펑터

수학, 특히 범주 이론에서 펑터는 범주 간의 매핑입니다.함수자는 대수적 객체(기본군 등)가 위상공간에 관련지어지고 이러한 대수적 객체 간의 지도는 공간간의 연속적 지도와 관련지어지는 대수적 위상학에서 처음 고려되었다.오늘날 함수는 현대 수학 전반에 걸쳐 다양한 범주를 연관짓기 위해 사용된다.따라서 범주론이 적용되는 수학의 모든 영역에서 함수는 중요하다.

단어 카테고리와 함수는 각각 ^[1]철학자 아리스토텔레스와 루돌프 카르나프로부터 수학자들에 의해 차용되었다.후자는 언어적 ^[2]맥락에서 펑터를 사용했습니다. 함수 단어를 참조하십시오.

정의.

펑터

F(\

displaystyle

F

)

는

F

\tau

{\(\

displaystyle\tau)

와

\tau

{\(\displaystyle\sigma)

의 구성을 유지해야 합니다.

C와 D를 카테고리로 합니다.C에서 D로의 펑터 F는 다음과 같은 매핑입니다^[3].

C의 각 $오브젝트$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 를 D의 $F($ X $)$ 에 $F(X)$ 관련짓습니다.
는 각 $f\colon X\to Y$ f : X $f\colon X\to Y$ $(C$ 의 경우 $)$ 를 $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ F ( $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ ) : $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ F ( $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ ) $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ ( $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ ) \ $colon F$ $( X$ )\ $to F$ (Y $)$ 에 $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ 관련지어 다음 두 가지 조건을 유지합니다.
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ C의 모든 $객체$ X {\ $displaystyle$ X $}$ 에 $X$ 대해 F $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ d $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ ) $=$ i $($ { $displaystyle$ F $(\mathrm {id} _{X$
- $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ ( $f\colon X\to Y\,\!$ $f\colon X\to Y\,\!$ $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ ) $f\colon X\to Y\,\!$ $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ ( g $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ ) $f$ $f\colon X\to Y\,\!$ F $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ ( g ) $g\colon Y\to Z$ $\$ $g\colon Y\to Z$ ( $f$ ) $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ $g\colon Y\to Z$ $g\colon Y\to Z$ ( $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ $g\colon Y\to Z$ \ $circ$ f ) $g\colon Y\to Z$ $F$ ( $g$ ) \ $circ F$ ( $f$ ) } ( X $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ $f\colon X\to Y\,\!$ Y \ $displaystyle$ f \ $to$ Y , \ $to$ Y , \ $circ$ F ( f ) ）。

즉, 함수는 정체성 형태와 형태소의 구성을 보존해야 한다.

공분산 및 반차이

수학에는 "형태론을 반전"시키고 "역구도"를 하지 않는 한 함수가 될 많은 구조들이 있다.그런 다음 C에서 D로의 역변함수 F를 다음과 같은 매핑으로 정의한다.

는 C의 각 $오브젝트$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 를 $X$ D의 $F(X)$ F $(X)$ 와 $F(X)$ 관련짓습니다.
는 C의 각 $f\colon X\to Y$ f : $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ (\ $displaystyle$ f $\colon$ X $\to$ Y )를 $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ D의 형태소 $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ F ( $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ ) $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ ( $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ ) (\ $displaystyle$ F ( $f)\colon$ F ( $Y)\to$ F ( $X)$ 와 $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ 관련지어 다음 두 가지 조건을 유지합니다.
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ C의 모든 $객체$ X {\ $displaystyle$ X $}$ 에 $X$ 대해 F $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ d $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ ) $=$ i $($ { $displaystyle$ F $(\mathrm {id} _{X$
- $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ 모든 형태 $f\colon X\to Y$ $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ : $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ $Y$ \ $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ $displaystyle$ f $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ \ $to$ $Y$ $f\colon X\to Y$ 、 $g\colon Y\to Z$ : $g\colon Y\to Z$ $f\colon X\to Y$ $g\colon Y\to Z$ \ $displaystyle$ $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ F ( g \ $circ f$ ) $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ F ( $f$ \ $circ$ F ( $g$ $)$

반변함수는 구성의 방향을 반대로 합니다.

