보완 격자
Complemented lattice
순서 이론의 수학적 훈련에서, 보완 격자는 경계 격자(최소 원소 0과 최대 원소 1)로, 여기서 모든 원소 a는 ∨ b = 1과 ∧ b = 0을 만족하는 원소 b를 가지고 있다. 보완이 고유할 필요는 없다.
상대적으로 보완된 격자는 격자로, 모든 간격[c, d]이 그 자체로 경계 격자로 볼 때, 보완 격자일 수 있다.
보완 격자 위의 직교합성은 순서반복이며 각 요소를 보완에 매핑하는 비자발적이다. 모듈법의 약한 형태를 만족하는 정형화된 격자를 정형 격자라 한다.
분배 선반에서, 보완은 독특하다. 모든 보완된 분배 격자는 독특한 직교합성을 가지고 있으며, 사실 부울 대수학이다.
정의 및 기본 속성
보완 격자는 경계 격자(최소 원소 0과 최대 원소 1)로, 모든 원소 a에는 다음과 같은 보완 요소가 있다.
- a ∨ b = 1과 ∧ b = 0
일반적으로 한 요소에 둘 이상의 보수가 있을 수 있다. 그러나 (경계된) 분배 격자에서 모든 요소는 최대 하나의 보완물을 가질 것이다.[1] 모든 원소가 정확히 하나의 보어를 갖는 격자를 고유하게 보완된 격자라[2] 한다.
매 간격(하위 격자로 보기)이 보완되는 특성을 가진 격자를 상대적으로 보완된 격자라 한다. 즉, 상대적으로 보완된 격자는 모든 원소에 대해 일정한 간격[c, d]에 다음과 같은 원소 b가 있는 속성으로 특징지어진다.
- a ∨ b = d와 ∧ b = c.
그러한 원소 b를 구간에 상대적인 원소의 보충이라고 한다.
분배 격자는 그것이 경계되고 상대적으로 보완되는 경우에만 보완된다.[3][4] 벡터 공간의 서브스페이스 격자는 일반적으로 분배되지 않는 보완 격자의 예를 제공한다.
직교완화
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경계 격자 위의 직교합성은 다음 공리가 충족되도록 각 원소 a를 "정교" a에⊥ 매핑하는 함수다.[5]
- 법보완화
- a⊥⊥ ∨ a = 1과 ∧ a = 0
- 비자발법
- a⊥⊥ = a
- 주문 역주문
- 만약 ≤ b가 있다면⊥, b a⊥ a.
직교합성 격자 또는 직교합은 직교합성을 갖춘 경계 격자이다. 내부 제품 공간의 서브스페이스 격자와 직교보완 작업은 일반적으로 분포적이지 않은 직교보완 격자의 예를 들어,[6]
- 일부 보완된 선반
펜타곤 격자 N에서5 우측의 노드는 2개의 보완재가 있다.
다이아몬드 격자 M은3 정형화되지 않았다.
격자 M은4 3번의 정직을 인정한다.
육각 격자는 독특한 직교합성을 인정하지만, 독특하게 보완되지는 않는다.
부울 알헤브라는 직교성 래티스의 특수한 경우로, 이는 다시 보완된 래티(구조 추가)의 특수한 경우다. 직교도는 분리 가능한 힐버트 공간의 닫힌 하위공간이 양자 명제를 나타내며 직교성 격자 역할을 하는 양자 논리에 가장 많이 사용된다.
부울 알헤브라와 같은 직교성 래티들은 드 모건의 법칙을 충족시킨다.
- (a ∨ b⊥)⊥ = ∧ b⊥
- (a ∧ b)⊥ = ∨ b⊥⊥.
직교 격자
격자는 모든 요소 a, b, c에 대해 함축성을 갖는다면 모듈러라고 불린다.
- 만약 ≤ c이면, ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c
holds. 이것은 분배성보다 약하다. 예를 들어, 위의 격자 M은3 모듈형이지만 분배성은 아니다.
양자논리의 적용에 필요한 직교완화 래치에 대한 이 조건의 자연적인 추가 약화는 특별한 경우 b = a에만⊥ 그것을 요구하는 것이다. 따라서 직교 격자는 두 가지 요소에 대해 함축된 직교 격자로 정의된다.
- 만약 ≤ c이면, 그 다음 ∨ (a⊥ c) = c
쥔다
이러한 형태의 격자는 양자역학의 힐버트 공간 제형의 공리화의 일부이기 때문에 양자 논리 연구에 매우 중요하다. 개럿 비르코프와 존 폰 노이만은 양자 논리의 명제 미적분이 부울 래티스의 역할과 또는 또는 그렇지 않은 역할에 해당하는 세트 제품, 선형 합계 및 직교 보완에 관한 [힐버트 공간의 선형 서브 스페이스]의 미적분과 "형식적으로 구별할 수 없다"고 관찰했다. 이 말은 정형 격자를 형성하는 힐버트 공간의 닫힌 서브 스페이스에 대한 관심을 불러일으켰다.[7]
참고 항목
메모들
- ^ 그래처(1971년), 레마 I.6.1, 페이지 47. 러더포드(1965), 정리 9.3 페이지 25.
- ^ Stern, Manfred (1999), Semimodular Lattices: Theory and Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, p. 29, ISBN 9780521461054.
- ^ 그래처(1971), 레마 I.6.2, 페이지 48. 이 결과는 일반적으로 모듈형 격자에 더 많이 적용된다(연습 4, 페이지 50 참조).
- ^ 비르호프(1961), 코롤라리 IX.1, 페이지 134
- ^ 스턴(1999), 페이지 11.
- ^ 비사과적 수학자: 직교 보완 및 보조공간의 격자.
- ^ Ranganathan Padmanabhan; Sergiu Rudeanu (2008). Axioms for lattices and boolean algebras. World Scientific. p. 128. ISBN 978-981-283-454-6.
참조
- Birkhoff, Garrett (1961). Lattice Theory. American Mathematical Society.
- Grätzer, George (1971). Lattice Theory: First Concepts and Distributive Lattices. W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0442-3.
- Grätzer, George (1978). General Lattice Theory. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
- Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introduction to Lattice Theory. Oliver and Boyd.
외부 링크
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