산술군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 산술집단은 예를 들어 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathrmat {SL} _{2}(\mathb {Z}$)과 같은 대수집단의 정수 점으로 얻은 집단을 말한다.$$ 그것들은 2차 형태와 그 밖의 고전적인 주제들의 숫자 이론의 산술적 특성에 관한 연구에서 자연스럽게 발생한다.그들은 또한 리만 다지관의 매우 흥미로운 예들을 만들어내므로 미분 기하학 및 위상학에서 관심 있는 대상들은 리만 다지관의 매우 흥미로운 예들이다.마지막으로, 이 두 주제는 현대 수 이론의 기본인 자동 형태 이론에 합류한다.null

역사

산술집단의 수학적 이론의 기원 중 하나는 대수적 수 이론이다.찰스 헤르미테, 헤르만 민코프스키 등에 의한 2차 및 에르미트 형식에 대한 고전적 감소 이론은 관련 대칭 공간에서 특정 산술 집단의 작용을 위한 기본 영역을 계산하는 것으로 볼 수 있다.^[1][2]주제는 민코프스키의 숫자의 기하학적 기하학, 그리고 판별과 같은 숫자 분야의 산술 불변성 연구의 초기 전개와 관련이 있었다.산술 집단은 숫자 필드의 단위 집단을 비확정적 설정으로 광대한 일반화라고 생각할 수 있다.null

또한 고전적인 모듈형 형태와 그 일반화의 연구가 발달함에 따라 분석적 숫자 이론에서도 동일한 그룹이 나타났다.물론 이 두 주제는 랭글랜드가 분석 방법을 사용하여 특정 기본 영역의 볼륨을 계산하는 것에서 알 수 있듯이 관련되었다.^[3]이 고전 이론은 시겔의 작품으로 절정에 달했는데, 시겔은 많은 경우에 근본적 영역의 볼륨의 미세성을 보여주었다.null

현대 이론이 기초적인 작업을 시작하기 위해서는 필요했고, 아르망 보렐, 안드레 웨일, 자크 티츠 등의 대수적 그룹에 관한 작업에 의해 제공되었다.^[4][5]얼마 지나지 않아 보렐과 하리쉬 챈드라에 의해 공동 볼륨의 정밀성이 전체적으로 증명되었다.^[6]한편, 앳 셀베르그, 그리고리 마굴리스, 데이비드 카즈단, M. S. 라후나단 등에 의한 리 집단 내 래트리스의 일반론에는 진척이 있었다.이 시기 이후의 예술 상태는 1972년에 출판된 라후나탄의 논문에서 본질적으로 고정되었다.^[7]null

70년대에 Margulis는 "대부분" 사례에서 산술구조가 주어진 Lie 그룹의 모든 격자를 설명한다는 것을 증명함으로써 주제를 혁신시켰다.^[8]이 방향의 일부 제한적인 결과는 일찍이 셀버그에 의해 얻어졌지만, 마르굴리스의 방법(동일한 공간에 대한 작용을 위한 에고다이컬 이론 도구의 사용)은 이 맥락에서 완전히 새로운 것이었으며, 이후의 전개에 매우 큰 영향을 미치게 되어, 효과적으로 숫자의 기하학적 주제를 새롭게 하고 마르굴리스가 허용하게 되었다.오펜하임의 추측을 증명하기 위해 그 자신; 더 강력한 결과 (래트너의 이론들)는 후에 마리나 라트너에 의해 얻어졌다.null

또 다른 방향에서 모듈형 형태의 고전적 주제가 현대적인 자동형식의 이론으로 꽃을 피웠다.이러한 노력의 원동력은 주로 로버트 랭랜드가 시작한 랭글랜드 프로그램이다.그곳에서 사용되는 주요 도구 중 하나는 셀버그의 작품에서^[9] 유래한 미량 공식이며 제임스 아서가 가장 일반적인 환경에서 개발한 것이다.^[10]null

마지막으로, 산술 집단은 종종 국소 대칭 리만 다양체의 흥미로운 예를 구성하는데 사용된다.특히 활발한 연구 주제는 산술적인 쌍곡선 3마니폴드였는데, 윌리엄 서스턴은 "...흔히 특별한 아름다움을 지니고 있는 것 같다"^[11]고 썼다.null

정의 및 시공

산술군

If ${\displaystyle \mathrm {G} }$ is an algebraic subgroup of ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$ for some ${\displaystyle n}$ then we can define an arithmetic subgroup of ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ as the group of integer points ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }={\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z}}$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).}$ In general it is not so obvious how to make precise sense of the notion of "integer points" of a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-group, and the subgroup defined above can change when we take different embeddings ${\displaystyle \mathrm{G}\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n}$${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathb {Q}).$