일반 함수는 반변함수와 구별하기 위해 공변함수라고도 합니다.역변함수를 반대 $C^{\mathrm {op} }$ C $C^{\mathrm {op} }$ p \ $display style$ C $^{\mathrm {op}}$ ^[4]}의 공변함수로 정의할 수도 있습니다.일부 저자는 모든 식을 공변함수로 쓰는 것을 선호합니다.즉 $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ $F\colon C\to D$ : C $F\colon C\to D$ (\ $displaystyle$ F $\colon$ C $\$ $to$ $F\colon C\to D$ D )라고 $F\colon C\to D$ $F\colon C\to D$ 대신에, 단순히 F : C $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ (\ $displaystyle F\colon$ C^{\ $mathrm$ {op $}\$ $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ D ) $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ 라고 $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$

역변함수는 때때로 ^[5]공동함수라고도 불린다.

벡터( $벡터$ ) 즉 $,$ 접선 번들 $TM$ ( $디스플레이$ 스타일 TM $TM$ 의 $\Gamma (TM)$ 섹션 $\Gamma (TM)$ ( $TM) 공간$ 의 요소인 벡터(벡터)를 "반변적"으로 지칭하는 규칙과 공간 $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ 의 "코벡터"(Covectors)를 "1-폼 요소 $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ 로 지칭하는 규칙이 있다.\left( $T^{*}M$ $^{*}M\right)}}$ 코탄젠트 번들T $T^{*}M$ M $T^{*}M$ M : " $공변"$ 으로 $합니다$ 이 용어는 물리학에서 유래되었으며, 그 근거는 x $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ j ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ {x $}^{,$ $i$ }=\ $Lambda$ _ ${j}{i}^{i$ $}$ x ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ { $j$ }(xstyle { $xstyle})$ 와 ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ 식의 색인("display" 및 "아래층")의 위치와 관련이 있다. $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ i $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ = $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ {\ $j$ { $displaystyle$ \ $omega$ ' _ { i } = \ $Lambda _$ { i $}^{$ $j$ $} for$ . ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.$ = ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.$ ω sy sy $sy$ {\ {\ = $sysysysymbmb sy$ sy $sy$ symb sy sy sy sy sy sy symbmbmb mbmbmbmbmbmbmbmb $mbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmb$ $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ mbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmbmb mb $ambda$ _ ${i}^{j}($ 행렬 $(\$ {\ $lambda }}^{\displayf {T$ 는 "벡터 좌표"와 같은 방식으로 기본 벡터에 작용합니다. $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ $=$ $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ \ $mathbf {e} _Da}$ "좌표 표시" (단, 기본 코벡터와 "같은 방법"입니다: $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$ i $=$ $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$ j $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$ { $displaystyle \mathbf { e$ } ^{i}=\ $Lambda$ _ ${j}^{i}\mathbf {e} ^{j}).$ 이 용어는 범주 이론에서 사용되는 용어와 반대되는데, 이는 일반적으로 풀백을 가지고 있는 코벡터들이기 때문이다. 반면 벡터는 일반적으로 앞으로 밀릴 수 있기 때문에 공변하기 때문이다.자세한 내용은 벡터의 공분산 및 반분산도 참조하십시오.

