불변론

불변성 이론은 벡터 공간과 같은 대수적 변종에 대한 집단의 작용을 기능에 미치는 영향의 관점에서 다루는 추상적 대수학의 한 분야다. 고전적으로, 이론은 주어진 선형 그룹으로부터의 변환 아래에서 변하지 않거나 불변하는 다항 함수의 명시적 서술 문제를 다루었다. 예를 들어, 우리가 n by n matrix의 공간에 대한 특수 선형 그룹 SL의_n 작용을 왼쪽 곱셈에 의해 고려한다면, A X의 결정 인수는 A가 SL에_n 있을 때 X의 결정 인자와 같기 때문에 결정 인자는 이 작용의 불변인 것이다.

소개

$G$ $G$ 을(를) 그룹으로 $G$ 하고, $V$ $V$ 필드 k $k$ 위에 있는 $V$ 유한 차원 벡터 공간(고전 불변성 이론에서는 보통 복잡한 숫자로 가정했다)을 설정한다. $k$ A representation of $G$ in $V$ is a group homomorphism $\pi :G\to GL(V)$ , which induces a group action of $G$ on $V$ . If $k[V]$ is the space of polynomial functions on ${\displ$ $aystyle V$ 그러면 $V$ $V$ 에서 $G$ G ${\displaystyle$ G $}$ 의 그룹 작업은 다음 공식으로 $k[V]$ k $k[V]$ [ $k[V]$ $k[V]$ $k[V]$ 에 대한 작업을 생성한다 $V$ .

(g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x)\qquad \fall x\in V, g\in G,f\in k[V].

With this action it is natural to consider the subspace of all polynomial functions which are invariant under this group action, in other words the set of polynomials such that $g\cdot f=f$ for all $g\in G$ . This space of invariant polynomials is denoted ${\displaystyle$ $k[V]^{G$ .

불변 이론의 첫 번째 문제:^[1] $k[V]^{G}$ [ $k[V]^{G}$ $k[V]^{G}$ $k[V]^{G}$ ${\$ 은 $k[V]^{G}$ (는) k ${\displaystyle$ k $}$ 에 대해 정밀하게 생성된 대수인가 $k$

For example, if $G=SL_{n}$ and $V=M_{n}$ the space of square matrices, and the action of $G$ on $V$ is given by left multiplication, then $k[V]^{G}$ is isomorphic to a polynomial algebra in one va결정 요인에 의해 생성되는 가변성. 즉, 이 경우 모든 불변 다항식은 결정 다항식의 힘의 선형 결합이다. 따라서 이 $k[V]^{G}$ k $k[V]^{G}$ [ $k[V]^{G}$ $k[V]^{G}$ $k[V]^{G}$ ${\$ 는 k $k$ 에 걸쳐 미세하게 생성된다 $k[V]^{G}$ $k$

만약 예스라면, 다음 질문은 최소한의 근거를 찾고, 기본 요소들 사이의 다항 관계 모듈(syzygies로 알려져 있음)이 $k[V]$ k [ $k[V]$ ] $k[V]$ {\ $displaystyle k[V]}$ 을(를) 통해 미세하게 생성되는지 질문하는 것이다 $k[V]$

유한집단의 불변 이론은 갈루아 이론과 밀접한 관련이 있다. 첫 번째 주요 결과 중 하나는 다항 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$ R $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$ $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$ $1$ … $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$ , $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$ $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\displaystyle$ $S_{$ $n$ 에 작용하는 $S_{n}$ $S_{n}$ $S_{n}$ ${\$ displaystyle R[x_{1},\ $ldots$ ,x_{ $n}$ ]의 불변수를 변수의 순열로 기술한 대칭함수에 대한 주요 정리였다 $.$ 더 일반적으로는, 체발리-셰퍼드-토드 정리는 불변성의 대수가 다항식 고리인 유한집단의 특징을 나타낸다. 유한집단의 불변 이론에 대한 현대 연구는 발전기의 정도에 대한 명시적 한계와 같은 "유효한" 결과를 강조한다. 이념적으로 모듈형 표현 이론에 가까운 양성 특성의 경우는 대수학적 위상과의 연계가 있는 능동적 연구의 영역이다.

