 꽤 간단하게 설명된다.

예

예를 들어, n개의 실제 값 치수의 투영 기하학 그룹은 n차원 실제 투영 공간의 대칭 그룹(diquitive group of degree n + 1, 스칼라 행렬에 의해 지수 지정됨)이다. 아핀 그룹은 무한대에서 선택한 하이퍼플레인(지점적으로 고정하지 않고 자신에게 매핑)을 존중하는 부분군이 될 것이다. 이 부분군은 알려진 구조를 가지고 있다. (일반적인 선형 그룹의 직간접적인 제품 및 번역의 부분군을 포함한다.) 이 설명은 우리에게 어떤 속성이 'affine'인지 알려준다. 유클리드 평면 기하학 용어에서, 평행사변형은 항상 하나의 평행사변형을 다른 평행사변형을 취하기 때문에 평행사변형이 되는 것은 평행사변형이 되는 것이다. 아핀 전단지가 원을 타원 모양으로 만들기 때문에 원이 되는 것은 아핀이 아니다.

아핀과 유클리드 기하학의 관계를 정확하게 설명하기 위해서는 이제 아핀 그룹 내의 유클리드 기하학의 그룹을 꼬집어 설명해야 한다. 유클리드 집단은 사실 (아핀 집단의 이전 설명 사용) 번역과 함께 직교(회전 및 반사) 집단의 반직접 생산물이다. (자세한 내용은 클라인 지오메트리를 참조하십시오.

후기 작업에 미치는 영향

에를랑겐 프로그램의 장기적 효과는 순수 수학 전반에 걸쳐 볼 수 있으며(예를 들어 일치에서 암묵적 사용(지오메트리) 참조), 대칭 그룹을 이용한 변환과 합성의 발상이 물리학에서 표준이 되었다.

토폴로지를 동형상 속에서는 불변성의 성질 측면에서 일상적으로 기술할 때, 작동 중인 근본적인 사상을 볼 수 있다. 관련 집단은 거의 모든 경우에 -거짓말 집단이 아니라 -무한한 차원일 것이다. 하지만 철학은 같다. 물론 이것은 대부분 클라인의 교육학적인 영향력을 말해준다. H.S.M. Coxeter의 책과 같은 책들은 기하학적 구조를 '위치'하는 것을 돕기 위해 Erlangen 프로그램 접근법을 일상적으로 사용했다. 교육학 용어로는 프로그램이 변형 기하학이 되었는데, 유클리드 스타일보다 더 강한 직관력을 바탕으로 하지만 논리 체계로 쉽게 전환되지 않는다는 점에서 복합적인 축복이다.

장 피아제는 그의 저서 구조주의(1970년)에서 부르바키와 같은 현대 구조주의 수학자들의 눈에는 에를랑겐 프로그램은 기하학뿐만 아니라 모든 수학에 구조적인 관념에 종속시키고자 하기 때문에 구조주의의 부분적인 승리밖에 되지 않는다고 말한다.

지오메트리와 그 그룹의 경우, 그룹의 요소를 지오메트리의 운동이라고 부르기도 한다. 예를 들어 쌍곡선 운동을 기반으로 한 개발을 통해 쌍곡선 기하학의 푸앵카레 반평면 모델을 배울 수 있다. 그러한 발전은 연속적인 동작에 의해 초급행렬 정리를 체계적으로 증명할 수 있게 한다.

Erlangen 프로그램의 추상적 반환

꽤 자주, 이형 자동형 집단을 가진 둘 이상의 뚜렷한 기하학들이 있는 것으로 보인다. 에를랑겐 프로그램을 추상적인 그룹에서 기하학으로 읽는 문제가 발생한다.

한 가지 예: 방향(즉, 반사가 포함되지 않음) 타원형 기하학(즉, 반대 지점이 식별된 n-sphere의 표면)과 방향 구형 기하학(비유클리드 기하학과는 동일하지만 반대 지점이 식별되지 않은 동일)은 짝수 n에 대한 이형 자동형 집단을 가지며, SO(n+1) 이것들은 구별되는 것처럼 보일 수도 있다. 그러나, 이 기하학적 구조들은 정밀하게 만들어질 수 있는 방식으로 매우 밀접하게 연관되어 있는 것으로 밝혀졌다.

또 다른 예를 들어, 곡률 반경이 다른 타원형 기하학적 기하학에는 이형 자동형성 그룹이 있다. 그러한 모든 기하학적 구조가 이등형이기 때문에 그것은 비평으로 간주되지 않는다. 리만 기하학 장군은 프로그램의 테두리를 벗어나게 된다.

복잡한, 이중 및 이중(일명 분할 복합) 번호는 그룹 SL(2,R)과 그 하위 그룹 H=A, N, K에 대해 동종 공간 SL(2,R)/H로 나타난다.^[1] 그룹 SL(2,R)은 선형 분수 변환에 의해 이러한 균일한 공간에 작용하며, Erlangen 프로그램으로부터 균일한 방법으로 각 기하학의 많은 부분을 얻을 수 있다.

