심플렉틱 그룹

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서, 공통점 그룹이라는 이름은 수학 그룹의 두 개의 서로 다르지만 밀접하게 연관된 두 개의 집합으로, 양의 정수 n과 필드 F(일반적으로 C 또는 R)에 대해 Sp(2n, F)와 Sp(n)를 가리킬 수 있다. ${\displaystyle \mathrm{후자}}$는 콤팩트한 공감집단으로 불리며 U p${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) {\$displaystyle \mathrm {USP} (n)}$에 의해 표기되기도 한다$.$ 많은 저자들은 약간 다른 표기법을 선호하는데, 대개 2의 인자에 의해 다르다. 여기서 사용하는 표기법은 그룹을 나타내는 가장 일반적인 행렬의 크기와 일치한다. 카르탄의 단순 리알헤브라의 분류에서 복합 그룹 Sp(2n, C)의 Lie 대수학(Lie 대수학)은 C로_n 표시되며, Sp(2n, C)는 Sp(2n, C)의 콤팩트 리얼 형태다. 우리가 (compact) commonlectic group을 언급할 때, 우리가 (compact) componentic groups의 차원에 의해 색인화된 (compact) componentic groups의 집합에 대해 이야기하고 있다는 것을 암시한다.

'형상집단'이라는 명칭은 이전의 혼동된 이름(라인) 복합그룹과 아벨의 선형집단을 대체한 헤르만 바일(Hermann Weyl)의 덕택으로, '복소'의 그리스어 아날로그인 것이다.

메타폴틱 그룹은 R에 대한 공감집단의 이중 표지로, 다른 지역 분야, 유한 분야, 아델 링에 대한 유사성을 가지고 있다.

Sp(2n, F)

공감대 그룹은 비감속형 비대칭 이선형 형태를 보존하는 필드 F에 걸쳐 2n차원 벡터 공간의 선형 변환 집합으로 정의되는 고전적 그룹이다. 그러한 벡터 공간을 공감 벡터 공간이라고 하며, 추상적 공감 벡터 공간 V의 공감 벡터 집단을 Sp(V)로 나타낸다. V에 대한 근거를 고정하면, 매트릭스 곱셈의 운용에 따라, 2n × 2n commonlectic matrix의 집단이 되고 F에 입력된다. 이 그룹은 Sp(2n, F) 또는 Sp(2n, F)로 표시된다. 이선형 형태가 비정칭 스큐-대칭 행렬 Ω으로 표현되는 경우,

${\displaystyle \operatorname {Sp}(2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T}}\Oomega M=\Oomega \}}$

여기서 M은^T M의 전치물이다. 종종 Ω은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Oomega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix},}$

내가_n 정체성 매트릭스인 곳이지 이 경우 Sp(2n, F)는 이러한 블록 행렬 ) ${\displaystyle({\begin{smallmatrix}A&)$으로 표현할 수 있다.$B\\C&D\end{smallmatrix$ 여기서 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$($){\displaystyle A,B,C,D\in M_{n\time n}(F)}$을$($를)}, 다음과 같은 세 가지 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{정렬}}}$

모든 동일성 행렬은 결정인자 1을 가지므로, 동일성 그룹은 특수 선형 그룹 SL(2n, F)의 하위 그룹이다. n = 1일 때, 결정요소가 하나일 경우에만 행렬의 동시적 조건이 충족되어 Sp(2, F) = SL(2, F)이 된다. n > 1의 경우 추가 조건이 있다. 즉, Sp(2n, F)는 SL(2n, F)의 적절한 하위집단이 된다.

전형적으로 F 필드는 실수 R 또는 복합수 C의 필드다. 이 경우 Sp(2n, F)는 real/complex dimension n(2n + 1)의 real/complex li 그룹이다. 이 그룹들은 연결되었지만 비교가 안 된다.

Sp(2n, F)의 중심은 필드의 특성이 2가 아닌 한 행렬 I과_2n -I로_2n 구성된다.^[1] sp(2n, F)의 중심은 이산형이고 그 중심은 지수 모듈로 단순집단이므로 sp(2n, F)는 단순 거짓말집단으로 간주된다.

해당 Lie 대수, 즉 Lie 그룹 Sp(2n, F)의 실제 순위는 n이다.

Sp(2n, F)의 Lie 대수학(Lie 대수학)은 집합이다.

