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수학의 한 분야인 범주론에서 하위개체는 대략적으로 같은 범주의 다른 개체 안에 있는 개체다.그 개념은 집합 이론에서 나온 하위 집합, 집단 이론에서 나온 하위 집단,^[1] 위상에서 나온 하위 공간과 같은 개념의 일반화다.범주가론에서는 개체의 세부 구조가 중요하지 않기 때문에, 하위 객체의 정의는 원소의 이용에 의존하기보다는 하나의 물체가 어떻게 다른 물체 안에 앉아 있는지를 설명하는 형태론에 의존한다.null

하위 객체에 대한 이중 개념은 지수 객체다.이것은 지수 집합, 지수 그룹, 지수 공간, 지수 그래프 등과 같은 개념을 일반화한다.null

정의들

세부적으로 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 일부 범주의 개체가 되도록$$ 하십시오.두 개의 단형성을 부여한다.

${\displaystyle u:S\to A\{\text{and}\ v:T\to A}$

코도메인 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$과$($와) 함께, 우리는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\equiv v}$에 의한 동등성 관계를 정의한다. $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle T}$ $[\displaystyle \phi$:$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle v}$$}$$$$with$ {\$displaystyle u=v\circle \pi$ $\}.$

마찬가지로$,$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 통해$u{\displaystyle }$ {\$displaystyle u}$인자가 v {\displaystyle v}인 경우 ${\displaystyle u}$$ph$ v ${\displaystyle \pi:$$u{\displaystyle }$= ${\displaystyle v}$$}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u=v\circle \pi$ $\}.$ 이항$$ 관계${\displaystyle }${$${\$displaystyle \equiv }$은(는) 다음에 의해$$ 정의된다.

${\displaystyle u\equiv v\iff u\leq v\[\text{and}}\ v\leq u}$

코도메인 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과$($와) 단모형에 대한 동등성 관계이며, 이 단모형들의 해당 동등성 $등급$은 A ${\displaystyle A}$의 하위 개체들이다$.$

관계 ≤은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 하위 객체의 집합에 대해 부분적인 순서를 유도한다$.$

대상의 하위 객체의 수집은 사실 적절한 등급일 수 있다. 이는 주어진 논의가 다소 느슨하다는 것을 의미한다.모든 물체의 하위 개체 집합이 집합인 경우, 범주는 잘 동력을 공급하거나, 드물게 국소적으로 작게(이것은 국소적으로 작은 용어의 다른 용어와 충돌한다, 다시 말해 두 물체 사이에 형태 집합이 있다는 것).null

지수 객체의 이중 개념을 얻으려면 위의 "단형성"을 "epimorphism"으로 대체하고 화살표를 역방향으로 한다.그러면 A의 몫 객체는 A영역을 가진 경구체의 등가 등급이 된다.null

해석

이 정의는 범주 이론 이외의 하위 객체에 대한 일반적인 이해에 해당한다.범주의 대상이 세트(집단 구조와 같이 부가적인 구조를 가진 것)로 되어 있고 형태론이 세트 기능(추가 구조를 보존하는 것)으로 되어 있을 때, 이미지의 관점에서 단형주의를 떠올린다.단형성의 동등성 등급은 클래스 내 각 단형성의 이미지에 의해 결정된다. 즉, 개체 T에 들어가는 두 개의 단형성 f와 g는 그들의 이미지가 T의 동일한 부분 집합(thus, subobject)인 경우에만 동등하다.이 경우, 동일한 T 요소에 각각 f와 g로 도메인의 해당 요소를 매핑하는 도메인 $g{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$∘ f ${\displaystyle g^{-1}\circule f}$가 있다. 이는 동등성의 정의를 설명한다.null

예

집합에서, 집합의 범주, A의 하위 객체는 A의 부분집합 B에 해당하거나, 오히려 등가불능에서 B까지 모든 맵의 집합이 정확히 B에 해당된다.집합에서 집합의 하위 객체 부분 순서는 부분 집합 격자일 뿐이다.null

그룹의 범주인 Grp에서 A의 하위 개체는 A의 하위 그룹에 해당한다.

부분적으로 순서가 정해진 등급 P = (P, ≤)로 볼 때, 우리는 P의 요소를 객체로 하여 범주를 형성할 수 있고, p에서 iffp ≤ q까지의 단일 화살표를 형성할 수 있다. P가 가장 큰 요소를 가지고 있다면, 이 가장 큰 요소의 하위 객체 부분 순서는 P 그 자체일 것이다.이는 부분적으로 그러한 범주의 모든 화살표가 단모형일 것이기 때문이다.null

터미널 객체의 하위 객체를 터미널 하위 객체라고 한다.null

참고 항목

• 하위 객체 분류기
• 부차적

메모들

참조

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, vol. 5 (2nd ed.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.