변환 기하학
Transformation geometry
수학에서 변환기하학(또는 변환기하학)은 기하학적 변환의 그룹과 그 아래에 불변하는 성질에 초점을 맞추어 기하학을 연구하는 수학적, 교육학적 개념의 명칭이다. 이론 입증에 초점을 맞춘 유클리드 기하학의 고전적 합성 기하학적 접근에 반대한다.
예를 들어, 변환 기하학 내에서 이소셀 삼각형의 특성은 특정 선에 대한 반사에 의해 스스로 매핑된다는 사실에서 추론된다. 이것은 삼각형의 합치 기준에 의한 고전적인 증거와 대조된다.[1]
변형을 기하학의 기초로서 이용하려는 최초의 체계적인 노력은 19세기에 펠릭스 클라인이 Erlangen 프로그램이라는 이름으로 만들었다. 거의 1세기 동안 이 접근법은 수학 연구계에만 국한되어 있었다. 20세기에는 수학 교육에 이용하려는 노력이 있었다. 안드레이 콜모고로프는 러시아의 기하학 교수 개혁에 대한 제안의 일환으로 (세트 이론과 함께) 이러한 접근법을 포함시켰다.[2] 이러한 노력은 1960년대에 뉴 수학 운동으로 알려진 수학 교습의 전반적인 개혁으로 절정에 이르렀다.
교육학
변형 기하학의 탐구는 종종 일상생활에서 발견되는 반사 대칭에 대한 연구로부터 시작된다. 첫 번째 실제 변환은 선으로 반사하거나 축에 대한 반사다. 두 개의 반사를 구성하면 선이 교차할 때 회전이 되고, 선이 평행할 때 번역이 된다. 그러므로 학생들은 변형을 통해 유클리드 평면의 등각도에 대해 배운다. 예를 들어, 수직선과 수평에 45° 기울어진 선에서 반사를 고려한다. 한 구획은 시계 반대방향 쿼터턴(90°)을 내는 반면, 역구성은 시계 반대방향 쿼터턴을 내는 것을 관찰할 수 있다. 그러한 결과는 변환 기하학이 비확정적 프로세스를 포함한다는 것을 보여준다.
어떤 삼각형에서 발견되는 7분의 1 면적 삼각형의 증명에서 선에 재미있는 반사 적용이 일어난다.
어린 학생들에게 소개된 또 다른 변화는 팽창이다. 그러나 서클 전환의 반영은 저학년이 부적절해 보인다. 그러므로 학년 변환 기하학보다 더 큰 연구인 역 기하학은 보통 대학생들을 위한 것이다.
구체적인 대칭군(대칭군)을 이용한 실험은 추상군 이론의 발판을 마련한다. 다른 콘크리트 활동에서는 변환 기하학을 표현하기 위해 복잡한 숫자, 하이퍼 복합 숫자 또는 행렬을 가진 연산을 사용한다. 그러한 변환 기하학 수업은 고전적인 합성 기하학과는 대조되는 대체적인 관점을 제시한다. 학생들이 분석적 기하학을 접하게 되면 좌표 회전과 반사에 대한 생각이 쉽게 따라온다. 이 모든 개념은 반사 개념이 확장된 선형대수를 준비한다.
교육자들은 유치원부터 고등학교까지의 아이들을 위한 변형 기하학에 대한 프로젝트와 경험을 어느 정도 관심을 보이고 묘사했다. 아주 어린 아이들의 경우 새로운 용어를 도입하는 것을 피하고 학생들의 일상적 경험과 구체적인 사물을 연계시키기 위해 선반사에는 '플립스', 번역에는 '슬라이드', 회전에는 '턴스' 등 친숙한 단어를 사용하는 것이 좋았지만, 정밀한 m은 아니다.무신론적 언어 일부 제안에서 학생들은 그림의 각 점의 매핑에 대한 정의를 통해 추상적 변환을 수행하기 전에 구체적인 객체로 수행함으로써 시작한다.[3][4][5][6]
러시아에서 기하학의 과정을 재구성하려는 시도로, 콜모고로프는 그것을 변혁의 관점에서 제시하자고 제안했기 때문에, 기하학 과정은 정해진 이론에 기초하여 구조화되었다. 이로 인해 학교에서는 "균등"이라는 용어가 등장하게 되었는데, 전에는 "균등"이라고 불리던 인물에 대해서는, 어떤 인물은 점 집합으로 보여졌기 때문에, 그것 자체와 동등할 수 밖에 없었고, 등위계로 겹칠 수 있는 두 개의 삼각형이 합치되었다고 한다.[2]
한 저자는 변환 기하학에서 집단 이론의 중요성을 다음과 같이 표현했다.
