기하불변성 이론

수학에서 기하불변성 이론(또는 GIT)은 모듈리 공간을 구성하는 데 사용되는 대수 기하학에서 그룹 작용에 의한 인용구를 구성하는 방법이다. 1965년 데이비드 뭄포드에 의해 고전 불변론에서 논문(힐버트 1893)의 사상을 이용하여 개발되었다.

기하불변성 이론은 대수적 다양성(또는 체계) X에 대한 그룹 G의 작용을 연구하며, 합리적인 성질을 가진 체계로서 X by G의 '양'을 형성하는 기법을 제공한다. 한 가지 동기는 표시된 물체를 파라메트리징하는 도표의 인수로 대수 기하학에서 모듈리 공간을 구성하는 것이었다. 1970년대와 1980년대에 이 이론은 공감 기하학 및 등가 위상과의 상호작용을 발전시켰으며, 인스턴트온이나 단면체와 같은 미분 기하학에서 물체의 모듈리 공간을 구성하는데 사용되었다.

배경

불변성 이론은 대수적 다양성(또는 계략) X에 대한 그룹 G의 집단 작용과 관련이 있다. 고전 불변성 이론은 X = V가 벡터 공간이고 G가 유한 집단이거나 V에 선형적으로 작용하는 고전적 거짓말 집단 중 하나일 때의 상황을 다룬다. 이 작용은 공식에 의해 V의 다항함수 R(V) 공간에 G의 선형 작용을 유도한다.

${\displaystyle g\cdot f(v)=f(g^{-1}v),\quad g\in G,v\in V.}$

V에 대한 G-action의 다항식 불변수는 V에 대한 다항식 함수 f로, 그룹의 작용으로 인한 '변수의 변화'에 따라 고정되어 G/f = 모든 G에 대한 f이다. 그들은 교대수학 A = R(V)^G를 형성하는데, 이 대수학이란 '상호이론적 지수' V//G에 대한 함수의 대수로서 해석된다. 왜냐하면 이들 함수 중 어느 하나라도 등가점($f{\displaystyle }$(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle )}$= f${\displaystyle }$(${\displaystyle g}$ $){\displaystyle f(v)=f(gv)})$는 모든 g에 대해 동일한 값을 주기 때문이다. 현대 대수 기하학의 언어로,

${\displaystyle V/\!/G=\operatorname {Spec}A=\operatorname {Spec} R(V)^{G}.}$

이 설명에서 몇 가지 어려움이 나타난다. 힐버트가 일반 선형 집단의 경우 성공적으로 태클한 첫 번째 것은 대수 A가 미세하게 생성된다는 것을 증명하는 것이다. 이것은 만약 어떤 사람이 그 지수를 아핀 대수적 다양성이 되기를 원한다면 필요하다. 비슷한 사실이 임의의 그룹 G에 대해 갖고 있는지는 힐베르트의 14번째 문제의 주제였고, 나가타는 그 대답이 전반적으로 부정적이라는 것을 증명했다. 한편, 20세기 전반의 대표이론의 전개 과정에서, 해답이 양성이라는 큰 부류의 집단이 확인되었다; 이것들은 환원집단이라고 하며, 모든 유한집단과 모든 고전집단을 포함한다.

