유한 단순 그룹 목록

수학에서, 유한 단순 그룹의 분류는 모든 유한 단순 그룹이 순환적, 교대적, 또는 리 유형의 16개의 그룹 중 하나 또는 26개의 산발적 그룹 중 하나임을 나타낸다.

아래 목록은 모든 유한 단순 그룹과 그 순서, 슈어 승수의 크기, 외부 자기 동형 그룹의 크기, 보통 몇 가지 작은 표현 및 모든 중복 목록을 제공합니다.

요약

다음 표는 유한 단순 그룹 18개 군과 산발적 단순 그룹 26개의 전체 목록과 그 순서를 보여줍니다.각 패밀리의 단순하지 않은 구성원과 패밀리 내 또는 패밀리 간에 중복된 구성원이 나열됩니다.(중복 제거 시 그룹 A₈ = A₃ (2) 및₂ A(4)의 차수가 모두 20160이고 그룹_n B(q)가 홀수, n > 2의 차수가 C(q)와_n 같다는 점을 제외하고, 두 개의 유한 단순 그룹이 동일한 순서를 가지지 않는다는 점에 유의하십시오.후자의 그룹 쌍 중 가장 작은 것은 B₃(3)와₃ C(3)로, 둘 다 4585351680의 차수를 가지고 있습니다).

교대 그룹_n A와 Lie 유형_n A(q) 그룹 사이에 유감스러운 경합이 있습니다.일부 작성자는 A에 대해_n 다양한 글꼴을 사용하여 구별합니다.특히 이 기사에서는 교대 그룹_n A를 로마자 글꼴로 설정하고 Li-type_n 그룹 A(q)를 이탤릭체로 설정하여 구분한다.

여기서 n은 양의 정수, q는 소수 p의 양의 거듭제곱으로 제한사항이 기재되어 있습니다.표기법(a, b)은 정수 a와 b의 최대 공약수를 나타냅니다.

학급	가족	주문	제외 사항	중복
순환군	Zp	p	없음.	없음.
교대 그룹	An. n > 4	$displaystyle(디스플레이 스타일!}{2}}}$	없음.	A5 a1 A ( 4 ) a1 A ( 5 ) A6 a A1(9) A83 † A (2)
체벌리 군	An(q)	$({displaystyle {frac {q^{\frac {1}{n(n+1)}}}{{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)})$	A1(2), A1(3)	A1(4) a1 A(5) a5 A A1(7) a2 A(2) A1(9) a6 A A3(2) a8 A
	Bn(q) n > 1	$({displaystyle {frac {q^{n^{2}}{(2,q-1)}}}\class_{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)})$	B2(2)	Bnm(2) cn C(2m) B22(3) a3 A(2)
	Cn(q) n > 2	$({displaystyle {frac {q^{n^{2}}{(2,q-1)}}}\class_{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)})$	없음.	Cnm(2) bn B(2m)
	Dn(q) n > 3	${\displaystyle {frac {q^{n(1)(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\clos_{i=1}{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	없음.	없음.
예외적인 체벌리 그룹	E6(q)	${{displaystyle {q^{36)}{(3,q-1)}}}\clot_{i\in\{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	없음.	없음.
	E7(q)	$({displaystyle {q^{63)}{(2,q-1)}}}\param_{i\in\{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)})$	없음.	없음.
	E8(q)	$({displaystyle q^{120}\param_{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)}$	없음.	없음.
	F4(q)	$({displaystyle q^{24}\param_{i\in\{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)})$	없음.	없음.
	G2(q)	$({displaystyle q^{6}\filters_{i\in\{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)})$	G2(2)	없음.
고전 스타인버그 군	2An(q2) n > 1	${\displaystyle {frac {q^{\frac {1}{n(n+1)}}{{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right}$	2A2(22)	2A32(2) b2 B(3)
	2Dn(q2) n > 3	$({displaystyle {q^{n(1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\displaystyle_{i}{n-1}\left(q^{2i}-1\right)})$	없음.	없음.
예외적인 스타인버그 그룹	2E6(q2)	$({displaystyle {q^{36)}{(3,q+1)}}}}\in \{2,5,6,8,9,12\}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)})$	없음.	없음.
	3D4(q3)	$({displaystyle q^{12}\left(q^{8}+q^{1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)})$	없음.	없음.
스즈키 그룹	2B2(q) q = 22n+1 n 1 1	${\displaystyle q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)}$	없음.	없음.
리 그룹 + 가슴 그룹	2F4(q) q = 22n+1 n 1 1	${\displaystyle q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	없음.	없음.
	2F4(2)★	2124(26 + 1)(2 - 1)(2 + 1)/23 = 17971200
	2G2(q) q = 32n+1 n 1 1	${\displaystyle q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	없음.	없음.
마티외 군	M11	7920
	M12	95040
	M22	443520
	M23	10200960
	M24	244823040
얀코족	J1.	175560
	J2.	604800
	J3.	50232960
	J4.	86775571046077562880
콘웨이 그룹	회사3	495766656000
	회사2	42305421312000
	회사1	415776806543360000
피셔 그룹	Fi22	64561751654400
	Fi23	4089470473293004800
	Fi fi24	1255205709190661721292800
히그만-심스 군	HS	44352000
맥러플린 그룹	맥클	898128000
홀드 그룹	그	4030387200
루드발리스 군	루	145926144000
스즈키 산발군	수지	448345497600
오난족	O'N	460815505920
하라다노톤 군	HN	2730912000000
라이온스 그룹	리	51765179004000000
톰슨 군	Th(Th)	907459438872000
베이비 몬스터 그룹	B	41547814812264261911775805440000
몬스터 그룹	M	8080174247945128758864599049617107570057543680000000