반대함수

모든 $F\colon C\to D$ F : $F\colon C\to D$ $F\colon C\to D$ {\ $displaystyle$ F $\colon$ C $\to$ $D$ $F\colon C\to D$ }는 $F\colon C\to D$ 반대 $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ F $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ : $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ p \ $display C^ {\mathrm {op}$ } \ $to$ D $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $}$ 를 유도합니다.C{C\displaystyle}과 D{D\displaystyle}에 부지 범주 .[6]정의, Fo p{\displaystyle F^{\mathrm{op}}}F{F\displaystyle}에maps 물체와 morphisms 똑같이. C시 p{\displaystyle C^{\mathrm{op}}}C{C\displaystyle}과 함께 한 범주로 일치하지 않는다, a까지알몬드D $(\displaystyle$ D $D$ 의 $D$ 와 $F^{\mathrm {op} }$ 로 F $F^{\mathrm {op} }$ p $(\$ F $^{\mathrm {op})$ 는 $F^{\mathrm {op} }$ F(\ $displaystyle$ F $F$ 와 구별됩니다. 예를 들어 $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ F: $F\colon C_{0}\to C_{1}$ $F\colon C_{0}\to C_{1}$ $F\colon C_{0}\to C_{1}$ $F\colon C_{0}\to C_{1}$ 1(\ $displaystyle F_{0}\to$ C_ ${1$ }를 $F\colon C_{0}\to C_{1}$ G: $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ → $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ : C: C: C: C: C: 1 $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ 2 $(\$ $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ (\displaystyle C)로 $F\colon C_{0}\to C_{1}$ 하는 경우).G $G\circ F^{\mathrm {op} }$ $G\circ F^{\mathrm {op} }$ $G\circ F^{\mathrm {op} }$ p $G\circ F^{\mathrm {op} }$ { \ $display style G$ \ $cirrm$ ${$ $G\circ F^{\mathrm {op} }$ op } $G\circ F^{\mathrm {op} }$ $G^{\mathrm {op} }\circ F$ G $G^{\mathrm {op} }\circ F$ F $G^{\mathrm {op} }\circ F$ f $G^{\mathrm {op} }\circ F$ 。 $G\circ F^{\mathrm {op} }$ $G^{\mathrm {op} }\circ F$ $G^{\mathrm {op} }\circ F$ F { $display style G^$ { \ $mathrm {$ op } $circcirccirc$ F $G^{\mathrm {op} }\circ F$ 를 사용합니다.반대 카테고리의 속성에 따라 $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$ $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$ p ) $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$ { $display styleft$ { $mathstyleft }$ { $mathstyleft$ （ F ）（ F }

분기 및 멀티단위

바이펀터(바이너리 펑터라고도 함)는 도메인이 제품 범주인 펑터입니다.예를 들어, 홈 함수는 C × C → Set 유형입니다^op.그것은 두 가지 논쟁에서 함수로 볼 수 있다.홈 함수는 자연스러운 예이며, 한 인수에서는 반변하고 다른 인수에서는 공변량입니다.

멀티터랙터는 펑터 개념을 n개의 변수로 일반화한 것입니다.따라서 예를 들어, 분압기는 n = 2인 멀티터입니다.

특성.

펑터 공리의 두 가지 중요한 결과는 다음과 같습니다.

F는 C의 각 교환도를 D의 교환도로 변환한다.
f가 C의 동형사면, F(f)는 D의 동형사면이다.

즉, F가 A에서 B로, G가 B에서 C로, F가 B에서 C로, F가 A에서 C로 복합함수 G f F를 구성할 수 있다.함수의 구성은 정의된 경우 연관성이 있습니다.함수의 구성의 동일성은 동일함수이다.이는 펑터가 작은 범주의 범주 등 범주의 범주에서 형태소로 간주될 수 있음을 보여준다.

단일 오브젝트를 가진 작은 카테고리는 모노이드와 같다.일개 오브젝트 카테고리의 몰피시즘은 모노이드의 요소로 생각할 수 있고, 카테고리 내 구성은 모노이드 연산으로 생각할 수 있다.단일 객체 범주 사이의 함수는 모노이드 동형사상에 해당합니다.어떤 의미에서 임의의 카테고리간의 함수는 복수의 오브젝트를 가진 카테고리로의 모노이드 동형사상의 일반화와 같습니다.