무한집단의 불변 이론은 특히 2차적 형태와 결정요인의 이론이 선형대수의 발달과 불가분의 관계에 있다. 상호 영향력이 큰 또 다른 주제는 투영 기하학이었는데, 여기서 불변 이론은 소재를 구성하는 데 큰 역할을 할 것으로 기대되었다. 이 관계의 하이라이트 중 하나는 상징적인 방법이다. 반실현 Lie 집단의 대표이론은 불변 이론에 그 뿌리를 두고 있다.

불변수 대수(1890년)의 유한 세대 문제에 관한 데이비드 힐버트의 연구는 새로운 수학 분야인 추상 대수학이라는 것을 만들어냈다. 힐버트(1893년)의 후기 논문은 같은 질문을 보다 건설적이고 기하학적인 방법으로 다루었으나, 데이비드 뭄포드가 기하학적 불변론에서 상당히 일반적이고 현대적인 형태로 1960년대에 이러한 사상을 되살리기 전까지는 사실상 알려지지 않은 채 남아 있었다. 뭄포드의 영향으로 크게 보면 불변성 이론의 주제는 아핀과 투영성 변종에 대한 선형 대수집단의 작용 이론을 포괄하는 것으로 보인다. 19세기의 고전적인 건설적이고 조합적인 방법으로 거슬러 올라가는 불변 이론의 뚜렷한 한 가닥은 지안 카를로 로타와 그의 학교에 의해 개발되었다. 이러한 사상의 순환의 두드러진 예는 표준 단항 이론에 의해 제시된다.

예

불변 이론의 간단한 예는 집단 행동에서 나오는 불변 일원론들을 계산하는 데서 온다. 예를 들어, $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Z ${\$ { $\mathbb {C} [x,y]$ $} }$ - $\mathbb {C} [x,y]$ [ $\mathbb {C} [x,y]$ , y $\mathbb {C} [x,y]$ $\mathb {C} [x,y]$ 전송에 $\mathbb {C} [x,y]$ 대한 액션을 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 고려하십시오.

{\regated}x\mapsto -x&y\mapsto -y\end}정렬}

그러면 x $x^{2},xy,y^{2}$ , $x^{2},xy,y^{2}$ y , $x^{2},xy,y^{2}$ $x^{2},xy,y^{2}$ {\ $displaystyle$ x $^{2},xy,y^{2}}$ 도가 $x^{2},xy,y^{2}$ 불변하는 가장 낮은 단조도이기 때문에 우리는 그것을 가지고 있다.

\mathb{x,y]^{\mathb {Z} /2\mathb {Z}\\mathb {C}[x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathb {C}[a,b,c]}{c}}}}{c-b^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

이 예는 많은 계산을 하는 기초를 형성한다.

19세기 기원

불변의 이론은 19세기 중반쯤 미네르바와 비슷한 시기에 존재하게 되었다: 대수의 빛나는 갑옷을 입고 우송된 다 자란 처녀, 그녀는 케일리의 조비앙 머리에서 튀어나왔다.

Weyl (1939b, p.489)

케일리는 그의 "선형 변환 이론에 대하여"에서 불변 이론을 처음 확립했다. Cayley는 그의 논문 개론에서 조지 불 1841년 논문에 대해 "같은 주제에 대한 매우 우아한 논문에 의해 나에게 투자가 제안되었다... Boole씨가 쓴." (Boole의 논문은 Cambridge Matheical Journal의 Linear Transformations의 일반 이론 해설서였다.)^[2]

고전적으로 "불변량 이론"이라는 용어는 선형 변환의 작용을 위한 불변 대수적 형태(동등하게 대칭 텐서)의 연구를 말한다. 이것은 19세기 후반의 주요 연구 분야였다. 대칭군 및 대칭함수, 역대수학, 모듈리 공간 및 리군 표현과 관련된 현재의 이론은 이 영역에 뿌리를 두고 있다.