주기군, Z_p

심플성:소수 p에 대해서는 간단하다.

주문: p

슈어 승수:사소하다.

외부 자기동형 그룹:순서 p - 1의 주기입니다.

기타 이름: Z/pZ, C_p

비고:이들은 완벽하지 않은 유일한 단순한 그룹이다.

교대_n 그룹 A, n > 4

심플성:n < 5에 대해 해결 가능, 그렇지 않으면 단순합니다.

순서: n > 1일 경우 n!/2.

슈어 승수: n = 5 또는 n > 7, n = 6 또는 7의 경우 6. 교대 및 대칭 그룹의 그룹 포함을 참조하십시오.

외부 자기동형 그룹:일반적으로 2.예외: n = 1, n = 2의 경우 사소하고, n = 6의 경우 4차(직수 아벨리안)를 갖는다.

기타_n 이름: Alt.

동형사상₁: A와 A는₂ 사소하다.A는₃ 3차 순환이다.A는₄₁ A(3)와 동형이다.A는₅ A(4) 및 A(5)와₁₁ 동형이다.A는₆ A(9) 및 유도기₂ B(2)θ와₁ 동형이며, A는₈ A(2)와₃ 동형이다.

비고:n > 1일 때 n개의 점으로 구성된 대칭 그룹의 지수 2 부분군입니다.

거짓말 유형 그룹

표기법: n은 양의 정수, q > 1은 소수 p의 거듭제곱이며, 기초가 되는 유한 필드의 순서입니다.외부 자기동형군의 순서는 dffgg로 표기되며, 여기서 d는 "대각 자기동형"군의 순서, f는 "장 자기동형"군의 순서(프로베니우스 자기동형에 의해 생성됨), g는 "그래프 자기동형"군의 순서(다이닌 다이어그램의 자기동형으로부터 파생됨)이다.외부 자기동형성 그룹은 종종 $반다이렉트{\displaystyle }$ 곱 D${\displaystyle }$${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$F × ${\displaystyle G}$) \ $displaystyle$D \$rtimes ( F$ \ $times$ G )$$(Displaystyle$$$$D , F${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$ ) ($Displaystyle$ D , $F$ ,$G)$ (Displaystyle D , F , G )의 모든 그룹이 각 ${\displaystyle {순서}_{}}$ d${\displaystyle ,}$ F, G ($Displaystyle{\displaystyle {}_{}}$ G )와 항상 동일하지는 않습니다$.$홀수. 여기서 $순서{\displaystyle }$ d ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ d$=4)$의 그룹은 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$× ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 2$(\$ C_${2})$이며$,$ (n ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ n$=4$인 $경우$에만) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 3$(\$ G$=S_{3$의 대칭 그룹입니다.표기법(a, b)은 정수 a와 b의 최대 공약수를 나타냅니다.

