연산자와 그룹화

수학의 한 분야인 추상대수학에서 연산자나 Ω군이 있는 대수구조군은 특별한 방식으로 그룹의 원소에서 작용하는 Ω이 설정된 그룹으로 볼 수 있다.

1920년대에 에미 노에더와 그녀의 학교에 의해 운영자가 있는 그룹은 광범위하게 연구되었다.그녀는 이 개념을 세 가지 에테르 이소모르프 이론의 원래 공식화에 이용했다.

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
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정의

연산자$({\displaystyle G}$, ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle (G$${\displaystyle ,\backslash }$$Oomega )}$이$($가) 있는 그룹은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 설정된 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $G$$=($$G,\cdot$)의 동작과 함께$$ $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle (G,\backslash }$displaystystyle $G}$로 정의할^[1] 수 있다$$$.$

${\displaystyle \Oomega \time G\오른쪽 화살표 G:(\omega,g)\mapsto g^{\omega }}$

그룹법에 따른 분배:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }}}$

For each ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, the application ${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$ is then an endomorphism of G. From this, it results that a Ω-group can also be viewed as a group G with an indexed family ${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$ ofG의 내형성

${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) 연산자 도메인이라고 한다$$.연관적 내형성들은^[2] G의 동질성이라고 불린다.

동일한 연산자 도메인이 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$인 두 그룹 G, H에 주어진$,$ 연산자와 함께 있는 그룹의 동형성은 만족스러운 그룹 동형상 ${\displaystyle \varphi }$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$ $[\displaystyle \phi :G\to H}$이다.

${\$^{\\$displaystyle \omega \in \Oomega \}$ 및$$ $g{\displaystyle }$g ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle g\in G.}$${\displaystyle }\Omega {\displaystyle }$ ${\$displaystyle g\${\displaystyle \mathrm{in}}$$.}$에 대한$$$$^{\optime Ω {\displaystytype}

G의 부분군 S는 안정적인 부분군, 즉 균질성을 존중하는 경우 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ - $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ 또는$$ Ω ${\displaystyle \Oomega}$ - invariant$$ 하위군이라고 한다.

${\displaystyle s^{}{\Omega }^{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\$$displaystyle$ s$^{\\omega }\$$in$S} $및$ Ω ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$에 대한$$${\displaystyle }$Ω${\displaystyle }S{\displaystyle }$$${\$displaystyle \omega \in.}$

범주이론적 발언

범주론에서 연산자를 가진 집단은 M이 모노이드인 펑터 범주 Grp의^M 개체로^[3] 정의될 수 있으며, Grp는 집단의 범주를 나타낸다.Ω ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 단일형이라면 이 정의는 이전 정의와 동일하다(그렇지 않으면 ID와 모든 구성을 포함하도록 확장할 수 있다).

이 범주의 형태론은 두 개의 functor들 사이의 자연적 변환이다(즉, 동일한 연산자 도메인 M을 공유하는 연산자를 가진 두 그룹). 다시 우리는 (자연적 변환의 구성요소와 함께) 연산자와 집단의 동형성 위에 있는 정의를 회복한다.

연산자가 있는 그룹도 매핑이다.

${\displaystyle \Oomega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp}}(G),}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{End}}_{}}$ ${\displaystyle {G\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathbf{p}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp}}}(G)}$은 G의 그룹 내형성 집합이다$$.

예

• 어떤 그룹 G가 주어진다면, (G, ∅)는 사소한 것으로는 운영자가 있는 그룹이다.
• 링 R에 걸쳐 모듈 M이 주어지면 R은 M의 기저 아벨리아 그룹에 스칼라 곱셈으로 작용하므로 (M, R)은 연산자를 가진 그룹이다.
• 위의 특수한 경우로서 필드 k 위에 있는 모든 벡터 공간은 연산자(V, k)가 있는 그룹이다.

적용들

더 요르단-쾰더 정리도 운영자 집단의 맥락에서 유지된다.그룹이 구성 시리즈를 보유해야 한다는 요구사항은 위상에서의 콤팩트성 요구사항과 유사하며, 때로는 너무 강력한 요구사항이 될 수 있다."세트 대비 콤팩트", 즉 각 (정상) 부분군이 해당 그룹의 연산자 집합 X에 상대적인 연산자-부분군인 구성 시리즈에 대해 말하는 것은 당연하다.

참고 항목

• 집단행동

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1974). Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1–3. Hermann. ISBN 2-7056-5675-8.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1–3. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.