Thus a better notion is to take for definition of an arithmetic subgroup of ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ any group ${\displaystyle \Lambda }$ which is commensurable (this means that both ${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$ and ${\displaystyle \Lambda /$$(\$${\displaystyle {\mathrm{Gamma}}_{}}$ $\cap \Lambda }}$은(는) 위에 정의된$$ 그룹 $group{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$$Gamma$ $}$과$($) 함께 유한 $집합입니다($G L n ${\$\mathrm} $_${$n}).$이 정의를 사용하여 대수 그룹 $G{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$에 "구체적인" 하위 그룹의 집합이 서로$$ 동등하게 연관된다.null

숫자 필드 사용

A natural generalisation of the construction above is as follows: let ${\displaystyle F}$ be a number field with ring of integers ${\displaystyle O}$ and ${\displaystyle \mathrm {G} }$ an algebraic group over ${\displaystyle F}$. If we are given an embedding ${\displaystyle \rho :\mathrm$${G} \to \mathrm {GL} _{n}}$ defined over ${\displaystyle F}$ then the subgroup ${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$ can legitimately be called an arithmetic group.null

반면에 이렇게 얻은 집단의 등급은 위에서 정의한 산술집단의 등급보다 크지 않다.Indeed, if we consider the algebraic group ${\displaystyle \mathrm {G} '}$ over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ obtained by restricting scalars from ${\displaystyle F}$ to ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ and the ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-embedding ${\displa$$ystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$ induced by ${\displaystyle \rho }$ (where ${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$) then the group constructed above is equal to ${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$.

예

The classical example of an arithmetic group is ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$, or the closely related groups ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )}$, ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ and ${\displ$$aystyle \mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )}$. For ${\displaystyle n=2}$ the group ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, or sometimes ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, is called the modular group as it is related to the modular curve.유사한 예로는 Siegel 모듈러 그룹 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ p ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle g\mathbb{}{}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathb {Z} )}$이(가) 있다$.$

다른 공부를 널리 알려진 예를;0{\displaystyle m>0}은square-free 정수와 O− m{\displaystyle O_{-m}}분야에서 정수 Q(m−),{\displaystyle \mathbb{Q}({의 반지는 비안키 그룹 SL2(O− m),(_ᆬ(O_{-m}),}이 m을 포함한다.\sqrt${-m}),}$ 및$$ Hilbert-Blumenthal 모듈 그룹 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle O_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \matrm {SL} _{2}(O_{m})}$.

다른 고전적인 예는 숫자 필드에 대해 정의된 2차 형태의 직교 그룹에 있는 적분 요소에 의해 주어진다$.$ 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{S}}$ $O{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle \mathrm{n},1\mathbb{}}$ )${\displaystyle }$(${\displaystyle }$Z ) ${\displaystyle \matrixmatrm {SO} (n,1$) $(\mathb {Z}).$ 관련 구성은 숫자 필드보다 쿼터니온 알헤에서 단위 주문 그룹을 취하는 것이다(예: Hu).rwitz 쿼터니온 순서).유사한 구조는 은둔자 형태의 단일 그룹으로 수행될 수 있으며, 잘 알려진 예는 Picard 모듈형 그룹이다.null

Semisimplement Lie 그룹의 산술 래티

When ${\displaystyle G}$ is a Lie group one can define an arithmetic lattice in ${\displaystyle G}$ as follows: for any algebraic group ${\displaystyle \mathrm {G} }$ defined over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ such that there is a morphism ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )\to G}$ with compact kernel, the image of an arithmetic subgroup in ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ is an arithmetic lattice in ${\displaystyle G}$. Thus, for example, if ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )}$ and ${\displaystyle G}$ is a subgroup of ${\displaystyl$$e \mathrm {GL} _{n}}$ then ${\displaystyle G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ is an arithmetic lattice in ${\displaystyle G}$ (but there are many more, corresponding to other embeddings); for instance, ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ is an arithmetic lattice in${\displaystyle {}_{}S\mathbb{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathb {R}$ $)\}.$

보렐-하리쉬-찬드라 정리

Lie 그룹의 격자는 보통 유한한 부피를 가진 이산형 부분군으로 정의된다.위에서 소개한 용어는 보렐과 하리쉬찬드라에 기인하는 정리에서는 반실시된 리 그룹에서 산술적인 하위집단은 유한한 코볼륨(discentity는 명백하다)이라고 기술하고 있기 때문에 이와 일치한다.null

정리가 더 정확하다: $산술{\displaystyle }$ $격자$는 G {\$displaystyle$ G}의$$"형식$"$을 사용하여$$ 정의한 경우에만 cocompact라고 한다($즉{\displaystyle \mathbb{}}$,$$Q {\$displaystyle \mathb$ {$Q} }$ $-group$ G {\$displaystyle \mathrm${G$\}\}).$For example, the arithmetic lattice associated to a quadratic form in ${\displaystyle n}$ variables over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ will be co-compact in the associated orthogonal group if and only if the quadratic form does not vanish at any point in ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$.

