벡터(수학과 물리학)

수학과 물리학에서 벡터는 하나의 수(스칼라)로 표현할 수 없는 일부 양이나 일부 벡터 공간의 원소를 구어적으로 지칭하는 용어입니다.

역사적으로 벡터는 변위, 힘, 속도와 같이 크기와 방향을 모두 갖는 양에 대해 기하학과 물리학(일반적으로 역학)에 도입되었습니다.그러한 양은 거리, 질량, 시간이 실수로 표현되는 것과 같은 방식으로 기하학적 벡터로 표현됩니다.

벡터라는 용어는 어떤 맥락에서는 고정된 길이의 숫자들의 유한한 시퀀스인 튜플에 대해서도 사용됩니다.

기하학적 벡터와 튜플을 모두 추가하고 확장할 수 있으며, 이러한 벡터 연산은 위와 같은 종류의 벡터에 대한 연산의 주요 특성을 일반화하는 일부 공리를 충족하는 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 갖춘 집합인 벡터 공간의 개념으로 이어졌습니다.기하학적 벡터로 이루어진 벡터 공간을 유클리드 벡터 공간, 튜플로 이루어진 벡터 공간을 좌표 벡터 공간이라고 합니다.

수학에서는 확장장, 다항식환, 대수, 함수공간 등 많은 벡터공간이 고려됩니다.벡터라는 용어는 일반적으로 이러한 벡터 공간의 요소에는 사용되지 않으며, 일반적으로 기하 벡터, 튜플 및 불특정 벡터 공간의 요소(예를 들어 벡터 공간의 일반적인 속성을 논의할 때)에 대해 예약됩니다.

유클리드 기하학의 벡터

벡터공간

대수학의 벡터

필드 위의 모든 대수는 벡터 공간이지만, 대수의 요소는 일반적으로 벡터라고 하지 않습니다.그러나 주로 역사적인 이유로 벡터라고 불리는 경우도 있습니다.

• 실수부가 0인 4원수 벡터 4원수
• 벡터 공간의 외부 대수의 요소인 다중 벡터 또는 p-벡터.
• 스핀 벡터라고도 불리는 스피너는 회전 벡터의 개념을 확장하기 위해 도입되었습니다.사실, 회전 벡터는 국소적으로는 잘 회전하지만 전체적으로는 잘 표현하지 않습니다. 왜냐하면 회전 벡터의 공간에 있는 닫힌 루프는 루프가 아닌 회전 공간에 곡선을 유도할 수 있기 때문입니다.또한 회전 벡터의 다양체는 방향을 잡을 수 있는 반면 회전 다양체는 그렇지 않습니다.스피너는 일부 클리포드 대수의 벡터 부분 공간의 요소입니다.
• 비트 벡터, 이 링 위의 대수에 속하며 p-아딕 수에 대한 연산에서 캐리 전파를 처리하기 위해 도입된 교환 링의 요소의 무한한 시퀀스입니다.

벡터로 표시되는 데이터

이 부분의 사실적 정확성에 대해서는 논란의 여지가 있습니다. 관련 토론은 Talk:벡터(수학과 물리학). 논란이 되고 있는 진술이 확실하게 출처할 수 있도록 도와주시기 바랍니다.(2021년 11월) (본 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기에 대해 알아봅니다)

n개의 실수 투플의 집합$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$R$} ^{n}}$은 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈으로 정의되는 벡터 공간의 자연스러운 구조를 가지고 있습니다.벡터 공간 연산이 적용되지 않는 컨텍스트에서도 이러한 튜플을 벡터라고 부르는 것이 일반적입니다.보다 일반적으로 일부 데이터를 벡터로 자연스럽게 표현할 수 있는 경우 벡터의 덧셈 및 스칼라 곱셈이 이러한 데이터에 대한 유효한 연산이 아닌 경우에도 종종 벡터라고 합니다.^{[disputed – discuss]}여기 몇 가지 예가 있어요.

• 회전 벡터, 회전축의 방향이 회전축이고 크기가 회전각인 유클리드 벡터.
• 결정격자 내 위치 이탈의 격자 왜곡의 크기와 방향을 나타내는 벡터인 버거 벡터
• 간격 벡터, 음악 집합 이론에서, 피치 클래스 집합의 인터메탈 내용을 표현하는 배열
• 확률 벡터(통계학에서 1로 합하는 음수가 아닌 항목이 있는 벡터)입니다.
• 랜덤 벡터 또는 다변량 랜덤 변수, 통계량에서 상관 관계가 있을 수 있는 실수 값 랜덤 변수 집합입니다.그러나 랜덤 벡터는 벡터 공간에서 그 값을 취하는 랜덤 변수를 가리킬 수도 있습니다.
• 논리 벡터, 0과 1의 벡터(Booleans).

