노터 정리

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
${\displaystyle f(a)-f(b)=\int _{b}^{a}f'(t)\,dt}$
기본정리 한계 연속성 롤의 정리 평균값정리 역함수 정리
미분 정의들 도함수(일반화) 미분 극소의 어떤 기능을 하는 총 컨셉트 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련요금 테일러 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 L'Hôpital's rule 인버스 라이프니츠 장군 파디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 적분 목록 적분 변환 라이프니츠 적분법칙 정의들 원시함수 적분(부적합) 리만 적분 레베그 적분 등고선 적분 역함수의 적분 에 의한 통합 부품. 디스크 원통형 포탄 치환(삼각형, 탄젠트 반각형, 오일러) 오일러 공식 부분분수 순서변경 환원식 적분 기호에 따른 미분 리쉬 알고리즘
시리즈 기하학적(산술-기하학적) 고조파 교대 힘 이항 테일러 수렴시험 합산한도(임기시험) 비율 뿌리 적분 직접비교 한계비교 교대급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 그린즈 스톡스' 발산 일반화된 스톡스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학적 정의들 편미분 다중적분 선적분 표면적분 부피적분 야코비안 헤센어
고급. 유클리드 공간에 관한 미적분학 일반화 함수 배점한계
전문화된 분수 말리아빈 확률적 변주곡
여러가지 종류의 프리칼큘러스 역사 용어집 토픽 목록 인테그레이션 비 수리해석학 비표준해석
v t

노트르의 정리는 보수적인 힘을 가진 물리계의 작용의 모든 연속적인 대칭은 그에 상응하는 보존 법칙을 가지고 있다고 말합니다. 이것은 1915년 수학자 에미 노에테르가 증명하고 1918년에 발표한 두 개의 정리 중 첫 번째 정리입니다.^[1] 물리적 시스템의 작용은 라그랑지안 함수의 시간에 따른 적분이며, 이로부터 시스템의 작용은 최소 작용의 원리에 의해 결정될 수 있습니다. 이 정리는 연속적이고 매끄러운 물리적 공간에 대해서만 적용됩니다.

이론물리학과 변량의 미적분학에서는 노에테르의 정리가 사용됩니다. 물리적 시스템의 대칭과 보존 법칙 사이의 근본적인 관계를 보여줍니다. 그것은 또한 현대의 이론 물리학자들이 물리적 시스템의 대칭에 훨씬 더 집중하도록 만들었습니다. 라그랑지안과 해밀턴 역학(각각 1788년과 1833년에 개발됨)의 운동 상수에 대한 공식을 일반화한 것으로, 라그랑지안 단독으로 모델링할 수 없는 시스템(예: 레일리 소산 기능이 있는 시스템)에는 적용되지 않습니다. 특히 대칭이 연속적인 소산 시스템은 해당 보존 법칙을 가질 필요가 없습니다.^{[citation needed]}

기본 그림 및 배경

예를 들어, 물리적 시스템이 공간에서 어떻게 방향을 잡는지에 관계없이 동일하게 행동한다면(즉, 불변), 그것의 라그랑지안은 연속적인 회전 하에서 대칭입니다: 이 대칭으로부터, 노에테르의 정리는 시스템의 운동 법칙의 결과로 시스템의 각운동량이 보존된다는 것을 지시합니다.^{[2]: 126} 물리적 시스템 자체가 대칭일 필요는 없습니다. 우주에서의 들쭉날쭉한 소행성의 회전은 비대칭에도 불구하고 각운동량을 보존합니다. 대칭적인 것은 운동의 법칙입니다.

또 다른 예로, 물리적 과정이 장소나 시간에 관계없이 동일한 결과를 나타내는 경우, 라그랑지안은 각각 공간과 시간의 연속적인 번역 하에서 대칭입니다. 노에테르의 정리에 의해, 이 대칭들은 각각 이 시스템 내에서 선형 운동량과 에너지의 보존 법칙을 설명합니다.^{[3]: 23 [4]: 261}

노트더 정리는 보존 법칙에 대한 통찰력과 실용적인 계산 도구로 중요합니다. 이를 통해 조사자는 물리적 시스템의 관찰된 대칭으로부터 보존된 양(불변)을 결정할 수 있습니다. 반대로, 연구자들은 물리적 시스템을 설명하기 위해 주어진 불변량을 가진 가상 라그랑지안의 전체 클래스를 고려할 수 있습니다.^{[2]: 127} 예를 들어, 양 X를 보존하는 물리적 이론이 제안되었다고 가정해 보자. 연구원은 연속적인 대칭을 통해 X를 보존하는 라그랑지안의 종류를 계산할 수 있습니다. 노터의 정리 때문에, 이 라그랑지안들의 성질은 의미를 이해하고 새로운 이론의 적합성을 판단하는 추가적인 기준을 제공합니다.

노에테르의 정리에는 일반성의 정도가 다양한 수많은 버전이 있습니다. 워드-타카하시 항등식으로 표현되는 이 정리에는 자연스러운 양자 대응물이 있습니다. 노에테르 정리의 초공간으로의 일반화도 존재합니다.^[5]

정리의 비공식적 진술

모든 훌륭한 기술적인 점들을 제외하고, 노터 정리는 다음과 같이 비공식적으로 언급될 수 있습니다.

시스템이 연속적인 대칭 특성을 갖는 경우, 값이 시간에 따라 보존되는 상응하는 양들이 있습니다.^[6]

필드를 포함하는 더 정교한 버전의 정리는 다음과 같습니다.

로컬 동작에 의해 생성되는 모든 연속 대칭에는 보존된 전류가 해당됩니다.

위 진술에서 "대칭성"이라는 단어는 물리 법칙이 특정 기술 기준을 만족하는 1차원 Lie 변환 그룹에 대해 취하는 형태의 공분산을 더 정확하게 나타냅니다. 물리량의 보존 법칙은 보통 연속 방정식으로 표현됩니다.

정리의 공식적인 증명은 불변 조건을 이용하여 보존된 물리량과 관련된 전류에 대한 식을 유도합니다. 현대 용어로 보존된 양을 노에테르 전하라고 하고, 그 전하를 운반하는 흐름을 노에테르 전류라고 합니다. Noether 전류는 솔레노이드(분산이 없는) 벡터 필드까지 정의됩니다.

중력의 맥락에서, 펠릭스 클라인의 행동에 대한 노에테르 정리의 진술은 불변량에 대해 다음과 같이 규정합니다.^[7]

적분 I가 ρ 매개변수가 있는 연속적인 그룹 G 하에서 불변인 경우 라그랑지안 식의 ρ 선형 독립적인 조합은 발산입니다.