- 나는 내가 쓴 책이 변혁집단에 대한 첫 번째 소개가 될 수 있다는 의도와 이런 것을 본 적이 없다면 추상집단 이론의 개념으로, 내가 필요로 하는 모든 집단 이론을 첫 번째 원리로부터 발전시키기 위해 다소 애를 먹었다.[7]
참고 항목
참조
- ^ Georges Glaeser – 기하학 강의의 위기
- ^ a b 알렉산더 카프 & 브루스 R. Vogeli – 러시아 수학 교육: 프로그램 및 실습, 제5권, 페이지 100–102
- ^ R.S. Millman – 클라인 변환 기하학, Amer. 수학. 월 84 (1977)
- ^ 유네스코 - 새로운 수학 교육 동향, v.3, 1972 / 페이지 8
- ^ 바바라 조린 – 중학교 수학 교과서의 기하학적 변천
- ^ 유네스코 - 수학 교육에 관한 연구 기하학 교수
- ^ 마일스 리드 & 발라즈 스젠드뢰이(2005) 지오메트리 및 위상, 페이지 16세, 케임브리지 대학 출판부 ISBN0-521-61325-6, MR2194744
추가 읽기
- 하인리히 구겐하이머 (Heinrich Gugghimer,1967) 평면 기하학과 그것의 그룹, 홀든 데이 (Holden-Day)
- 로저 에반스 하우&윌리엄 바커(2007) 연속대칭: 유클리드부터 클라인까지, 미국수학협회 ISBN978-0-8218-3900-3.
- Robin Hartshorne(2011) 연속 대칭 검토, American Mathematical Monthly 118:565–8.
- 로저 린든(1985) 그룹과 기하학, #101 런던수학학회 강의노트 시리즈, 케임브리지대 프레스 ISBN 0-521-31694-4.
- P.S. 모데노프와 A.S. 파코멘코(1965) 기하학적 변환, 마이클 B.P가 번역했다. 슬레이터, 아카데미 프레스.
- George E. Martin (1982) 변환 기하학: Springer Verlag, Springer에 대한 소개.
- 이사크 야글롬(1962) 기하학적 변형, 랜덤 하우스(러시아에서 번역)
- Max Jeger (1966) Transformation Geometry (독일어에서 번역됨)
- 개츠비 자선재단에서 교재한 노트 변형
- 크리스틴 A. Camenga (NCTM의 2011년 연례 회의 및 박람회) - 반사, 회전 및 번역을 통한 기하학적 증명의 전환[영구적 데드링크]
- 나탈리 싱클레어(2008) 미국의 기하학 커리큘럼의 역사, pps. 63-66.
- 잘만 P. 우시스킨과 아서 F. 콕스포드. 10학년 기하학의 변천 접근법, 수학 교사, 제65권, 제1권(1972년 1월), 페이지 21-30.
- 잘만 P. 우시스킨. 수학 교육 연구를 위한 학술지 10학년 기하학에서 학생의 성취와 태도에 대한 변형을 통한 유클리드 기하학의 영향, 제3권, 제4권(1972년 11월, 페이지 249-259).
- A. N. 콜모고로프. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии, Математика в школе, 1965, Nº 2, pp. 24–29. (Geometric transformations in a school geometry course) (in Russian)
- Alton Thorpe Olson (1970). High School Plane Geometry Through Transformations: An Exploratory Study, Vol. I. University of Wisconsin--Madison.
- Alton Thorpe Olson (1970). High School Plane Geometry Through Transformations: An Exploratory Study, Vol II. University of Wisconsin--Madison.