${\displaystyle {\mathfrak {sp}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Oomega X+X^{\mathrm {T}}\Oomega =0\}}$

정류자가 Lie Bracket으로 장착된다.^[2] 표준 스큐 대칭 이선형 =( - I ) ${\displaystyle \Oomega =({\begin{smallmatrix}0&$gt;$I\\-I&0\end{smallmatrix$ 이 Lie 대수는 모든 블록 행렬 D)의 집합이다$({\begin{smallmatrix}A&).$$B\\C&D\end{smallmatrix}}$은(는) 조건에 따라 달라진다.

${\displaystyle {\reasoned}A&=-D^{\mathrm {T}},\B&=B^{\mathrm {T}},\\C&=C^{\mathrm {T}}.\end{aigned}}}}}}}}$

Sp(2n, C)

복잡한 숫자의 분야 위에 있는 동정적 그룹은 비구체적이고 단순하게 연결된 단순한 Lie 그룹이다.

Sp(2n, R)

Sp(n, C)는 실제 그룹 Sp(2n, R)의 복합화다. sp(2n, R)는 실제의 비컴팩트, 커넥티드, 심플한 Lie 그룹이다.^[3] 그것은 첨가된 정수의 그룹에 대한 근본적인 이형 집단을 가지고 있다. 단순한 Lie 그룹의 실제 형태로서, 그것의 Lie 대수학은 쪼개질 수 있는 Lie 대수학이다.

Sp(2n, R):

• 리 대수 sp(2n, R)에서 그룹 Sp(2n, R)까지의 지수 지도는 추월적이지 않다. 그러나 그룹의 어떤 요소도 두 개의 지수 산물로 나타낼 수 있다.^[4] 바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle \forall S\in \operatorname {Sp}(2n,\mathbf {R})\\\\exists X,Y\in {\mathf {sp}(2n,\mathbf {R})\,\,S=e^{X}e^{Y}.}$

• 모든 S in Sp(2n, R):

${\displaystyle S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Matrix D는 양립가능하며 대각선이다. 그러한 Zs 집합은 Sp(2n, R)의 비 컴팩트 부분군을 형성하는 반면 U(n)는 콤팩트 부분군을 형성한다. 이 분해는 '을러' 또는 '블록-메시아' 분해로 알려져 있다.^[5] 더 많은 동정적 매트릭스 속성은 그 위키백과 페이지에서 찾을 수 있다.

• 리 그룹으로서 Sp(2n, R)는 다지관 구조를 가지고 있다. Sp(2n, R)용 다지관은 치수 n(n+1)의 벡터 공간을 가진 단일 군집 U(n)의 카르테시안 제품과 차등형이다.^[6]

최소 생성기

공감 리 대수 sp(2n, F)의 멤버는 해밀턴 행렬이다.

이러한 행렬은 $다음$과$$같은 Q {\$displaystyle Q}$이다.

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}A&B\\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

여기서 B와 C는 대칭 행렬이다. 파생은 클래식 그룹을 참조하십시오.

공통 행렬의 예

Sp(2, R)의 경우, 결정 인자 1이 있는 2 × 2 행렬의 그룹, 세 개의 동일률(0, 1) 행렬은 다음과 같다.^[7]

${\displaystyle {\pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}, {\pmatrix}1&0\1\end{pmatrix}\nd{pmatrix}\nd{\text}\nd}\nd{pmatrix}}.}$

Sp(2n, R)

${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2n}}$, ${\displaystyle R\mathbf{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Sp}(2n,\mathbf {R})$은 생성자를 사용하여 상당히 명시적인 설명을 할 수 있는$$ 것으로 나타났다. If we let ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$ denote the symmetric ${\displaystyle n\times n}$ matrices, then ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$ is generated by ${\displaystyle D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},}$ where

$D(n)&=\left\{begin}d(n)&=\left\{\left.{\reason{bmatrix}A&0\\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}\,\right \, \a\in \operatorname {GL}(n,\mathbf {R})\right\\\\[6pt]N(n)&=\{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\왼쪽\\\\\\\\\왼쪽\\\\\왼쪽.{\reason{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}\,\right \,b\in \b\in \operatorname {Sym}(n)\right\}\ended}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2n}}$, ${\displaystyle R\mathbf{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Sp}(2n,\mathbf {R})$의 하위 그룹임$.$^{[8]pg 173[9]pg 2}

동일성 기하학과의 관계

공감각 기하학은 공감각 다지관의 연구다. 복합체 다지관의 어느 지점에서 접선 공간은 복합 벡터 공간이다.^[10] 앞에서 언급한 바와 같이, 복합 벡터 공간의 변환을 보존하는 구조는 그룹을 형성하며, 이 그룹은 공간의 차원 및 공간의 정의에 따라 Sp(2n, F)이다.