개념에 대한 간략한 그림 및 개요

Noether 정리 뒤에 있는 주요 아이디어는 하나의 좌표 $q$ ${\displaystyle q}$와 연속 대칭${\displaystyle }$φ:${\displaystyle q}$ ↦ q + δ$q {\$displaystyle \$varphi$:q\maps to q+\delta q}(도표의 회색 화살표)가 있는 시스템으로 가장 쉽게 설명됩니다. 시스템의 운동 법칙을 만족하는 궤적 $q{\displaystyle }$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle q(t)}($도해에 굵은 글씨)를 생각해 보십시오. 즉, 이 시스템을 지배하는$$ 동작 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$는 이 궤적에서 정지되어 있습니다. 즉, 궤적의 로컬 변화에 따라 변경되지 않습니다. 특히 시간 세그먼트$$[$t$, t]에서 대칭 흐름 φ$${\displaystyle \varphi}을(를) 적용하고 해당 세그먼트 외부에서 움직이지 않는 변형에서도 변경되지 않습니다. 궤적을 연속적으로 유지하기 위해 작은 시간$$τ {\displaystyle$$\tau}의 "버퍼링" 기간을 사용하여 세그먼트 간에 점진적으로 전환합니다.

액션$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 전체 변경은 이제 재생되는 간격마다 발생하는 변경으로 구성됩니다. 변동 자체가 사라지는 부품은$$δ S {\displaystyle$\Delta$S}을(를) 가져오지 않습니다.$변환$ φ${\displaystyle$ \varphi}은(는) 대칭이므로 $Lagrangian L${\displaystyle L}$$$동작$ S = ∫ L${\textstyle$S =\int L}을(를) 보존하기 때문에 중간 부분도 동작을 변경하지 않습니다. 남은 부분은 "완충" 조각뿐입니다. 이 영역에서는 좌표 $q$ ${\displaystyle q}$와 속도 $q$˙ ${\$dot {q$}}$가 모두 변경되지만 q δ {\displaystyle {\dot {q}}는 q / τ ˙ {\displaystyle \delta q/\tau}, 그리고 좌표의 $변경$τ q ${\displaystyle \$tau $$q}은 버퍼링의 시간 범위 taken$${\displaystyle \delta}가 작기 때문에($0$의${\displaystyle }$한계 δ) 비교로 무시할 수 있으므로 q / delta q {\displaystyle \delta q/\tau \g \δ q}를 τ ≫ δ합니다. 따라서 이 지역은 대부분 "기울기" ${\displaystyle q\stackrel{}{}}$˙ → ${\displaystyle q}$ ˙ ± δ q / τ {\$displaystyle {\dot {q}\rightarrow${\dot {q}\pm \delta q/\tau }를 통해 기여합니다.

δ$$ ≈에 의해 ${\displaystyle \mathrm{라그랑지안}}$이 바뀝니다(∂ ${\displaystyle L}$ / ∂ q ˙). δ q ˙ {\displaystyle \Delta L\proxy {\bigl(}\partial L/\partial {\dot {q}} {\bigr}}\Delta {\dot {q}}}에 통합됩니다.

엔드포인트 $t$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ 및 ${\displaystyle t_{}}$ 1 ${\displaystyle t_{1}}$을 중심으로 평가된 이러한 마지막 항은$$궤적이 솔루션인 경우 예상되는 대로 ${\displaystyle \mathrm{액션}}$δS {\displaystyle$\Delta$ S}의 전체 변경을 0으로 만들기 위해 서로 취소해야 합니다. 그것은

양$($∂ $L$ / ∂ q ˙) φ {\$displaystyle \left(\partial$ L$/\$partial {\dot {q}}\right)\varphi}는 보존되며, 이는 Noether 정리의 결론입니다. 예를 들어, 상수에 의한$$${\displaystyle q}$ {\$displaystyle q}$의 순수한 번역이 대칭인 경우, 보존된 양은 $정의$∂${\displaystyle \stackrel{}{}}$L / ∂ $q$ ˙) =$$p${\$displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}\right}= p}, 표준 운동량이 됩니다.

더 일반적인 경우도 같은 아이디어를 따릅니다.

역사적 맥락

보존 법칙에 따르면 계의 진화에 대한 수학적 설명에서 어떤 양 X는 운동 내내 일정하게 유지됩니다. 그것은 불변량입니다. 수학적으로 X(시간에 대한 그것의 도함수)의 변화율은 0이고,

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.}$

그러한 양들은 보존된다고 합니다; 그것들은 종종 운동 상수라고 불립니다 (운동 자체가 관여할 필요는 없지만, 단지 시간에 따른 진화일 뿐입니다). 예를 들어, 계의 에너지가 보존되면 계의 에너지는 항상 불변하므로 계의 운동에 제약이 가해지며 이를 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다. 이러한 운동 상수가 시스템의 본질에 제공하는 통찰력 외에도 유용한 계산 도구입니다. 예를 들어, 적절한 보존 법칙을 만족하는 가장 가까운 상태를 찾아 근사적인 해결책을 수정할 수 있습니다.

최초로 발견된 운동 상수는 운동량과 운동 에너지로 17세기에 르네 데카르트와 고트프리트 라이프니츠가 충돌 실험을 바탕으로 제안하고 후속 연구자들에 의해 정제되었습니다. 아이작 뉴턴은 운동량 보존을 현대적인 형태로 최초로 발음했고, 그것이 뉴턴의 운동 법칙의 결과라는 것을 보여주었습니다. 일반 상대성 이론에 따르면 선형 운동량, 에너지 및 각운동량의 보존 법칙은 응력-에너지 텐서(무중력 응력-에너지)와 란다우-리프시츠 응력-에너지-운동량 의사텐서(중력 응력-에너지)의 합으로 표현될 때 전 세계적으로 정확히 사실입니다. 자유 낙하 기준 프레임에서 무중력 선형 운동량과 에너지의 국소 보존은 응력-에너지 텐서의 공변 발산이 사라짐으로써 표현됩니다. 천체역학 연구에서 발견된 또 다른 중요한 보존량은 라플라스-룽지-렌츠 벡터입니다.

18세기 말과 19세기 초에 물리학자들은 불변량을 발견하기 위한 보다 체계적인 방법을 개발했습니다. 1788년 최소 작용의 원리와 관련된 라그랑주 역학의 발전으로 큰 발전이 이루어졌습니다. 이 접근법에서, 계의 상태는 어떤 유형의 일반화된 좌표 q로 기술될 수 있습니다. 운동 법칙은 뉴턴 역학에서 관습적으로 그랬던 것처럼 데카르트 좌표계로 표현될 필요가 없습니다. 작용은 라그랑지안 L로 알려진 함수의 시간적분 I로 정의됩니다.

${\displaystyle I=\int L(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q}},t)\,dt~,}$

여기서 q 위의 점은 좌표 q의 변화율을 의미합니다.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q}}}={\frac {d\mathbf {q} {dt}}~.}$

해밀턴의 원리는 물리적 경로 q(t), 즉 시스템에 의해 실제로 취해진 경로가 적어도 1차까지는 I에 변화가 없는 경로라는 것입니다. 이 원리는 오일러-라그랑주 방정식으로 이어집니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left ({\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}\right)={\frac {\partial L}{\mathbf {q}}}~.}$

따라서 좌표 중 하나인 예를_k 들어 q가 라그랑지안에 나타나지 않으면 방정식의 우변은 0이고 좌변은 다음을 요구합니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left ({\frac {\partial L}{\dot {q}_{k}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,}$

여세를 몰아

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

는 (물리적 경로에서) 동작 전반에 걸쳐 보존됩니다.