미적분학의 벡터

미적분학은 벡터의 영역에서 기초적인 수학적 도구로서 물리학과 공학을 포함한 다양한 과학 분야에서 벡터량의 분석과 조작을 위한 체계를 제공합니다.출력이 벡터인 벡터 값 함수는 미적분학을 사용하여 정밀하게 조사되어 3차원 공간 내에서 운동에 대한 필수적인 통찰력을 도출합니다.벡터 미적분학은 전통적인 미적분학 원리를 벡터 분야로 확장하여 그래디언트, 발산, 컬과 같은 연산을 도입하여 물리학과 공학의 맥락에서 응용을 찾습니다.벡터해석학에서 미적분학의 실용적인 유용성을 보여주는 것은 힘장 내의 경로를 따라 일을 계산하는 데 중요한 역할을 하는 선적분학과 플럭스와 같은 양을 계산하는 데 사용되는 표면적분학이다.3차원 영역에 걸쳐 스칼라 또는 벡터 필드를 포함하는 계산에 필수적인 볼륨 적분은 질량 분포, 전하 밀도 및 유체 유량을 이해하는 데 기여합니다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 벡터(동음이의)

구조가 더 많은 벡터 공간

• 그라데이션의 추가 구조를 포함하는 벡터 공간의 한 종류인 그라데이션 벡터 공간
• 정칙 벡터 공간, 정칙이 정의되는 벡터 공간
• 힐베르트 공간
• 순서 벡터 공간, 부분 순서를 갖는 벡터 공간
• 초벡터 공간, Z등급₂ 벡터 공간의 이름
• 심플렉틱 벡터 공간, 비퇴화, 스큐 대칭, 이선형 형태를 갖춘 벡터 공간 V
• 위상 벡터 공간, 위상 구조와 벡터 공간의 대수적 개념의 혼합

벡터장

벡터장은 일반적으로 (다양체와 같은) 차원의 정의역을 갖는 벡터 값 함수입니다.

• 보수 벡터장, 스칼라 퍼텐셜장의 구배인 벡터장
• 해밀토니안 벡터장, 임의의 에너지 함수 또는 해밀토니안에 대하여 정의된 벡터장
• 리만 다양체 위의 벡터장인 킬링 벡터장
• 솔레노이드 벡터장, 발산이 0인 벡터장
• 벡터 퍼텐셜, 컬이 주어진 벡터장인 벡터장
• 벡터장에 의해 결정되는 흐름의 밀접하게 관련된 개념들의 집합인 벡터 흐름

여러가지 종류의

• 리치 미적분학
• 벡터 미적분학에 관한 윌슨의 교과서인 벡터해석학은 1901년에 처음 출판되었는데, 3차원 선형대수학과 벡터 미적분학의 표기법과 어휘를 표준화하는 데 많은 기여를 했습니다.
• 벡터 다발, 다른 공간에 의해 매개변수화된 벡터 공간군의 개념을 정확하게 만드는 위상적 구조
• 벡터장의 미분과 적분을 다루는 수학의 한 분야인 벡터 미적분학
• $벡터$ 미분 또는 del, nabla 기호 ∇ {\$displaystyle$\nabla}로 표시되는 벡터 미분 연산자
• $벡터$ 라플라스 연산자, 벡터 라플라스 연산자, ∇ 2${\displaystyle$ \$nabla$^{2}}로 표시되는 벡터 라플라스 연산자는 벡터 필드 위에 정의된 미분 연산자입니다.
• 벡터 표기법, 벡터 작업 시 사용되는 일반적인 표기법
• 벡터 연산자, 벡터 미적분학에서 사용되는 미분 연산자의 한 종류
• 3차원 유클리드 공간에서 두 벡터에 대한 연산으로 세 번째 3차원 유클리드 벡터를 생성하는 벡터 곱, 또는 교차 곱
• 벡터 프로젝션(vector projection), 벡터 레졸루트(vector resolute) 또는 벡터 성분(vector component)이라고도 하는, 제2 벡터에 평행한 벡터를 생성하는 선형
• 벡터 값 함수, 벡터 공간을 코도메인으로 갖는 함수
• 행렬을 열 벡터로 변환하는 선형 변환인 벡터화(수학)
• 벡터 자기회귀모형(vector autoregression), 진화와 여러 시계열 간의 상호의존성을 포착하는 데 사용되는 계량경제학 모형
• 벡터 보손, 스핀양자수가 1인 보손
• 벡터 측도(vector measure), 집합의 집합에 정의되고 특정 성질을 만족하는 벡터 값을 취하는 함수
• 벡터 중간자, 총 스핀 1과 홀수 패리티를 가진 중간자
• 벡터 양자화, 신호 처리에 사용되는 양자화 기법
• 벡터 솔리톤(Vector Soliton), 전파 동안 그 모양을 유지하는 여러 성분이 결합된 단일 파동
• 오디오 합성의 한 종류인 벡터 합성
• 위상벡터

메모들

참고문헌

• Heinbockel, J. H. (2001). Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics. Trafford Publishing. ISBN 1-55369-133-4.
• Itô, Kiyosi (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.). MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4.
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Pedoe, Daniel (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 0-486-65812-0.