공감 벡터 공간은 그 자체가 공감각적 다지관이다. 그러므로, 어떤 의미에서, 공감각 집단의 작용에 따른 변환은, 공감각 다지관의 변환을 보존하는 보다 일반적인 구조인, 공감각형의 선형화된 버전이다.

Sp(n)

콤팩트한 공감대 그룹^[11] Sp(n)는 Sp(2n, C)와 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$의 단일 그룹과의 교차점이다.

${\displaystyle \operatorname {Sp}(n):=\operatorname {Sp}(2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U}(2n)=\operatorname {Sp}(2n;\mathbf {C})\cap \operatorname {SU}(2n)}$

때로는 USp(2n)로 표기되기도 한다. 또는 Sp(n)는 Hⁿ:에 표준 은둔자 형태를 보존하는 GL(n, H) (수직 쿼터니온 행렬)의 부분군으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle \langle x,y\rangele ={\bar {x}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {{x}_{n}y_{n}}.}$

즉, sp(n)는 quaternionic unitial group, U(n, H)에 불과하다.^[12] 실제로, 그것은 때때로 초단일화 집단이라고 불린다. 또한 Sp(1)은 표준 1의 쿼터니온 그룹이며, 이는 SU(2)와 같고, 위상적으로 3-sphere S에³ 해당한다.

Sp(n)는 이전 절의 의미에서는 공통적인 그룹이 아니라는 점에 유의한다. 즉, H에ⁿ 비분할성 스큐-대칭성 H-편평형 형태를 보존하지 않는다. 0형 이외에는 그러한 형태가 없다. 오히려 Sp(2n, C)의 부분군과는 이형성이며, 따라서 치수의 2배의 벡터 공간에서 복합적인 동형체 형태를 보존한다. 아래에서 설명했듯이, Sp(n)의 Lie 대수학은 복합적합성 Lie 대수 sp(2n, C)의 콤팩트한 실제 형태다.

Sp(n)는 (실제)차원 n(2n + 1)을 가진 진짜 Lie 그룹이다. 그것은 간결하고 단순하게 연결되어 있다.^[13]

Sp(n)의 Lie 대수학(Lie 대수학)은 만족하는 n-by-n 쿼터니오닉 행렬 집합인 쿼터니오닉 스큐-헤르미티아 행렬에 의해 주어진다.

${\displaystyle A+A^{\daugger }=0}$

여기서 A는^† A의 결합 전치(여기서는 quaternionic 결합을 취함)이다. 리 브래킷은 정류자에 의해 주어진다.

중요한 부분군

일부 주요 부분군은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Sp}(n)\supset \operatorname {Sp}(n-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp}(n)\supset \operatorname {U}(n)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp}(2)\supset \operatorname {O}(4)}$

반대로 그것은 그 자체가 일부 다른 그룹의 하위 그룹이다.

${\displaystyle \operatorname {SU}(2n)\supset \operatorname {Sp}(n)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp}(4)}$

${\displaystyle \operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp}(1)$

또한 리알헤브라스 sp(2) = so(5) 및 sp(1) = so(3) = su(2)의 이형체도 있다.

동정적 그룹 간의 관계

모든 복잡하고 반실행적인 리 대수학은 분할된 실제 형태와 압축된 실제 형태를 가지고 있다; 전자는 후자의 두 개의 복합화라고 불린다.

Sp(2n, C)의 Lie 대수학은 semisimple이며 sp(2n, C)로 표기된다. 분할 실형은 sp(2n, R)이고 소형 실형은 sp(n)이다. 이들은 각각 Lie 그룹 Sp(2n, R)와 Sp(n)에 해당한다.

알헤브라스, sp(p, n - p)는 sp(p, n - p)의 리 알헤브라스(p, n - p)로, 콤팩트 형태에 해당하는 무기한 서명이다.

물리적 중요성

고전역학

콤팩트한 공감대 그룹 Sp(n)는 고전 물리학에서 포아송 대칭을 보존하는 표준 좌표의 대칭으로 떠오른다.

주어진 시간에 위상 공간의 위치가 표준 좌표의 벡터에 의해 표시되는 해밀턴 방정식 아래에서 진화하는 n개의 입자 시스템을 고려한다.