따라서 라그랑지안에서 무시할 수 있는 좌표 q가_k 없다는 것은 라그랑지안이 q의_k 변화나 변환에 영향을 받지 않는다는 것을 의미합니다. 라그랑지안은 불변하며 그러한 변환에서 대칭을 나타낸다고 합니다. 이것은 노터의 정리에서 일반화된 씨앗 아이디어입니다.

보존된 양을 찾기 위한 몇 가지 대안적인 방법들이 19세기에 특히 William Rowan Hamilton에 의해 개발되었습니다. 예를 들어, 그는 위와 같이 라그랑지안에서 일부 좌표가 사라지도록 좌표를 변경할 수 있는 표준 변환 이론을 개발하여 표준 운동량을 보존했습니다. 보존된 양을 찾는 데 가장 효율적인 또 다른 접근법은 해밀턴-자코비 방정식입니다.

수학식

섭동을 이용한 간단한 형태

Noether 정리의 핵심은 무시할 수 없는 좌표의 개념을 일반화하는 것입니다.

위에서 정의된 라그랑지안 L은 시간 변수 t와 일반화된 좌표 q의 작은 섭동(왜곡) 하에서 불변이라고 가정할 수 있습니다. 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q}^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end {aligned}}$

여기서 섭동 δt와 δq는 모두 작지만 가변적입니다. 일반적인 경우, (예를 들어) N개의 동작의 대칭 변환, 즉 동작을 변경하지 않은 상태로 유지하는 변환이 있다고 가정합니다. 인덱스 r = 1, 2, 3, ..., N으로 레이블이 지정됩니다.

그러면 결과적인 섭동은 개별 유형의 섭동의 선형 합으로 기록될 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum_{r}\varepsilon_{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum_{r}\varepsilon_{r}\mathbf {Q}_{r}~,\end{aligned}}$

여기서 ε는 각각에 해당하는 극소 파라미터 계수입니다.

• 시간 진화의 발전기_r T, 그리고
• 일반화 좌표의 생성기_r Q.

번역의 경우 Q는_r 길이 단위의 상수이고 회전의 경우 q의 성분에서 선형인 표현이며 매개변수는 각도를 구성합니다.

이러한 정의를 사용하여 N개의 양이

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}\cdot {\mathbf {q}}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}\cdot \mathbf {Q}_{r}$

보존됩니다(운동 constants).

예

I. 시간 불변성

예를 들어 시간에 의존하지 않는 라그랑지안, 즉 좌표 q의 변화 없이 변화 t → t + δt 하에서 불변(symmetric)인 라그랑지안을 생각해 보십시오. 이 경우 N = 1, T = 1 및 Q = 0, 해당 보존량은 총 에너지 H입니다.

${\displaystyle H={\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}\cdot {\dot {\mathbf {q}}}-L.}$

II. 번역 불변성

위와 같이 "ignor 가능한" 좌표 q에 의존하지 않는 라그랑지안을 생각해 보자. 따라서 q → q + δq 변화 하에서 불변(symmetric)입니다. 이 경우 N = 1, T = 0, Q = 1, 보존량은 대응하는 선형 운동량 p입니다.

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}.$

특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론에서 이 두 보존 법칙은 전체적으로 (위에서 한 것처럼) 표현될 수도 있고, 연속 방정식으로 국소적으로 표현될 수도 있습니다. 글로벌 버전은 에너지-운동량 4-벡터의 보존이라는 하나의 글로벌 보존 법칙으로 통합될 수 있습니다. 에너지 및 운동량 보존의 로컬 버전(공간 시간의 어느 시점에서도)은 또한 시공간에서 로컬로 정의된 양의 보존(스트레스-에너지 텐서^{[9]: 592} )으로 통합될 수 있습니다(이는 다음 섹션에서 유도될 것입니다).

III. 회전 불변성

각운동량 L = r × p의 보존은 선형운동량과 유사합니다. 라그랑지안의 대칭성은 회전적이라고 가정합니다. 즉, 라그랑지안은 공간에서의 물리적 시스템의 절대적인 방향에 의존하지 않는다고 가정합니다. 구체성을 위해 라그랑지안이 축 n을 기준으로 δθ의 작은 회전에서도 변하지 않는다고 가정합니다. 그러한 회전은 방정식에 의해 직각좌표를 변환합니다.

${\displaystyle \mathbf {r} \오른쪽 화살표 \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

시간은 변환되지 않으므로 T = 0, N = 1입니다. ε 파라미터는 δθ, 일반화 좌표는 데카르트 좌표 r을 q로 하면 해당 Q변수는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

그렇다면 노에테르의 정리는 다음 양이 보존된다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right) =\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right) =\mathbf {n} \cdot \mathbf {L}.}$

즉, n축에 따른 각운동량 L의 성분이 보존됩니다. 그리고 n이 임의라면, 즉 계가 어떤 회전에도 둔감하다면, L의 모든 성분은 보존됩니다. 즉, 각운동량은 보존됩니다.

현장이론 버전

비록 그 자체로 유용하지만, 방금 주어진 노에테르 정리의 버전은 1915년에 파생된 일반적인 버전의 특별한 경우입니다. 일반적인 정리의 맛을 내기 위해 4차원 시공간의 연속장에 대한 노에테르 정리의 버전이 제공됩니다. 필드 이론 문제는 역학 문제보다 현대 물리학에서 더 일반적이기 때문에 이 필드 이론 버전은 가장 일반적으로 사용되는(또는 가장 자주 구현되는) 노에테르 정리 버전입니다.

모든 공간과 시간에 걸쳐 정의된 미분 가능한 필드$$φ {\displaystyle$$\varphi} 집합이 있다고 가정합니다. 예를 들어${\displaystyle 온도}$ ${\displaystyle T(}$x$,$ t) ${\displaystyle$ T$(\mathbf${x},t)}는 모든 장소와 시간에 정의된 숫자로 이러한 필드를 대표합니다. 최소 작용의 원리는 그러한 분야에 적용될 수 있지만, 그 작용은 이제 공간과 시간에 걸쳐 필수적인 것입니다.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi,\partial _{\mu}\varphi,x^{\mu}\right)\,d^{4}x}$

(이 정리는 라그랑지안이 n개의^th 도함수에 의존하는 경우로 더 일반화될 수 있으며, 제트 번들을 사용하여 공식화될 수도 있습니다.)

필드$$φ {\displaystyle$$\varphi}의 연속 변환은 다음과 같이 무한히 적을 수 있습니다.