대수 A의 유한한 세대는 A에 대한 완전한 설명을 향한 첫걸음일 뿐이며, 이 보다 섬세한 문제를 해결하는 데 있어서의 진전은 오히려 겸손했다. 불변기는 제한된 범위의 상황에서만 분류적으로 설명되어 왔으며, 처음 몇 가지 경우를 넘어서는 이 설명의 복잡성은 불변성의 알헤브라를 전체적으로 완전히 이해할 수 있는 희망을 거의 갖지 않았다. 또한, 모든 다항식 불변성 f가 V의 특정 지점 쌍 u와 V에서 동일한 값을 취하지만, 이러한 지점들은 G-action의 서로 다른 궤도에 있다. 간단한 예는 스칼라 곱셈에 의해 n차원 복합 벡터ⁿ 공간 C에 작용하는 0이 아닌 복잡한 숫자의 곱셈 그룹 C에^* 의해 제공된다. 이 경우 모든 다항식 불변제는 상수지만 작용의 궤도는 다양하다. 제로 벡터는 스스로 궤도를 형성하며, 0이 아닌 벡터의 0이 아닌 배수가 궤도를 형성하므로, 0이 아닌 궤도는 복잡한 투영 공간 CP의ⁿ⁻¹ 지점에 의해 파라메트리된다. 이렇게 되면(동일한 함수 값을 갖는 서로 다른 궤도는) '변동물이 궤도를 분리하지 않는다'고 말하고, 대수 A는 위상학적 지수 공간 X/G를 다소 불완전하게 반영한다. 실제로 지수 위상이 있는 후자의 공간은 자주 비분리(Non Hausdorff)되어 있다. (이 예에서는 null 벡터의 어떤 이웃도 다른 모든 궤도에 점을 포함하기 때문에 null 궤도가 열리지 않으므로, null 궤도의 어떤 이웃도 다른 모든 궤도를 포함한다.) 1893년 힐버트는 불변 다항식들에 의해 제로 궤도로부터 분리되지 않은 궤도를 결정하기 위한 기준을 공식화하고 증명했다. 다소 주목할 만한 것은, 추상 대수학의 급속한 발전을 이끈 불변 이론에서의 그의 초기 연구와 달리, 힐버트의 이 결과는 그 후 70년 동안 거의 알려지지 않았고 거의 사용되지 않았다. 20세기 전반의 불변 이론의 발달은 불변성, 그리고 어쨌든 기하학보다는 대수학의 논리에 따르는 노골적인 계산에 관한 것이었다.

뭄포드의 책

기하불변성 이론은 1965년에 처음 출판된 모노그래프에서 뭄포드에 의해 설립되어 발전되었는데, 힐베르트의 일부 결과를 포함한 19세기 불변 이론의 사상을 현대 대수 기하학 문제에 적용하였다. (이 책은 포가티와 뭄포드의 추가 부록과 키르완의 동정적 인용에 관한 장으로 이후 두 판으로 크게 확대되었다.) 그 책은 사례에서 이용할 수 있는 계략 이론과 계산 기법을 모두 사용한다. 사용된 추상적 설정은 체계 X에 대한 그룹 동작의 설정이다. 우주 궤도에 대한 단순한 생각

G\X

즉, 그룹 작용에 의한 X의 지수 공간은 추상적인 용어로 설명할 수 있는 이유로 대수 기하학의 어려움에 부딪친다. 사실 등가 관계가 대수 기하학의 핵심에 있는 (거의 경직된) 정규 함수(다항 함수)와 잘 상호작용해야 할 일반적인 이유는 없다. 고려해야 할 궤도 공간 G\X의 기능은 G의 작용에 따라 불변하는 X의 기능이다. 직접적 접근은 다양성의 함수 분야(즉, 이성적 함수)를 통해 이루어질 수 있다: 그것에 대한 G-invariant 합리적 함수를 지수 다양성의 함수 분야로 삼는다. 불행히도 이것은 - 쌍생 기하학의 관점 - 답에 대한 첫 번째 근사치만을 제공할 수 있다. Mumford가 이 책의 서문에 언급했듯이:

문제는, 결과적인 혼성계급의 모든 모델의 집합 내에서, 기하학적 점들이 어떤 작용에서 궤도의 집합 또는 어떤 모듈리 문제에서 대수적 객체 집합을 분류하는 하나의 모형이 있다는 것이다.

5장에서 그는 상당히 고전적인 유형의 모듈리 문제에서 다루어지는 특정 기술적 문제를 더욱 분리한다. 즉, 비음반적(그리고 양극화에 대한 필수 조건)에만 해당되는 모든 대수적 변종들의 큰 '세트'를 분류한다. 모듈리는 매개변수 공간을 설명하도록 되어 있다. 예를 들어 대수 곡선의 경우 리만 시대부터 치수의 연결된 구성요소가 있어야 한다는 것이 알려져 있다.