체벌리 그룹, A_n(q), B_n(q) n> 1, C_n(q) n> 2, D(q_n) n> 3

	체벌리 군, An(q) 선형 그룹	체벌리 그룹, Bn(q) n > 1 직교군	체벌리n 그룹, C(q) n > 2 심플렉틱 그룹	체벌리 그룹, Dn(q) n > 3 직교군
심플함	A1(2)와1 A(3)는 해결 가능하며, 나머지는 단순합니다.	B2(2)는 단순하지 않지만 파생된2 그룹 B(2) is는 지수 2의 단순한 부분군이며, 나머지는 단순하다.	모두 심플	모두 심플
주문	$({displaystyle {frac {q^{\frac {1}{n(n+1)}}}{{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)})$	$({displaystyle {frac {q^{n^{2}}{(2,q-1)}}}\class_{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)})$	$({displaystyle {frac {q^{n^{2}}{(2,q-1)}}}\class_{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)})$	${\displaystyle {frac {q^{n(1)(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\clos_{i=1}{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$
슈어 승수	단순 그룹의 경우 A(4)(2차수), A1(6차수), A2(2차수), A2(4)(48차수, 3, 4, 4차수), A3(2차수)를 제외한1 순서(n+1,q-1)의 순환이다.	(2,q-1) 단2, B(2) = S6(B2(2)의 경우 2차, B(2)의 경우2 6차, B3(2)의 경우 6차, B(2)의 경우 2차, B3(3)의 경우 6차.	(2,q-1)(C(2)(차수)를3 제외한다.	순서는 D(2)(차수 4, 초등 아벨리안)를 제외하고4 (4,q-1n)(n 홀수의 경우 순환, n 짝수의 경우 초등 아벨리안)입니다.
외부 자기동형군	(2,q-1)n = 1의 경우 fµ1;n > 1의 경우 (n+1,q-1)n > 1의 경우 fµ2 (q = pf)	(2,q-1)q 홀수일 경우 또는 n > 2일 경우, (2,q-1)q 짝수일 경우, n = 2일 경우, 여기서 qf = p	(2,q-1)sqfpg1 (q = pf)	n = 4, 2n > 4의 경우 (2,q-1)2ffδS, n > 4의 경우 (4,q-1n)ffδ2이다3. 여기서 q = pf, S는3 3점에서의 순서 3!의 대칭군이다.
기타 이름	투영 특수 선형 그룹, PSLn+1(q), Ln+1(q), PSL(n + 1,q)	O2n+1(q), O2n+1(q)(q 홀수일 경우).	투영 심플렉틱 그룹, PSp2n(q), PSpn(q)(권장되지 않음), S2n(q), 아벨리아 그룹(고대).	O2n+(q), PΩ2n+(q)"Hypoabelian group"은 특성 2에서 이 그룹의 옛 이름입니다.
동형사상	A1(2)는 순서 6의 3점에서 대칭군과 동형이며, A1(3)는 교대군4 A(용해 가능)와 동형이다.A1(4)와1 A(5)는 모두 교대군5 A(7)와2 동형이며, A1(2)는 동형이다.A1(8)는 유도기2 G(3)′, A1(9)는6 A 및 유도기2 B(2)′, A(2)는3 A와8 동형이다.	Bn(2m)는 C(2)와nm2 동형이며, B(2)는 6점에서 대칭기와 동형이며, 유도기 B2(2) is는 A(9)와1 동형이며, A. B2(3)는6 A(2)와32 동형이다.	Cn(2)는m B(2)와nm 동형이다.
언급	이러한 그룹은 행렬식 1의 요소(특수 선형 그룹n+1 SL(q)를 제공)를 취한 다음 중심에서 지수를 구함으로써 일반 선형 그룹n+1 GL(q)에서 구한다.	이것은 결정식 및 스피너 노름 맵의 커널을 취함으로써 차원 2n + 1의 직교 군으로부터 얻은 군이다.B1(q)도 존재하지만 A(q)와1 같습니다2. q가 2의 거듭제곱일 때 B(q)는 중요하지 않은 그래프 자기동형을 가집니다.	이 그룹은 2n차원의 심플렉틱 군에서 중앙을 지수화하여 구한다.C1(q)도 존재하지만 A(q)와1 같다.C2(q)도 존재하지만 B(q)와2 같다.	이것은 결정식(또는 특성 2의 딕슨 불변)의 커널과 스피너 노름 맵을 취한 후 중심을 죽임으로써 차원 2n의 분할 직교 군에서 얻은 군이다.D형4 그룹은 3차성 자기동형을 포함하는 차수 6의 비정상적으로 큰 다이어그램 자기동형 그룹을 가지고 있습니다.D2(q)도 존재하지만 A(q)×A1(q)와1 동일하며3 D(q)도 존재하지만 A(q)와3 같다.