${\displaystyle \varphi \maps to \varphi +\varepsilon \Psi,}$

where ${\displaystyle \Psi }$ is in general a function that may depend on both ${\displaystyle x^{\mu }}$ and ${\displaystyle \varphi }$. The condition for ${\displaystyle \Psi }$ to generate a physical symmetry is that the action ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is left invariant. 이것은 $라그랑지안{\displaystyle \mathcal{}}$ 밀도$$L {\$displaystyle${\$mathcal$ {L$}}$이 불변인 경우에 분명히 사실이지만, 라그랑지안이 발산에 의해 변화한다면 역시 사실일 것입니다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\map to {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial_{\mu}\Lambda ^{\mu}}$

발산의 적분은 발산 정리에 따라 경계항이 되기 때문입니다. 주어진 작용에 의해 기술된 계는 $r$ = 1$,$ …, N, {\displaystyle r = 1, 2,\ldots, N,}로 색인화된 이러한 유형의 여러 개의 독립적인 대칭을 가질 수 있으므로 가장 일반적인 대칭 변환은 다음과 같이 기록됩니다.

${\displaystyle \varphi \maps to \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r}}$

결과적으로

${\displaystyle {\mathcal {L}}\maps to {\mathcal {L}}+\varepsilon_{r}\partial_{\mu}\Lambda_{r}^{\mu}}$

그러한 계들에 대하여, Noether의 정리는 $N{\displaystyle }${\$displaystyle$ N$}$개의$$ 보존된 전류 밀도들이 존재함을 말합니다.

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial \varphi_{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}}$

(도트 곱이 필드 인덱스를 수축하는 것으로 이해되는 경우 ${\displaystyle$\$n$ν이 아닌)$u}$ 인덱스$$ 또는 $r{\displaystyle }$ ${\displayr}$ 인덱스$$)입니다.

이러한 경우에 보존법칙은 4차원적으로 표현됩니다.

${\displaystyle \partial _{\nu}j^{\nu}=0,}$

이것은 구 안에서 보존된 양의 양이 구 밖으로 흘러 나가지 않으면 변할 수 없다는 생각을 표현한 것입니다. 예를 들어, 전하가 보존됩니다. 전하의 일부가 구를 벗어나지 않는 한 구 내 전하량은 변할 수 없습니다.

예를 들어 위에서 고려한 것처럼 시간과 공간의 번역에서 동일하게 동작하는 필드의 물리적 시스템을 고려하십시오. 즉, $L{\displaystyle (}$φ${\displaystyle ,}$ ∂ μ φ, x μ) {\$displaystyle$L\$left({\boldsymbol {\varphi},\partial_${\$mu}{\boldsymbol {\$varphi},x^{\mu}\right)}는 세 번째 인수에서 일정합니다. 이 경우 공간과 시간의 각 차원에 대해 하나씩 N = 4입니다. $공간$에서의 무한소 변환, ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ↦ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ + ε r δ r μ ${\displaystyle$ x$^{\mu$}\$mapsto x^{\mu}+\varepsilon _${r}\$delta$_{r}^{\mu$}($크로네커 델타를 나타내는 δ {\displaystyle \delta} $포함$), ${\displaystyle {필드}^{}}$에는${\displaystyle }$φ${\displaystyle (x}$ μ${\displaystyle {}^{}}$ ε${\displaystyle {(}_{}^{}}$x$$μ - δ r ↦ φ$r$ μ) {\$displaystyle \varphi(x^{\mu})\mapsto \varphi \left(x^{\mu}-\varepsilon$_{r}\delta _{r}^{\mu}\right)}: 즉, 좌표를 다시 표시하는 것은 필드 자체를 변환하면서 좌표를 제자리에 두는 것과 같습니다. 이 값은 차례로 각 $점$ ${\displaystyle x^{}}$μ {\$displaystyle$x^{\$mu}}$의 값을 x${\displaystyle {}^{}{\mu }^{}}$ -$$ε의 $값$으로 대체하여 필드를 변환하는 것과 같습니다. X μ ${\displaystyle$x^{\$mu}-\varepsilon$X^{\mu}} "뒤"는 무한히 작은 $변위$로 x μ ${\displaystyle$ x^{\mu$}}$에 매핑됩니다. 검토 중에 이것은 무한소이므로, 우리는 이 변환을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu}\partial _{\mu}\varphi .}$

라그랑지안 밀도는 L(x ${\displaystyle {\mu }^{}{}^{}}$ ↦${\displaystyle {}^{}}$L(${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ - ε r δ r μ) ${\displaystyle {\mathcal${L}}\$left($x^{\$mu }\right)\maps to {\$mathcal {$L}\left($x^{\$mu }-\varepsilon$_{$r$delta _{r}^{\mu }\right)}와 같은 방식으로 변환됩니다.

${\displaystyle \Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}$

따라서 노에테르의 정리는 응력-에너지 텐서 T에_μ^ν 대한 보존 법칙과 일치하며^{[9]: 592} , 여기서 우리는 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 대신$$ μ ${\displaystyle \mu}$를 사용했습니다$.$ 앞에서 주어진 표현을 사용하여, 4개의 보존된 전류($각{\displaystyle }$ μ ${\displaystyle \mu}$에 대해 하나씩$)$를 텐서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$로 모으면$,$ 노에테르 정리는 다음을 제공합니다.

${\displaystyle T_{\mu}{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu}{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma}\부분 _{\sigma}\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial \varphi _{,\nu}}}=\left ({\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial \varphi_{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}$

와 함께

${\displaystyle T_{\mu}{}^{\nu}{}_{,\nu}=0}$

(충돌을 피하기 위해 중간 단계에서 $\mu$ ${\displaystyle \mu}$를$$σ ${\displaystyle$\sigma }로 라벨링했습니다.) (그러나 이러한 방식으로 $얻어진$ T ${\displaystyle$ T$}$는 일반 상대성 이론에서 소스 용어로 사용되는 대칭 텐서와 다를 수 있습니다. 표준 응력-에너지 텐서를 참조하십시오.)

반면, 전하의 보존은 도함수가 아닌 φ 필드에서 ψ 선형을 고려하여 유도할 수 있습니다. 양자역학에서 x점에서 입자를 발견할 확률 진폭 ψ(x)는 복잡한 장 φ인데, 이는 시공간의 모든 점에 복소수를 부여하기 때문입니다. 확률 진폭 자체는 물리적으로 측정할 수 없으며 측정 집합에서 p = ψ 확률만 추론할 수 있습니다. 따라서 시스템은 다음과 같이 ψ을 변하지 않는 ψ장과 복잡한 공역장 ψ의 변환 하에서 불변합니다.

${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta}\psi \,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta}\psi ^{*}~,}$

복소 회전 위상 θ가 무한히 작아질 때의 한계에서, δθ를 들어, 파라미터 ε로 취할 수 있고, ψ는 각각 i ψ 및 -i ψ*와 같습니다. 구체적인 예는 라그랑지안 밀도를 갖는 스핀 없는 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 상대론적으로 올바른 버전인 클라인-고든 방정식입니다.