0, 1, 3, 6, 9, …

속 g =0, 1, 2, 3, 4, …에 따라 moduli는 각 성분의 함수다. 거친 모듈리 문제에서 Mumford는 장애물을 다음과 같이 간주한다.

• 모듈리 공간의 비주기적 위상(즉, 양호한 상태의 매개변수가 충분하지 않음)
• 무한히 많은 되돌릴 수 없는 구성 요소(피할 수 없지만 국부적인 정밀도가 유지될 수 있음)
• 비록 위상적으로 존경할 만하지만, 구성 요소의 실패는 계획으로서 대표될 수 있다.

전체 이론의 동기를 부여한 세 번째 점이다. Mumford의 말처럼, 처음 두 가지 어려움이 해결된다면

[제3의 문제]는 본질적으로 프로젝티브 그룹에 의한 힐버트 또는 차우 계획의 일부 국지적으로 닫힌 부분집합의 궤도 공간이 존재하는가에 대한 문제와 동등하게 된다.

이것을 다루기 위해 그는 안정의 개념을 도입했다. 이것은 그가 이전에 배반했던 영역을 열 수 있게 해주었다. 특히 프란체스코 세베리에 의해 많은 부분이 쓰여졌지만, 문학의 방법에는 한계가 있었다. 쌍생 관점은 코디네이션 1의 하위 집합에 대해 부주의할 수 있다. 모듈리 공간을 하나의 계획으로 갖는 것은 한쪽에 있는 표현 가능한 functor로서 계획을 특징짓는 것에 대한 질문이다. 그러나 기하학적으로 그것은 안정성 기준이 드러낸 것처럼 압축적인 질문에 가깝다. 비노래 품종에 대한 제한은 모듈리 공간처럼 어떤 의미에서도 콤팩트한 공간으로 이어지지 않을 것이다: 품종은 특이점을 갖는 것으로 전락할 수 있다. 반면에, 매우 특이한 종류에 해당할 점들은 분명히 답안에 포함하기에는 너무 '나쁨'이다. 입학할 수 있을 만큼 안정된 포인트의 정확한 중간 지점은 뭄포드의 작업으로 고립되었다. 그 개념은 완전히 새로운 것은 아니었는데, 그 개념의 어떤 측면은 데이빗 힐버트가 다른 분야로 옮기기 전에 불변 이론에 대한 최종적인 생각에서 발견될 예정이었기 때문이다.

이 책의 서문 또한 나중에 윌리엄 하부쉬에 의해 증명된 맘포드 추측을 분명히 했다.

안정성

환원 그룹 G가 벡터 공간 V에 선형적으로 작용하면 V의 0이 아닌 점을 호출한다.

• 0이 궤도의 폐쇄에 있을 때 불안정한 상태,
• 0이 궤도의 폐쇄에 있지 않을 경우 반추적,
• 궤도가 폐쇄되고 안정성이 유한할 경우 안정적이다.

이를 설명하는 동등한 방법이 있다(이 기준은 힐버트-맘포드 기준이라고 알려져 있다).

• 0이 아닌 점 x는 G의 1-모수 부분군이 있는 경우에만 불안정하며, x에 대한 가중치가 모두 양수인 것이다.
• 0이 아닌 점 x는 모든 불변 다항식이 0과 x에 동일한 값을 갖는 경우에만 불안정하다.
• 0이 아닌 점 x는 x에 대한 가중치가 모두 양인 G의 1-모수 부분군이 없는 경우에만 반증할 수 있다.
• 0이 아닌 점 x는 일부 불변 다항식이 0과 x에 서로 다른 값을 갖는 경우에만 반증할 수 있다.
• 0이 아닌 점 x는 G의 1-모수 부분군마다 x에 대한 양의(및 음의) 가중치를 갖는 경우에만 안정적이다.
• 0이 아닌 점 x는 x의 궤도에 있지 않은 모든 y에 대해 y와 x에 다른 값을 갖는 일부 불변 다항식이 있고 불변 다항식의 링에 초월도 딤(V)-딤(G)이 있는 경우에만 안정적이다.