체벌리 그룹, E₆(q), E₇(q), E₈(q), F₄(q), G₂(q)

	체벌리 군, E6(q)	체벌리 군, E7(q)	체벌리 군, E8(q)	체벌리 군, F4(q)	체벌리 군, G2(q)
심플함	모두 심플	모두 심플	모두 심플	모두 심플	G2(2)는 단순하지 않지만 파생 그룹2 G(2) is는 지수 2의 단순한 부분군이며, 나머지는 단순하다.
주문	q36(q-112)(q-198)(q-16)(q-15)(q-1)(q-12)(q-1)/(3,q-1)	q63(q-118)(q-11412)(q-110)(q-18)(q-16)(q-1)(q-12)(q-1)/(2,q-1)	q120(q-130)(q-12420)(q-118)(q-1)(q-114)(q-112)(q-18)(q-1)(q-12)	q24(q12−1)(q8−1)(q6−1)(q2−1)	q6(q6−1)(q2−1)
슈어 승수	(3,q−1)	(2,q−1)	사소하다	F(2)를 제외한4 일반(2차)	G(3)(차수2 3) 및 G(4)(차수 2)를2 제외한 단순 그룹의 경우 일반입니다.
외부 자기동형군	(3,q-1)sqfpg2 (q = pf)	(2,q-1)sqfpg1 (q = pf)	1gcfg1 (q = pf)	q 홀수일 경우 1 q f 、 q 짝수일 경우 1 q = pf	q의 경우 1 q의 경우 3, q의 경우 1 q의 경우 3의 경우 1 q = pf
기타 이름	예외적인 체벌리 군	예외적인 체벌리 군	예외적인 체벌리 군	예외적인 체벌리 군	예외적인 체벌리 군
동형사상					유도군2 G(2)θ는 A(3)와22 동형이다.
언급	치수 27의 두 가지 표현을 가지며 치수 78의 Lie 대수에 작용합니다.	치수 56의 표현을 가지며, 치수 133의 대응하는 Lie 대수에 작용한다.	그것은 차원 248의 대응하는 Lie 대수에 작용한다. E8(3)는 톰슨 단순군을 포함한다.	이 그룹들은 27차원의 예외적인 조던 대수에 작용하여 26차원의 표현을 제공한다.이들은 또한 52차원의 대응하는 리 대수에 작용한다. F4(q)는 q가 2의 거듭제곱일 때 비사소한 그래프 자기동형을 갖는다.	이 그룹들은 7차원 표현을 제공하는 유한장에 대한 8차원 케일리 대수의 자기동형군이다.이들은 또한 차원 14의 대응하는 리 대수에 작용한다. G2(q)는 q가 3의 거듭제곱일 때 비사소한 그래프 자기동형을 갖는다.게다가 그것들은 분할 케일리 일반화 육각형이라고 불리는 특정 점선 기하학의 자기동형성 그룹으로 나타납니다.

Steinberg 그룹, A_n(q²) n > 1, D_n(q²) n > 3, E₆(q²), D₄(q³)

	Steinberg 그룹, An(q2) n > 1 단일 그룹	Steinberg 그룹, Dn(q2) n > 3 직교군	스타인버그 군, E6(q2)	스타인버그 군, D4(q3)
심플함	2A2(2)는2 해결 가능하며, 나머지는 단순합니다.	모두 심플	모두 심플	모두 심플
주문	${{displaystyle {1 \over (n+1,q+1)}q^{\frac {1}{2}{n(n+1)}\flac_{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	${{displaystyle {1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\display_{i=1}{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	q36(q-112)(q9+1)(q-18)(q-16)(q52+1)/(3,q+1)	q12(q8+q4+1)(q6−1)(q2−1)
슈어 승수	A(22)(차수), A(3)(차수2 36, 3, 4의 주기적 그룹의 곱), A(2)(차수 12, 2, 3의 주기적 그룹의 곱)를3352 제외한 단순 그룹의 주기적 순서(n+1,q+1)	순서 주기(4,qn+1)	(3,q+1) 단6, E(22, 차수 12, 차수 2,3, 순환 그룹의 곱)는 제외한다.	사소하다
외부 자기동형군	(n+1,q+1) scsf 11 ( q2 = pf )	(4,qn+1)sqfpg1 (q2 = pf)	(3,q+1)sqfpg1 (q2 = pf)	1gcfg1 (q3 = pf)
기타 이름	트위스트 체벌리 그룹, 투영 특수 유니터리 그룹, PSUn+1(q), PSU(n + 1, q), Un+1(q), An(q), An(q2, q)	2Dn(q), O2n−(q), P'(q2n−), 트위스트 쉐발리 그룹."Hypoabelian group"은 특성 2에서 이 그룹의 옛 이름입니다.	2E6(q), 트위스트 셰벌리 군	3D4(q), D42(q3), 트위스트 체벌리 그룹
동형사상	분해2 가능한 군 A(22)는 차수 9의 초등 아벨 군 A(32)에 의한 차수 8 사분위기의 확장과 동형이다. A2(22)는 파생된2 군 G(2) the와 동형이다. A3(3)는 B(3)와2 동형이다.
언급	이것은 결정식 1의 요소의 부분군을 취하여 중심에 의해 몫화함으로써 n + 1 차원의 단일 군으로부터 얻어진다.	이것은 결정식의 커널(또는 특성 2의 딕슨 불변)과 스피너 노름 맵을 취하여 중심을 죽임으로써 차원 2n의 비분할 직교 군에서 얻은 군이다.2D2(q2)도 존재하지만 A(q2)와1 같다.D3(q2)도 존재하지만 A(q2)와3 같다.	E(22)의6 예외적인 이중커버 중 하나는 아기괴물군의 서브그룹이며, 순서 4의 소아벨군에 의한 예외적인 중심확장은 괴물군의 서브그룹이다.	3D4(23)는 근이 없는 행렬식 3의 독특한 짝수 26차원 격자에 작용한다.