${\displaystyle L=\partial_{\nu}\psi \partial _{\mu}\psi ^{*}\eta^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}}$

이 경우, Nother의 정리는 보존된 (∂ ⋅ j = 0) 전류가 다음과 같다고 말합니다.

${\displaystyle j^{\nu}=i\left ({ {\frac {\partial \psi }{\mu }}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}-{\mu }-{\partial x^{\mu }}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,}$

그 종류의 입자에 전하를 곱하면 그 종류의 입자로 인한 전류 밀도와 같습니다. 이 "게이지 불변성"은 Hermann Weyl에 의해 처음으로 발견되었으며 물리학의 게이지 대칭의 원형 중 하나입니다.

도함수

하나의 독립 변수

가장 단순한 경우, 하나의 독립 변수인 시간을 갖는 시스템을 생각해 보십시오. 종속변수 q가 작용 적분과 같다고 가정합니다.

는 종속 변수의 짧은 무한소 변동 하에서 불변입니다. 즉, 이들은 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킵니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}[t]={\frac {\partial L}{\mathbf {q}}}[t]}$

그리고 적분이 연속적인 대칭 하에서 불변이라고 가정해봅시다. 수학적으로 그러한 대칭은 다음과 같이 변수에 작용하는 흐름, φ로 표현됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t]]=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon]\end{aligned}}$

여기서 ε는 흐름의 양을 나타내는 실제 변수이고 T는 흐름이 시간을 얼마나 이동하는지를 나타내는 실제 상수(0일 수 있음)입니다.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q}}}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q}}}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q}[t],\varepsilon]={\frac {\partial \varphi}{\mathbf {q} }[t'-\varepsilon T][\dot {\mathbf {q}}}[t'-\varepsilon T][t'-\varepsilon T]}$

작용 적분은 다음으로 흐릅니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q}}}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}$

이것은 ε의 함수로 간주될 수 있습니다. ε의 = 0에서 도함수를 계산하고 라이프니츠의 법칙을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q}}}\left(-{\frac {\partial \varphi}{\partial \mathbf {q}}}{\dot {\partial \varphi}}}{\partial \varpsilon}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {dot {\mathbf {q}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi}{(\partial \mathbf {q})}\left(-{\partial \mathbf {q})^{\dot {\mathbf}}{\dot {\mathbf}}}{\partial \mathbf}}}\right(-{\frac {\partial ^{2}}}}\left(-{\frac {\partial \mathbf {q})}{\dot {\mathbf}}}}{\dot {\mathbf {q}}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q}}-{\dot {\mathbf {q}}\right)\,dt.\end{align}}}$

오일러-라그랑주 방정식은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left ({ {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}{\frac {\partial \varphi}}{\partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}}{\right}=\left({\frac {d}{\partial L}{\dot}{\mathbf {q}}}\right){\frac {\mathbf {q}}}\right){\frac {\partial \varphi}}}{\dot {\mathbf {q}}}}{\dot {\mathbf {q}}}T+{\frac} {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \mathbf {q}}\right){\dot {\mathbf {q}}}\right){\dot {\mathbf {q}}}{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}{\frac {\partial \varphi}}}{\dot {\mathbf {q}}}\,T\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}{\frac {\partial L}}{\dot {\mathbf {q}}}}\left ({\frac {\partial ^{2}\varphi}{(\partial \mathbf {q})^{2}}}{\dot {\mathbf {q}}\right){\dot {\mathbf {q}}}{\frac {\partial L}}{\dot {\mathbf {q}} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{align}}}$

이것을 이전 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q}[t_{2}],{\dot {\mathbf {q}}},[t_{2}]T-L[\mathbf {q}[t_{1}],{\dot {\mathbf {q}},{\dot {\mathbf {q}},[t_{1}],[t_{1}]T-{\frac {\mathbf {q}}},{\frac {\partial \varphi}{partial \mathbf {q}}},{\dot {\mathbf {q}}},{\dot {\mathbf {q}}},[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}[t_{1}]T\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\mathbf {q}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}\,dt.\end{align}}}$

다시 오일러-라그랑주 방정식을 사용하면

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left ({ {\frac {\mathbf {q}}}{\frac {\dot {\mathbf {q}}}{\partial \varphi }{\({ \varepsilon }}\right)=\left partial \dt}{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}\right){\frac {\partial \varphi}{\partial \varepsilon }}+{\dot {\mathbf {q}}}}\right){\frac {\frac {\mathbf {q}}}{\frac {\mathbf {q}}}}}} ^{2}\varphi }{\partial \varpsilon \partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}={\frac {\partial L}{\mathbf {q}}}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varpsilon }}+{\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi}{\partial \varpsilon \partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}}$

이것을 이전 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}[t_{1}]T\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{align}}}$

그걸 알 수 있는 사람은

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \mathbf {q}}}{\dot {\mathbf {q}}}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \varepsilon}}}$

는 운동의 상수, 즉 보존된 양입니다. φ[q, 0] = q 이후로 ∂ φ ∂ ${\displaystyle q}$ = 1 {\$displaystyle$ {\frac {\partial \varphi} {\partial \mathbf {q}}}=1} 이므로$$보존된 수량은 다음과 같이 단순화됩니다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}}{\dot {\mathbf {q}}}}{\dot {\mathbf {q}}}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\dot {\mathbf {q}}}}}{\frac {\partial \varphi}{\partial \varepsilon}}}$

공식의 과도한 복잡성을 피하기 위해 이 유도는 흐름이 시간이 지남에 따라 변하지 않는다고 가정했습니다. 보다 일반적인 경우에도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

장이론적 유도

지수$$A가 다양한 텐서 필드의 다양한 구성 요소에 걸쳐 있는 $텐서$ 필드$$φ A {\$displaystyle$\varphi^{A$}}$에 대해서도 노이더 정리를 유도할 수 있습니다. 이러한 필드 수량은 4차원 공간에 정의된 함수이며, 점은 시간에 따른 인덱스 μ 범위(μ = 0)와 3개의 공간 차원(μ = 1, 2, 3)에서 좌표 x로 표시됩니다. 이 네 개의 좌표는 독립 변수이고 각 이벤트의 필드 값은 종속 변수입니다. 무한소 변환 하에서 좌표의 변화는 다음과 같이 기록됩니다.

${\displaystyle x^{\mu}\오른쪽 화살표 \xi^{\mu} =x^{\mu}+\delta x^{\mu}}$

반면에 필드 변수의 변환은 다음과 같이 표현됩니다.

${\displaystyle \varphi^{A}\right 화살표 \alpha^{A}\left(\xi^{\mu}\right)=\varphi^{A}\left(x^{\mu}\right)+\delta \varphi^{A}\left(x^{\mu}\right)\,}$

이 정의에 따르면, 필드 ${\displaystyle {변형}^{}}$δ φ A ${\$displaystyle \delta \varphi ^{A}}는 변환된 필드 α가 변환된 좌표 ξ에 의존하기 때문에 필드 자체의 고유 변화와 좌표 변화의 두 가지 요인에서 비롯됩니다. 고유한 변화를 분리하기 위해 단일 점 x에서의^μ 필드 변화를 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,}$

좌표가 변경되면 라그랑지안이 통합되는 시공간 영역의 경계도 변경됩니다. 원래 경계와 변환된 버전은 각각 ω ω'와 ω'로 표시됩니다.