보다 세부적으로, 차원 n의 유한차원 벡터 공간 V를 고려할 때, 우리는 V에 대한 도 r의 다항식의 대칭 대수 S(S^r(V)와 GL(V)에 대한 작용을 고려할 수 있다. 만약 우리가 GL(V)의 상대적 불변제 또는 SL(V)의 표현을 고려한다면, 실제로 더 정확하다. 즉, 정체성의 스칼라 배수가 스칼라의 r번째 파워 '중량'을 통해 S(V)에서 r등급의 텐서에게 작용하기 때문이다. 그런 다음, 작용에 대한 불변제 I(S^r(V)의 하위 골격을 정의한다. 우리는 고전 언어로 n-ary r-ics의 불변수를 보고 있다. 여기서 n은 V의 차원이다. (이는 S(V)에서 GL(V)의 불변수를 찾는 것과 같지 않다. 이러한 불변만이 상수인 만큼 흥미롭지 않은 문제다.) 가장 많이 연구된 경우는 n = 2인자 형태의 불변수였다.

다른 작업에는 $\mathbf {C} ^{2}$ 2 $\mathbf {C} ^{2}$ {\ $displaystyle \mathbf {C} ^{$ 2}}( $\mathbf {C} ^{2}$ ADE 분류에 의해 분류된 이진 다면체 그룹)에 대한 유한 그룹 작용의 불변성 링을 계산하는 펠릭스 클라인이 포함되었다. 이들은 듀 발 특이점의 좌표 링이다.

아라비아 봉황이 잿더미에서 솟아오르듯, 세기가 바뀔 때 죽은 것으로 발음되는 불변 이론은 다시 한번 수학의 최전선에 서게 된다.

Kung & Rota (1984, p.27)

많은 경우에서 I(V)가 정교하게 제시되었다는 것을 증명하는 데이비드 힐버트의 작품은, 비록 그 주제에 있어서의 고전적 시대적 시대는 50여 년이 지난 알프레드 영의 최종 간행물까지 이어졌지만, 거의 수십 년 동안 고전 불변론에 종지부를 찍었다. 특정 목적을 위한 명시적 계산은 현대에 알려져 있다(예를 들어 시오다, 2진법 8진법 포함).

힐베르트의 정리

힐버트(1890)는 V가 복합 대수군 G = SL_n(C)의 유한차원 표현일 경우 다항식 R = S(V)의 링에 작용하는 G의 불변제 링이 미세하게 생성된다는 것을 증명했다. 그의 증거는 레이놀즈 운영자 ρ을 R에서 R까지^G 사용했고

ρ(1) = 1
ρ(a + b) = ρ(a) + ρ(b)
ρ(ab) = a가 불변성일 때마다 ρ(b)이다.

힐버트는 케이리의 오메가 공정 Ω을 사용하여 명시적으로 레이놀즈 연산자를 구성했지만, 지금은 다음과 같이 간접적으로 ρ을 구성하는 것이 더 일반적이다: 컴팩트 그룹 G에 대해서는 레이놀즈 연산자가 G에 대한 평균을 취함으로써 레이놀즈 연산자를 주고, 비 컴팩트 그룹들을 웨일의 유닛에이리언 트릭을 사용하여 콤팩트 그룹의 경우로 줄일 수 있다.