스즈키 그룹, B₂²ⁿ⁺¹(2)

심플성:n 1 1에 대해서는 간단하다.그룹₂ B(2)는 해결 가능합니다.

순서²: q (q² + 1) (q - 1) 여기서 q²ⁿ⁺¹ = 2입니다.

슈어 승수:n 1 1, B(8)의₂ 차수 4의 기본 아벨리안인 경우 사소한 값입니다.

외부 자기동형 그룹:

1 f f 1 1 、

여기서 f = 2n + 1입니다.

다른 이름: Suz(2²ⁿ⁺¹), Sz(2²ⁿ⁺¹)

동형사상₂: B(2)는 프로베니우스 차수 20의 군이다.

비고: 스즈키 그룹은 크기²ⁿ⁺¹(²2)+1의 집합으로 작용하는 자센하우스 그룹으로, 2개의 요소로²ⁿ⁺¹ 4차원적인 표현을 하고 있다.순서는 3으로 나누어지지 않는 유일한 비순환 단순 그룹입니다.그들은 산발적인 스즈키 그룹과는 관련이 없다.

리²ⁿ⁺¹ 그룹 및 TITS 그룹, F₄(2)

심플성:n 1 1에 대해서는 간단하다.도출된₄ 군 F(2) is는 F(2)의₄ 지수 2의 단순한 군으로 벨기에 수학자 Jacques Tits의 이름을 따서 Tits 군이라고 불린다.

순서¹²: q (q⁶ + 1) (q⁴³ - 1) (q + 1) (q - 1) (q - 1) 여기서 q²ⁿ⁺¹ = 2입니다.

TITS 그룹의 순서는 17971200 = 2¹¹ 3³ 3 5² 5 13 13입니다.

슈어 승수:n 1 1 및 Tits 그룹의 경우 Trivial입니다.

외부 자기동형 그룹:

1 f f 1 1 、

여기서 f = 2n + 1. 가슴 그룹에 대한 순서 2.

비고:다른 단순한 Lie 타입의 그룹과 달리, Tits 그룹은 BN 쌍을 가지고 있지 않지만, 그 자기동형 그룹은 가지고 있기 때문에 대부분의 저자들은 그것을 일종의 Lie 타입의 명예 그룹으로 간주한다.

리²ⁿ⁺¹ 그룹, G₂(3)

심플성:n 1 1에 대해서는 간단하다.그룹₂ G(3)는 단순하지 않지만 파생 그룹₂ G(3)θ는 지수 3의 단순 부분군이다.

순서³: q (q³ + 1) (q - 1) 여기서 q = 3²ⁿ⁺¹

슈어 승수:n '1' 및 G(3)'의₂ 경우 Trivial.

외부 자기동형 그룹:

1 f f 1 1 、

여기서 f = 2n + 1입니다.

기타 이름: Ree(3²ⁿ⁺¹), R(3), E²ⁿ⁺¹₂^∗2n+1(3)

동형:유도군₂ G(3)θ는 A(8)와₁ 동형이다.

비고: G₂(3²ⁿ⁺¹)는 3+1 포인트에 이중^3(2n+1) 전이 치환 표현을 가지며, 3개의 요소가²ⁿ⁺¹ 있는 필드 위의 7차원 벡터 공간에 작용한다.