V의 해당 투사 공간의 점을 V의 점 이미지인 경우 불안정한 점, 반안정적인 점 또는 안정적이라고 한다. "불안정"은 "불안정" ("불안정")의 반대다. 불안정한 지점은 Zariski 폐쇄된 투영 공간 세트를 형성하고, 반증 가능한 지점과 안정적 지점은 Zariski 오픈 세트(아마도 비어 있을 것이다)를 형성한다. 이러한 정의는 (Mumford 1977)에서 따온 것이며, 뭄포드 책 초판의 정의와 동등하지 않다.

많은 모듈리 공간은 일부 그룹 작용에 의해 투영 공간의 일부 부분집합에 대한 안정적 지점 공간의 인수로 구성될 수 있다. 이러한 공간은 종종 반증 가능한 점의 특정 동등성 등급을 추가함으로써 압축될 수 있다. 서로 다른 안정 궤도는 지수에서 서로 다른 점에 대응하지만, 두 개의 서로 다른 반증 가능한 궤도는 이들의 폐쇄가 교차하는 경우 지수에서 동일한 점에 해당할 수 있다.

예: (Deligne & Mumford 1969) 안정곡선은 속 genus2의 축소된 연결곡선으로, 그 특이점만이 일반 이중점이고 모든 비성격적 이성적 성분이 최소 3점 이상에서 다른 성분들을 만족시킨다. 속 g의 안정적인 곡선의 모듈리 공간은 그룹 PGL이_5g−5 Hilbert 다항식 (6n-1)(g-1)을 갖는^5g-6 P의 곡선의 Hilbert 체계 하위 집합의 몫이다.

예: 대수 곡선(또는 Riemann 지표면 위에 있는 벡터 번들 W)은 다음과 같은 경우에만 안정된 벡터 번들이다.

${\displaystyle \frac {\deg(V)}{{\hbox{rank}(V)}}{\frac {\deg(W)}{\hbox{rank}(W)}}}}}}}}$

W의 모든 적절한 비제로 서브번들 V에 대하여 그리고 이 조건이 <로 대체된 replaced으로 유지된다면 반증 가능하다.

참고 항목

• GIT 지수
• 기하학적 복잡성 이론
• 기하급수
• 범주형 지수
• 정량화는 감소와 함께 통한다.
• K-안정성
• 브리지랜드 안정성 조건

참조

• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), "The irreducibility of the space of curves of given genus", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36 (1): 75–109, doi:10.1007/BF02684599, MR 0262240
• Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Math. Annalen, 42 (3): 313, doi:10.1007/BF01444162
• Kirwan, Frances, Cohomology of quotes in synoptic 및 대수 기하학의 인용구. 수학 노트, 31. 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, NJ, 1984. i+211 pp. MR0766741 ISBN 0-691-08370-3
• 크래프트, 한스페터, 데어 인바리엔테오메트리 마르텐. (독일어) (불변성 이론에서의 지리학적 방법) 수학의 측면, D1. Friedr. 비위그 앤 손, 브라운슈바이그, 1984. x+308 페이지 MR0768181 ISBN 3-528-08525-8
• Mumford, David (1977), "Stability of projective varieties", L'Enseignement Mathématique, 2e Série, 23 (1): 39–110, ISSN 0013-8584, MR 0450272, archived from the original on 2011-07-07
• 멈포드 David;포가티, J.;Kirwan, F.(1994년), 기하학적 invariant 이론, Ergebnisse der Mathematik undihrer Grenzgebiete(2)[수학과 관련 지역에서의 성적은(2)], vol. 34(3판), 베를린, 뉴욕:Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-57916-5, hdl:2433/102881, 아이 에스비엔 978-3-540-56963-3, MR1304906, MR0214602(1일 교육 1965년), MR0719371. (교육 2)
• V. L. Popov, E. B. Vinberg, Invariant 이론, 대수 기하학에서. IV. 수학 과학 백과사전, 55 (1989년 러시아 판부터 번역) 스프링거-베를라크, 1994. vi+284 페이지 ISBN 3-540-54682-0