노에테르 정리는 좌표 및 필드 변수의 특정 변환이 주어진 시공간 영역에 대한 라그랑지안 밀도의 적분으로 정의되는 작용을 변경하지 않는다는 가정에서 시작됩니다. 수학적으로 표현하면, 이 가정은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \int_{\Omega ^{\prime}}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

여기서 쉼표 첨자는 예를 들어 쉼표 뒤에 오는 좌표에 대한 부분 도함수를 나타냅니다.

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}\,}$

ξ는 적분의 더미 변수이고, 경계 ω의 변화는 가정에 의해 무한히 작으므로, 두 적분은 4차원 버전의 발산 정리를 이용하여 다음과 같은 형태로 결합될 수 있습니다.

${\displaystyle \int_{\Omega}\left\{\left[L\left](\alpha^{A},{\alpha^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu},x^{\mu}\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,}$

라그랑지안의 차이는 다음과 같이 무한소의 변화에서 1차에 기록될 수 있습니다.

${\displaystyle \left[L\left](\alpha^{A},{\alpha^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu},x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}{\delta }\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}_{,\sigma }\.}$

그러나 위에서 설명한 것과 같은 점에서 변형이 정의되므로, 변형과 도함수는 역순으로 수행될 수 있으며, 이들은 통근합니다.

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}_{,\sigma}={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\({}}={\frac {\partial }{\sigma x^{\sigma }}\left delta \bar {\partial}}\varphi ^{A}\right)\,}$

오일러-라그랑주 필드 방정식 사용

${\displaystyle {\frac {\partial }{\sigma x^{\partial}}\left ({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

라그랑지안의 차이는 깔끔하게 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left](\alpha^{A},{\alpha^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={\frac {\partial }}&{\sigma x^{\({}}}\왼쪽 partial\frac {\sigma L}{\부분 {\varphi ^{A}}_{,\시그마 }}\오른쪽){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\partial L}{\bar {\delta }_{,\sigma }}{\bar {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}{\barphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial x^{\partial }}}\왼쪽 ({\frac {\partial L}{\partial L}{\부분 {\varphi ^{A}}_{,{\varphi }_{,{A}}_{,{\partial L}}\왼쪽 {\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{align}}}$

따라서, 조치의 변경은 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

${\displaystyle \int_{\Omega }{\partial }{\partial x^{\sigma}}\left\{\frac {\partial L}{\varphi ^{A}_{,\sigma }}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu},x^{\mu}\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,}$

이것은 모든 영역 ω에 대해 유지되므로, 적분값은 0이어야 합니다.

${\displaystyle {\frac {\partial x^{\sigma}}\left\{\frac {\partial L}{\varphi ^{A}_{,\sigma }}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu},x^{\mu}\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,}$

다양한 대칭 변환의 임의의 조합에 대하여, 섭동은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu}&=\varepsilon X^{\mu}\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}$

여기서 ${\displaystyle {LX}_{}}$φ A {\displaystyle ${\mathcal${L}_{X$}\varphi$^{A}}는 X 방향의 φ$$A ${\displaystyle$ \varphi^{A}의 Lie ${\displaystyle {도함수}^{}}$입니다. φ$$ {\displaystyle \varphi$^{$A}}가 스칼라 또는 X μ인 경우, ν = 0 {\displaystyle {X^{\mu}}_{,\n$u$}$=0$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi^{A}={\frac {\partial \varphi^{A}}{\partial x^{\mu}}X^{\mu}\,}$

이 방정식들은 한 점에서 취한 필드 변동이 다음과 같음을 의미합니다.

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}_{X}\varphi ^{A}\,}$

ε = 0에서 ε에 대한 위의 발산을 미분하고 부호를 변경하면 보존 법칙이 산출됩니다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\sigma }}j^{\sigma }=0}$

보존 전류가 같은 경우.

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\sigma L}}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left ({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}\right)\Psi ^{A}\,}$

다양체/섬유다발도함수

n차원 지향 리만 다양체 M과 대상 다양체 T가 있다고 가정하자. $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 M에서 T까지의 매끄러운 함수의 구성 공간이라 하자. (보다 일반적으로, M 위에 섬유 다발의 매끄러운 단면을 가질 수 있습니다.)

물리학에서 이 M의 예는 다음과 같습니다.

• 고전 역학에서 해밀턴 공식에서 M은 1차원 $다양체{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$이며$,$ 시간을 나타내고 대상 공간은 일반화된 위치의 공변 다발입니다.
• 장 이론에서 M은 시공간 다양체이고 목표 공간은 주어진 점에서 장들이 취할 수 있는 값들의 집합입니다. 예를 들어, m개의 실제 값 스칼라 필드,${\displaystyle }$φ 1, ${\displaystyle {\dots ,}_{}}$ φ m${\displaystyle \varphi_{1},\ldots$varphi_{m}가 있는 경우 $매니폴드$는 Rm$displaystyle \$mathbb {R}^{m}}입니다. 필드가 실제 벡터 필드인 경우 대상 매니폴드는 R 3$displaystyle$\mathbb {R} ^{3}과$동형$입니다.

이제 기능이 있다고 가정해 보겠습니다.

${\displaystyle {\mathcal {S}}:\mathcal {C}}\오른쪽 화살표 \mathbb {R},}$

조치를 취했습니다. ($C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이$($가) 아니라 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 값을 입력합니다$.$ 이는 물리적인 이유 때문이며 이 증명에서는 중요하지 않습니다.)

일반적인 형태의 Noether 정리에 도달하기 위해서, 우리는 행동에 대한 추가적인 제한이 필요합니다. $우리$는 S [$$φ] {\displaystyle ${\mathcal$ {$S}}[\$varphi ]}가 함수의 M 위의 적분이라고 가정합니다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi,\partial _{\mu}\varphi,x)}$

φ$${\$displaystyle$\varphi}, 도함수 및$$위치에 따라 라그랑지안 밀도라고 합니다. 즉, C ${\displaystyle {\mathcal${C}}의$$φ {\displaystyle$$\$}$에 대해

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi]\,=,\int_{M}{\mathcal {L}}[\varphi(x),\partial _{\mu }\varphi(x),x]\,d^{n}x.}$

경계 조건, 즉 M이 콤팩트한 경우 경계에서$$φ {\displaystyle$$\varphi} 값의 규격이 주어지거나 x가 ∞에 접근함에 따라 φ${\displaystyle$ \varphi}에 대한 일부$제한$이 주어졌다고 가정합니다. 그런 다음 함수로 $구성$된 C ${\displaystyle {\mathcal {C}}$의 부분 공간은 φ${\displaystyle$ \varphi}에서 S {\$displaystyle {\mathcal$ {$}}$의 모든 함수$도함수$가 0이 되도록$$φ ${\$displaystyle \varphi}입니다. 즉,

${\displaystyle {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi(x)}\약 0}$

$그리고$ ${\displaystyle$\varphi}$$φ이 주어진 경계 조건을 만족한다는 것은 온쉘 솔루션의 부분 공간입니다. (정지 작용의 원리 참조)

이제$,$ 함수$$유도에 의해 $생성$된 C {\$displaystyle$ {\mathcal ${C}}$에 대한 무한소 변환이 있다고 가정하면, Q는 다음과 같습니다.