${\displaystyle \mathbf {z} =(q^{1},\ldots,q^{n},p_{1},\ldots,p_{n}^{\mathrm {T}}}}}}}$

그룹 Sp(2n, R)의 원소는 어떤 의미에서는 이 벡터에 대한 표준적 변환, 즉 해밀턴 방정식의 형태를 보존한다.^[14][15] 만약

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {z},t)=(\mathbf{1},\dots,Q^{n},P_{n},ldots,P_{n}^{\mathrm {T}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

새로운 표준 좌표, 그리고 시간 파생을 나타내는 점으로,

${\dot스타일 {\dot {\mathbf {Z}}}}}}}}=M({\mathbf {z}},t){\dot {\mathbf {z}},}$

, where

${\displaystyle M(\mathbf {z},t)\in \operatorname {Sp}(2n,\mathbf {R} )$

위상 공간의 모든 t 및 모든 z에 대해.^[16]

리만 다지관의 특별한 경우, 해밀턴의 방정식은 그 다지관의 지질학을 설명한다. 좌표 ${{\$는 다지관의 접선다발에서, 순간 p $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 등선다발에서 산다$$$$. 이런 이유로 상·하위 지수로 표기하는 것이 일반적인데, 위치를 구분하기 위해서다. The corresponding Hamiltonian consists purely of the kinetic energy: it is ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$ where ${\displaystyle g^{ij}}$ is the inverse of the metric tensor ${\displaystyle g_{ij}}$ on the Riemannian manifold.^[17][15] 사실, 어떤 매끄러운 다지관의 등골재 묶음은 (비경쟁적) 주어진 동시적 구조물이 될 수 있으며, 이 동시적 형태는 tautological 1-form의 외부 파생물로 정의된다.^[18]

양자역학

이 섹션은 검증을 위해 추가 인용구가 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 비소싱 소재는 도전하여 제거할 수 있다. (1919년 10월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

양자 상태가 그것의 위치와 운동량을 인코딩하는 n개의 입자 체계를 고려하라. 이 좌표들은 연속적인 변수들이며 따라서 국가가 살고 있는 힐버트 공간은 무한 차원이다. 이것은 종종 이 상황에 대한 분석을 까다롭게 만든다. 대안적 접근방식은 위상공간에서 하이젠베르크 방정식에 따른 위치 및 운동량 연산자의 진화를 고려하는 것이다.

표준 좌표의 벡터를 구성한다.

${\displaystyle \mathbf {\hat{q}^{1},\ldots, {\hat {q}^{n}, {\hat {p}_{n}}, {\hat {p}}^{n}}, {\mathrm {T}}.}}}$

표준적 정류 관계는 간단하게 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle [\mathbf {\hat {z},\mathbf {\z}}^{\mathrm {T}}]=i\hbar \Oomega}}$

, where

${\displaystyle \Obegin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\-I_{n}&\mathbf {0}\end{pmatrix}}}}}$

그리고 나는_n n × n 정체성 행렬이다.

많은 신체적인 상황들은 2차적인 해밀턴인만을 필요로 한다. 형태의 해밀턴인

${\displaystyle {\hat{H}={\frac {1}{2}}\mathbf {\z}^{\mathrm {T}{}{{\mathbf {\z}}}}}}}}}$

여기서 K는 2n × 2n 실제 대칭 행렬이다. 이것은 유용한 제약으로 판명되어 하이젠베르크 방정식을 그대로 다시 쓸 수 있게 한다.

${\dapplaystyle {d\mathbf {\d\mathbf {\z}}{dt}=\Oomega K\mathbf {\hat {z}}}}}}$

이 방정식의 해법은 표준 정류 관계를 보존해야 한다. 이 시스템의 시간 진화는 위상 공간에 대한 실제 공감 그룹인 Sp(2n, R)의 작용과 동등하다는 것을 알 수 있다.

참고 항목

• 직교군
• 유니터리 군
• 투사적 단일군
• 심플렉틱 다지관, 컴플렉틱 매트릭스, 컴플렉틱 벡터 공간, 컴플렉틱 표현
• 고전적 거짓말 집단 표현
• 해밀턴 역학
• 메타폴틱 그룹
• Θ10

메모들

참조

• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Mathematics, 60 (second ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation Theory, A first Course, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980) [1950]. "Chapter 7". Classical Mechanics (2nd ed.). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 218, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo G. A. (March 2005), "Gaussian states in continuous variable quantum information", arXiv:quant-ph/0503237.