레이놀즈 연산자를 감안할 때 힐버트의 정리는 다음과 같이 증명된다. 링 R은 다항식 고리여서 도 단위로 등급이 매겨져 있으며, 이상 I는 양도의 동질적 불변성에 의해 생성되는 이상으로 정의된다. 힐버트의 기본 정리(based organization)에 의해 내가 (이상으로서) 미세하게 생성된다. 따라서, 나는 G의 많은 불변제들에 의해 미세하게 생성된다(정확하게 생성된 이상 I을 생성하는 임의의 - 아마도 무한 부분집합 S가 주어진다면, 그렇다면 나는 이미 S의 일부 유한 부분집합에 의해 생성되기 때문이다). let₁ I, ...i는_n G 발생 I의 유한한 불변성 집합(이상적)이 되게 하라. 핵심 아이디어는 이것들이 불변성의 R^G 링을 생성한다는 것을 보여주는 것이다. x가 도 d > 0의 어떤 균일한 불변제라고 가정하자. 그러면

x = a₁i₁ + ... + a_ni_n

이상적 I에 x가 있기 때문에 R 링에서 a를_j 위해. 우리는 a가_j 모든 j에 대해 d - deg i의_j 동질성을 갖는다고 가정할 수 있다(그렇지 않으면 d - deg i의_j 동질 성분으로 a를_j 대체한다, 만약 우리가 모든 j에 대해 이렇게 한다면 x = ai₁₁ + ...). + ai는_n_n 계속 유효하다). 자, 레이놀즈 연산자를 x = ai₁₁ + ...에 적용. + ai가_n_n 준다.

x = ρ(a₁)i₁ + … + ρ(a_n)i_n

이제_n x가 나₁, ..., i에 의해 생성된 R-알지브라에 놓여 있다는 것을 보여드리려 한다.

첫째, 원소 ρ(a_k)가 모두 d보다 낮은 도(d)를 갖는 경우에 이렇게 하자. 이 경우, 모두 I₁, ...i에_n 의해 생성된 R-알지브라에 있다. 따라서 x = ρ(a₁)i₁ + … + ρ(a_n)i이므로_n 이 R-algebra에도 x가 있다.

일반적인 경우 elements(a_k) 원소가 모두 d보다 낮은 도수를 가지고 있다고 확신할 수 없다. 그러나 각 ρ(a_k)를 d - deg i의_j 동질 성분으로 대체할 수 있다. 결과적으로, 이러한 변형된 ρ(a_k)는 여전히 G-invariant이고 (G-invariant의 모든 동질 성분이 G-invariant이기 때문에) d(deg i_k > 0 이후) 미만의 학위를 가지고 있다. x = ρ(a₁)i₁ + … + ρ(a_n)i_n 방정식은 우리의 수정된 ρ(a_k)를 여전히 지탱하고 있으므로, 우리는 다시 x가 i₁, ..., i에_n 의해 생성된 R-알지브라에 있다고 결론 내릴 수 있다.

따라서, 정도의 유도에 의해, R의^G 모든 원소는 I₁, ..., i에_n 의해 생성된 R-알지브라에 있다.

기하불변성 이론

기하불변성 이론의 현대적인 공식화는 데이비드 뭄포드 덕분이며, 그 좌표 고리를 통해 불변 정보를 포착해야 하는 집단행동에 의한 지분의 구성을 강조한다. 어떤 '나쁜' 궤도를 배제하고 다른 것을 '좋은' 궤도로 식별함으로써 성공이 얻어진다는 점에서 미묘한 이론이다. 별개의 발전으로 보아 분명히 휴리스틱 결합기법인 불변 이론의 상징적인 방법이 재생되었다.

한 가지 동기는 표시된 물체를 파라메트리징하는 도표의 인수로 대수 기하학에서 모듈리 공간을 구성하는 것이었다. 1970년대와 1980년대에 이 이론은 공감 기하학 및 등가 위상과의 상호작용을 발전시켰으며, 인스턴트온이나 단면체와 같은 미분 기하학에서 물체의 모듈리 공간을 구성하는데 사용되었다.

참고 항목

참조

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외부 링크

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