마굴리스 산술성 정리

마르굴리스가 획득한 눈부신 결과는 보렐-하리쉬-찬드라 정리와의 부분적인 반향이다: 특정한 거짓말 그룹의 경우 어떤 격자도 산술적이다.이 결과는 반실행 Lie 그룹 중 2개 이상의 실제 순위를 가진 모든 수정 불가능한 격자에 적용된다.^[12][13]예를 들어, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L\mathbb{}{}_{}}$n (${\displaystyle }$R )$${\$displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathb {R}$)의 모든 $격자$는 n${\displaystyle 3}$ 3$${\$displaystyle n\geq 3}$일 때 산술적인 것이다$.$ 마르굴리스가 자신의 정리를 증명하기 위해 사용한 주요 새로운 성분은 이러한 목적을 위해 증명된 상위 그룹의 격자였다.null

Irreducibility only plays a role when ${\displaystyle G}$ has a factor of real rank one (otherwise the theorem always holds) and is not simple: it means that for any product decomposition ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ the lattice is not commensurable to a product of lattices in each of the factors ${\displaystyle G_{}}$${\displaystyle G_{i}}$. For example, the lattice ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ is irreducible, while ${\displaystyle {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})\times {\mathrm{S}\mathrm{L}}_{}}$${\displaystyle 2_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} )$는 그렇지$$ 않다.null

Margulis 산술성(및 초강성) 정리는 특정 순위 1 Lie 그룹에 대해, 즉 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geqslant$ 1$}$에 $대한{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ p ${\displaystyle (\mathrm{n}}$ ,${\displaystyle }$1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Sp}(n,1)$및$$ 예외 그룹 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle {20}_{}^{}}$ ${\$20$}$에 대해 보유한다$.$^[14][15]It is known not to hold in all groups ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ for ${\displaystyle n\geqslant 2}$ (ref to GPS) and for ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ when ${\displaystyle n=1,2,3}$. There are no known non-arithmetic lattices in the groups ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{U}(n,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle }$)$$n ${\displaystyle ⩾}$ 4 {\$displaystyle$$$n$\$$mathrm$ {$SU}($$n,$1)일 경우 $.$

산술 푸치시안 및 클라인 그룹

An arithmetic Fuchsian group is constructed from the following data: a totally real number field ${\displaystyle F}$, a quaternion algebra ${\displaystyle A}$ over ${\displaystyle F}$ and an order ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ in ${\displaystyle A}$. It is asked that for one embedding ${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb{R}}$${\displaystyle \chostma$$:$$F\to \mathbb {R} }$ the algebra ${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$ be isomorphic to the matrix algebra ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$ and for all others to the Hamilton quaternions.Then the group of units ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ is a lattice in ${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$ which is isomorphic to ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$ and it is co-compact in all cases except when ${\$$displaystyle$$$A}은$($는) Q. ${\$displaystyle $\mathb$ {$Q} .}$ S L 2 (${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$SL} _{2}(\mathb {R} )$의 모든$$ 산술 격자는 이러한 $방식$으로 얻는다$$.null

산술 클라인 그룹들은 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 정확히 하나의 복잡한 위치를 가져야 하고$$ A ${\displaystyle A}$이($가{\displaystyle }$) 모든 실제 장소에서 해밀턴 쿼터니온이어야 한다는 점을 제외하고$$ 유사하게 구성된다.이들은 ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$2 (${\displaystyle C\mathbb{}}$) .$${\$displaystyle \mathrmat {SL} _{2}(\mathb {C}$ )의 모든 산술적 동등성 클래스를 소진한다.