예

도표: 카테고리 C 및 J의 경우 C의 유형 J의 다이어그램은 공변함수 $D\colon J\to C$ $D\colon J\to C$ $D\colon J\to C$ $D\colon J\to C$ ${\displaystyle$ D $\colon$ J $\to$ C $D\colon J\to C$ 입니다.
(카테고리 이론) 프리히프: 카테고리 C 및 J의 경우 C의 J-프레시프는 역변수 $D\colon C\to J$ D $D\colon C\to J$ $D\colon C\to J$ $D\colon C\to J$ $(\displaystyle$ D $\colon$ C $\to$ J $D\colon C\to J$ 입니다.
J가 세트 및 함수 범주인 Set인 특별한 경우, D는 C의 프리히프라고 불린다.
프리히브(토폴로지 공간에 걸쳐): X가 위상 공간인 경우, X의 열린 집합은 포함 아래에 부분적으로 순서가 지정된 Open(X) 집합을 형성합니다.모든 부분 순서 집합과 마찬가지로 Open(X)은 U $U\subseteq V$ V {\ $displaystyle$ U\ $subseteq$ V $U\subseteq V$ 인 경우에만 하나의 화살표 U → V를 추가하여 작은 범주를 형성합니다. Open(X)의 역변함수는 X의 프리히브라고 합니다.예를 들어, 모든 열린 집합 U에 U에 실수치 연속함수의 연관대수를 할당함으로써 X에 대한 대수의 사전대수를 얻는다.
상수 함수: C의 모든 객체를 D의 고정 객체 X에 매핑하고 C의 모든 형태소를 X의 정체성 형태소에 매핑하는 함수 C → D.이러한 함수를 상수 또는 선택 함수라고 합니다.

Endofunctor: 카테고리를 같은 카테고리에 매핑하는 펑터(예: 다항식 펑터).