산발적인 그룹

마티외 그룹, M₁₁, M₁₂₂₂, M, M₂₃, M, M₂₄

	마티외 군, M11	마티외 군, M12	마티외 군, M22	마티외 군, M23	마티외 군, M24
주문	242 ⋅ 3 ⋅5 ⋅ 11 = 7920	263 ⋅ 3 ⋅5 ⋅ 11 = 95040	27 ⋅32 ⋅5 ⋅7 ⋅ 11 = 443520	27 ⋅32 ⋅5 ⋅7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2103 ⋅ 3 ⋅5 ⋅7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
슈어 승수	사소하다	주문 2	주문[a] 주기 12	사소하다	사소하다
외부 자기동형군	사소하다	주문 2	주문 2	사소하다	사소하다
언급	11개의 포인트에 4개의 전이 치환 그룹이 있으며, M의12 점 안정제입니다(5개의 전이12 12개의 점 치환율은 M의 점 안정제입니다.그룹11 M도 M에 포함됩니다23.4 전이 11점 순열 표현에서 점을 고정하는 M의11 부분군을 M이라고 부르기도10 하며, 지수 2의 부분군을 교대군6 A와 동형상으로 한다.	M에 포함된24 12개의 점에 대한 5가지 전이 치환 그룹입니다.	22개 점의 3 전이 치환 그룹으로, M의23 점 안정제(4 전이 23점23 치환 표현)입니다.3 추이 22점 순열 표현에서 점을 고정하는 M의22 부분군은 때때로 M이라고21 불리며 PSL(3,4)과 동형이다(즉, A(4)와2 동일).	23개의 포인트에 4개의 전이 치환 그룹으로, M의24 점 안정제입니다(5개의 전이 24개의 점24 치환 표현에서).	24개의 점에 대한 5가지 전이 순열 그룹입니다.

얀코 그룹, J₁, J₂, J₃, J, J₄

	잔코 그룹, J1	잔코 그룹, J2	잔코 그룹, J3	잔코 그룹, J4
주문	23 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ⋅ 11 19 19 = 175560	27 ⋅33 ⋅52 ⋅7 = 604800	275 ⋅3 ⋅5 ⋅17 ⋅ 19 = 50232960	2213 ⋅ 3 、 5 、 7 、 113 、 23 、 29 、 31 、 37 、 43 = 867571046077562880
슈어 승수	사소하다	주문 2	주문 3	사소하다
외부 자기동형군	사소하다	주문 2	주문 2	사소하다
기타 이름	J(1), J(11)	HJ 홀잔코 그룹	히그만-잔코-맥케이 그룹, HJM
언급	G(11)의2 부분군이기 때문에 11개의 원소가 있는 필드를 7차원 표현한다.	J의2 자기동형군 J2:2는 홀-잔코 그래프라고 불리는 100개의 점에 대한 순위 3 그래프의 자기동형군이다.그것은 또한 팔각형 근방의 홀잔코라고 불리는 정팔각형 근방의 자기동형군이다.그룹2 J는 G(4)에2 포함된다.	J는3 다른 산발적인 그룹(또는 다른 그룹)과는 관련이 없는 것으로 보입니다.트리플 커버는 4개의 요소로 필드 위에 9차원의 유니터리 표현으로 되어 있습니다.	2개의 요소로 필드를 112차원 표현합니다.

콘웨이 그룹, 주식회사₁₂, 주식회사₃

	콘웨이1 그룹	콘웨이2 그룹	콘웨이3 그룹
주문	2219 ⋅3 ⋅54 ⋅72 ⋅ 11 ⋅13 ⋅ 23 = 415777680654360000	2186 ⋅ 3 ⋅53 ⋅7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2107 ⋅ 3 ⋅53 ⋅7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
슈어 승수	주문 2	사소하다	사소하다
외부 자기동형군	사소하다	사소하다	사소하다
기타 이름	·1	·2	· 33, C
언급	Co의1 완벽한 이중커버0 Co는 거머리 격자의 자기동형군이며, 때로는 ·0으로 표시되기도 한다.	Co의0 부분군. 거머리 격자에서 노름 4 벡터를 고정합니다.	Co의0 부분군. 거머리 격자에서 표준 6 벡터를 고정합니다.이것은 276개의 점에서 이중 전이 순열 표현을 가지고 있다.

