평면 곡선

수학에서 평면 곡선은 유클리드 평면, 아핀 평면 또는 투영 평면일 수 있는 평면의 곡선이다. 가장 많이 연구되는 경우는 평탄한 평면 곡선(조각으로 평탄한 평면 곡선 포함)과 대수적 평면 곡선이다. 평면 곡선에는 조던 곡선(평면의 영역을 둘러싸지만 매끄러울 필요는 없는 곡선)과 연속함수의 그래프도 포함된다.

상징적 표현

평면 곡선은 종종 특정 함수 f에 $대해$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ 형식의 암묵적 방정식으로 데카르트 좌표로 나타낼 수 있다. 이 방정식이 y ${\displaystyle \mathrm{또는}}$ x에 대해 명시적으로 해결될 수 있는 경우, 즉 특정 함수 g 또는 h에 $대해{\displaystyle }$$$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle y=g(x)}$ $또는$ ${\displaystyle x}$= h${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle x=h(y)}$로 다시 쓰여진 경우, 이는 다른 명시적 형태의 표현을 제공한다. 평면 곡선은 특정 함수 $x{\displaystyle (t}$ ) ${\displaystyle x(t)}$ 및$$ y${\displaystyle (t)}$에 대해$$ 형식$({\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle )}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$( t${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$$(x,y)=(t), y$$(t$$)}$의 파라메트릭 방정식으로 데카르트 좌표로 $나타낼$ 수도 있다$.$$}$

평면 곡선은 각 점의 위치를 각도와 원점으로부터의 거리로 표현하는 극좌표와 같은 대체 좌표계에서도 나타낼 수 있다.

평면 곡선

평탄한 평면 곡선은 실제 유클리드 평면 R의² 곡선이며 1차원 평활 다지관이다. 매점 가까이에서 매끄러운 함수에 의해 선에 매핑될 수 있다는 의미에서 매끄러운 평면 곡선이 '로컬하게 선처럼 보인다'는 평면 곡선이라는 뜻이다. 마찬가지로 평탄한 평면 곡선은 방정식 f(x, y) = 0에 의해 국소적으로 주어질 수 있는데, 여기서 f : R² → R은 평활함수이며 부분파생상품 derivativesf//x와 andf/∂y는 곡선의 한 점에서 모두 0이 아니다.

대수 평면 곡선

대수 평면 곡선은 하나의 다항 방정식 f(x, y) = 0(또는 F(x, y, z) = 0)에 의해 주어진 아핀 또는 투영 평면의 곡선이며, 여기서 F는 투영 사례에서 균일한 다항식이다.)

대수학적 곡선은 18세기 이후 광범위하게 연구되어 왔다.

모든 대수 평면 곡선은 일반 위치에 선이 있는 곡선의 교차점 수에 대해 대수적으로 닫힌 장의 경우 등식의 정도, 즉 정의 방정식의 정도가 동일하다. 예를 들어, x² + y² = 1 방정식에 의해 주어진 원에는 도 2가 있다.

정도 2의 비성평면 대수곡선을 원뿔단면이라고 하며, 이들의 투사완성은 모두 원 x² + y² = 1의 투사완료(즉, 방정식 x² + y – z²²= 0의 투사곡선)에 이형이다. 3도의 평면 곡선은 입방 평면 곡선이라고 하며, 만약 그것들이 비성형인 경우 타원 곡선이라고 한다. 4등급의 것을 사분면 곡선이라고 한다.

예

평면 곡선의 수많은 예가 곡선 갤러리에 표시되고 곡선 목록에 나열된다. 1도 또는 2도의 대수 곡선이 여기에 표시된다(3도 미만의 대수 곡선은 항상 평면에 포함된다).

참고 항목

• 미분 기하학
• 대수 기하학
• 오스굿 곡선
• 평면 곡선 피팅
• 투영 품종

참조

• Coolidge, J. L. (April 28, 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Plane Curve". MathWorld.