Identity functor: 카테고리 C의 1 또는_C id는_C 오브젝트를 자신에게 매핑하고 모르피즘을 자신에게 매핑합니다.ID 펑터는 endofunctor입니다.
대각함수: 대각 펑터는 D에서 펑터카테고리^C D까지의 펑터로 정의됩니다.이 펑터는 D 내의 각 객체를 해당 객체의 상수 펑터로 전송합니다.
제한 함수: 고정 지수 범주 J의 경우, 모든 펑터 J → C가 한계를 갖는 경우(예: C가 완전한 경우), 한계 펑터^J C → C는 각 펑터에 한계를 할당합니다.이 함수의 존재는 대각함수에 대한 오른쪽 인접함수임을 깨닫고 Freyd 인접함수 정리를 호출함으로써 증명될 수 있다.여기에는 적절한 버전의 선택 공리가 필요합니다.같은 주석은 colimit 펑터(모든 펑터에 해당 colimit을 할당하고 공변량)에도 적용됩니다.
파워셋 펑터: Power Set 펑터 P : Set → Set은 각 세트를 해당 전원 세트로 매핑하고 각 $f\colon X\to Y$ f : $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ (\ $displaystyle f\to$ Y $)$ 는 $f\colon X\to Y$ U $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ $U\in {\mathcal {P}}(X)$ P ( $U\in {\mathcal {P}}(X)$ $)\displaystyle$ U \ $in \mathcal {P}}$ $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ ( $X$ $)\$ displaystyle P\ $in$ \to Y (\ $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ Y )를 $U\in {\mathcal {P}}(X)$ $이미지$ F (\displaystyle $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ 로 $U\in {\mathcal {P}}(X)$ . $f\colon X\to Y$ set 펑터 $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ $→$ Y {\ $displaystyle$ f $\$ $subseteq$ $f\colon X\to Y$ X $\$ $to$ Y}를 $f\colon X\to Y$ 맵에 송신하고 V ${\displaystyle$ V $\subseteq$ Y}를 $V\subseteq Y$ $)$ 에 $V\subseteq Y$ 한다 $f^{-1}(V)\subseteq X.$ X $f^{-1}(V)\subseteq X.$ . {\ $displaystyle f^{-1$ }(V)\ $subseteQ$ X $}$
$X=\{0,1\}$ 를 들어 X $X=\{0,1\}$ { $X=\{0,1\}$ , $X=\{0,1\}$ $}$ { { $displaystyle$ $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ \ $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ { $X=\{0,1\}$ $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ , $X=\{0,1\}$ 1 $X=\{0,1\}$ \ } $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ { $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ } $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ , { $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ , { $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ } , X $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ } = { $displaystyle$ F(X) = { P} \ \ { \ { $0$ } } 、 $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ } 、 { displaystyle $mathcal$ { P} = \ { \ { \ { \ { \ { \ { \ { \ 1 } } } } } } } } 。 $(\displaystyle$ X)의 서브셋U $X$ $(\$ displaystyle U $)$ 를 $U$ $f(U)$ f $)$ 로 전송하는 tion. 이 경우 { $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ { $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ ) $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ { $}$ { $displaystyle$ \{\} $=$ {\}}} $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ $。$ 여기서 $\mapsto$ { $display$ style \ style f(\style)는 $\mapsto$ 맵 $F(f)$ 의 매핑을 나타냅니다 $.$ uld는 $(F(f))(\{\})=\{\}$ ( $(F(f))(\{\})=\{\}$ ( $(F(f))(\{\})=\{\}$ ) $(F(f))(\{\})=\{\}$ ( { $(F(f))(\{\})=\{\}$ ) $(F(f))(\{\})=\{\}$ { $}$ { $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ $( F$ ( F ( f ) $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ \ \ \ \ ) $(F(f))(\{\})=\{\}$ $=$ \ { $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ { $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ ( $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ ) $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ { $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ , { } , $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ { $displaystyle$ \ $0$ } \ $stop$ {\} $。