물리학에서 몇 가지 더 주목할 만한 예가 나왔다.

첫째, n차원 쌍곡 기하학, n차원 드 시터 공간 및 (n-1)차원 반전 기하학 모두 이형 자동형 그룹을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathrm {O}(n,1)/\mathrm {C} _{2},\ }$

n ≥ 3에 대한 직교 로렌츠 그룹. 그러나 이것들은 분명히 구별되는 기하학이다. 여기 물리학의 흥미로운 결과들이 있다. 일부 모델에서는 세 가지 기하학 각각에 있는 물리학 모델이 "이중"이라는 것이 밝혀졌다.

다시 말하지만, n차원 반데시터 공간과 "로렌츠안" 시그니처가 있는 (n-1)차원 순응 공간은 (3차원 이상에 대해 반전 기하학과 동일한 "유클리드" 시그니처가 있는 순응 공간과는 대조적으로) 이소모르프 오토모르피즘 그룹을 가지지만, 뚜렷한 기하학이다. 다시 한번, 물리학에는 두 공간 사이에 "이중성"을 가진 모델들이 있다. 자세한 내용은 AdS/CFT를 참조하십시오.

SU(2,2) 커버 그룹은 SO(4,2) 커버 그룹과 이형성이며, 이는 4D 컨포멀 민코스키 공간과 5D 안티 드 시터 공간, 복잡한 4차원 트위스터 공간의 대칭 그룹이다.

따라서 Erlangen 프로그램은 물리학의 이중성과 관련하여 여전히 비옥한 것으로 간주될 수 있다.

범주를 소개한 세미날 논문에서, Sunders Mac Lane과 Samuel Eilenberg는 다음과 같이 말했다: "이는 그것의 변형 집단을 가진 기하학적 공간이 매핑의 대수학 범주로 일반화된다는 점에서, 클라인 얼랑거 프로그램의 지속으로 간주될 수 있다."^[2]

에를랑겐 프로그램과 샤를 에레스만의 기하학적 조로이드 작업과의 관계는 프라딘에 의해 아래 기사에서 고려된다.^[3]

수학 논리학에서 에를랑겐 프로그램은 논리 관념에 대한 그의 분석에서 알프레드 타르스키에게 영감을 주는 역할을 하기도 했다.^[4]

참조

위키북 지오메트리에는 다음과 같은 주제의 페이지가 있다: 그룹

• 클라인, 펠릭스 (1872) "최근 기하학 연구에 대한 비교 검토" 완전한 영어 번역은 여기 https://arxiv.org/abs/0807.3161이다.
• 샤프, 리처드 W. (1997) 차등 기하학: 카탄의 클라인의 얼랑겐 프로그램 일반화 제166권. 스프링거.
• 하인리히 구겐하이머(1977) 뉴욕 도버의 차등 기하학, ISBN 0-486-63433-7.

Lie, Klein, Cartan의 작업을 다룬다. 139쪽 구겐하이머는 "클라인 기하학은 전이적 변환군(Erlangen program, 1872년)의 기하학적 불변제 이론"이라고 지적하며 그 분야를 요약한다.

• 토마스 호킨스(1984) "펠릭스 클라인의 얼랑거 프로그램: 수학의 역사에서 그 위치에 대한 반성" 역사학 매티매틱스 11장 442–70.
• "Erlangen program", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 리젠 지와 아타나세 파파도풀로스 (편집자) (2015) 소푸스 리와 펠릭스 클라인: Erlangen 프로그램과 수학 및 물리학에서의 영향, IRMA 수학과 이론 물리학 23, 유럽수학협회 출판사 Zürich.
• 펠릭스 클라인 (1872) "베르글리첸데 베트라흐퉁엔 뷔르 네에레 기하학 포르스춘겐"('최근 기하학의 연구에 대한 비교 검토'), 수학시 안날렌, 43 (1893) 페이지 63–100 (또: 게사멜테 아브) (또한: Gesammelte Abh) 제1권, 스프링거, 1921권, 페이지 460-497).

Mellen Haskell의 영어 번역본이 Bull에 등장했다. N. Y. 수학. Soc 2(1892–1893): 215–249.

Erlangen 프로그램의 독일어 원문은 [1], [2]에서 HTML 형식으로 미시건 대학교 온라인 모음에서 볼 수 있다.

존 배즈가 관리하는 얼랑겐 프로그램의 중앙 정보 페이지는 [3]에 있다.

• Felix Klein (2004) 고급 관점에서 본 초등 수학: 지오메트리, 도버, 뉴욕 ISBN 0-486-43481

(Elementarmathmatik의 번역은 Höheren Standpunkte aus, Teil II: Geometrie, Pub. 1924 by Springer). 에를랑겐 프로그램에 대한 섹션이 있다.