${\displaystyle Q\left[\int_{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int_{\partial N}f^{\mu}[\varphi(x),\partial \varphi,\ds_{\mu}}$

모든 콤팩트 서브매니폴드 N에 대하여 또는 다른 말로,

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

우리가 설정한 모든 x에 대하여

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi(x),\partial _{\mu}\varphi(x),x]}$

이것이 껍질과 껍질을 유지한다면 Q는 껍질 밖 대칭을 생성한다고 말합니다. 이것이 껍질만 유지된다면 Q는 껍질 위에서 대칭을 생성한다고 말합니다. 그렇다면 Q는 하나의 매개변수 대칭인 Lie 군의 생성자라고 합니다.

이제, 임의의 N에 대하여, 오일러-라그랑주 정리 때문에 (및 오직 껍질 위에서만),

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int_{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int_{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial \varphi }}-\mu partial}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial(\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int_{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial(\mu }\varphi )}}Q[\varphi]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }}.\end{align}}}$

이것은 어떤 N에도 해당하므로, 우리는

${\displaystyle \partial_{\mu}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial(\partial_{\mu}\varphi )}}Q[\varphi]-f^{\mu}\right]\proxy 0.}$

그러나 이것은 다음과 같이 정의되는$$ 현재 $J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\$ J$^{\mu}}$에 대한 연속 방정식입니다.^[10]

${\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial(\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }}$

대칭과 관련된 Noether 전류라고 불립니다. 연속 방정식은 공간과 같은 슬라이스에 전류를 적분하면 Noether 전하라고 하는 보존된 양을 얻을 수 있음을 알려줍니다. (물론 M이 비압축적이면 전류는 무한대에서 충분히 빠르게 떨어집니다.)

평.

노에테르의 정리는 껍질에 관한 정리입니다: 그것은 운동 방정식인 고전 경로를 사용하는 것에 의존합니다. 경계 조건과 변분 원리 사이의 관계를 반영합니다. 작용에 경계항이 없다고 가정할 때, 노터 정리는 다음을 의미합니다.

${\displaystyle \int_{\partial N}J^{\mu}ds_{\mu}\약 0.}$

기대 값(${}^{}$:$$⟨ ∫$$d$$4 $x$ ∂ ⋅ $J$ ⟩ =$0$ {\$textstyle$ \left$\$lang \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0})을 포함하는 노에테르 정리의 양자 유사체도 워드-타카하시 항등식입니다.

리 대수학에 대한 일반화

우리가 두 대칭 유도체 Q와₁ Q를 가지고₂ 있다고 가정하자. 그러면 [Q₁₂, Q]도 대칭 유도입니다. 이것을 명시적으로 보겠습니다. 자.

그리고.

그리고나서,

where f₁₂ = Q₁[f₂^μ] − Q₂[f₁^μ]. 그렇게,

이것은 우리가 자연적인 방법으로 더 큰 리 대수들로 Noether의 정리를 확장할 수 있다는 것을 보여줍니다.

증명의 일반화

이것은 QS ≈ 0을 만족하는 모든 로컬 대칭 유도 Q와 라그랑지안이 필드의 더 높은 도함수에 의존하는 것을 포함한 보다 일반적인 로컬 함수 미분 가능 동작에도 적용됩니다. ε는 지지부의 폐쇄가 경계와 분리되도록 시공간(또는 시간) 매니폴드의 임의의 매끄러운 기능임을 명시합니다. ε은 테스트 기능입니다. 그렇다면 (그런데 경계에는 적용되지 않는) 변분 원리 때문에 q[ε][φ][φ(x)] = ε(x)Q[ε(x)]에 의해 생성된 유도 분포 q는 모든 ε에 대해 q[≈][S] ≈ 0을 만족합니다(단, q(x)는 유도 분포의 약자임을 기억하십시오). 일반적으로 x로 매개변수화된 유도가 아닙니다). 이것이 바로 노에테르 정리의 일반화입니다.

일반화가 위에 주어진 버전과 어떻게 관련되어 있는지 확인하려면, 동작이$$φ${\$displaystyle$$\varphi} 및 그 첫 번째 도함수에만 의존하는 라그랑지안의 시공간 적분이라고 가정합니다. 또한, 가정해보세요.

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approxy \partial _{\mu}f^{\mu}}$

그리고나서,

${\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon }][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon }[{\mathcal {L}}]d^{n}x\[6pt]&=\int \left\{\left ({\frac {\partial }{\varphi }}{\mathcal {L}\right)\varepsilon Q[\varphi]+\left[{\frac {\partial }{\mu }\varphi}}{\mathcal {L}\right]\부분_{\mu }(\varepsilon Q[\varphi })} ])\right\}d^{n}x\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}+\partial_{\mu}\varepsilon \left[{\frac {\mu}}{\partial \left(\partial _{\mu}\varphi \right)}}{\mathcal {L}\right]Q[\varphi]\right\}\,d^{n}x\[6pt]&\\x\\proxy \int \varpsilon \partial_{\mu}\left\{f^{\mu}-\left[{\frac {\partial}}{\partial(\partial_{\mu}\varphi )}}{\mathcal {L}\right]Q[\varphi]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}$

$모든$ε에 대해 ${\displaystyle$ \varepsilon$}.$

더 일반적으로 라그랑지안이 더 높은 도함수에 의존한다면,

${\displaystyle \partial_{\mu}\left[f^{\mu}-\left[{\frac {\partial}}{\partial(\partial_{\mu}\varphi )}}{\mathcal {L}\right]Q[\varphi]-2\left[{\frac{\partial}{\partial}{\mu}\partial_{\nu}\varphi )}}{\mathcal {L}\right]\partial_{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu}\left[\frac {\partial }{\partial(\partial _{\mu}\partial _{\nu}\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi]\right]-\,\dotsm \right]\약 0.}$

예

예 1: 에너지 절약

질량 m인 뉴턴 입자의 구체적인 경우를 살펴보면, 전위 V의 영향을 받아 움직이는 좌표 x는 시간 t에 의해 좌표화됩니다. 동작 S는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\mathcal {s}}{\aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t)],{\dot {x}(t)\right]\,dt\&=\int \left ({\frac {m}{2}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}_{i}^{2}-V(x(t)\right)\,dt.\end{align}}}$

괄호 안의 첫 번째 항은 입자의 운동 에너지이고 두 번째 항은 위치 에너지입니다. 시간 변환 Q = d/dt의 생성기를 생각해 보십시오. 즉, $Q{\displaystyle }$[ x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ]${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ˙$$( t ) {\$displaystyle$Q[x(t)] = {\dot {x}}(t)}입니다. 좌표 x는 시간에 대한 명시적인 의존성을 갖지만 V는 그렇지 않습니다. 결과적으로 다음과 같습니다.