피셔 그룹, Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄ fischer

	피셔22 군	피셔23 군	피셔 그룹, 피셔24
주문	2179 ⋅3 ⋅52 ⋅7 ⋅ 11 ⋅13 = 64561751654400	21813 ⋅ 3 、 52 、 7 、 11 、 13 、 17 、 23 = 4089470473293004800	22116 ⋅ 3 、 52 、 73 、 11 、 13 、 17 、 23 、 29 = 125520570919066172122800
슈어 승수	주문 6	사소하다	주문 3
외부 자기동형군	주문 2	사소하다	주문 2
기타 이름	M(22)	M(23)	M3+(24)†, F
언급	이중 커버가 Fi에 포함된23 3가지 이동군.	Fi′에24 포함된 3가지 이동기.	트리플 커버는 몬스터 그룹에 포함되어 있습니다.

Higman-Sims 그룹, HS

순서: 2⁹ 33² ⋅5³ ⋅7 11 11 = 44352000

슈어 승수:주문 2

외부 자기동형 그룹:주문 2

비고:100점을 가진 Higman Sims 그래프에서 랭크 3 치환 그룹으로 작용하며 Co 및 Co에₃ 포함됩니다₂.

McLaughlin 그룹, McL

순서: 2⁷ 33⁶ 55³ ⋅7 11 11 = 898128000

슈어 승수:주문 3

외부 자기동형 그룹:주문 2

비고:275점의 McLaughlin 그래프에서 순위 3의 치환 그룹으로 작용하며 Co 및 Co에₃ 포함됩니다₂.

홀드 그룹 He

순서: 2¹⁰ 33³ ⋅5² 77³ 17 17 = 4030387200

슈어 승수:사소하다.

외부 자기동형 그룹:주문 2

기타 이름:Held-Highman-McKay 그룹, HHM, F₇, HTH

비고: 몬스터 그룹에서 순서 7의 요소를 집중화합니다.

루드발리스 그룹

순서: 2¹⁴ 33³ ⋅5³ ⋅7 13 13 2929 = 145926144000

슈어 승수:주문 2

외부 자기동형 그룹:사소하다.

비고:이중 커버는 가우스 정수의 28차원 격자에 작용합니다.

스즈키 산발 그룹 스즈

순서: 2¹³ 33⁷ ⋅5² ⋅7 11 11 13 13 = 448345497600

슈어 승수:주문 6

외부 자기동형 그룹:주문 2

기타 이름: Sz

비고:6 폴드 커버는 아이젠슈타인 정수 위에 12차원 격자로 작용합니다.Lie 타입의 스즈키 그룹과는 관계가 없습니다.

오난 그룹

순서: 2⁹ 33⁴ ⋅5 ⋅7³ 11 11 1919 31 31 = 460815505920

슈어 승수:주문 3

외부 자기동형 그룹:주문 2

기타 이름:O'Nan-Sims 그룹, O'NS, O'S

비고:트리플 커버는 외부 자기동형에 의해 교환되는 7개의 요소가 있는 필드 위에 두 개의 45차원 표현을 가지고 있습니다.

하라다-노튼 그룹, HN

순서: 2¹⁴ 33⁶ ⋅5⁶ ⋅7 11 11 19 19 = 27309120000

슈어 승수:사소하다.

외부 자기동형 그룹:주문 2

기타 이름: F₅, D

비고: 몬스터 그룹의 5단계 요소를 집중화합니다.

라이온스 그룹, Ly

순서: 2⁸ 33⁷ ⋅5⁶ ⋅7 11 11 31 31 3737 67 67 = 51765179004000000

슈어 승수:사소하다.

외부 자기동형 그룹:사소하다.

기타 이름:Lyons-Sims 그룹, LyS

비고:5개의 요소로 필드 전체를 111차원 표현합니다.

톰슨 군

순서: 2¹⁵ 33¹⁰ ⋅5³ ⋅7² 13 13 1919 31 31 = 907459438872000

슈어 승수:사소하다.

외부 자기동형 그룹:사소하다.

기타 이름: F₃, E

비고: 몬스터의 3단계 요소를 집중화하고 E(3)에 포함되며₈, 3가지 요소로 필드 전체를 248차원 표현합니다.

베이비 몬스터 그룹 B

주문:

2⁴¹ 3¹³ 3 、 5⁶ 、 7² 、 11 、 13 、 17 、 19 、 23 、 31 、 47

= 4154781481226426191177580544000000

슈어 승수:주문 2

외부 자기동형 그룹:사소하다.

기타 이름: F₂

비고:이중 커버는 몬스터 그룹에 포함되어 있습니다.복소수(비중요 불변적 곱이 없는 경우)에 대한 치수 4371의 표현과 가환적이나 비연관적 곱을 보존하는 2개의 원소의 필드 전체에 대한 치수 4370의 표현을 가진다.