$ $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ ( { $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ , 1 $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ ) $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ { f ( $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ ) $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ , f $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ ( $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ ) $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ { { $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ , $X$ . { $displaystyle$ $\$ { 0 , 1 \ } \ $mapsto f$ ( \ { $f(\{0,1\})$ , $1$ \ ) = \ { f ( $f(\{0,1\})$ $, 1$ \ ) $f(\{0,1\})$ $=$ \ { \ { \ { \ { \ { \ { \ { \ \ \ \ } f } $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ } $f(\{0,1\})$ } $f(\{0,1\})$ } $f(\{0,1\})$ X $(\style$ X $X$ 의 파워셋에 ppp를 적용하지만 일반적으로는 그렇지 않습니다.
이중 벡터 공간: 모든 벡터 공간에 이중 공간을 할당하고 그 이중 또는 전치 선형 지도에 할당하는 맵은 고정 필드 위의 모든 벡터 공간의 범주에서 그 자체로 반변함수입니다.
기본 그룹: 뾰족한 토폴로지 공간, 즉 구별되는 점이 있는 토폴로지 공간의 범주를 고려한다.개체는 쌍(X, x₀)입니다. 여기서 X는 위상 공간이고₀ x는 X의 점입니다.(X, x₀)에서 (Y, y₀)까지의 모르피즘은 f(x₀) = y의₀ 연속맵 f : X → Y로 주어진다.
구분점₀ x가 있는 모든 위상 공간 X에 대해 x에 기초한₀ 기본 그룹 θ(X, x₀)를₁ 정의할 수 있다.이것은 x에 기반한₀ 호모토피 클래스의 그룹이며, 연결의 그룹 연산을 수반합니다.f : X → Y가 뾰족한 공간의 형태라면, 기준점₀ x를 가진 X의 모든 루프는 f로 구성될 수 있고 기준점₀ y를 가진 Y의 루프를 생성할 수 있다.이 연산은 호모토피 등가관계 및 루프의 구성과 호환되며, θ(X, x₀)에서 θ(Y, y₀)까지의 군 동형성을 얻을 수 있다.따라서 우리는 뾰족한 위상 공간의 범주에서 그룹의 범주까지 함수자를 얻는다.
위상 공간 범주(구분점 없음)에서는 일반 곡선의 호모토피 클래스를 고려하지만 끝점을 공유하지 않으면 구성할 수 없습니다.즉, 기본군이 아닌 기본군체를 가지며, 이 구조는 기능적이다.
연속함수의 대수: 위상 공간의 범주(형태학으로서의 연속 맵 포함)에서 실제 연상 대수 범주로 역변함수는 모든 위상 공간 X에 해당 공간의 모든 실값 연속 함수의 대수 C(X)를 할당함으로써 주어진다.모든 연속 지도 f : X → Y는 C(Y) 내의 모든 θ에 대해 규칙 C(f) (f) : C(Y) → θ f에 의해 대수 동형사상 C(X)를 유도한다.
접선 번들 및 코탄젠트 번들: 모든 미분 가능 다양체를 접선 다발에 보내고 모든 매끄러운 맵을 도함수에 보내는 맵은 미분 가능 다양체의 범주에서 벡터 다발 범주에 이르는 공변 함수입니다.
이 구성을 점으로 수행하면 접선 공간, 즉 뾰족한 미분 가능 다양체의 범주에서 실제 벡터 공간의 범주로 공변함수가 주어집니다.마찬가지로, 코탄젠트 공간은 본질적으로 위의 이중 공간과의 접선 공간의 구성인 반변함수이다.
그룹 액션/표현: 모든 그룹 G는 형태소가 G의 요소인 단일 객체를 가진 범주로 간주할 수 있다. G에서 집합으로 가는 펑터는 특정 집합, 즉 G 집합에서 G의 그룹 액션에 불과하다.마찬가지로, G에서 벡터 공간의 범주인 Vect까지의_K 함수는 G의 선형 표현이다.일반적으로 함수 G → C는 범주 C의 물체에 대한 G의 "작용"으로 간주될 수 있다.C가 그룹일 경우 이 액션은 그룹 동형사상입니다.
리 대수: 모든 실제(복잡한) Lie 그룹에 실제(복잡한) Lie 대수를 할당하면 함수가 정의됩니다.
텐서 곱: 선형 맵을 형태소로 하여 C가 고정 필드 위의 벡터 공간의 범주를 나타내는 경우, 텐서 $V\otimes W$ V $V\otimes W$ W {\ $displaystyle$ V $\otimes$ W $}$ 는 $V\otimes W$ 두 ^[7]변수에서 공변하는 함수 C × C → C를 정의한다.
건망증이 심한 기능: 함수 U : Grp → 그룹을 기본 집합에 매핑하고 그룹의 동형성을 기본 집합 함수에 매핑하는 집합을 ^[8]함수라고 합니다.이와 같이 구조를 '잊어버리는' 기능을 건망증 기능이라고 합니다.또 다른 예는 링을 기본 첨가 아벨 그룹에 매핑하는 펑터 Rng → Ab이다.Rng(고리 동형사상)의 형태소는 Ab(아벨 군 동형사상)의 형태소가 된다.
프리 펑터: 건망증 펑터의 반대 방향으로 가는 것은 무료 펑터입니다.free functor F : Set → Grp는 모든 세트 X를 X가 생성한 free group으로 보냅니다.함수는 자유 그룹 간의 그룹 동형사상에 매핑됩니다.구조화된 집합을 기반으로 한 많은 범주에 대해 자유로운 구성이 존재합니다.프리 오브젝트를 참조해 주세요.
동형군: 아벨 그룹의 모든 쌍 A, B에 A에서 B까지의 모든 군 동형상으로 이루어진 아벨 군 Hom(A, B)을 할당할 수 있다.이것은 첫 번째 인수와 두 번째 인수에서 공변하는 함수이다. 즉, 함수 Ab^op × Ab → Ab이다(여기서 Ab는 군 동형사상을 가진 아벨 그룹의 범주를 나타낸다).f : A₁ → A₂ 및 g : B₁ → B가₂ Ab의 형태소라면, 군 동형 Hom(f, g): Hom(A₂, B₁) → Hom(A₁, B₂)은 θ θ g θ f로 주어진다.홈 펑터를 참조해 주세요.
대표 기능: 위의 예를 카테고리 C로 일반화할 수 있습니다.C의 모든 개체 쌍 X, Y에 대해 X부터 Y까지의 형태소 집합 Hom(X, Y)을 할당할 수 있다.이것은 첫 번째 인수에서는 반변하고 두 번째 인수에서는 공변하는 함수를 Set으로 정의한다. 즉, 함수^op C × C → Set이다.f : X₁ → X₂ 및 g : Y₁ → Y가₂ C의 형태소일 경우, 지도 Hom(f, g) : Hom₂(X₁, Y) → Hom₁(X₂, Y)은 φ g ∘ f로 주어진다.
이러한 함수는 대표함수라고 불립니다.많은 설정에서 중요한 목표는 주어진 함수가 표현 가능한지 여부를 확인하는 것입니다.