${\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}}$

우리가 설정할 수 있도록

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).}$

그리고나서,

${\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\dot {x}}_{i}}Q[x_{i}]-L\&=m\sum _{i}{\dot {x}}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}}\sum _{i}}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{align}}}$

오른쪽은 에너지이며, 노에테르 정리에 따르면 ${\displaystyle \mathrm{dj}}$/ ${\displaystyle d}$ t = ${\displaystyle 0}$ ${\$display dj/dt = 0} (즉, 에너지 보존의 원리는 시간 변환 하에서 불변의 결과입니다).

더 일반적으로 라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않는다면, 그 양은

${\displaystyle \sum_{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\dot {x}_{i}}{\dot {x_{i}}-L}$

(해밀턴어로 불림)는 보존됩니다.

예제 2: 운동량 중심 보존

여전히 1차원 시간을 고려할 때,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}\right]&=\int {\mathcal {L}\left[{\vec {x}}(t)\right]dt\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{\n}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left ({\dot {\vec {x}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha \beta }V_{\alpha \beta }-{\({}-{\vec {x}}-{\beta }-{\vec {x}}-{\alpha }\right]dt,\end{align}}}$

$전위$가 상대 변위에만 $쌍$으로 의존하는 N {\displaystyle N$}$ 뉴턴$$ 입자의 경우$.$

$Q$ → ${\displaystyle {\vec {Q}}$의 경우 갈릴레이 변환의 생성기$($즉, 기준 프레임의 변경)를 고려합니다. 다시 말해,

${\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha}^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}$

그리고.

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t_{i}V_{\alpha \beta }\left ({\vec {x}_{\beta }-{\vec {x}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{align}}}$

이것은 $\frac{dd}{}$ ${}_{}$ ∑ ${\alpha }_{}^{}$ m ${}_{}^{}$ x $α$ ${\textstyle {\frac {$d}{$dt}}\sum$ _${\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha$}^{i}}의 형태를 가지므로 우리는 다음을 설정할 수 있습니다.

${\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha}m_{\alpha}{\vec {x}}_{\alpha}}$

그리고나서,

${\displaystyle {\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left partial \frac {\({}{\dot {\vec {x}}_{\alpha }}{\mathcal {L}\right)\cdot {\vec {Q}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}\[6pt]]&\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)\[3pt]&={\vec {P}\t-M} {x}_{CM}\end{align}}$

$여기$서 P →$${\$displaystyle$ ${\vec${P}}는 총 운동량, M은 총 질량, x → CM {\displaystyle {\vec {x}_{CM}}은 질량의 중심입니다. 다른 사람의 정리는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {d{\vec {j}}{dt}}=0\오른쪽 화살표 {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}_{CM}=0.}$

예제 3: 등각 변환

예 1과 예 2는 모두 1차원 매니폴드(시간) 위에 있습니다. 시공간과 관련된 예로는 (3 + 1)-민코프스키 시공간에서 4등분 전위를 가진 질량 없는 실제 스칼라 필드의 등각 변환이 있습니다.

${\displaystyle {\mathcal {S}}{\varphi}&=\int {\mathcal {L}\left[\varphi(x),\partial _{\mu }\varphi(x)\right]d^{4}x\[3pt]&=\int \left ({\frac {1}{2}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}$

Q의 경우 시공간 재스케일링의 생성기를 고려합니다. 다시 말해,

${\displaystyle Q[\varphi(x))]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}$

오른쪽 두 번째 용어는$$φ {\displaystyle$\backslash$varphi}의 "conformal weight" 때문입니다. 그리고

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\부분 ^{\mu}\varphi \left(\partial _{\mu}\varphi +x^{\nu}\partial _{\mu}\partial _{\nu}\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right)}$

이것은 다음과 같은 형태를 가지고 있습니다.

${\displaystyle \partial_{\mu}\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu}\partial ^{\nu}\varphi \ partial _{\nu}\varphi -\lambda x^{\mu}\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu}\left(x^{\mu}{\mathcal {L}\right)}$

(더미 지수를 변경한 경우) 따라서 set

${\displaystyle f^{\mu}=x^{\mu}{\mathcal {L}}.$

그리고나서

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu}&=\left[{\frac {\mu}}{\partial(\partial _{\mu}\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi]-f^{\mu}\\&=\partial ^{\mu}\varphi \left(x^{\n)u}\partial _{\nu}\varphi +\varphi \right)-x^{\mu}\left ({\frac {1}{2}\partial ^{\nu}\varphi \ partial _{\nu}\varphi -\lambda \varphi^{4}\right).\end{align}}}$

Noether의 ${\displaystyle {정리}^{}}$는 ∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu } = 0}이라고 말합니다(Euler-Lagrange 방정식을 왼쪽에 대입하여 명시적으로 확인할 수 있음).

이 방정식의 워드-타카하시 유사체를 찾으려 하면 이상 때문에 문제가 발생합니다.

적용들

노에테르 정리를 적용하면 물리학자들은 관련된 법칙의 형태를 불변으로 만드는 다양한 변환을 분석함으로써 물리학의 모든 일반 이론에 대한 강력한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 예:

• 공간 번역에 대한 고립계의 불변성(즉, 물리 법칙이 공간의 모든 위치에서 동일하다는 것)은 선형 운동량 보존 법칙(고립계의 총 선형 운동량은 일정하다는 것을 의미함)을 제공합니다.
• 시간 번역에 대한 고립계의 불변성(즉, 물리 법칙이 모든 시점에서 동일하다는 것)은 에너지 보존 법칙(고립계의 총 에너지는 일정하다는 것)을 제공합니다.
• 회전에 대한 고립계의 불변성(즉, 물리 법칙이 공간의 모든 각 방향에 대해 동일하다는 것)은 각운동량 보존 법칙(단 고립계의 총 각운동량은 일정하다는 것을 의미함)을 제공합니다.
• 로렌츠에 대한 고립계의 불변성은 (즉, 물리 법칙이 모든 관성 기준 프레임에 대해 동일하다는 것) 질량 중심 정리를 제공합니다 (고립계의 질량 중심은 일정한 속도로 이동한다는 것을 의미합니다).

양자장 이론에서 노에테르 정리와 유사한 워드-타카하시 항등식은 하전 입자의 복잡한 장의 위상 인자 변화와 관련된 전기 퍼텐셜 및 벡터 퍼텐셜의 게이지와 같은 불변성에서 전하의 보존과 같은 추가 보존 법칙을 산출합니다.

노에테르 전하는 고정된 블랙홀의 엔트로피를 계산하는 데에도 사용됩니다.^[11]

참고 항목

참고문헌

더보기

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외부 링크

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