피셔-그리에스 몬스터 군, M

주문:

2⁴⁶ 3²⁰ 3 、 5⁹ 、 7⁶ 、 7 、 11²³ 、 13 、 17 、 19 、 23 、 29 、 31 、 41 、 47 、 59 、 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

슈어 승수:사소하다.

외부 자기동형 그룹:사소하다.

다른 이름: F₁, M₁, 몬스터 그룹, 친절한 거인, 피셔의 몬스터.

비고: 6개의 다른 산발적인 그룹을 제외한 모든 그룹이 하위 인용 항목으로 포함됩니다.괴물 같은 밀주와 관련이 있어몬스터는 196,883차원 그리즈 대수와 무한차원 몬스터 정점 연산자 대수의 자기동형군이며, 몬스터 라이 대수에 자연스럽게 작용한다.

소순서 비순환 단순 그룹

주문	인수순서	그룹.	슈어 승수	외부 자기동형군
60	22 、 3 、 5	A5 = A1(4) = A1(5)	2	2
168	23 、 3 、 7	A1(7) = A2(2)	2	2
360	23 、 32 、 5	A6 = A1 (9) = B2 (2) diag	6	2×2
504	23 、 32 、 7	A1(8) = G2(3)190	1	3
660	22 、 3 、 5 、 11	A1(11)	2	2
1092	22 3 3 、 7 、 13	A1(13)	2	2
2448	242 、 3 、 17	A1(17)	2	2
2520	23 、 32 、 5 、 7	A7.	6	2
3420	22 、 32 、 5 、 19	A1(19)	2	2
4080	24 、 3 、 5 、 17	A1(16)	1	4
5616	24 、 33 、 13	A2(3)	1	2
6048	25 、 33 、 7	2A2(9) = G2(2)1200	1	2
6072	23 3 3 、 11 、 23	A1(23)	2	2
7800	23 、 3 、 52 、 13	A1(25)	2	2×2
7920	24 、 32 、 5 、 11	M11	1	1
9828	22 33 3 、 7 、 13	A1(27)	2	6
12180	22 、 3 、 5 、 7 、 29	A1(29)	2	2
14880	25 、 3 、 5 、 31	A1(31)	2	2
20160	26 、 32 、 5 、 7	A3(2) = A8	2	2
20160	26 、 32 、 5 、 7	A2(4)	3×42	D12.
25308	22 32 3 、 19 、 37	A1(37)	2	2
25920	26 、 34 、 5	2A3(4) = B2(3)	2	2
29120	26 、 5 、 7 、 13	2B2(8)	2개2	3
32736	25 3 3 、 11 、 31	A1(32)	1	5
34440	23 、 3 、 5 、 7 、 41	A1(41)	2	2
39732	22 、 3 、 7 、 11 、 43	A1(43)	2	2
51888	24 3 3 23 23 47 47	A1(47)	2	2
58800	24 、 3 、 52 、 72	A1(49)	2	2개2
62400	26 、 3 、 52 、 13	2A2(16)	1	4
74412	22 33 3 、 13 、 53	A1(53)	2	2
95040	26 、 33 、 5 、 11	M12	2	2

(100,000 미만 주문의 경우 완료)

홀(1972)은 100만 미만의 56개의 비순환 단순 그룹을 나열합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 소규모 그룹 목록

메모들

레퍼런스

추가 정보

• Roger W. Carter, ISBN 0-471-50683-4의 단순 거짓말 유형 그룹
• 콘웨이, J. H.; 커티스, R. T.; 노튼, S. P.; 파커, R. A.; 윌슨, A.: "유한 그룹의 아틀라스: 단순 그룹을 위한 최대 부분군과 일반 문자"옥스퍼드, 1985년
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon 유한 단순 그룹의 분류 (1권), AMS, 1994 (3권), AMS, 1998
• Hall, Marshall Jr. (1972), "Simple groups of order less than one million", Journal of Algebra, 20: 98–102, doi:10.1016/0021-8693(72)90090-7, ISSN 0021-8693, MR 0285603
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
• 유한 그룹 표현 지도: 산발적인 그룹을 포함한 많은 유한 단순 그룹에 대한 표현 및 기타 데이터를 포함합니다.
• 비 아벨 단순 그룹의 순서는 최대 10개¹⁰, 등급 제한은 최대⁴⁸ 10개입니다.

외부 링크

• 1,000,000,000까지 아벨이 아닌 단순 그룹의 순서입니다.