다른 범주형 개념과의 관계

C와 D를 카테고리로 합니다.C에서 D까지의 모든 펑터의 컬렉션은 범주의 오브젝트인 펑터 카테고리를 형성합니다.이 범주의 형태론은 함수들 사이의 자연스러운 변환이다.

함수는 흔히 보편적 성질에 의해 정의된다. 예를 들어 텐서 곱, 군이나 벡터 공간의 직접 합과 직접곱, 자유 군과 모듈의 구성, 직접과 역한계 등이 있다.limit와 colimit의 개념은 위의 몇 가지를 일반화합니다.

범용 구성은 종종 인접 함수의 쌍을 발생시킵니다.

컴퓨터 구현

기능 프로그래밍에 함수가 표시되는 경우가 있습니다.예를 들어, 프로그래밍 언어 Haskell에는 클래스가 있습니다. Functor여기서 은 기존 유형 간의 함수(Hask의 형태, Haskell ^[9]유형의 범주)를 새로운 ^[10]유형 간의 함수에 매핑하기 위해 사용되는 전형적인 함수입니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, New York: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
^ 카르납, 루돌프(1937년).언어, 라우팅 및 키건의 논리적 구문, 페이지 13-14.
^ 제이콥슨(2009), 페이지 19, def. 1.2.
^ 제이콥슨(2009), 페이지 19-20.
^ Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Theory of categories. Dordrecht: Springer. p. 12. ISBN 9789400995505. Retrieved 23 April 2016.
^ Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory, Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
^ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
^ 제이콥슨(2009), 페이지 20, 예 2.
^ 하스켈 데이터형이 정말로 범주를 형성하는지 완전히 확실하지 않다.상세한 것에 대하여는, https://wiki.haskell.org/Hask 를 참조해 주세요.
^ 상세한 것에 대하여는, https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell 를 참조해 주세요.

레퍼런스

를 클릭합니다Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.

외부 링크

"Functor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
nLab의 펑터 및 이에 대해 논의되고 링크된 변형을 참조하십시오.
André Joyal, CatLab, 범주형 수학 설명 전문 위키 프로젝트
Hillman, Chris (2001). "A Categorical Primer". CiteSeerX 10.1.1.24.3264: {{cite web}}: 카테고리 이론에 대한 공식적인 소개가 없거나 비어 있습니다(도움말).
J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, 추상 및 구체적 카테고리 - 고양이의 기쁨
스탠포드 철학 백과사전: "카테고리 이론" - Jean-Pierre Marquis 지음.광범위한 참고 문헌 목록.
범주론에 관한 학술회의 목록
Baez, John, 1996 "N-카테고리 이야기"고차 카테고리에 대한 비공식 소개.
WildCats는 매스매티카의 범주 이론 패키지입니다.오브젝트, 형태, 카테고리, 펑터, 자연변환, 보편적 속성의 조작과 시각화.
카테고리 이론에 대한 유튜브 채널인 고양이들.
물리학의 카테고리, 논리 및 기초와 관련된 녹화된 강연의 비디오 아카이브.
유한 집합 범주에서 범주 구조의 예를 생성하는 대화형 웹 페이지입니다.

[1] Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, New York: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1

[2] 카르납, 루돌프(1937년).언어, 라우팅 및 키건의 논리적 구문, 페이지 13-14.

[FOOTNOTEJacobson2009p._19,_def._1.2-3] 제이콥슨(2009), 페이지 19, def. 1.2.

[FOOTNOTEJacobson200919–20-4] 제이콥슨(2009), 페이지 19-20.

[Popescu1979-5] Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Theory of categories. Dordrecht: Springer. p. 12. ISBN 9789400995505. Retrieved 23 April 2016.

[6] Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory, Springer, ISBN 978-0-387-97710-2

[7] Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4

[FOOTNOTEJacobson2009p._20,_ex._2-8] 제이콥슨(2009), 페이지 20, 예 2.

[9] 하스켈 데이터형이 정말로 범주를 형성하는지 완전히 확실하지 않다.상세한 것에 대하여는, https://wiki.haskell.org/Hask 를 참조해 주세요.

[10] 상세한 것에 대하여는, https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell 를 참조해 주세요.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[7]

[8]

[9]

[10]

Search

펑터

네임스페이스

더

목차

정의.

공분산 및 반차이

반대함수

분기 및 멀티단위

특성.

예

다른 범주형 개념과의 관계

컴퓨터 구현

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

외부 링크

Search

펑터

정의.

공분산 및 반차이

반대함수

분기 및 멀티단위

특성.

예

다른 범주형 개념과의 관계

컴퓨터 구현

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

외부 링크

「」를 참조해 주세요.