분류

For every semisimple Lie group ${\displaystyle G}$ it is in theory possible to classify (up to commensurability) all arithmetic lattices in ${\displaystyle G}$, in a manner similar to the cases ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ expl상부의이는 실제 포인트가 이형인 대수집단을 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$까지 분류하는 것이다$.$^[16]

일치 부분군 문제

합치 부분군은 특정 방정식을 만족하는 모든 행렬을 정수로 취함으로써 정의된 산술 그룹의 하위그룹이다. 예를 들어 대각선(의존적으로 대각선 이탈) 계수가 1(의존적으로 0) 모듈로 일치하는 2 X 2 정수 행렬의 집단을 양수로 취한다.이러한 부분군은 항상 유한 지수 부분군이며 합치 부분군 문제는 모든 부분군이 이러한 방식으로 획득되는지 여부를 대략 묻는다.(보통 장-피에르 세레에 기인한다)라는 추측은 이것이 상위 집단의 (불가역) 산술 격자에 대한 사실이고 1위 집단은 거짓이라는 것이다.그것은 여전히 이러한 일반성에 열려있지만 (긍정적인 경우와 부정적인 경우 모두) 특정 격자를 위해 그것을 확립하는 많은 결과가 있다.null

S-산술군

산술 격자의 정의에서 적분점을 취하는 대신 한정된 소수점으로부터 적분만을 취할 수 있다.이는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -산술$$ 격자(여기서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은 premimes 반전 집합을 의미한다$$)의 개념으로 이어진다.원형 예로는 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ L ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ( Z${\displaystyle {}_{}}$[${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$ ${\displaystyle ]}$ ) ${\$mathb {Z} $\left[{\tfrac {1}{p}\right]\right)}$이 있다$.$They are also naturally lattices in certain topological groups, for example ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$ is a lattice in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL}$$_{2}(\mathb {Q} _{p}).$$}$

정의

The formal definition of an ${\displaystyle S}$-arithmetic group for ${\displaystyle S}$ a finite set of prime numbers is the same as for arithmetic groups with ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ replaced by ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\$$mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{{N}\right]\right)}$ $여기$서 N$${\$displaystyle N$}은$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 프리임의 산물이다$.$

로컬 필드 위에 있는 Lie 그룹의 격자

The Borel–Harish-Chandra theorem generalizes to ${\displaystyle S}$-arithmetic groups as follows: if ${\displaystyle \Gamma }$ is an ${\displaystyle S}$-arithmetic group in a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-algebraic group ${\displaystyle \mathrm {G} }$ then ${\displaystyle \Gamma }$ is a lattice in 로컬 컴팩트 그룹

${\displaystyle G}$= G (${\displaystyle R\mathrm{}}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{}\mathrm{}}$ G${\displaystyle }$( Q ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathb {R} )\time \prod _{p\in$ S$}\mathrm {G} (\mathb {Q} _{p$

일부 응용 프로그램

명시적 확장자 그래프

Kazhdan의 속성(T) 또는 약한 속성(Lubotzky와 Zimmer의 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$)을 가진 산술집단은 확장 그래프(Margulis) 또는 심지어 Ramanujan 그래프(Lubotzky—Philips—Sarnak^[17][18])를 구성하는 데 사용될 수 있다.그러한 그래프는 확률론적 결과에 의해 풍부하게 존재하는 것으로 알려져 있지만, 이러한 구성의 명시적인 성질은 그것들을 흥미롭게 만든다.null

극한 표면 및 그래프

산술 표면의 응집성 커버는 주입도 반경이 큰 표면을 발생시키는 것으로 알려져 있다.^[19]Lubotzky-Philips-Sarnak가 만든 Ramanujan 그래프와 마찬가지로 둘레가 크다.사실 라마누잔 속성 자체가 그래프의 국부 둘레가 거의 항상 크다는 것을 암시하는 것으로 알려져 있다.^[20]null

이소스펙트럼 다지관

산술집단은 등심다지관을 건설하는 데 사용될 수 있다.이것은 마리-프랑스 비그네라스에^[21] 의해 처음 실현되었고 그녀의 건축에 대한 수많은 변주들이 그 이후로 나타났다.등가성 문제는 사실 산술 다지관의 제한된 설정에서 연구하기에 특히 용이하다.^[22]null

가짜 투영 평면

가짜 투영 평면은^[23] 투영 평면 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2\mathbb{}{}^{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb {P} ^{2}(\mathb {C})}$과(와) 동일한 베티 번호를 가지지만$$ 그것과 같은 생체모형은 아닌 복잡한 표면이다. 첫 번째 예는 Mumford에 의해 발견되었다.클링글러(Yeung에 의해서도 독립적으로 증명됨)의 작업으로, $이러한{\displaystyle \mathrm{}}$ 모든 것은 P ${\displaystyle \mathrm{U}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 1}$)${\디스플레이스타일 \mathrmat {PU}(2,1$)의 산술 격자에 의한 2볼의 인용이다$.$ 가능한 격자는 프라사드(Prasad)와 Yeung($Yeung$)에 의해 분류되었고, 실제로 일치하는 것을 확인한 Cartwright와 Steger에 의해 분류가 완료되었다.가짜 투사 비행기null

참조